A-组合投资收益和风险问题的数学建模-数学建模课程设计

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数学建模

课程设计论文组合投资收益和风险问题的数学建模姓名：何健堃学号：16班级：数学112指导老师：周金明成绩：完成日期：2013年7月3日摘要在现代商业、金融投资中，投资者总是希望实现收益最大化，然而投资是要承担风险的，收益与风险之间存在难以调和的矛盾，怎样兼顾两者，寻找切实可行的决策思想，是投资的收益和风险决策的一个重要的问题。本论文主要讨论并解决了在组合投资问题中的投资收益与风险的有关问题。分别在不考虑投资项目之间的影响和考虑投资项目之间的影响以及不考虑风险和考虑风险的情况下，建立相应的数学模型，来使得投资所获得的总利润达到最大。问题一是一典型的线性规划问题。根据题目要求，要求第五年末的最大利润，则建立线性规划模型，在LINDO中编程求得第五年末的最大利润为万元。第一年投资项目有1，2，3，4，5，6，投资额分别为，，，，，万元；第二年投资项目有1，2，7，投资额分别为，，万元；第三年投资项目有1，2，8，投资额分别为，，万元；第四年投资项目有1，2，3，4，投资额分别为，，，万元；第五年投资项目有1，2，投资额分别为，万元。

问题二是在问题一的基础上，增加了约束条件（考虑项目间的影响）的组合投资问题。建立非线性规划模型，在LINGO中求解得到第五年末的最大利润为万元。第一年投资项目有1，2，3，4，投资额分别为，，，万元；第二年投资项目有1，2，5，投资额分别为，，

万元；第三年投资项目有1，2，6，投资额分别为，，万元；第四年投资项目有1，2，3，4，投资额分别为，，，万元；第五年投资项目有1，2，投资额分别为，万元。问题三在问题二的基础上考虑投资风险，要求风险最小，收益最大，是一双目标函数问题，求解过程中假设投资者能承受的最大风险度，进而将其转化为单目标问题。在LINGO中求解得到第五年末的最大利润为万元。第一年投资项目有1，2，3，4，6投资额分别为，，，，万元；第二年投资项目有1，2，3，5，6投资额分别为，，，，万元；第三年投资项目有1，2，3，4，6，投资额分别为，，，，万元；第四年投资项目有1，2，3，投资额分别为，，万元；第五年投资项目有1，2，投资额分别为，万元。关键词：线性规划非线性规划LINGO风险1、问题重述由题意知，现有一笔20亿的资金作为未来5年的投资资金，不是将其投资于一个项目上，而是有8个项目可供选择投资，并要求：项目1、项目2每年初投资，当年年末回收本利（本金和利润）；项目3、项目4每年初投资，要到第二年末才可回收本利；项目5、项目6每年初投资，要到第三年末才可回收本利；项目7只能在第二年年初投资，到第五年末回收本利；项目8只能在第三年年初投资，到第五年末回收本利。1.公司财务分析人员的实验数据，求怎样安排投资，使得第五年末的利润最大，也即是五年累计的利润最大？2.考虑各项目投资的相互影响的同时又考虑了其他的因素：项目5的投资额固定，为500万，可重复投资；对投资项目1，公司管理层争取到一笔资金捐赠，若在项目1中投资超过20000万，则同时可获得该笔投资金额的1%的捐赠，用于当年对各项目的投资。每年对各个项目投资的到期利润率各不相同且受到某些项目同时投资的影响，如同时对项目3和项目4投资时的到期利润率与项目3和项目4独立投资不同。所以应在模型一中加以更多的限制来求解第五年末所得最大利润。3.本题考虑投资风险，并用这笔资金投资若干种项目时，总体风险可用所投资的项目中最大的一个风险来度量，来求如何投资，使得总体风险最小，第五年末的利润最大。其它约束条件与二问相同。2、条件假设1.假设市场经济在五年内基本稳定。2.无交易费和投资费用等的费用开支。3.假设在五年内产生的利润可作为下一年的投资资金。4.对问题一：（1）假设不考虑各投资项目间的影响以及存在的风险。（2）假设在五年内各投资项目的到期利润率不变。5.对问题二：（1）假设不考虑投资风险。（2）假设仍然考虑一问条件，如项目3、项目4每年初投资，要到第二年末才可回收本利。6.对问题三：（1）某些项目单独投资或共同投资的风险损失率（标准差）每年基本相同。（2）假设仍然考虑一问条件，如项目3、项目4每年初投资，要到第二年末才可回收本利。（3）投资者能承受的最大风险度。3、符号说明下面将会用到以下符号：----第五年末所得的利润。----第年末回收的本利。----每年年初的可用来投资的资金。----第年初对第个项目的投资金额。----问题一中第个项目的预计到期利润率（）。----第个项目的投资上限。-----问题二中各项目单独投资时，第年第个项目的到期利润率。-----问题二中某些两个项目同时投资时，第年第个项目的到期利润率。-----问题二中五六八项目同时投资时的到期利润率。-----问题二中实际采用的第年第个项目的到期利润率。-----问题二中第一项目获得的捐赠资金。-----问题二中第年项目五可以重复投资的次数。-----问题三中的总体投资风险。-----问题三中实际采用的风险损失率。-----问题三中第个项目单独投资时的风险损失率。-----问题三中某些项目同时投资时的风险损失率。-----问题三中投资者能够承受的最大风险度。4、问题分析题目背景：随着市场经济的发展，越来越多的人把目光转移到投资上。为了获得最大的利益，组合投资的风险与收益成为投资者必须考虑的问题。投资者在考虑投资项目的预期收益率的同时，也要考虑投资项目存在的风险。如何使利润最大化，风险最小化是投资者首要考虑的问题。下面是对该问题的分析与解答。在分析解答之前给出以下定义：预期收益率：预期收益率也称为期望收益率，是指如果事件不发生的话可以预计到的收益率。本题中到期收益率与之类似，即到期利润率是指对某项目的一次投资中，到期回收利润与本金的比值。风险：风险可以用收益的方差（或标准差）来进行衡量：方差越大，则认为风险越大；方差越小，则认为风险越小。在一定的假设下，有收益的方差（或标准差）来衡量风险确实是合适的。风险损失率和风险一样也可以用收益的方差（或标准差）来进行衡量。1.题一，根据题意，在不考虑各项投资之间的相互影响以及投资存在的风险情况下，求第五年末的最大利润，即五年内利润的和的最大值。则第五年末的最大利润就等于五年中各项投资项目的金额与该项目的到期利润率的乘积之和。还应考虑的限制条件为：限制条件1：每年可用来投资的最大金额。第一年为20亿元。限制条件2：对每项项目投资的最大金额。2.题二,根据题意,在考虑各项投资之间的相互影响且不考虑在投资中的风险情况下，求第五年末的最大利润，即五年内利润的和的最大值。首先，应根据附表数据求得各年对各项目的单独投资的到期的利润率，以及各年对某些项目同时投资的到期利润率，如同时对项目5、项目6和项目8投资的到期利润率与它们单独投资时的到期利润率不同，应分情况考虑，即它们是否同时投资。然后，对投资项目1应单独考虑，因为当项目一投资大于20000万时，可以获得1%的捐赠，这是我们必须考虑的。其次，项目5的投资额固定，为500万，可重复投资。所以应考虑项目5在五年内的投资次数。限制条件1：每年可用来投资的最大金额。限制条件2：对每项项目投资的最大金额。限制条件3：同时投资时的到期利润率不同。3.题三,根据题意考虑各投资项目的风险情况下，求第五年末的最大利润，即五年内利润的和的最大值，并且使得风险最小。此问题为一双目标规划问题。首先，应该把总的风险表示出来，即总体风险可用所投资的项目中最大的一个风险来度量。风险可以用收益的方差或标准差来衡量。其次，在考虑风险的基础上来求解如何组合投资使得风险最小而利润最大。限制条件1：每年可用来投资的最大金额。限制条件2：对每项项目投资的最大金额。限制条件3：同时投资时的到期利润率不同。限制条件4：同时投资与非同时投资时的风险损失率（标准差）不同。5、模型建立问题一：不考虑投资风险和各投资项目间的相互影响，建立线形规划模型求解。（1）目标函数：第五年末所得利润，即五年内各项目产生的总利润（2）约束条件1：每年年初可用来投资的金额应大于等于每年年初投资各项目的总额：第年年初可用来投资的资金等于第年初未投资的资金加上第年末回收的本利。第一年初可用来投资的资金第一年末回收第一年投资中一二项目的本利第二年初可用来投资的资金第二年末回收第一年三四项目和第二年一二项目的本利第三年初可用来投资的资金第三年末回收第一年五六项目、第二年三四项目和第三年一二项目的本利第四年初可用来投资的资金第四年末回收第二年五六项目、第三年三四项目和第四年一二项目的本利第五年初可用来投资的资金第五年末回收第二年七项目、第三年五六八项目、第四年三四项目、第五年一二项目的本利约束条件2：每项项目在投资期间不能超过项目最大金额的限制第一二项目每年均可以投资，可以投五次：第三四项目每年初投资，第二年末才可回收本利，可投资四次：第五六项目每年初投资，第三年末才可回收本利，可投资三次：第七项目第二年初投资，到第五年末回收本利，可投资一次：第八项目第三年初投资，到第五年末回收本利，可投资一次：所以可以建立线形规划模型，利用LINGO软件或LINGDO软件求解。问题二：不考虑投资风险时，建立非线性规划模型求解。根据题目中表二、表三分别求得各投资项目独立投资时的投资额及到期利润率（见表一）以及一些投资项目同时投资时的投资额及到期利润（见表二）。项目12345678到期利润率20082009201020112012表一.各投资项目独立投资时的到期利润率项目同时投资项目3、4同时投资项目5、6同时投资项目5、6、83456568到期利润率20082009201020112012表二.一些投资项目同时投资时到期利润率（2）目标函数：第五年末所得利润，即五年内各项目产生的总利润（项目单独投资时，某些项目同时投资时）（3）约束条件1：某些项目同时投资时的到期利润率。1）当万元时，第年可得捐赠资金，作为第年初的投资资金，当万元时，第年可得捐赠资金。2）当三四项目同时投资时，，此时，否则。3）同理：当五六项目同时投资时，，此时，否则。4）当第三年初五六八项目同时投资时，，此时，否则。5）项目五为固定投资500万且可以重复投资，，。约束条件2：每年年初可用来投资的金额应大于等于每年年初投资各项目的总额：第一年初可用来投资的资金第一年末回收第一年投资中一二项目的本利第二年初可用来投资的资金第二年末回收第一年三四项目和第二年一二项目的本利第三年初可用来投资的资金第三年末回收第一年五六项目、第二年三四项目和第三年一二项目的本利第四年初可用来投资的资金第四年末回收第二年五六项目、第三年三四项目和第四年一二项目的本利第五年初可用来投资的资金第五年末回收第二年七项目、第三年五六八项目、第四年三四项目、第五年一二项目的本利约束条件2：每项项目在投资期间不能超过项目最大金额的限制第一二项目每年均可以投资，可以投五次：第三四项目每年初投资，第二年末才可回收本利，可投资四次：第五六项目每年初投资，第三年末才可回收本利，可投资三次：第七项目第二年初投资，到第五年末回收本利，可投资一次：第八项目第三年初投资，到第五年末回收本利，可投资一次：所以可以建立非线性规划模型，利用LINGO软件或LINDO软件求解。问题三：考虑投资风险的情况下，求第五年末的最大利润，并使风险最小。为此建立双目标规划，但为计算简便，通过一定的假设条件将其转化为单目标规划问题。根据题目，我们用预计到期收益率的标准差来衡量风险损失率。根据各投资项目独立投资时的到期利润率（表一）和一些投资项目同时投资时到期利润率（表二），利用EXCEL中的STDEV函数，求得各项目单独投资时的风险损失率（表三）以及某些项目同时投资的风险损失率（表四）：项目1项目2项目3项目4项目5项目6项目7项目8标准差表三.各项目单独投资时的风险损失率项目项目3、4影响项目5、6影响项目5、6、8影响项目3项目4项目5项目6项目5项目6项目8标准差表四.某些项目同时投资时的风险损失率在这里我们定义项目风险度=项目风险损失率*项目投资额/投资资金总额。则可以得到目标函数：风险最小利润最大为了简化模型，我们给定投资者能承受的最大风险，则将双目标函数转化为单目标函数。也就是说：在满足投资者能承受的最大风险的情况下，如何使收益最大。目标函数：约束条件：约束条件1：与问题二中约束条件完全一样，这里不再重复。约束条件2：总体投资风险不能超过投资者能承受的最大风险则项目的风险度应小于投资者能承受的最大风险。即6模型求解问题一：根据上面的分析和建立的模型知：模型化解:实际在本题中可以使计算简便。由以上分析并在LINDO中编程（源程序见附件一）得到第五年末所得利润的最大值为万元。各年的投资项目见下表（单位：万元）：第一年第二年第三年第四年第五年项目一项目二项目三00--项目四00--项目五000--项目六000--项目七--------项目八--------由上表可知：第一年投资项目有1，2，3，4，5，6，投资额分别为，，，，，万元；第二年投资项目有1，2，7，投资额分别为，，万元；第三年投资项目有1，2，8，投资额分别为，，万元；第四年投资项目有1，2，3，4，投资额分别为，，，万元；第五年投资项目有1，2，投资额分别为，万元。问题二：根据上面的分析和建立的模型知：由以上分析并在LINGO中编程（源程序见附件二）得到第五年末所得利润的最大值为万元。各年的投资项目见下表（单位：万元）：第一年第二年第三年第四年第五年项目一项目二项目三00--项目四00--项目五00----项目六00----项目七--0------项目八----0----由上表可知：第一年投资项目有1，2，3，4，投资额分别为，，，万元；第二年投资项目有1，2，5，投资额分别为，，万元；第三年投资项目有1，2，6，投资额分别为，，万元；第四年投资项目有1，2，3，4，投资额分别为，，，万元；第五年投资项目有1，2，投资额分别为，万元。问题三：根据上面的分析和建立的模型知：由以上分析并在LINGO中编程（源程序见附件三）得到第五年末所得利润的最大值为万元。各年的投资项目见下表（单位：万元）：第一年第二年第三年第四年第五年项目一项目二项目三--项目四00--项目五00----项目六----项目七--0------项目八----0----由上表可知：第一年投资项目有1，2，3，4，6投资额分别为，，，，万元；第二年投资项目有1，2，3，5，6投资额分别为，，，，万元；第三年投资项目有1，2，3，4，6，投资额分别为，，，，万元；第四年投资项目有1，2，3，投资额分别为，，万元；第五年投资项目有1，2，投资额分别为，万元。7、模型检验与评价本文均采用规划模型实现了组合投资的收益和风险问题的优化投资方案。问题一：问题一是一典型的线性规划问题，在不考虑投资项目间的影响和投资风险时，不难得到目标函数和约束条件，在LINDO中很快得到全局最优解。问题二：问题二在问题一的基础上，把投资项目间的影响考虑了进来，增加了约束条件。由于各项目各年的收益率不同，增加了求解模型的难度。且将模型变得非线性化。在本模型中用LINGO的if选择语句实现其在组合投资中对个项目是否同时投资的选择，在一定程度上实现了非线性模型的建立,并借助第一问的约束条件，在LINGO中编程，求得局部最优解。问题三：问题三在以上两问的基础上，又把投资风险考虑进来，要求在风险最小的情况下建立模型求得投资方案以获得最大利润，为双目标规划模型，但在求解上有一定的难度，于是在此转化为单目标规划模型。即假设投资者能承受的最大风险度，这样将双目标问题转化为与二问类似的问题，并且投资越分散说明投资风险越小。进而得到各年的投资计划，从投资计划中看出，该投资计划相对比一二问的投资项目分散，这说明该模型的假设还是比较合理的。当改变假设的最大风险度时，第五年末的最大利润也发生相应的变化。时，最大利润；时，最大利润；时，最大利润；由上面的数据分析可知，投资者能承受的最大风险度越大，所得的利润就越大。但这还是有一定的局限性，对此还可以考虑以下方案：（1）在投资者要求的最低利润条件下，来求风险的最小值。即给定一个最小利润，在以此为约束的条件下来求风险的最小值，这样也能在一定程度上将双目标函数优化为单目标函数。（2）采用加权法，对风险和投资利润加于权重因子构造出目标函数，再以一定的约束条件以及权重因子的约束为条件，用LINGO软件编程求解相应的投资方案。8、参考文献[1]韩中庚。数学建模方法及其应用。北京：高等教育出版社，2006.[2]谢金星，薛毅。优化建模与LINDO/LINGO软件。北京：清华大学出版社，2006.9、附录附源程序一：（LINDO中求解）max+++++++++++++++++++++++++STx11<60000x21<60000x31<60000x41<60000x51<60000x12<30000x22<30000x32<30000x42<30000x52<30000x23+x13<40000x33+x23<40000x43+x33<40000x24+x14<30000x34+x24<30000x44+x34<30000x25+x15+x35<30000x26+x16+x36<20000x27<40000x38<30000x11+x12+x13+x14+x15+x16<200000x21+x22+x23+x24+x25+x26+附源程序二：（LINGO中求解）max=*x11+*x12+b13*x13+b14*x14+b15*x15+b16*x16+*x21+*x22+b23*x23+b24*x24+b25*x25+b26*x26+*x27+*x31+*x32+b33*x33+b34*x34+b35*x35+b36*x36+b38*x38+*x41+*x42+b43*x43+b44*x44+*x51+*x52;x15=500*n1;x25=500*n2;x35=500*n3;b13=@if(x13*x14#EQ#0,,;b14=@if(x13*x14#EQ#0,,;b15=@if(x15*x16#EQ#0,,;b16=@if(x15*x16#EQ#0,,;b23=@if(x23*x24#EQ#0,,;b24=@if(x23*x24#EQ#0,,;b25=@if(x25*x26#EQ#0,,;b26=@if(x25*x26#EQ#0,,;b33=@if(x33*x34#EQ#0,,;b34=@if(x33*x34#EQ#0,,;b35=@if(x35*x36#EQ#0,,@if(x38#EQ#0,,);b36=@if(x35*x36#EQ#0,,@if(x38#EQ#0,,);b38=@if(x35*x36*x38#NE#0,,;b43=@if(x43*x44#EQ#0,,;b44=@if(x43*x44#EQ#0,,;x11<60000;x21<60000;x31<60000;x41<60000;x51<60000;x12<60000;x22<60000;x32<60000;x42<60000;x52<60000;x23+x13<35000;x33+x23<35000;x43+x33<35000;x24+x14<30000;x34+x24<30000;x44+x34<30000;x25+x15+x35<30000;x26+x16+x36<40000;x27<30000;x38<30000;g11=@if(x11#LT#20000,0,x11*;g21=@if(x21#LT#20000,0,x21*;g31=@if(x31#LT#20000,0,x31*;g41=@if(x41#LT#20000,0,x41*;g51=@if(x51#LT#20000,0,x51*;x11+x12+x13+x14+x15+x16-g11<200000;x21+x22+x23+x24+x25+x26+**x12+x13+x14+x15+x16-g21<200000;x31+x32+x33+x34+x35+x36+****x12-b13*x13-b14*x14+x23+x24+x15+x16+x25+x26+x27-g31<200000;x41+x42+x43+******x12-b23*x23-b24*x24-b13*x13-b14*x14-b15*x15-b16*x16+x33+x34+x25+x26+x35+x36+x27+x38-g41<200000;x51+********x12-x33*b33-x34*b34-b23*x23-b24*x24-b13*x13-b14*x14-x25*b25-x26*b26-x15*b15-x16*b16+x43+x44+x35+x36+x27+x38-g51<200000;@gin(n1);@gin(n2);@gin(n3);@free(b13);@free(b23);@free(b33);@free(b43);@free(b14);@free(b24);@free(b34);@free(b44);@free(b15);@free(b25);@free(b35);@free(b16);@free(b26);@free(b36);@free(b38);@free(b27);end附源程序三：（LINGO中求解）max=*x11+*x12+b13*x13+b14*x14+b15*x15+b16*x16+*x21+*x22+b23*x23+b24*x24+b25*x25+b26*x26+*x27+*x31+*x32+b33*x33+b34*x34+b35*x35+b36*x36+b38*x38+*x41+*x42+b43*x43+b44*x44+*x51+*x52;y0=200000;x15=500*n1;x25=500*n2;x35=500*n3;b13=@if(x13*x14#EQ#0,,;b14=@if(x13*x14#EQ#0,,;b15=@if(x15*x16#EQ#0,,;b16=@if(x15*x16#EQ#0,,;b23=@if(x23*x24#EQ#0,,;b24=@if(x23*x24#EQ#0,,;b25=@if(x25*x26#EQ#0,,;b26=@if(x25*x26#EQ#0,,;b33=@if(x33*x34#EQ#0,,;b34=@if(x33*x34#EQ#0,,;b35=@if(x35*x36#EQ#0,,@if(x38#EQ#0,,);b36=@if(x35*x36#EQ#0,,@if(x38#EQ#0,,);b38=@if(x35*x36*x38#NE#0,,;b43=@if(x43*x44#EQ#0,,;b44=@if(x43*x44#EQ#0,,;o13=@if(x13*x14#EQ#0,,;o23=@if(x23*x24#EQ#0,,;o33=@if(x33*x34#EQ#0,,;o43=@if(x43*x44#EQ#0,,;o14=@if(x13*x14#EQ#0,,;o24=@if(x23*x24#EQ#0,,;o34=@if(x33*x34#EQ#0,,;o44=@if(x43*x44#EQ#0,,;o15=@if(x15*x16#EQ#0,,;o25=@if(x25*x26#EQ#0,,;o35=@if(x35*x36#EQ#0,,@if(x38#EQ#0,,);o16=@if(x15*x16#EQ#0,,;o26=@if(x25*x26#EQ#0,,;o36=@if(x35*x36#EQ#0,,@if(x38#EQ#0,,);o38=@if(x35*x36*x38#NE#0,,;o11=;o21=;o31=;o41=;o51=;o12=;o22=;o32=;o42=;o52=;o27=;a=;o11*x11/(y0+g11)<a;o21*x21/(y0+*x11+*x12-x13-x14-x15-x16+g21)<a;o31*x31/(y0+*x21+*x22+*x11+*x12+b13*x13+b14*x14-x23-x24-x15-x16-x25-x26-x27+g31)<a;o41*x41/(y0+*x31+*x32+*x21+*x22+*x11+*x12+b23*x23+b24*x24+b13*x13+b14*x14+b15*x15+b16*x16-x33-x34-x25-x26-x35-x36-x27-x38+g41)<a;o51*x51/(y0+*x41+*x42+*x31+*x32+*x21+*x22+*x11+*x12+x33*b33+x34*b34+b23*x23+b24*x24+b13*x13+b14*x14+x25*b25+x26*b26+x15*b15+x16*b16-x43-x44-x35-x36-x27-x38+g51)<a;o12*x12/(y0+g11)<a;o22*x22/(y0+*x11+*x12-x13-x14-x15-x16+g21)<a;o32*x32/(y0+*x21+*x22+*x11+*x12+b13*x13+b14*x14-x23-x24-x15-x16-x25-x26-x27+g31)<a;o42*x42/(y0+*x31+*x32+*x21+*x22+*x11+*x12+b23*x23+b24*x24+b13*x13+b14*x14+b15*x15+b16*x16-x33-x34-x25-x26-x35-x36-x27-x38+g41)<a;o52*x52/(y0+*x41+*x42+*x31+*x32+*x21+*x22+*x11+*x12+x33*b33+x34*b34+b23*x23+b24*x24+b13*x13+b14*x14+x25*b25+x26*b26+x15*b15+x16*b16-x43-x44-x35-x36-x27-x38+g51)<a;o13*x13/(y0+g11)<a;o23*x23/(y0+*x11+*x12-x13-x14-x15-x16+g21)<a;o33*x33/(y0+*x21+*x22+*x11+*x12+b13*x13+b14*x14-x23-x24-x15-x16-x25-x26-x27+g31)<a;o43*x43/(y0+*x31+*x32+*x21+*x22+*x11+*x12+b23*x23+b24*x24+b13*x13+b14*x14+b15*x15+b16*x16-x33-x34-x25-x26-x35-x36-x27-x38+g41)<a;o14*x14/(y0+g11)<a;o24*x24/(y0+*x11+*x12-x13-x14-x15-x16+g21)<a;o34*x34/(y0+*x21+*x22+*x11+*x12+b13*x13+b14*x14-x23-x24-x15-x16-x25-x26-x27+g31)<a;o44*x44/(y0+*x31+*x32+*x21+*x22+*x11+*x12+b23*x23+b24*x24+b13*x13+b14*x14+b15*x15+b16*x16-x33-x34-x25-x26-x35-x36-x27-x38+g41)<a;o15*x15/(y0+g11)<a;o25*x25/(y0+*x11+*