电路分析：电路方程的矩阵形式

重点1、关联矩阵A、基本回路矩阵B、基本割集矩阵Q三种矩阵的列写2、熟练掌握基于矩阵的大规模电路分析方法的列写难点 理解大规模电路分析方法对电路的计算机辅助分析与设计的作用第十五章电路方程的矩阵形式本章划分小节：15-1基本概念15-2A-Aa，B-Bf，Q-Qf基本矩阵15-3回路电流方程的矩阵形式15-4结点电压方程的矩阵形式15-5割集电压方程的矩阵形式本章作业：15-115-415-715-915-1015-1315-1515-1基本概念一、网络的图二、树、基本回路与基本割集一、图论1、网络图论网络图论是图论在电路理论中的应用。主要通过电路的结构及其连接性质，对电路进行分析计算。2、支路Branch

每一个电路元件或多个电路元件的某种组合用一条线段代替，称为支路。一、网络的图3、节点Node

每一个电路元件的端点，或多个电路元件相连接的点，称为节点。在电网络理论中，通常节点是指支路的汇集点。一、网络的图4、路径Path

从一个结点沿某些支路移动到另一结点，则这些支路就是一条路径。一、网络的图5、回路Loop

一条路径的起点、终点重合所形成的不重复的闭合路径。一、网络的图6、网孔Mesh

平面图中自然的“孔”，它限定的区域内不再有支路。一、网络的图7、网络的图Graph

节点和支路的集合，称为图，每一条支路的两端都连接到相应的节点上。一、网络的图8、连通图和有向图当图G中的任意两个节点之间至少存在一条路径时，称为连通图。有向图是指各个支路规定了参考方向的图反之，称为无向图。一、网络的图二、树、基本回路与基本割集1、树一个连通图G的树T是指G的一个连通子图，它包含G的全部节点，但不含任何回路。构成树的支路称为“树支”，图G中不属于T的其他支路称为“连支”，其集合称为“树余”。２、基本回路

只含一条连支的回路称为单连支回路，它们的总和为一组独立回路，称为“基本回路”。树一经选定，基本回路唯一地确定下来。

1

a

c2

b3

de

4

f３、割集连通图G的割集是指其一个支路子集：1、将该支路子集中的全部支路移去（保留节点）后，余下的图彼此分离且各自连通；2、保留该支路子集中的任意一条支路时，图仍然连通；４、基本割集

只含一条树支的割集称为单树支割集，它们的总和称为“基本割集”。15-2

关联矩阵Ａ、回路矩阵Ｂ

与割集矩阵Ｑ１-1、增广关联矩阵Aa

Aa定义：行对应图的节点，列对应图的各个支路。Aa=[aik]中：当节点i与支路bk无关联时，aik=0当节点i与支路bk关联，且支路电流的参考方向离开节点时，aik=+1当节点i与支路bk关联，且支路电流的参考方向指向节点时，aik=-1A定义：除去增广关联矩阵中的任意一行，矩阵仍然具有同样的信息，足以表征定向图中节点对支路的关系。将这种矩阵称为降阶关联矩阵或简称为关联矩阵，记为A。1-2、降阶关联矩阵A2-1、回路矩阵BB定义：行对应图的回路li

，列对应图的各个支路bj，是(b-n+1)b的矩阵。B=[bij]中：当支路j不在回路i内，bij=0;当支路j在回路i内，且支路方向与回路方向相同，bij=+1;当支路j在回路i内，方向不同，bij=-1。b1b2b3b4b5b6

4b

3b

b5

2l

1b

1l

6b

2b

3l

b7列写规则：先选择一棵树T;

列写时，将矩阵的列按先连支后树支且连支与树支要分开排列的方式;Bf定义：如果B是由以下列方式列写出来的称为基本回路矩阵Bf。2-2、基本回路矩阵Bf3.由于基本回路为单连支回路，所以选连支方向为回路方向;4.连支和对应的回路要为相同的行列号;5.Bf的左半边为E单位矩阵。Bf列写规则：3、割集矩阵Q与基本割集矩阵Qf

Q定义：行对应基本割集，列对应图的各个支路。Qa=[qij]中：当支路j不在割集i内，qij=0当支路j在割集i内，且支路方向与割集方向相同，qij=+1当支路j在割集i内，且支路方向与割集方向不同，qij=-1Qf定义：如果选定一组单树支割集为一组独立割集，称为基本割集矩阵。列写规则：先选择一棵树T;

列写时，将矩阵的列按先树支后连支且连支与树支要分开排列的方式;3.由于基本割集为单树支割集，所以选树支方向为割集方向;4.树支和对应的割集要为相同的行列号;5.Qf的左半边为E单位矩阵。Qf列写规则：电路方程的矩阵形式1）、KCL定律：2）、KVL定律：15-3支路的矩阵形式(VCR)其中：skIskUkΙ-+kZ+kU-其中：15-4回路电流方程的矩阵形式一、复合支路模型:(记忆)k电路图中第k条支路有向图中第k条支路skIskUkΙ-+kZ+kU-P342图15-7skIskUkΙ-+kZ+kU-ΙskVCR:其中:VCR:二、方法推导KCL方程：KVL方程：VCR方程：——回路阻抗矩阵——支路阻抗矩阵——回路电压源矩阵三、Z矩阵的列写：含有互感M的电路：skIskUkΙ

–+Lk+–kUMkjkjMkj第k条支路:1、位置-----两个互感电感所在的位置分别作双下标，即Zkj和Zjk

同时成对出现在Z中；2、大小-----Zkj=Zkj

±jωM。符号看支路方向和同名端相对位置是相同还是相反。（增强/削弱）kjZkj三、Z矩阵的列写：含有受控源的电路：P345图15-8skIskUkΙ

–+kZ+–kU

–+dkUVCR:skIskUkΙ

–+kZ+–kU

–+dkU根据Udk的控制量不同：1、Udk=μkjIej(CCVS)Zkj=μkj根据Udk的控制量不同：2、Udk=αkjUej(VCVS)Zkj=-αkjZj15-5结点电压方程的矩阵形式一、Z矩阵的列写1、无受控源,无MＹ-----支路导纳矩阵,且为一个对角阵!一、Z矩阵的列写2、有电感M支路导纳矩阵Y不再是一个对角阵,其主对角线为各支路导纳,而非对角线上有关于主对角线对称的互感导纳出现!位置-----如第i与j支路间有互感存在,则在Yij和Yij的位置上成对出现!大小-----±1/jωM,符号看同名端是增强还是削弱！3、有受控源支路导纳矩阵Y不再为一个对角阵；新导纳位置----控制量所在支路j决定列号；受控源所在支路k决定行号；则其出现在Ykj位置上;新导纳大小----如：Idk=gkjUej则Ykj=gkj，如：Idk=βgkjIej则Ykj=βkjYj一、Z矩阵的列写二、节点电压法的矩阵形式的推导KCL方程：KVL方程：VCR方程：------结点导纳矩阵-----流入该结点的电流源值例题:写出节点电压的矩阵形式例题:写出节点电压的矩阵形式独立电压源向量：例题:写出节点电压的矩阵形式独立电流源向量：例题:写出节点电压的矩阵形式节点电压的矩阵形式：15-6割集电压方程的矩阵形式一、树支电压的概念:树支电压：指选定做树支上的支路电压。341562341562二、Q与KCL的关系：1、