因素模型与套利定价理论课件

00章因素模型与套利定价理论2012年6月15日0章因素模型与套利定价理论2012年6月15日0回顾CAPM模型从经济含义角度的推导Beta的含义证券市场线（与CAL、CML的比较）Zero－BetaCAPM与多要素CAPM（了解）1回顾CAPM模型11单因素模型的提出在估算中计算量最大的部分是协方差的计算经验表明，股票收益之间的协方差一般是正的，这是因为，相同的经济力量会影响着许多公司的命运。例如：经济周期利率技术进步劳动力成本原材料……如果这些变量发生了非预期的变化，则整个股票市场的收益率也会相应地发生非预期变化。2单因素模型的提出在估算中计算量最大的部分是协方差的计算22单因素模型的提出如果我们能够把所有公司外部的因素组成一个宏观经济指示器，假定它影响整个证券市场。同时，我们进一步假定除了这个通常的影响之外，股票收益的所有剩余的不确定性都是公司特有的。这就意味着，证券之间的相关性除了通常的经济因素之外，没有其他来源了。3单因素模型的提出如果我们能够把所有公司外部的因素组成一个宏观3单因素模型的提出而内部特有的因素对公司股价的影响的期望值是零，即随着投资的分散化，这类因素的影响是逐渐减少的。在上述假设下，Sharpe提出了单因素模型在这一模型中，是证券持有期期初的期望收益；是在证券持有期间非预期的宏观事件对证券收益的影响；是非预期的公司特有事件的影响。其中，和的期望值都为零，原因就在于他们都是非预期事件的影响，根据定义其平均值必然为零。这样以来，我们就简要地将宏观经济因素与公司特有因素区分开来。4单因素模型的提出而内部特有的因素对公司股价的影响的期望值是零4单因素模型的提出我们还可以得出进一步的结论，即不同企业对宏观经济事件有不同的敏感度。因此，如果我们记宏观因素的不可预测成分为F，记证券i对宏观经济事件的敏感度为，则证券i受宏观因素的影响为。这样以来，（1）式就变为：该式被称为股票收益的单因素模型。5单因素模型的提出我们还可以得出进一步的结论，即不同企业对宏观5单指数模型的提出然而，上述模型中存在一个问题，那就是影响股票价格的宏观因素是不确定的，而且各宏观因素的权重也无法确定。为了解决这一问题，Sharpe采用一个股票指数代替单因素模型中的宏观影响因素。这就有了单指数模型：股票收益公式为6单指数模型的提出然而，上述模型中存在一个问题，那就是影响股票6单指数模型的提出其中，是股票超过无风险收益的超额收益（也可以看做是风险溢价）；是当市场超额收益率为零时的期望收益；是股票i对宏观因素的敏感程度；是市场收益超过无风险收益的超额部分合在一起的含义是影响股票超额收益的宏观因素，也称作系统因素；是影响股票超额收益的公司特有因素，也称作非系统因素。7单指数模型的提出其中，是股票超过无风险收益7单指数模型的提出是当市场超额收益率为零时的期望收益，它的值通常很小，也很稳定，一定时期可以看成是一个常量。是影响股票超额收益的公司特有因素，是非系统因素，是不确定的，其期望值为零。真正影响股票期望收益的是要估计的只有股票收益对市场收益敏感程度。由于是股票超过无风险收益的超额收益，投资者对其的要求与无风险收益的水平有关。8单指数模型的提出是当市场超额收益率为零时的期望收益，它8单指数模型的意义减少了估算工作量。股票i的收益率的方差为：非系统风险独立于系统风险，因此和的协方差为0。是每个公司特有的，它们之间不相关。而两个股票超额收益率与的协方差，都与市场因素有关，所以，与的协方差为9单指数模型的意义减少了估算工作量。股票i的收益率的方差为：99单指数模型的意义现在需要的估算量为：n个期望超额收益的估计，n个公司的估计，n个公司特有方差的估计和1个宏观经济因素的方差的估计。现在的估算量是3n+1。再看沪深1400种股票的例子，现在只需要估算4201个数据了。10单指数模型的意义现在需要的估算量为：n个期望超额收益10单指数模型的几何表达——证券特征线单指数模型可以表达为一条截距为，斜率为的斜线。坐标系的横轴为市场超额收益，纵轴为股票i的超额收益。实际中，这条斜线要利用具体数据回归得出，称作证券特征线。11单指数模型的几何表达——证券特征线单指数模型可以表达为一条截11单指数模型与CAPM模型的关系按单指数模型，股票i的收益与市场指数收益之间的协方差公式为上式所以成立，是因为由于是常数，它与所有变量的协方差都是零，且由于公司特有的非系统风险独立于系统风险，因此由此可推导出12单指数模型与CAPM模型的关系按单指数模型，股票i的收益与市12单指数模型与CAPM模型的关系在CAPM模型中，我们同样有成立。因此，单指数模型与CAPM模型的贝塔含义是相同的。CAPM模型是单指数模型的一个特例，我们对

两边取期望，有与CAPM模型相比较，可以发现，CAPM模型是所有股票阿尔法的期望值为零的取期望的单指数模型。13单指数模型与CAPM模型的关系在CAPM模型中，我们同样有13单指数模型的局限性这一模型将股票收益的不确定性简单地分为系统风险与非系统风险两部分，这与真实世界的不确定性来源是有距离的。譬如，它没有考虑行业事件，而行业事件是影响行业内许多公司，但又不会影响整个宏观经济的一些事件。14单指数模型的局限性这一模型将股票收益的不确定性简单地分为系统14多因素模型多因素模型的提出系统风险包括多种因素不同的因素对不同的股票的影响力是不同的两因素分析模型假定两个系统风险是经济周期（GDP）和利率（IR）的不确定性。单指数模型扩展成了两因素模型：例如：假定经济中有两个公司，一个是由政府定价的天燃气供应公司，一个是五星级酒店。前者对GDP较不敏感，但是对利率很敏感；后者对GDP很敏感，对利率较不敏感。这时只有两因素模型才可能较好地作出恰当的分析，单指数模型会显得较无力。15多因素模型多因素模型的提出1515多因素模型实际上影响股票收益的因素还不止两个。Fama&French(1993,JFE)的3因素模型提出的影响股价的三个因素是公司的规模、帐面价值/市值比和市场指数。Fama&French(1996,JF)提出，有三个系统性的因素影响股票收益，分别是（1）市场指数；（2）小股票比大股票多的资产组合收益;（3）高市场比率股票比低市场比率股票多的资产组合收益。即16多因素模型实际上影响股票收益的因素还不止两个。1616多因素模型Chen、RollandRoss(1986,JB)的5因素模型提出的影响股票收益的5因素为行业生产增长率IP；预期的通货膨胀率EI；非预期的通货膨胀率UI；长期公司债券对长期政府债券的超额收益CG长期政府债券对短期国库券的超额收益GB：17多因素模型Chen、RollandRoss(1986,J17套利定价理论（ArbitragePricingTheory）RossS.A.,1976,“TheArbitrageTheoryofCapitalAssetsPricing,”JournalofEconomicTheory,Dec.pp.343-362.StephenRoss于1976年提出了套利定价理论，他利用套利原理推导出市场均衡状态下资本资产定价关系，即APT。由于APT与CAPM有着一样的解释功能，而且涉及较少的假设条件，与现实更贴近，因此受到很多的关注。18套利定价理论（ArbitragePricingTheor18套利套利粗略地讲就是指投资者以零投资，在不承担任何风险的情况下，获取正收益的投资行为。套利机会可以分为两类：第一类套利是指投资组合在期初有严格负的价格，但是却能在未来提供非负的收益。第二类套利是指投资组合在期初的价格为零，但是在未来却能获得非负且不等于零的收益19套利套利粗略地讲就是指投资者以零投资，在不承担任何风险的情况19套利套利的一个简单例子假设IBM的股票既在纽约证券交易所交易，又在纳斯达克交易。如果，在纽约交易所IBM的股票卖60美元，在纳斯达克卖58美元。那么，你就可以同时在纳斯达克买进股票，在纽约卖出股票。这样，在没有资金投入的情况下，你就可以获得每股2美元的收益。20套利套利的一个简单例子2020不同证券之间的套利机会例：设有A、B、C、D四支股票，它们所面临的宏观经济形势有四种可能，各股票在四种宏观经济形势下的收益率状况及各种宏观经济形势出现的概率如下表所示：21高通胀低通胀高利率低利率高利率低利率概率（p）0.250.250.250.25A-20402060B03070-20C90-10-2070D15152336不同证券之间的套利机会例：设有A、B、C、D四支股票，它们所21不同证券之间的套利机会不同证券的价格如下：22股票现价期望收益率（％）标准差（％）相关系数ABCDA102529.581-0.15-0.290.68B102033.91-0.151-0.87-0.38C1032.548.15-0.29-0.8710.22D1022.258.580.68-0.380.221不同证券之间的套利机会不同证券的价格如下：22股票现价期望收22不同证券之间的套利机会不同证券之间的套利机会将股票A、B、C按等权重构成投资组合T，将投资组合T的可能未来收益率与股票D的可能未来收益率对比:23高通胀低通胀高利率低利率高利率低利率T23.332023.3336.67D15152336在任何一种宏观环境出现时，投资组合T的收益率都高于股票D。不同证券之间的套利机会不同证券之间的套利机会23高通胀低通胀23不同证券之间的套利机会零投资组合的收益状态24股票投资额（万元）高通胀低通胀高利率低利率高利率低利率A100-20402060B10003070-20C10090-10-2070D-300-45-45-69-108零投资组合0251512卖空D无论投资者多厌恶风险，都会利用这种优势进行套利。不同证券之间的套利机会零投资组合的收益状态24股票投资额高通24套利的几何意义以两个证券的市场为例，从几何形态上对套利进行解释：假设市场中存在两个证券1和2，它们在期初的价格分别为p1和p2。在两个证券构成的平面内，该价格就对应着平面内的一点。25如果该平面同时表示投资者在两个证券的投资金额，那么，很容易就可以得知，在通过原点并与价格向量OP相垂直（正交）的直线OQ上的点代表的都是价格等于零的投资组合；该直线右侧的点代表都是价格水平大于零的投资组合。该直线左侧的点代表都是价格水平小于零的投资组合。套利的几何意义以两个证券的市场为例，从几何形态上对套利进行解25套利的几何意义另一方面，我们假设期末时可能发生的经济状况有三种，在每种经济状况下，两个证券的收益组合如图。26如果该平面同时表示投资者在两个证券上的投资金额，那么，过原点与向量垂直的直线OA的右侧对应的点代表所有在第一种状态下获得正收益的投资组合套利的几何意义另一方面，我们假设期末时可能发生的经济状况有三26套利的几何意义对应着每个状态我们都能画出一条垂线，所有垂线右侧区域相交的部分就对应着在三种状态下收益均大于零的投资组合；折线AOB上的点则对应着在某些状态下收益为零，某些状态下收益为正的投资组合；AOB之外区域上的点所对应的投资组合总会在某些状态下出现负的收益。将以上两个图合并成一张图。给定每个证券在未来不同状态下的收益，当价格向量的方向发生变化时，阴影区域与扇形区域的相对位置就可能出现三种可能：27套利的几何意义对应着每个状态我们都能画出一条垂线，所有垂线右27套利的几何意义一是OQ的阴影部分与AOB的扇形部分除原点之外没有重合的区域。这意味着如果一个投资组合在未来每种状态下的收益都是严格大于零的，那么该投资组合的价格水平也必然大于零。换句话说，此时市场不存在套利机会。28套利的几何意义一是OQ的阴影部分与AOB的扇形部分除原点之外28套利的几何意义第二种情况是阴影区域的边界OQ与扇形区域在OA或者OB上重合，而且，除了这部分之外，二者之间没有其他交点。在这种情况下，射线OA上的点对应的投资组合价格等于零，而且在第一种状态收益等于零、在其他两种状态下收益大于零。这意味着在这种定价水平下，市场中存在第二类套利机会。29套利的几何意义第二种情况是阴影区域的边界OQ与扇形区域在OA29套利的几何意义第三种情况是阴影区域与扇形区域有重叠的情形。此时在重叠区域内的任意一点所对应的投资组合都有严格负的价格，而且在未来三种状态下都能获得正的收益。这说明市场在此时存在强套利机会。30套利的几何意义第三种情况是阴影区域与扇形区域有重叠的情形。330一价定律、价格的正定性与无套利一价定律（LawofOnePrice）是指对于任意两个投资组合，如果它们在未来每种状态下的收益都是相同的，那么这两个投资组合在当前的价格也应该相等。一价定律意味着零收益的证券其价格也必定等于零。如果这一条件不成立，那么市场中零收益的证券就可以具有任意的价格。如果我们将价格函数q(·)定义在资产的未来收益z上价格函数是严格正定的（StrictlyPositive），就是说任给一个严格大于零的收益，该收益对应的证券组合的价格都要大于零。31一价定律、价格的正定性与无套利一价定律（LawofOne31一价定律、价格的正定性与无套利定理当价格函数同时满足一价定律和严格正定性的时候，市场是无套利的。反之亦然。证明：略。32一价定律、价格的正定性与无套利定理3232套利与均衡套利与均衡的关系通过前面的分析可以看出，当套利机会出现时、投资者就会通过低买高卖赚取差价收益。这时，使套利机会存在的那些证券的定价是不合理的，因此市场上对这些证券的需求与供给就处于非均衡状态，其价格就为非均衡价格。随着套利的进行，这些证券的价格会随供需的变化而发生上升或下跌。当达到某种水平使套利机会不再存在时，套利者的套利行为就会终止，市场将处于均衡状态，各种证券的定价就处于合理水平。此时，市场不存在任何套利机会。这就是套利与均衡的关系，它是资本市场理论的一个基本论点。33套利与均衡套利与均衡的关系3333APT的基本假设证券收益率的变动是由单因素或多因素模型的变化所决定；市场中所有参与者对资产收益率有相同的信念，且都能用同一个因素模型来表示。市场中风险资产的个数远远大于系统性风险的种类数。市场中不存在套利机会。34APT的基本假设证券收益率的变动是由单因素或多因素模型的变化34套利定价模型在以上假定下，对于任意一个初始投资为零的投资组合，如果我们用wi表示投资在第i种资产上的资金在总财富中的比例，那么wi就满足（*）而该投资组合的收益则可以写成35套利定价模型在以上假定下，对于任意一个初始投资为零的投资组合35套利定价模型我们通过对wi的选择可以使投资组合满足：（1）每个资产上的投资金额在总财富中的比例都很小，即（2）投资组合中包含足够多的资产，即n足够大；（3）wi的取值能够使投资组合对所有系统性风险的敏感度都等于零。这样以来，由于不同资产特有风险之间是相互独立的，因此，由大数定理可以保证，当n足够大的时候，的加权平均值趋近于零。36套利定价模型我们通过对wi的选择可以使投资组合满足：3636套利定价模型另一方面，由于wi的选择使投资组合对所有系统性风险的敏感度都等于零，即对于任意的k，（**）因此，资产的收益率就可以写为换句话说，按照上述方法构造出的投资组合的收益就是一个确定的值，而不再是一个随机变量。由于该投资组合的初始投资为零，按照无套利的假设条件，该投资组合的收益必须等于零，即（***）37套利定价模型另一方面，由于wi的选择使投资组合对所有系统性风37套利定价模型当(*)(**)(***)同时成立时，期望收益必然能写成的线性表达式，即其中，是一些待定常数。下面我们看看这些参数的含义首先注意到是资产对第k种系统性风险的敏感度，因此，对于无风险资产而言这样以来，38套利定价模型当(*)(**)(***)同时成立时，期望收益38套利定价模型接下来，我们构造一个“纯因素”的投资组合。该投资组合对第k种系统性风险的敏感度等于1，对其他风险的敏感度等于零。这样以来，的期望收益就等于由此我们得到令，我们可以得到这就是套利定价模型的基本形式。39套利定价模型接下来，我们构造一个“纯因素”的投资组合39套利定价模型套利定价方程的图形说明（以单因素模型为例）40APTSB套利定价模型套利定价方程的图形说明（以单因素模型为例）40A40“纯因素”组合的构造在ATP的证明中，我们构造了一个特殊的投资组合，它对因素的敏感性，而对其它因素的敏感性均为0。这种投资组合被称为“纯因素”组合。那么，如何构造这种组合呢？41“纯因素”组合的构造在ATP的证明中，我们构造了一个特殊的投41“纯因素”组合的构造例：假设有两个因素影响证券的收益，影响程度（也就是证券A、B对它的敏感性）分别为42A0.40.6B0.60.4“纯因素”组合的构造例：42A0.40.6B0.60.442“纯因素”组合的构造假设投资者共有资金1元，他卖空价值2元的股票A，并将所得收入和自有资金投资于证券B。这样，，。此时，该组合受两个共同因素的影响程度分别为43“纯因素”组合的构造假设投资者共有资金1元，他卖空价值2元的43“纯因素”组合的构造此时，投资组合的收益为如果有大量的证券与A相似，投资者可以卖空；同时有大量的证券与A相似，投资者可以买入，这样就构造出了风险充分分散的组合。这时，组合收益就可以写为这样，该组合的收益就只与风险因素1有关，而且，敏感性等于1。44“纯因素”组合的构造此时，投资组合的收益为4444“纯因素”组合的构造当然，我们也可以构建一个只与风险因素2有关的组合。例如，投资者卖空2元的证券B，然后用卖空的收入与自有资金一起购买证券A。即，，。此时投资组合为：总结：构建纯因素组合可以分为两个步骤，一是先使组合中其他因素的影响系数为零，二是通过适当的借入借出资金使组合受单一因素的影响系数为1。45“纯因素”组合的构造当然，我们也可以构建一个只与风险因素2有45APT与CAPM的比较相同点：二者在理念上相似。都主张在市场达到均衡时，个别证券的预期报酬率可由无风险报酬率加上风险溢价来决定；二者都说明了风险与报酬之间的理性原则——更多的系统性风险，更高的预期报酬。当只有一个共同因素（如市场收益率）能影响证券的收益时，两者一致。46APT与CAPM的比较相同点：4646APT与CAPM的比较区别：CAPM纯粹从市场投资组合的观点来探讨风险与报酬的关系，认为经济体系中的全面性变动（即市场风险）才是影响个别证券预期报酬率的主要且惟一因素；而APT则认为不止一个经济因素会对个别证券的报酬产生影响；CAPM所借用的市场组合实际上是不存的，因此只能借用单一股价指数来评估市场风险与报酬；而APT则不需要市场组合，只要设定若干个“因素”加入模型即可用于预测。CAPM假定了投资者的风险偏好类型，即风险规避。而ATP并没有对这一点进行规定。因此，ATP的适用性增大了。APT没有说明哪些因素关系着证券的预期报酬率，因此APT似乎不如CAPM的单因素模式，只要配合足够多的假设，以β来解释仍相对容易理解。47APT与CAPM的比较区别：4747套利限制Pricesarerightnofreelunch但是，Nofreelunchpricesareright48套利限制4848套利限制原因在哪儿呢？Fundamentalrisk(substitutesecuritiesarerarelyperfect)Noisetraderrisk(horizon)Implementationcosts49套利限制原因在哪儿呢？4949TwinShares50TwinShares5050IndexInclusion当一只股票被加入S&P500中的时候，它的价格平均会上升3.5％，而且这种上升是持久性的。Yahoo在被加入到指数中的当天，股价上升24％。而S&P一再强调说，他们将某支股票选入指数中仅仅是希望他们的指数能够更好地反映美国经济，而不包含任何关于公司未来现金流风险水平的信息。51IndexInclusion当一只股票被加入S&P500中513Com&Palm2000年3月，3Com在IPO之前将其全资子公司Palm5％的股份出售，并继续持有剩余的95％股份。IPO之后，一个3Com公司的股份间接地持有了1.5股Palm的股票。3Com宣布，会在9个月之后分拆Palm，届时每股3Com将获得1.5股Palm的股票。523Com&Palm2000年3月，3Com在IPO之前将其523Com&Palm在IPO之后第一个交易日末，Palm股价是95美元，这就意味着3Com的股价最低应该有95*1.5＝142美元。但实际股价只有81美元。这意味着3Com除了Palm之外的业务每股价值是负61美元。Mispricing!可能的套利方案：卖进1股3Com，卖空1.5股Palm等到Palm分拆的时候，1股3Com自动获得1.5股Palm。Positiveprofit；nocost！533Com&Palm在IPO之后第一个交易日末，Palm股价是533Com&PalmMispricing持续了好几周的时间。没有出现套利的原因：由于卖空Palm的需求很高，而卖空Palm的供给很少，因此，根本无法满足卖空需求。这样以来，套利行为就无法进行，而错误的价格只能一直持续下去。543Com&PalmMispricing持续了好几周的时间。554套利限制55套利限制5555谢谢！谢谢！565757章因素模型与套利定价理论2012年6月15日0章因素模型与套利定价理论2012年6月15日57回顾CAPM模型从经济含义角度的推导Beta的含义证券市场线（与CAL、CML的比较）Zero－BetaCAPM与多要素CAPM（了解）58回顾CAPM模型158单因素模型的提出在估算中计算量最大的部分是协方差的计算经验表明，股票收益之间的协方差一般是正的，这是因为，相同的经济力量会影响着许多公司的命运。例如：经济周期利率技术进步劳动力成本原材料……如果这些变量发生了非预期的变化，则整个股票市场的收益率也会相应地发生非预期变化。59单因素模型的提出在估算中计算量最大的部分是协方差的计算259单因素模型的提出如果我们能够把所有公司外部的因素组成一个宏观经济指示器，假定它影响整个证券市场。同时，我们进一步假定除了这个通常的影响之外，股票收益的所有剩余的不确定性都是公司特有的。这就意味着，证券之间的相关性除了通常的经济因素之外，没有其他来源了。60单因素模型的提出如果我们能够把所有公司外部的因素组成一个宏观60单因素模型的提出而内部特有的因素对公司股价的影响的期望值是零，即随着投资的分散化，这类因素的影响是逐渐减少的。在上述假设下，Sharpe提出了单因素模型在这一模型中，是证券持有期期初的期望收益；是在证券持有期间非预期的宏观事件对证券收益的影响；是非预期的公司特有事件的影响。其中，和的期望值都为零，原因就在于他们都是非预期事件的影响，根据定义其平均值必然为零。这样以来，我们就简要地将宏观经济因素与公司特有因素区分开来。61单因素模型的提出而内部特有的因素对公司股价的影响的期望值是零61单因素模型的提出我们还可以得出进一步的结论，即不同企业对宏观经济事件有不同的敏感度。因此，如果我们记宏观因素的不可预测成分为F，记证券i对宏观经济事件的敏感度为，则证券i受宏观因素的影响为。这样以来，（1）式就变为：该式被称为股票收益的单因素模型。62单因素模型的提出我们还可以得出进一步的结论，即不同企业对宏观62单指数模型的提出然而，上述模型中存在一个问题，那就是影响股票价格的宏观因素是不确定的，而且各宏观因素的权重也无法确定。为了解决这一问题，Sharpe采用一个股票指数代替单因素模型中的宏观影响因素。这就有了单指数模型：股票收益公式为63单指数模型的提出然而，上述模型中存在一个问题，那就是影响股票63单指数模型的提出其中，是股票超过无风险收益的超额收益（也可以看做是风险溢价）；是当市场超额收益率为零时的期望收益；是股票i对宏观因素的敏感程度；是市场收益超过无风险收益的超额部分合在一起的含义是影响股票超额收益的宏观因素，也称作系统因素；是影响股票超额收益的公司特有因素，也称作非系统因素。64单指数模型的提出其中，是股票超过无风险收益64单指数模型的提出是当市场超额收益率为零时的期望收益，它的值通常很小，也很稳定，一定时期可以看成是一个常量。是影响股票超额收益的公司特有因素，是非系统因素，是不确定的，其期望值为零。真正影响股票期望收益的是要估计的只有股票收益对市场收益敏感程度。由于是股票超过无风险收益的超额收益，投资者对其的要求与无风险收益的水平有关。65单指数模型的提出是当市场超额收益率为零时的期望收益，它65单指数模型的意义减少了估算工作量。股票i的收益率的方差为：非系统风险独立于系统风险，因此和的协方差为0。是每个公司特有的，它们之间不相关。而两个股票超额收益率与的协方差，都与市场因素有关，所以，与的协方差为66单指数模型的意义减少了估算工作量。股票i的收益率的方差为：966单指数模型的意义现在需要的估算量为：n个期望超额收益的估计，n个公司的估计，n个公司特有方差的估计和1个宏观经济因素的方差的估计。现在的估算量是3n+1。再看沪深1400种股票的例子，现在只需要估算4201个数据了。67单指数模型的意义现在需要的估算量为：n个期望超额收益67单指数模型的几何表达——证券特征线单指数模型可以表达为一条截距为，斜率为的斜线。坐标系的横轴为市场超额收益，纵轴为股票i的超额收益。实际中，这条斜线要利用具体数据回归得出，称作证券特征线。68单指数模型的几何表达——证券特征线单指数模型可以表达为一条截68单指数模型与CAPM模型的关系按单指数模型，股票i的收益与市场指数收益之间的协方差公式为上式所以成立，是因为由于是常数，它与所有变量的协方差都是零，且由于公司特有的非系统风险独立于系统风险，因此由此可推导出69单指数模型与CAPM模型的关系按单指数模型，股票i的收益与市69单指数模型与CAPM模型的关系在CAPM模型中，我们同样有成立。因此，单指数模型与CAPM模型的贝塔含义是相同的。CAPM模型是单指数模型的一个特例，我们对

两边取期望，有与CAPM模型相比较，可以发现，CAPM模型是所有股票阿尔法的期望值为零的取期望的单指数模型。70单指数模型与CAPM模型的关系在CAPM模型中，我们同样有70单指数模型的局限性这一模型将股票收益的不确定性简单地分为系统风险与非系统风险两部分，这与真实世界的不确定性来源是有距离的。譬如，它没有考虑行业事件，而行业事件是影响行业内许多公司，但又不会影响整个宏观经济的一些事件。71单指数模型的局限性这一模型将股票收益的不确定性简单地分为系统71多因素模型多因素模型的提出系统风险包括多种因素不同的因素对不同的股票的影响力是不同的两因素分析模型假定两个系统风险是经济周期（GDP）和利率（IR）的不确定性。单指数模型扩展成了两因素模型：例如：假定经济中有两个公司，一个是由政府定价的天燃气供应公司，一个是五星级酒店。前者对GDP较不敏感，但是对利率很敏感；后者对GDP很敏感，对利率较不敏感。这时只有两因素模型才可能较好地作出恰当的分析，单指数模型会显得较无力。72多因素模型多因素模型的提出1572多因素模型实际上影响股票收益的因素还不止两个。Fama&French(1993,JFE)的3因素模型提出的影响股价的三个因素是公司的规模、帐面价值/市值比和市场指数。Fama&French(1996,JF)提出，有三个系统性的因素影响股票收益，分别是（1）市场指数；（2）小股票比大股票多的资产组合收益;（3）高市场比率股票比低市场比率股票多的资产组合收益。即73多因素模型实际上影响股票收益的因素还不止两个。1673多因素模型Chen、RollandRoss(1986,JB)的5因素模型提出的影响股票收益的5因素为行业生产增长率IP；预期的通货膨胀率EI；非预期的通货膨胀率UI；长期公司债券对长期政府债券的超额收益CG长期政府债券对短期国库券的超额收益GB：74多因素模型Chen、RollandRoss(1986,J74套利定价理论（ArbitragePricingTheory）RossS.A.,1976,“TheArbitrageTheoryofCapitalAssetsPricing,”JournalofEconomicTheory,Dec.pp.343-362.StephenRoss于1976年提出了套利定价理论，他利用套利原理推导出市场均衡状态下资本资产定价关系，即APT。由于APT与CAPM有着一样的解释功能，而且涉及较少的假设条件，与现实更贴近，因此受到很多的关注。75套利定价理论（ArbitragePricingTheor75套利套利粗略地讲就是指投资者以零投资，在不承担任何风险的情况下，获取正收益的投资行为。套利机会可以分为两类：第一类套利是指投资组合在期初有严格负的价格，但是却能在未来提供非负的收益。第二类套利是指投资组合在期初的价格为零，但是在未来却能获得非负且不等于零的收益76套利套利粗略地讲就是指投资者以零投资，在不承担任何风险的情况76套利套利的一个简单例子假设IBM的股票既在纽约证券交易所交易，又在纳斯达克交易。如果，在纽约交易所IBM的股票卖60美元，在纳斯达克卖58美元。那么，你就可以同时在纳斯达克买进股票，在纽约卖出股票。这样，在没有资金投入的情况下，你就可以获得每股2美元的收益。77套利套利的一个简单例子2077不同证券之间的套利机会例：设有A、B、C、D四支股票，它们所面临的宏观经济形势有四种可能，各股票在四种宏观经济形势下的收益率状况及各种宏观经济形势出现的概率如下表所示：78高通胀低通胀高利率低利率高利率低利率概率（p）0.250.250.250.25A-20402060B03070-20C90-10-2070D15152336不同证券之间的套利机会例：设有A、B、C、D四支股票，它们所78不同证券之间的套利机会不同证券的价格如下：79股票现价期望收益率（％）标准差（％）相关系数ABCDA102529.581-0.15-0.290.68B102033.91-0.151-0.87-0.38C1032.548.15-0.29-0.8710.22D1022.258.580.68-0.380.221不同证券之间的套利机会不同证券的价格如下：22股票现价期望收79不同证券之间的套利机会不同证券之间的套利机会将股票A、B、C按等权重构成投资组合T，将投资组合T的可能未来收益率与股票D的可能未来收益率对比:80高通胀低通胀高利率低利率高利率低利率T23.332023.3336.67D15152336在任何一种宏观环境出现时，投资组合T的收益率都高于股票D。不同证券之间的套利机会不同证券之间的套利机会23高通胀低通胀80不同证券之间的套利机会零投资组合的收益状态81股票投资额（万元）高通胀低通胀高利率低利率高利率低利率A100-20402060B10003070-20C10090-10-2070D-300-45-45-69-108零投资组合0251512卖空D无论投资者多厌恶风险，都会利用这种优势进行套利。不同证券之间的套利机会零投资组合的收益状态24股票投资额高通81套利的几何意义以两个证券的市场为例，从几何形态上对套利进行解释：假设市场中存在两个证券1和2，它们在期初的价格分别为p1和p2。在两个证券构成的平面内，该价格就对应着平面内的一点。82如果该平面同时表示投资者在两个证券的投资金额，那么，很容易就可以得知，在通过原点并与价格向量OP相垂直（正交）的直线OQ上的点代表的都是价格等于零的投资组合；该直线右侧的点代表都是价格水平大于零的投资组合。该直线左侧的点代表都是价格水平小于零的投资组合。套利的几何意义以两个证券的市场为例，从几何形态上对套利进行解82套利的几何意义另一方面，我们假设期末时可能发生的经济状况有三种，在每种经济状况下，两个证券的收益组合如图。83如果该平面同时表示投资者在两个证券上的投资金额，那么，过原点与向量垂直的直线OA的右侧对应的点代表所有在第一种状态下获得正收益的投资组合套利的几何意义另一方面，我们假设期末时可能发生的经济状况有三83套利的几何意义对应着每个状态我们都能画出一条垂线，所有垂线右侧区域相交的部分就对应着在三种状态下收益均大于零的投资组合；折线AOB上的点则对应着在某些状态下收益为零，某些状态下收益为正的投资组合；AOB之外区域上的点所对应的投资组合总会在某些状态下出现负的收益。将以上两个图合并成一张图。给定每个证券在未来不同状态下的收益，当价格向量的方向发生变化时，阴影区域与扇形区域的相对位置就可能出现三种可能：84套利的几何意义对应着每个状态我们都能画出一条垂线，所有垂线右84套利的几何意义一是OQ的阴影部分与AOB的扇形部分除原点之外没有重合的区域。这意味着如果一个投资组合在未来每种状态下的收益都是严格大于零的，那么该投资组合的价格水平也必然大于零。换句话说，此时市场不存在套利机会。85套利的几何意义一是OQ的阴影部分与AOB的扇形部分除原点之外85套利的几何意义第二种情况是阴影区域的边界OQ与扇形区域在OA或者OB上重合，而且，除了这部分之外，二者之间没有其他交点。在这种情况下，射线OA上的点对应的投资组合价格等于零，而且在第一种状态收益等于零、在其他两种状态下收益大于零。这意味着在这种定价水平下，市场中存在第二类套利机会。86套利的几何意义第二种情况是阴影区域的边界OQ与扇形区域在OA86套利的几何意义第三种情况是阴影区域与扇形区域有重叠的情形。此时在重叠区域内的任意一点所对应的投资组合都有严格负的价格，而且在未来三种状态下都能获得正的收益。这说明市场在此时存在强套利机会。87套利的几何意义第三种情况是阴影区域与扇形区域有重叠的情形。387一价定律、价格的正定性与无套利一价定律（LawofOnePrice）是指对于任意两个投资组合，如果它们在未来每种状态下的收益都是相同的，那么这两个投资组合在当前的价格也应该相等。一价定律意味着零收益的证券其价格也必定等于零。如果这一条件不成立，那么市场中零收益的证券就可以具有任意的价格。如果我们将价格函数q(·)定义在资产的未来收益z上价格函数是严格正定的（StrictlyPositive），就是说任给一个严格大于零的收益，该收益对应的证券组合的价格都要大于零。88一价定律、价格的正定性与无套利一价定律（LawofOne88一价定律、价格的正定性与无套利定理当价格函数同时满足一价定律和严格正定性的时候，市场是无套利的。反之亦然。证明：略。89一价定律、价格的正定性与无套利定理3289套利与均衡套利与均衡的关系通过前面的分析可以看出，当套利机会出现时、投资者就会通过低买高卖赚取差价收益。这时，使套利机会存在的那些证券的定价是不合理的，因此市场上对这些证券的需求与供给就处于非均衡状态，其价格就为非均衡价格。随着套利的进行，这些证券的价格会随供需的变化而发生上升或下跌。当达到某种水平使套利机会不再存在时，套利者的套利行为就会终止，市场将处于均衡状态，各种证券的定价就处于合理水平。此时，市场不存在任何套利机会。这就是套利与均衡的关系，它是资本市场理论的一个基本论点。90套利与均衡套利与均衡的关系3390APT的基本假设证券收益率的变动是由单因素或多因素模型的变化所决定；市场中所有参与者对资产收益率有相同的信念，且都能用同一个因素模型来表示。市场中风险资产的个数远远大于系统性风险的种类数。市场中不存在套利机会。91APT的基本假设证券收益率的变动是由单因素或多因素模型的变化91套利定价模型在以上假定下，对于任意一个初始投资为零的投资组合，如果我们用wi表示投资在第i种资产上的资金在总财富中的比例，那么wi就满足（*）而该投资组合的收益则可以写成92套利定价模型在以上假定下，对于任意一个初始投资为零的投资组合92套利定价模型我们通过对wi的选择可以使投资组合满足：（1）每个资产上的投资金额在总财富中的比例都很小，即（2）投资组合中包含足够多的资产，即n足够大；（3）wi的取值能够使投资组合对所有系统性风险的敏感度都等于零。这样以来，由于不同资产特有风险之间是相互独立的，因此，由大数定理可以保证，当n足够大的时候，的加权平均值趋近于零。93套利定价模型我们通过对wi的选择可以使投资组合满足：3693套利定价模型另一方面，由于wi的选择使投资组合对所有系统性风险的敏感度都等于零，即对于任意的k，（**）因此，资产的收益率就可以写为换句话说，按照上述方法构造出的投资组合的收益就是一个确定的值，而不再是一个随机变量。由于该投资组合的初始投资为零，按照无套利的假设条件，该投资组合的收益必须等于零，即（***）94套利定价模型另一方面，由于wi的选择使投资组合对所有系统性风94套利定价模型当(*)(**)(***)同时成立时，期望收益必然能写成的线性表达式，即其中，是一些待定常数。下面我们看看这些参数的含义首先注意到是资产对第k种系统性风险的敏感度，因此，对于无风险资产而言这样以来，95套利定价模型当(*)(**)(***)同时成立时，期望收益95套利定价模型接下来，我们构造一个“纯因素”的投资组合。该投资组合对第k种系统性风险的敏感度等于1，对其他风险的敏感度等于零。这样以来，的期望收益就等于由此我们得到令，我们可以得到这就是套利定价模型的基本形式。96套利定价模型接下来，我们构造一个“纯因素”的投资组合96套利定价模型套利定价方程的图形说明（以单因素模型为例）97APTSB套利定价模型套利定价方程的图形说明（以单因素模型为例）40A97“纯因素”组合的构造在ATP的证明中，我们构造了一个特殊的投资组合，它对因素的敏感性，而对其它因素的敏感性均为0。这种投资组合被称为“纯因素”组合。那么，如何构造这种组合呢？98“纯因素”组合的构造在ATP的证明中，我们构造了一个特殊的投98“纯因素”组合的构造例：假设有两个因素影响证券的收益，影响程度（也就是证券A、B对它的敏感性）分别为99A0.40.6B0.60.4“纯因素”组合的构造例：42A0.40.6B0.60.499“纯因素”组合的构造假设投资者共有资金1元，他卖空价值2元的股票A，并将所得收入和自有资金投资于证券B。这样，，。此