初等代数研究(绪言第一章数)完整课件

第一部分：初等代数研究赣南师范学院数计学院曾建国2010年8月《中学数学研究》1第一部分：初等代数研究赣南师范学院数计学院曾建国《中学绪言问题：1.自然数是如何产生的？2.为什么1+1=2？3.为什么“负负得正”？4.什么是解析式、代数式？二者有无差别？5.两直线平行，则同位角相等。为什么？……作为未来的中学数学教师，我们必须掌握中学课本以外的一些知识,如：①数学知识的历史背景②对有关知识的更深层次的理解教给学生一杯水，教师必须先有一桶水！2绪言问题：教给学生一杯水，教师必须先有一桶水！2绪言§1关于代数学发展的几个历史观点

0、代数学简史代数学起源可以追溯到公元前1800年左右，代数学奠基于16世纪和17世纪初。公元820年前后时，花剌子模（穆罕默德·伊本·穆斯·阿里·花剌子模-数学家和天文学家）的著作《Kitabaljabrw’al-mugabala》，意思是“整理”和“对比”。到14世纪，aljabr演变成了algebra，这就是拉丁文的“代数学”。其中Algoritmi是花拉子模的拉丁译名，现代术语“算法”（Algorithm）即源于此。1859年清代数学家李善兰译algebra为“代数学”。3绪言§1关于代数学发展的几个历史观点0、代数学简史3绪言§1关于代数学发展的几个历史观点

0、代数学简史

初等代数的形成高等代数的创建抽象代数的产生和深化用字母代替数、方程的出现《九章算术》中正负数的使用（公元1世纪）丢番图采用符号（公元250年）~16世纪方程理论的形成（矩阵、行列式）16~18世纪近世代数研究各种代数结构19世纪~至今4绪言§1关于代数学发展的几个历史观点0、代数学简史绪言§1关于代数学发展的几个历史观点

一、代数学是研究字母运算的科学（~18世纪后期）

韦达是第一个系统使用字母，从而使符号化代数实现的数学家。

1768年，欧拉发表《对代数的完整的介绍》，系统地论述了方程理论和其它代数知识，表明初等代数已经完全形成。认为代数学是研究字母运算的科学，这是代数学的原始观点，这种观点一直延续到18世纪后期。5绪言§1关于代数学发展的几个历史观点一、代数学是研究二、代数学是研究方程理论的科学（18世纪后期~19世纪后期）三、代数学是研究各种代数结构的科学（19世纪~）§1关于代数学发展的几个历史观点代数学以研究方程理论为中心，包括矩阵、行列式、二次型在内的高等代数内容。19世纪，在伽罗瓦群以后，代数的研究内容从原来以研究代数方程的理论为中心，转变到研究定义在任意性质的元素集上的代数运算规律和性质。绪言6二、代数学是研究方程理论的科学三、代数学是研究各种代数结构的第一章数§1数系的扩展§2整数的整除性7第一章数7数的概念的形成大约是在30万年以前Ⅰ最早是手指计数。十进制、五进制多发于此Ⅱ石子计数。但计数的石子堆很难长久保存信息Ⅲ结绳计数、刻痕计数1、数的形成和发展§1数系的扩展8数的概念的形成大约是在30万年以前Ⅰ最早是手指计数。十进制、1937年，捷克出土的幼狼胫骨上边有55道刻痕。距今约3万年。日本琉球群岛的结绳。§1数系的扩展1、数的形成和发展台湾高山族的结绳（现藏中央民族大学）中国古籍上记有伏羲“结绳而治”。91937年，捷克出土的幼狼胫骨上边有55道刻痕。距今约3万年一、数的发展简史§1数系的扩展1、数的形成和发展正整数正有理数非负有理数实数复数添负数添零添正分数有理数添无理数添虚数从历史上看，人类对于数的认识，大体上是按照如下顺序进行的:10一、数的发展简史§1数系的扩展1、数的形成和发展正整数正一、数的发展简史§1数系的扩展1、数的形成和发展以下是按时间顺序列举的世界上几种古老文明的早期记数系统：11一、数的发展简史§1数系的扩展1、数的形成和发展以下是按世界上几种古老文明的早期记数系统：12世界上几种古老文明的早期记数系统：12世界上几种古老文明的早期记数系统：13世界上几种古老文明的早期记数系统：13一、数的发展简史§1数系的扩展2、数的扩展方法与扩展原则不同于历史上人们认识数的过程中数集扩充的顺序，“数系”的逻辑扩展应该如下所示的顺序:数系（numbersystem）——通常是指对加法和乘法运算封闭的数集。主要有自然数系、整数系、有理数系、实数系和复数系。14一、数的发展简史§1数系的扩展2、数的扩展方法与扩展原则一、数的发展简史§1数系的扩展1、数的形成和发展数系（集）扩充一般有两种方法：

一是添加元素法。二是构造法。所谓构造法指的是先用旧数集A中的数为材料构成一个新数集B，然后指出新数集B中某一真子集与A相等（严格讲，是B的某个真子集与A同构），复数系的建立就是采用这一种方法.

15一、数的发展简史§1数系的扩展1、数的形成和发展数系（集一、数的发展简史§1数系的扩展1、数的形成和发展数集扩充应遵循的原则：从数集A扩充为数集B，必须遵循下列原则：

（1）A⊂B，即A是B的真子集；（2）A中已定义的元素之间的基本关系和运算，在B中也有相应的定义，并且B中的定义，对于B的子集A中的元素来说，与原来A中的定义一致；（3）在A中不是总能施行的某种运算，在B中总能施行（在A中无解的某类方程，在集B中有解）；（4）B是满足上述三个原则的A的所有扩充中的最小扩充.

16一、数的发展简史§1数系的扩展1、数的形成和发展数集扩充二、正整数理论§1数系的扩展

尽管早在30万年以前，人们可能已经开始形成了数的概念，但自然数理论的完善、即把自然数作为严格的逻辑系统，采用公理化的方法来研究，却直到19世纪末才得以实现。17二、正整数理论§1数系的扩展尽管早在30建立自然数（正整数）理论的几种方案①康托尔的集合论为基础建立自然数基数理论②皮亚诺以公理法为基础建立自然数序数理论③罗素等人试图用纯逻辑学建立自然数理论二、正整数理论§1数系的扩展18建立自然数（正整数）理论的几种方案①康托尔的集合论为基础建立§1数系的扩展二、正整数理论1、正整数的基数理论1874年康托尔创立了集合论，在此基础上，建立起自然数（正整数）的基数理论：（1）集合等价

如果集合A和B的元素之间可以建立一一对应的关系，就称集合A和B等价，记作A～B．集合的等价具有性质：

①A～A（反身性）②A～B，则B～A（对称性）③A～B，B～C，A～C（传递性）（小学如何教：认识“2”）19§1数系的扩展二、正整数理论1、正整数的基数理论1874§1数系的扩展（2）集合的基数（势）彼此等价的所有集合的共同特征的标志叫做基数．（3）正整数的定义定义1.非空有限集合的基数叫做正整数。空集的基数叫做0，集合的A的基数记作|A|。1、正整数的基数理论一切正整数组成的集合，叫做正整数集，记为N*。幼儿园的小朋友如何认识“1”和“2”？老师其实就是这样教的．20§1数系的扩展（2）集合的基数（势）1、正整数的基数理论（4）正整数的顺序定义2

设非空有限集合A和B的基数分别a和b．（1）若A～B，则称a等于b，记作a=b（2）若A⊃A′～B，则称a大于b，记作a＞b（图示）

（3）若A～B′⊂B

，则称a小于b，记作a＜b

定理1

自然数顺序关系具有下列性质：⑴设a，b∈N*当且仅当a＜b时，b＞a(对逆性)⑵设a，b∈N*若a＜b且b＜c，则a＜c(传递性)⑶对任意a，b∈N*，在a＜b，a=b，a＞b中有且只有一个成立（正整数的全序性（三歧性））

§1数系的扩展1、正整数的基数理论自然数的相等关系具有反身性、对称性、传递性．自然数的相等关系是一个等价关系．21（4）正整数的顺序§1数系的扩展1、正整数的基数理论自然（5）正整数的加法运算

定义3

设A和B是非空有限集，A∩B=∅，

|A|=a，|B|=b，如果A∪B=C，则称|C|=c为a与b的和，记作a+b=c．其中a，b叫做加数，求和的运算叫做加法.

定理2

自然数的加法满足交换律、结合律和加法单调律（1）a+b=b+a交换律（2）（a+b)+c=a+(b+c)结合律（3）a>ba+c>b+ca=ba+c=b+c加法单调律a<ba+c<b+c证明：§1数系的扩展1、正整数的基数理论22（5）正整数的加法运算§1数系的扩展1、正整数的基数理论（6）正整数的乘法运算定义4

设有b个互不相交的等价有限集Ai，它们的基数都等于a，即|Ai|=a(i=1,2,…，b)，A1∪

A2∪

…∪Ab

=C，则称|C|=

c为a与b的积，记作a·b=c(或a×b=c)，其中a，b叫做乘数或因数，求积的运算叫做乘法．由定义可知：

求正整数a乘以b的积，就是求b个相同加数a的和。

定理3

自然数的乘法满足交换律、结合律、乘法对加法的分配律和乘法单调律．

§1数系的扩展1、正整数的基数理论23（6）正整数的乘法运算§1数系的扩展1、正整数的基数理论§1数系的扩展1、正整数的基数理论设a、b、c∈N*

交换律

a·b=b·a结合律

a·(b·c)=(a·b)·c左分配律c·(a+b)=c·a+c·b右分配律(a+b)·c=a·c+b·c

乘法单调律a>b则a·c>b·ca=b则a·c=b·ca<b则a·c<b·c

24§1数系的扩展1、正整数的基数理论设a、b、c∈（7）正整数的减法和除法定义5

设a、b∈N*

，如果存在一个正整数c，使得b+c=a，那么c叫做a与b的差，记作a-b=c。a叫做被减数，b叫做减数。求两数差的运算叫做减法．定义6设a、b∈N*，如果存在一个正整数c，使得b·c=a，那么c叫做a除以b的商，记作a÷b=c（或a/b=c）。a叫做被除数，b叫做除数。求两数商的运算叫做除法。§1数系的扩展1、正整数的基数理论25（7）正整数的减法和除法§1数系的扩展1、正整数的基数理

基数理论刻画了自然数在数量上的意义，但没有很好地揭示自然数在顺序上的意义。也没有给出加法、乘法运算的具体方法。序数理论弥补了这一缺陷。自然数的序数理论，是意大利数学家皮亚诺在他的《算术原理新方法》（1889年）中提出的．他用公理化方法从顺序着眼揭示了自然数的意义，并给出自然数加、乘运算的归纳定义.§1数系的扩展2、正整数的序数理论二、正整数理论26基数理论刻画了自然数在数量上的意义，但•

（一）皮亚诺公理定义7

一个非空集合N*的元素叫做自然数,如果N*的元素之间有一个基本关系“后继”(b后继于a,记为b=a′)，并满足下列公理：（1）1∈N*。即N*中存在一个元素1；（2）∀a∈N*，有a′≠1。即1不是任何元素的后继；（3）∀a∈N*，存在a′∈

N*；（4）若a′=b′（a，b∈N*），则a=b。即N*中任一元素不会是两个不同元素的后继。§1数系的扩展2、正整数的序数理论27•（一）皮亚诺公理§1数系的扩展2、正整数的序数理论2§1数系的扩展2、正整数的序数理论（一）皮亚诺公理（5）（归纳公理）如果M是N*的一个子集，且①1∈M；②若a∈M，则a′∈M.

那么，M=N*.有了这组公理就把正整数集里的元素完全定下来了。从1出发，记1′=2，2′=3，…，如此继续下去，就得到正整数数列：1，2，3，4，…28§1数系的扩展2、正整数的序数理论（一）皮亚诺公理28定义8.正整数的加法是指这样的对应：对于每一对正整数a、b，有且仅有一个正整数（记为a+b）与之对应，且具有下列性质：（1）对任意a∈N*，a+1=a′，（2）对任意a、b∈N*，a+b′=（a+b）′，其中a、b称为加数，a+b称为a、b的和.

（二）正整数的加法2、正整数的序数理论§1数系的扩展29定义8.正整数的加法是指这样的对应：对于每一对正整数a、b，（三）正整数的乘法定义9正整数的乘法是指这样的对应：对于每一对正整数a、b，有且仅有一个正整数（记为a·b）与之对应，且具有下述性质：（1）a·1=a；（2）a·b′=a·b+a.这里a、b称为乘数，a·b称为a、b的积.2、正整数的序数理论§1数系的扩展30（三）正整数的乘法定义9正整数的乘法是指这样的对应：对于每（四）正整数的减法与除法的定义减法设a、b∈N*，如果存在x∈N，使b+x=a，则称x为a减去b的差，记作a-b，a叫做被减数，b叫做减数，求两数差的运算叫做减法.除法设a、b∈N*，如果存在x∈N*，使b•x=a，则称x是a除以b的商，记作a/b，a叫做被除数，b叫做除数，求两数商的运算叫做除法.2、正整数的序数理论§1数系的扩展31（四）正整数的减法与除法的定义减法设a、b∈N*，如果存（五）、正整数的顺序关系定义10

设a、b∈N*，如果存在一个正整数k，使a=b+k，就说a大于b，记为a＞b；或说b小于a，记为b＜a.2、正整数的序数理论§1数系的扩展32（五）、正整数的顺序关系定义10设a、b∈N*，如果存在2、正整数的序数理论根据正整数的序数理论同样可以证明正整数的加法、乘法满足的各种运算律。例1.设a、b、c∈N*，证明（a+b）+c=a+（b+c）.例2.设a、b、c∈N*，证明：a·b=b·a§1数系的扩展332、正整数的序数理论根据正整数的序数理论同样可以证明正整数的性质1

在正整数集中，消去律成立.即（1）若a+c=b+c，则a=b；（2）若a·c=b·c，则a=b.性质2

在正整数集N*中，1是最小数，即对于任何正整数a，a≥1.3、正整数的性质§1数系的扩展34性质1在正整数集中，消去律成立.即3、正整数的性质§1性质3（正整数的离散性）任两个相邻的正整数a与a′之间，不存在正整数b，使得a′＞b＞a.性质4（阿基米德性质）对任意正整数a、b，必有正整数n，使na＞b.

3、正整数的性质性质5（最小数原理）N*的任何一个非空子集必有最小数.§1数系的扩展35性质3（正整数的离散性）任两个相邻的正整数a与a′之间，不存（1）、第一数学归纳法设f（n）是一个与正整数有关的命题，如果1°f（l）成立；2°若f（k）成立，则f（k′）成立.

那么，f（n）对一切正整数n都成立.4、数学归纳法§1数系的扩展36（1）、第一数学归纳法设f（n）是一个与正整数有关的命题设f（n）是一个与正整数有关的命题，如果

1°f（1）成立；

2°假设f（m）对所有m<k（k＞1）的正整数m都成立，那么，f（k）也成立.那么，f（n）对一切正整数n都成立.（2）、第二数学归纳法4、数学归纳法§1数系的扩展37设f（n）是一个与正整数有关的命题，如果（2）、4、数学归纳法§1数系的扩展384、数学归纳法§1数系的扩展384、数学归纳法§1数系的扩展394、数学归纳法§1数系的扩展394、数学归纳法§1数系的扩展404、数学归纳法§1数系的扩展404、数学归纳法§1数系的扩展414、数学归纳法§1数系的扩展41{0}与正整数集的并集，叫做自然数集，记作N。5、自然数集§1数系的扩展在N中，关于顺序和四则运算须作补充定义：（1）0小于任何正整数；（2）0+a=a+0=a(a∈N）；（3）a·0=0·a=0(a∈N）.§1作业：42{0}与正整数集的并集，叫做自然数集，记作N。5、自然数集§三、有理数集及其性质§1数系的扩展为解决算术数集（非负有理数）对于减法不封闭（方程a+x=0不是总有解）这一矛盾，作如下引入一种新数的尝试——引入“负数”：设a为非负有理数，方程a+x=0的解表示为x=0-a，简记为x=-a。当a>0时，称-a为“负数”，即

a+(-a)=0(a>0）；

1、负数的引入43三、有理数集及其性质§1数系的扩展为解决算术三、有理数集及其性质§1数系的扩展（1）加法运算（2）乘法运算“负负得正”的一种解释——（3）顺序关系

1、负数的引入44三、有理数集及其性质§1数系的扩展（1）加法运算1、负数三、有理数集及其性质§1数系的扩展根据上面的尝试、采用上述添元素法的设想可行，以下按照公理化方法给出有理数的概念。

2、有理数的概念3、有理数的顺序4、有理数的运算45三、有理数集及其性质§1数系的扩展根据上面的尝试、采用上三、有理数集及其性质5、有理数的性质46三、有理数集及其性质5、有理数的性质46三、有理数集及其性质§1数系的扩展数系——对某种运算封闭的数集。数环——至少含有一个数的数集，对加法、减法、乘法封闭的数系。数域——对除法封闭的数环。即对加减乘除运算都封闭的数系。47三、有理数集及其性质§1数系的扩展数系——对某种运算封闭三、有理数集及其性质§1数系的扩展性质1：有理数集是数域，且是最小的数域。注：Q、R、C都是数域。性质2：有理数域是一个有序域。性质3：对于a、b∈Q，有

（1）a>b⇔a-b>0；（2）a=b⇔a-b=0；（3）a<b⇔a-b<0.48三、有理数集及其性质§1数系的扩展性质1：有理数集是数域三、有理数集及其性质§1数系的扩展性质4（阿基米德性质）：对于两个正有理数a，b，存在一个正整数n，使得na>b。性质5（有理数的稠密性）：在任意两个相异的有理数之间，总存在无限多个有理数。性质6：有理数集是一个可数集.可数集——可与正整数列“1，2，3，…”建立一一对应的集合。49三、有理数集及其性质§1数系的扩展性质4（阿基米德性质）四、实数集及其性质§1数系的扩展性质1：实数集是一个数域。性质2：实数集是有序域。性质3：（阿基米德性质）：对于两个正实数a，b，存在一个正整数n，使得na>b。性质4：实数集具有稠密性。性质5：实数集具有连续性。性质6：实数集是不可数集.50四、实数集及其性质§1数系的扩展性质1：实数集是一个数域四、复数集及其性质§1数系的扩展性质1：复数集是一个数域。性质2：复数集不是有序域。性质3：复数集内，开n次方运算总是可实施的，任何非零复数有n个不相等的n次方根。性质4：复数集具有稠密性。复平面上任一区域里，都有无限多个复数。性质5：复数在复平面上的分布是连续的。51四、复数集及其性质§1数系的扩展性质1：复数集是一个数域韦达（1540-1603）

法国数学家，年青时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会议员，在西班牙的战争中曾为政府破译敌军密码。韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的多种有理变换，发现了方程根与分数的关系，韦达在欧洲被尊称为“代数学之父”。1579年，韦达出版《应用于三角形的数学定律》。/ency/people/017.htm52韦达（1540-1603）用字母来表示已知数、未知数及其乘/ency/people/014.htm欧拉(Euler，1707－1783)，瑞士数学家及自然科学家53/ency/peo康托尔简介康托尔，德国人。1846年3月3日出生于俄国彼得堡。康托尔曾先后就学于苏黎世大学、哥廷根大学、法兰克福大学和柏林大学，主要学习数学、物理、哲学等课程。1867年获得柏林大学的哲学博士学位。康托尔是集合论的创始人。为了将有穷集合的元素个数的概念推广到无穷集合，他以一一对应为原则，提出了集合等价的概念。康托尔在深入研究集合的势这个概念时，引进了基数与序数的理论。54康托尔简介康托尔，德国人。1846年3月3日出54A～B′⊂B则

a＜bA⊃A′～B则a＞b55A～B′⊂B则a＜b作业习题一、3.（1）、（2）4.（1）56作业56§2整数的整除性一．整数的整除性的概念、性质1.整除的定义：对于两个整数a、b(b≠0），若存在一个整数q，使得a=bq①成立，则称b整除a，或a被b整除，记作b|a。a叫做b的倍数，b叫做a的约数（因数）。若满足①的整数q不存在，就称a不能被b整除，或b不能整除a，记作b

∤a，如2|6，4∤

6。57§2整数的整除性一．整数的整除性的概念、性质若§2整数的整除性2.性质性质1若b|a⇔b除a的余数为0。性质2若a|b，b|a，则|a|=|b|。性质3若c|b，b|a，则c|a。（传递性）性质4

若m|a，m|b，则m|（ka+lb），其中k、l为任意整数。

推论1

若m|ai（i=1,2,…,n），则m|∑kiai。

推论2

等式中除某一项外，其他所有项都能被m整除，则这一项也能被m整除。性质5

若m为质数，且m|ab

，则m|a，或m|b。58§2整数的整除性58§2整数的整除性二、素数与合数定义：一个大于1的数，如果它的正因数只有1和它本身，这样的数叫做质数（或素数），否则叫做合数。三、最大公约数与最小公倍数定理18：若(a,b)=d，则必存在整数x，y，使ax+by=d推论

若(a,b)=1，则必存在整数x，y，使ax+by=1.反之也成立，即有(a,b)=1⇔存在整数x，y，使ax+by=1.定理19

若a|bm，且（a，b）=1，则a|m；推论

若a|m，b|m，且（a，b）=1，则ab|m；59§2整数的整除性二、素数与合数59§2整数的整除性习题:P7230~34;38,3934.设p是大于3的素数，求证：24|（p2-1)整除的性质：若a|m，b|m，且（a，b）=1，则ab|m；60§2整数的整除性习题:P7260§2整数的整除性六、同余61§2整数的整除性六、同余61§2整数的整除性六、同余62§2整数的整除性六、同余62§2整数的整除性六、同余63§2整数的整除性六、同余63§2整数的整除性六、同余64§2整数的整除性六、同余64§2整数的整除性六、同余例.今天是星期四，则101000天后是星期几？习题:P7344.求证：5353-3333能被10整除。65§2整数的整除性六、同余例.今天是星期四，则101000作业习题：P73第34题

66作业66第一部分：初等代数研究赣南师范学院数计学院曾建国2010年8月《中学数学研究》67第一部分：初等代数研究赣南师范学院数计学院曾建国《中学绪言问题：1.自然数是如何产生的？2.为什么1+1=2？3.为什么“负负得正”？4.什么是解析式、代数式？二者有无差别？5.两直线平行，则同位角相等。为什么？……作为未来的中学数学教师，我们必须掌握中学课本以外的一些知识,如：①数学知识的历史背景②对有关知识的更深层次的理解教给学生一杯水，教师必须先有一桶水！68绪言问题：教给学生一杯水，教师必须先有一桶水！2绪言§1关于代数学发展的几个历史观点

0、代数学简史代数学起源可以追溯到公元前1800年左右，代数学奠基于16世纪和17世纪初。公元820年前后时，花剌子模（穆罕默德·伊本·穆斯·阿里·花剌子模-数学家和天文学家）的著作《Kitabaljabrw’al-mugabala》，意思是“整理”和“对比”。到14世纪，aljabr演变成了algebra，这就是拉丁文的“代数学”。其中Algoritmi是花拉子模的拉丁译名，现代术语“算法”（Algorithm）即源于此。1859年清代数学家李善兰译algebra为“代数学”。69绪言§1关于代数学发展的几个历史观点0、代数学简史3绪言§1关于代数学发展的几个历史观点

0、代数学简史

初等代数的形成高等代数的创建抽象代数的产生和深化用字母代替数、方程的出现《九章算术》中正负数的使用（公元1世纪）丢番图采用符号（公元250年）~16世纪方程理论的形成（矩阵、行列式）16~18世纪近世代数研究各种代数结构19世纪~至今70绪言§1关于代数学发展的几个历史观点0、代数学简史绪言§1关于代数学发展的几个历史观点

一、代数学是研究字母运算的科学（~18世纪后期）

韦达是第一个系统使用字母，从而使符号化代数实现的数学家。

1768年，欧拉发表《对代数的完整的介绍》，系统地论述了方程理论和其它代数知识，表明初等代数已经完全形成。认为代数学是研究字母运算的科学，这是代数学的原始观点，这种观点一直延续到18世纪后期。71绪言§1关于代数学发展的几个历史观点一、代数学是研究二、代数学是研究方程理论的科学（18世纪后期~19世纪后期）三、代数学是研究各种代数结构的科学（19世纪~）§1关于代数学发展的几个历史观点代数学以研究方程理论为中心，包括矩阵、行列式、二次型在内的高等代数内容。19世纪，在伽罗瓦群以后，代数的研究内容从原来以研究代数方程的理论为中心，转变到研究定义在任意性质的元素集上的代数运算规律和性质。绪言72二、代数学是研究方程理论的科学三、代数学是研究各种代数结构的第一章数§1数系的扩展§2整数的整除性73第一章数7数的概念的形成大约是在30万年以前Ⅰ最早是手指计数。十进制、五进制多发于此Ⅱ石子计数。但计数的石子堆很难长久保存信息Ⅲ结绳计数、刻痕计数1、数的形成和发展§1数系的扩展74数的概念的形成大约是在30万年以前Ⅰ最早是手指计数。十进制、1937年，捷克出土的幼狼胫骨上边有55道刻痕。距今约3万年。日本琉球群岛的结绳。§1数系的扩展1、数的形成和发展台湾高山族的结绳（现藏中央民族大学）中国古籍上记有伏羲“结绳而治”。751937年，捷克出土的幼狼胫骨上边有55道刻痕。距今约3万年一、数的发展简史§1数系的扩展1、数的形成和发展正整数正有理数非负有理数实数复数添负数添零添正分数有理数添无理数添虚数从历史上看，人类对于数的认识，大体上是按照如下顺序进行的:76一、数的发展简史§1数系的扩展1、数的形成和发展正整数正一、数的发展简史§1数系的扩展1、数的形成和发展以下是按时间顺序列举的世界上几种古老文明的早期记数系统：77一、数的发展简史§1数系的扩展1、数的形成和发展以下是按世界上几种古老文明的早期记数系统：78世界上几种古老文明的早期记数系统：12世界上几种古老文明的早期记数系统：79世界上几种古老文明的早期记数系统：13一、数的发展简史§1数系的扩展2、数的扩展方法与扩展原则不同于历史上人们认识数的过程中数集扩充的顺序，“数系”的逻辑扩展应该如下所示的顺序:数系（numbersystem）——通常是指对加法和乘法运算封闭的数集。主要有自然数系、整数系、有理数系、实数系和复数系。80一、数的发展简史§1数系的扩展2、数的扩展方法与扩展原则一、数的发展简史§1数系的扩展1、数的形成和发展数系（集）扩充一般有两种方法：

一是添加元素法。二是构造法。所谓构造法指的是先用旧数集A中的数为材料构成一个新数集B，然后指出新数集B中某一真子集与A相等（严格讲，是B的某个真子集与A同构），复数系的建立就是采用这一种方法.

81一、数的发展简史§1数系的扩展1、数的形成和发展数系（集一、数的发展简史§1数系的扩展1、数的形成和发展数集扩充应遵循的原则：从数集A扩充为数集B，必须遵循下列原则：

（1）A⊂B，即A是B的真子集；（2）A中已定义的元素之间的基本关系和运算，在B中也有相应的定义，并且B中的定义，对于B的子集A中的元素来说，与原来A中的定义一致；（3）在A中不是总能施行的某种运算，在B中总能施行（在A中无解的某类方程，在集B中有解）；（4）B是满足上述三个原则的A的所有扩充中的最小扩充.

82一、数的发展简史§1数系的扩展1、数的形成和发展数集扩充二、正整数理论§1数系的扩展

尽管早在30万年以前，人们可能已经开始形成了数的概念，但自然数理论的完善、即把自然数作为严格的逻辑系统，采用公理化的方法来研究，却直到19世纪末才得以实现。83二、正整数理论§1数系的扩展尽管早在30建立自然数（正整数）理论的几种方案①康托尔的集合论为基础建立自然数基数理论②皮亚诺以公理法为基础建立自然数序数理论③罗素等人试图用纯逻辑学建立自然数理论二、正整数理论§1数系的扩展84建立自然数（正整数）理论的几种方案①康托尔的集合论为基础建立§1数系的扩展二、正整数理论1、正整数的基数理论1874年康托尔创立了集合论，在此基础上，建立起自然数（正整数）的基数理论：（1）集合等价

如果集合A和B的元素之间可以建立一一对应的关系，就称集合A和B等价，记作A～B．集合的等价具有性质：

①A～A（反身性）②A～B，则B～A（对称性）③A～B，B～C，A～C（传递性）（小学如何教：认识“2”）85§1数系的扩展二、正整数理论1、正整数的基数理论1874§1数系的扩展（2）集合的基数（势）彼此等价的所有集合的共同特征的标志叫做基数．（3）正整数的定义定义1.非空有限集合的基数叫做正整数。空集的基数叫做0，集合的A的基数记作|A|。1、正整数的基数理论一切正整数组成的集合，叫做正整数集，记为N*。幼儿园的小朋友如何认识“1”和“2”？老师其实就是这样教的．86§1数系的扩展（2）集合的基数（势）1、正整数的基数理论（4）正整数的顺序定义2

设非空有限集合A和B的基数分别a和b．（1）若A～B，则称a等于b，记作a=b（2）若A⊃A′～B，则称a大于b，记作a＞b（图示）

（3）若A～B′⊂B

，则称a小于b，记作a＜b

定理1

自然数顺序关系具有下列性质：⑴设a，b∈N*当且仅当a＜b时，b＞a(对逆性)⑵设a，b∈N*若a＜b且b＜c，则a＜c(传递性)⑶对任意a，b∈N*，在a＜b，a=b，a＞b中有且只有一个成立（正整数的全序性（三歧性））

§1数系的扩展1、正整数的基数理论自然数的相等关系具有反身性、对称性、传递性．自然数的相等关系是一个等价关系．87（4）正整数的顺序§1数系的扩展1、正整数的基数理论自然（5）正整数的加法运算

定义3

设A和B是非空有限集，A∩B=∅，

|A|=a，|B|=b，如果A∪B=C，则称|C|=c为a与b的和，记作a+b=c．其中a，b叫做加数，求和的运算叫做加法.

定理2

自然数的加法满足交换律、结合律和加法单调律（1）a+b=b+a交换律（2）（a+b)+c=a+(b+c)结合律（3）a>ba+c>b+ca=ba+c=b+c加法单调律a<ba+c<b+c证明：§1数系的扩展1、正整数的基数理论88（5）正整数的加法运算§1数系的扩展1、正整数的基数理论（6）正整数的乘法运算定义4

设有b个互不相交的等价有限集Ai，它们的基数都等于a，即|Ai|=a(i=1,2,…，b)，A1∪

A2∪

…∪Ab

=C，则称|C|=

c为a与b的积，记作a·b=c(或a×b=c)，其中a，b叫做乘数或因数，求积的运算叫做乘法．由定义可知：

求正整数a乘以b的积，就是求b个相同加数a的和。

定理3

自然数的乘法满足交换律、结合律、乘法对加法的分配律和乘法单调律．

§1数系的扩展1、正整数的基数理论89（6）正整数的乘法运算§1数系的扩展1、正整数的基数理论§1数系的扩展1、正整数的基数理论设a、b、c∈N*

交换律

a·b=b·a结合律

a·(b·c)=(a·b)·c左分配律c·(a+b)=c·a+c·b右分配律(a+b)·c=a·c+b·c

乘法单调律a>b则a·c>b·ca=b则a·c=b·ca<b则a·c<b·c

90§1数系的扩展1、正整数的基数理论设a、b、c∈（7）正整数的减法和除法定义5

设a、b∈N*

，如果存在一个正整数c，使得b+c=a，那么c叫做a与b的差，记作a-b=c。a叫做被减数，b叫做减数。求两数差的运算叫做减法．定义6设a、b∈N*，如果存在一个正整数c，使得b·c=a，那么c叫做a除以b的商，记作a÷b=c（或a/b=c）。a叫做被除数，b叫做除数。求两数商的运算叫做除法。§1数系的扩展1、正整数的基数理论91（7）正整数的减法和除法§1数系的扩展1、正整数的基数理

基数理论刻画了自然数在数量上的意义，但没有很好地揭示自然数在顺序上的意义。也没有给出加法、乘法运算的具体方法。序数理论弥补了这一缺陷。自然数的序数理论，是意大利数学家皮亚诺在他的《算术原理新方法》（1889年）中提出的．他用公理化方法从顺序着眼揭示了自然数的意义，并给出自然数加、乘运算的归纳定义.§1数系的扩展2、正整数的序数理论二、正整数理论92基数理论刻画了自然数在数量上的意义，但•

（一）皮亚诺公理定义7

一个非空集合N*的元素叫做自然数,如果N*的元素之间有一个基本关系“后继”(b后继于a,记为b=a′)，并满足下列公理：（1）1∈N*。即N*中存在一个元素1；（2）∀a∈N*，有a′≠1。即1不是任何元素的后继；（3）∀a∈N*，存在a′∈

N*；（4）若a′=b′（a，b∈N*），则a=b。即N*中任一元素不会是两个不同元素的后继。§1数系的扩展2、正整数的序数理论93•（一）皮亚诺公理§1数系的扩展2、正整数的序数理论2§1数系的扩展2、正整数的序数理论（一）皮亚诺公理（5）（归纳公理）如果M是N*的一个子集，且①1∈M；②若a∈M，则a′∈M.

那么，M=N*.有了这组公理就把正整数集里的元素完全定下来了。从1出发，记1′=2，2′=3，…，如此继续下去，就得到正整数数列：1，2，3，4，…94§1数系的扩展2、正整数的序数理论（一）皮亚诺公理28定义8.正整数的加法是指这样的对应：对于每一对正整数a、b，有且仅有一个正整数（记为a+b）与之对应，且具有下列性质：（1）对任意a∈N*，a+1=a′，（2）对任意a、b∈N*，a+b′=（a+b）′，其中a、b称为加数，a+b称为a、b的和.

（二）正整数的加法2、正整数的序数理论§1数系的扩展95定义8.正整数的加法是指这样的对应：对于每一对正整数a、b，（三）正整数的乘法定义9正整数的乘法是指这样的对应：对于每一对正整数a、b，有且仅有一个正整数（记为a·b）与之对应，且具有下述性质：（1）a·1=a；（2）a·b′=a·b+a.这里a、b称为乘数，a·b称为a、b的积.2、正整数的序数理论§1数系的扩展96（三）正整数的乘法定义9正整数的乘法是指这样的对应：对于每（四）正整数的减法与除法的定义减法设a、b∈N*，如果存在x∈N，使b+x=a，则称x为a减去b的差，记作a-b，a叫做被减数，b叫做减数，求两数差的运算叫做减法.除法设a、b∈N*，如果存在x∈N*，使b•x=a，则称x是a除以b的商，记作a/b，a叫做被除数，b叫做除数，求两数商的运算叫做除法.2、正整数的序数理论§1数系的扩展97（四）正整数的减法与除法的定义减法设a、b∈N*，如果存（五）、正整数的顺序关系定义10

设a、b∈N*，如果存在一个正整数k，使a=b+k，就说a大于b，记为a＞b；或说b小于a，记为b＜a.2、正整数的序数理论§1数系的扩展98（五）、正整数的顺序关系定义10设a、b∈N*，如果存在2、正整数的序数理论根据正整数的序数理论同样可以证明正整数的加法、乘法满足的各种运算律。例1.设a、b、c∈N*，证明（a+b）+c=a+（b+c）.例2.设a、b、c∈N*，证明：a·b=b·a§1数系的扩展992、正整数的序数理论根据正整数的序数理论同样可以证明正整数的性质1

在正整数集中，消去律成立.即（1）若a+c=b+c，则a=b；（2）若a·c=b·c，则a=b.性质2

在正整数集N*中，1是最小数，即对于任何正整数a，a≥1.3、正整数的性质§1数系的扩展100性质1在正整数集中，消去律成立.即3、正整数的性质§1性质3（正整数的离散性）任两个相邻的正整数a与a′之间，不存在正整数b，使得a′＞b＞a.性质4（阿基米德性质）对任意正整数a、b，必有正整数n，使na＞b.

3、正整数的性质性质5（最小数原理）N*的任何一个非空子集必有最小数.§1数系的扩展101性质3（正整数的离散性）任两个相邻的正整数a与a′之间，不存（1）、第一数学归纳法设f（n）是一个与正整数有关的命题，如果1°f（l）成立；2°若f（k）成立，则f（k′）成立.

那么，f（n）对一切正整数n都成立.4、数学归纳法§1数系的扩展102（1）、第一数学归纳法设f（n）是一个与正整数有关的命题设f（n）是一个与正整数有关的命题，如果

1°f（1）成立；

2°假设f（m）对所有m<k（k＞1）的正整数m都成立，那么，f（k）也成立.那么，f（n）对一切正整数n都成立.（2）、第二数学归纳法4、数学归纳法§1数系的扩展103设f（n）是一个与正整数有关的命题，如果（2）、4、数学归纳法§1数系的扩展1044、数学归纳法§1数系的扩展384、数学归纳法§1数系的扩展1054、数学归纳法§1数系的扩展394、数学归纳法§1数系的扩展1064、数学归纳法§1数系的扩展404、数学归纳法§1数系的扩展1074、数学归纳法§1数系的扩展41{0}与正整数集的并集，叫做自然数集，记作N。5、自然数集§1数系的扩展在N中，关于顺序和四则运算须作补充定义：（1）0小于任何正整数；（2）0+a=a+0=a(a∈N）；（3）a·0=0·a=0(a∈N）.§1作业：108{0}与正整数集的并集，叫做自然数集，记作N。5、自然数集§三、有理数集及其性质§1数系的扩展为解决算术数集（非负有理数）对于减法不封闭（方程a+x=0不是总有解）这一矛盾，作如下引入一种新数的尝试——引入“负数”：设a为非负有理数，方程a+x=0的解表示为x=0-a，简记为x=-a。当a>0时，称-a为“负数”，即

a+(-a)=0(a>0）；

1、负数的引入109三、有理数集及其性质§1数系的扩展为解决算术三、有理数集及其性质§1数系的扩展（1）加法运算（2）乘法运算“负负得正”的一种解释——（3）顺序关系

1、负数的引入110三、有理数集及其性质§1数系的扩展（1）加法运算1、负数三、有理数集及其性质§1数系的扩展根据上面的尝试、采用上述添元素法的设想可行，以下按照公理化方法给出有理数的概念。

2、有理数的概念3、有理数的顺序4、有理数的运算111三、有理数集及其性质§1数系的扩展根据上面的尝试、采用上三、有理数集及其性质5、有理数的性质112三、有理数集及其性质5、有理数的性质46三、有理数集及其性质§1数系的扩展数系——对某种运算封闭的数集。数环——至少含有一个数的数集，对加法、减法、乘法封闭的数系。数域——对除法封闭的数环。即对加减乘除运算都封闭的数系。113三、有理数集及其性质§1数系的扩展数系——对某种运算封闭三、有理数集及其性质§1数系的扩展性质1：有理数集是数域，且是最小的数域。注：Q、R、C都是数域。性质2：有理数域是一个有序域。性质3：对于a、b∈Q，有

（1）a>b⇔a-b>0；（2）a=b⇔a-b=0；（3）a<b⇔a-b<0.114三、有理数集及其性质§1数系的扩展性质1：有理数集是数域三、有理数集及其性质§1数系的扩展性质4（阿基米德性质）：对于两个正有理数a，b，存在一个正整数n，使得na>b。性质5（有理数的稠密性）：在任意两个相异的有理数之间，总存在无限多个有理数。性质6：有理数集是一个可数集.可数集——可与正整数列“1，2，3，…”建立一一对应的集合。115三、有理数集及其性质§1数系的扩展性质4（阿基米德性质）四、实数集及其性质§1数系的扩展性质1：实数集是一个数域。性质2：实数集是有序域。性质3：（阿基米德性质）：对于两个正实数a，b，存在一个正整数n，使得na>b。性质4：实数集具有稠密性。性质5：实数集具有连续性。性质6