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文档简介

第一章向量与坐标§1.1向量的概念§1.2向量的加法§1.3数量乘向量§1.4向量的线性关系与分解§1.5标架与坐标§1.6向量在轴上的射影§1.7两向量的数量积§1.8两向量的向量积§1.9三向量的混合积§1.10三向量的双重向量积§1.5标架与坐标

定义1.5.1空间中一个定点,连同三个不共面的有序向量的全体,叫做空间中的一个标架,记.若,那么叫做笛卡尔标架;两两相互垂直的笛卡尔标架叫做笛卡尔直角标架,简称直角标架;一般情况下,叫做仿射标架.

注:右手标架和左手标架定义1.5.2式中的叫做向量关于标架的坐标或称为分量,记做或.

定义1.5.3对于取定了标架的空间中任意点,向量叫做点的向径,或称点的位置向量,向径关于标架的坐标叫做点关于标架的坐标,记做或.注:点与三数组的一一对应的关系称为坐标系,为坐标原点,为坐标向量.类似有左右手坐标系等概念.

约定:用(其中为单位向量)表示直角坐标系,一般为右手直角坐标系.过点沿三坐标向量的方向引三条轴就构成空间坐标系.这样就有坐标系的原点,坐标轴,坐标平面的概念.对于平面有类似的概念.卦限及卦限内的点的坐标符号Ⅶ面面面ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ向量的坐标运算(1)向量的坐标表示证明:设向量的始点与终点分别为与,则定理向量的坐标等于其终点的坐标减去其始点的坐标.所以即(2)向量的线性运算证明:设,,则所以定理两向量和的坐标等于两向量对应坐标的和.

定理数乘向量等于这个数与向量的对应坐标的积.证明:设,则所以(3)共线和共面的条件定理1.5.4两个非零向量和共线对应坐标成比例,即证明:由定理1.4.1知共线,则,得推论三点共线的充分必要条件是所以

定理1.5.5三个非零向量共面充要条件是证明:由定理1.4.7知共面存在不全为0的数,使得.由此可得因为不全为0,所以.

推论四点共面或证明:四点共面共面,即(4)线段的定比分点定义对于有向线段,如果点满足,则称点是把有向线段分成定比的分点.当时,在之间;当时,在外部.

定理1.5.6设有向线段的始点终点,那么分成定比的分点的坐标是证明:由于,即所以推论设,,则中点坐标为

例(重心坐标公式)已知三角形的三顶点为,求的重心坐标.解:如图,设中线为

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