凹性与二阶导数检定法学习目标课件

凹性與二階導數檢定法4.3凹性與二階導數檢定法4.34.3凹性與二階導數檢定法學習目標判斷函數圖形為凹向上或凹向下的區間。求函數圖形的反曲點。利用二階導數檢定法求函數的相對極值。求投入—產出模型的報酬遞減點。P.4-19第四章導數的應用4.3凹性與二階導數檢定法學習目標P.4-19第四章導數凹性找出函數f為遞增或遞減的區間有助於圖形的製作，找出f

遞增或遞減的區間也有助於判別f的圖形是凹向上或凹向下。凹向上或凹向下的性質可定義成函數圖形的凹性

(concavity)。P.4-19第四章導數的應用凹性找出函數f為遞增或遞減的區間有助於圖形的製作，找出凹性在圖4.20中，凹性的圖形解釋如下。 1.曲線高於其切線是凹向上。 2.曲線低於其切線是凹向下。P.4-19圖4.20第四章導數的應用凹性在圖4.20中，凹性的圖形解釋如下。P.4-19凹性若要找出使得函數圖形為凹向上或凹向下的開區間，可利用以下的函數二階導數法。P.4-19第四章導數的應用凹性若要找出使得函數圖形為凹向上或凹向下的開區間，可利用以下範例

1判斷凹性a.函數 f(x)＝x2

原函數 的圖形在整個實數線皆為凹向上，因為其二階導數 f

(x)＝2 二階導數 對於所有x皆為正值(見圖4.21)。P.4-20第四章導數的應用範例1判斷凹性a.函數P.4-20第四章導數的應用範例

1判斷凹性P.4-20圖4.21第四章導數的應用範例1判斷凹性P.4-20圖4.21第四章導數的應b.函數

原函數 的圖形對x>0為凹向下，因為其二階導數

二階導數 對於所有x>0皆為負值(見圖4.22)。範例

1判斷凹性P.4-20第四章導數的應用b.函數範例1判斷凹性P.4-20第四章導數的應用範例

1判斷凹性P.4-20圖4.22第四章導數的應用範例1判斷凹性P.4-20圖4.22第四章導數的應求二階導數並討論圖形的凹性。

a.

f(x)＝－2x2

b.

f(x)＝檢查站1P.4-20第四章導數的應用求二階導數並討論圖形的凹性。檢查站1P.4-20第四章導凹性以下的方法可求連續函數在開區間之凹性[不連續函數f的檢定區間，應由不連續點與使f(x)＝0或f(x)不存在的點所形成]。P.4-20第四章導數的應用凹性以下的方法可求連續函數在開區間之凹性[不連續函數f求函數之圖形為凹向上或凹向下的 開區間。範例

2判斷凹性P.4-21第四章導數的應用範例2判斷凹性P.4-21第四章導數的應用首先求f的二階導數。

範例

2判斷凹性（解）P.4-21第四章導數的應用首先求f的二階導數。範例2判斷凹性（解）P.4-2範例

2判斷凹性（解）由上式可知f

(x)對於所有實數都存在，而且在x＝±1時，f

(x)＝0。因此，f的凹性可由區間來檢定，

(－,－1)、(－1,1)和(1,)

檢定區間

結果如下表所示，其圖形畫在圖4.23。P.4-21第四章導數的應用範例2判斷凹性（解）由上式可知f(x)對於所有範例

2判斷凹性（解）P.4-21圖4.23第四章導數的應用範例2判斷凹性（解）P.4-21圖4.23第四章學習提示在範例2中，雖然f在區間(1,)為遞減，但f

(x)在該區間為遞增。請注意，f

(x)的遞增減性並不一定與f(x)的遞增減性一致。P.4-21第四章導數的應用學習提示在範例2中，雖然f在區間(1,)為遞減代數技巧範例2的計算過程可參考本章代數複習範例1(a)。P.4-21第四章導數的應用代數技巧範例2的計算過程可參考本章代數複習範例1(a)求函數圖形為凹向上或凹向下的區間。檢查站2P.4-21第四章導數的應用檢查站2P.4-21第四章導數的應用反曲點如果圖形上某點的切線存在而且凹性發生變化，則該點稱為反曲點

(pointofinflection)。圖4.24則是三個反曲點的例子(注意，第三個圖的反曲點處有垂直切線)。P.4-22第四章導數的應用反曲點如果圖形上某點的切線存在而且凹性發生變化，則該點稱為反反曲點P.4-22圖4.24第四章導數的應用反曲點P.4-22圖4.24第四章導數的應用學習提示如圖4.24所示，圖形跨過在反曲點的切線。P.4-22第四章導數的應用學習提示如圖4.24所示，圖形跨過在反曲點的切線。P.4反曲點因為反曲點為圖形凹性改變的地方，因此在反曲點上f(x)的正負性也要跟著變化。所以，只需先找出f(x)＝0或f(x)不存在的x值，即可找出可能的反曲點。此步驟與用f的臨界數來找f的相對極值之步驟是類似的。P.4-22第四章導數的應用反曲點因為反曲點為圖形凹性改變的地方，因此在反曲點上f範例

3求反曲點討論f(x)＝2x3

＋1的凹性，並求其反曲點。P.4-22第四章導數的應用範例3求反曲點討論f(x)＝2x3＋1的凹範例

3求反曲點（解）二次微分後可得

f(x)＝2x3

＋1

寫出原式f

(x)＝6x2

一階導數 f

(x)＝6x2

二階導數

令f”(x)＝0可知，唯一可能的反曲點僅會發生在x

＝0。檢定區間(－∞,0)和(0,∞)後，就可判斷出圖形在(－∞,0)為凹向下，(0,∞)為凹向上。由於在x

＝0時凹性的正負號也發生改變，所以f的圖形在(0,1)有一個反曲點，如圖4.25所示。P.4-22第四章導數的應用範例3求反曲點（解）二次微分後可得 P.4-範例

3求反曲點（解）P.4-22圖4.25第四章導數的應用範例3求反曲點（解）P.4-22圖4.25第四章檢查站3討論函數f(x)＝－x3

的凹性並求其反曲點。P.4-22第四章導數的應用檢查站3討論函數f(x)＝－x3的凹性並求其反曲範例

4求反曲點討論函數f(x)＝x4

＋x3

－3x2

＋1圖形的凹性並求反曲點。P.4-23第四章導數的應用範例4求反曲點討論函數f(x)＝x4＋x3－範例

4求反曲點（解）首先計算f的二階導數。 f(x)＝x4

＋x3

－3x2

＋1 寫出原函數f

(x)＝4x3

＋3x2

－6x 找出一階導數 f

(x)＝12x2

＋6x－6 找出二階導數 ＝6(2x－1)(x＋1) 因式分解P.4-23第四章導數的應用範例4求反曲點（解）首先計算f的二階導數。P.4-因此，可能的反曲點在x＝

和x＝－1。在檢驗區間(－,－1)、(－1,)和(,)之後可知，圖形在(－,－1)為凹向上，在(－1,)為凹向下，而在(,)為凹向上。圖形的凹性在x＝－1與x＝

發生變化，所以x＝－1與x＝

為反曲點，如圖4.26所示。而反曲點為範例

4求反曲點（解）P.4-23第四章導數的應用因此，可能的反曲點在x＝和x＝－1。在檢驗範例

4求反曲點（解）P.4-23圖4.26第四章導數的應用範例4求反曲點（解）P.4-23圖4.26第四章檢查站4討論函數f(x)＝x4

－2x3

＋1圖形的凹性，並求反曲點。P.4-23第四章導數的應用檢查站4討論函數f(x)＝x4－2x3＋1圖反曲點另外，二階導數為零之處並不一定為反曲點。例如在圖4.27中，函數f(x)＝x3

與g(x)＝x4

的二階導數在x＝0皆為零，但是x＝0只有在f為反曲點。所以在判斷f

(x)＝0之處是否為反曲點時，必須先確定圖形在該點的凹性會有變化。P.4-23第四章導數的應用反曲點另外，二階導數為零之處並不一定為反曲點。例如在圖4.反曲點P.4-23圖4.27第四章導數的應用反曲點P.4-23圖4.27第四章導數的應用二階導數檢定法二階導數可用來檢定函數f的相對極值：如果f

(c)＝0且圖形在x＝c為凹向上，則f(c)為f的相對極小值；如果f

(c)＝0且圖形在x＝c為凹向下，則f(c)為f的相對極大值(見圖4.28)。P.4-23第四章導數的應用二階導數檢定法二階導數可用來檢定函數f的相對極值：如果二階導數檢定法P.4-23圖4.28第四章導數的應用二階導數檢定法P.4-23圖4.28第四章導數的應用二階導數檢定法P.4-24第四章導數的應用二階導數檢定法P.4-24第四章導數的應用範例

5使用二階導數檢定法求f(x)＝－3x5

＋5x3

的相對極值。P.4-24第四章導數的應用範例5使用二階導數檢定法求f(x)＝－3x5＋範例

5使用二階導數檢定法（解）首先計算f的一階導數。f

(x)＝－15x4

＋15x2 ＝15x2(1－x2) 即x＝0、x＝－1和x＝1為f的臨界數，且二階導數為

f

(x)＝－60x3

＋30x

＝30x(1－2x2)P.4-24第四章導數的應用範例5使用二階導數檢定法（解）首先計算f的一階導數範例

5使用二階導數檢定法（解）使用二階導數檢定法可得 但由一階導數檢定法可知點(0,0)不為相對極小值也不為相對極大值，它其實是反曲點(f的圖形見圖4.29)。P.4-24第四章導數的應用範例5使用二階導數檢定法（解）使用二階導數檢定法可得P範例

5使用二階導數檢定法（解）P.4-24圖4.29第四章導數的應用範例5使用二階導數檢定法（解）P.4-24圖4.2檢查站5求f(x)＝x4

－4x3

＋1的所有相對極值。P.4-24第四章導數的應用檢查站5求f(x)＝x4－4x3＋1的所有延伸應用：報酬遞減在經濟學上，凹性的概念是與報酬遞減

(diminishingreturns)有關。考慮函數 其中x為投入(美元)，y為產出(美元)。P.4-24第四章導數的應用延伸應用：報酬遞減在經濟學上，凹性的概念是與報酬遞減(di延伸應用：報酬遞減注意，在圖4.30中的函數圖形在區間(a,c)為凹向上，在區間(c,b)為凹向下，亦即在區間(a,c)，再投資一美元會比之前投資的一美元得到更高的報酬；反之，在區間(c,b)，再投資一美元卻會比之前投資的一美元得到更低的報酬；點(c,f(c))稱為報酬遞減點

(pointofdiminishingreturns)，超過此點的增額投資常被視為不智的資金調度。P.4-24第四章導數的應用延伸應用：報酬遞減注意，在圖4.30中的函數圖形在區間延伸應用：報酬遞減P.4-24圖4.30第四章導數的應用延伸應用：報酬遞減P.4-24圖4.30第四章導數的應某公司發現增加某產品的廣告費用x(千美元)可以增加的銷售量y(千美元)，其模型為 求此產品的報酬遞減點。範例

6求報酬遞減點P.4-25第四章導數的應用某公司發現增加某產品的廣告費用x(千美元)可以增加的銷首先計算一階與二階導數。 令二階導數為零可得唯一的解x＝20。檢驗區間(0,20)與(20,40)後可知，圖形在x＝20有報酬遞減點，如圖4.31所示。所以，當廣告費用為$20,000時，此產品便達到了報酬遞減點。範例

6求報酬遞減點（解）P.4-25第四章導數的應用首先計算一階與二階導數。範例6求報酬遞減點（解）P.4範例

6求報酬遞減點（解）P.4-25圖4.31第四章導數的應用範例6求報酬遞減點（解）P.4-25圖4.31第四檢查站6求下列模型的報酬遞減點，其中R為收入(千美元)，x為廣告費用(千美元)：P.4-25第四章導數的應用檢查站6求下列模型的報酬遞減點，其中R為收入(千美元總結（4.3節）寫出凹性檢定法，參考範例1和2。寫出反曲點的定義，參考範例3和4。寫出二階導數檢定法，參考範例5。描述如何在現實生活的實例應用二階導數檢定法，來求得產品的報酬遞減點（參考範例6）。P.4-25第四章導數的應用總結（4.3節）寫出凹性檢定法，參考範例1和2。P.4凹性與二階導數檢定法4.3凹性與二階導數檢定法4.34.3凹性與二階導數檢定法學習目標判斷函數圖形為凹向上或凹向下的區間。求函數圖形的反曲點。利用二階導數檢定法求函數的相對極值。求投入—產出模型的報酬遞減點。P.4-19第四章導數的應用4.3凹性與二階導數檢定法學習目標P.4-19第四章導數凹性找出函數f為遞增或遞減的區間有助於圖形的製作，找出f

遞增或遞減的區間也有助於判別f的圖形是凹向上或凹向下。凹向上或凹向下的性質可定義成函數圖形的凹性

(concavity)。P.4-19第四章導數的應用凹性找出函數f為遞增或遞減的區間有助於圖形的製作，找出凹性在圖4.20中，凹性的圖形解釋如下。 1.曲線高於其切線是凹向上。 2.曲線低於其切線是凹向下。P.4-19圖4.20第四章導數的應用凹性在圖4.20中，凹性的圖形解釋如下。P.4-19凹性若要找出使得函數圖形為凹向上或凹向下的開區間，可利用以下的函數二階導數法。P.4-19第四章導數的應用凹性若要找出使得函數圖形為凹向上或凹向下的開區間，可利用以下範例

1判斷凹性a.函數 f(x)＝x2

原函數 的圖形在整個實數線皆為凹向上，因為其二階導數 f

(x)＝2 二階導數 對於所有x皆為正值(見圖4.21)。P.4-20第四章導數的應用範例1判斷凹性a.函數P.4-20第四章導數的應用範例

1判斷凹性P.4-20圖4.21第四章導數的應用範例1判斷凹性P.4-20圖4.21第四章導數的應b.函數

原函數 的圖形對x>0為凹向下，因為其二階導數

二階導數 對於所有x>0皆為負值(見圖4.22)。範例

1判斷凹性P.4-20第四章導數的應用b.函數範例1判斷凹性P.4-20第四章導數的應用範例

1判斷凹性P.4-20圖4.22第四章導數的應用範例1判斷凹性P.4-20圖4.22第四章導數的應求二階導數並討論圖形的凹性。

a.

f(x)＝－2x2

b.

f(x)＝檢查站1P.4-20第四章導數的應用求二階導數並討論圖形的凹性。檢查站1P.4-20第四章導凹性以下的方法可求連續函數在開區間之凹性[不連續函數f的檢定區間，應由不連續點與使f(x)＝0或f(x)不存在的點所形成]。P.4-20第四章導數的應用凹性以下的方法可求連續函數在開區間之凹性[不連續函數f求函數之圖形為凹向上或凹向下的 開區間。範例

2判斷凹性P.4-21第四章導數的應用範例2判斷凹性P.4-21第四章導數的應用首先求f的二階導數。

範例

2判斷凹性（解）P.4-21第四章導數的應用首先求f的二階導數。範例2判斷凹性（解）P.4-2範例

2判斷凹性（解）由上式可知f

(x)對於所有實數都存在，而且在x＝±1時，f

(x)＝0。因此，f的凹性可由區間來檢定，

(－,－1)、(－1,1)和(1,)

檢定區間

結果如下表所示，其圖形畫在圖4.23。P.4-21第四章導數的應用範例2判斷凹性（解）由上式可知f(x)對於所有範例

2判斷凹性（解）P.4-21圖4.23第四章導數的應用範例2判斷凹性（解）P.4-21圖4.23第四章學習提示在範例2中，雖然f在區間(1,)為遞減，但f

(x)在該區間為遞增。請注意，f

(x)的遞增減性並不一定與f(x)的遞增減性一致。P.4-21第四章導數的應用學習提示在範例2中，雖然f在區間(1,)為遞減代數技巧範例2的計算過程可參考本章代數複習範例1(a)。P.4-21第四章導數的應用代數技巧範例2的計算過程可參考本章代數複習範例1(a)求函數圖形為凹向上或凹向下的區間。檢查站2P.4-21第四章導數的應用檢查站2P.4-21第四章導數的應用反曲點如果圖形上某點的切線存在而且凹性發生變化，則該點稱為反曲點

(pointofinflection)。圖4.24則是三個反曲點的例子(注意，第三個圖的反曲點處有垂直切線)。P.4-22第四章導數的應用反曲點如果圖形上某點的切線存在而且凹性發生變化，則該點稱為反反曲點P.4-22圖4.24第四章導數的應用反曲點P.4-22圖4.24第四章導數的應用學習提示如圖4.24所示，圖形跨過在反曲點的切線。P.4-22第四章導數的應用學習提示如圖4.24所示，圖形跨過在反曲點的切線。P.4反曲點因為反曲點為圖形凹性改變的地方，因此在反曲點上f(x)的正負性也要跟著變化。所以，只需先找出f(x)＝0或f(x)不存在的x值，即可找出可能的反曲點。此步驟與用f的臨界數來找f的相對極值之步驟是類似的。P.4-22第四章導數的應用反曲點因為反曲點為圖形凹性改變的地方，因此在反曲點上f範例

3求反曲點討論f(x)＝2x3

＋1的凹性，並求其反曲點。P.4-22第四章導數的應用範例3求反曲點討論f(x)＝2x3＋1的凹範例

3求反曲點（解）二次微分後可得

f(x)＝2x3

＋1

寫出原式f

(x)＝6x2

一階導數 f

(x)＝6x2

二階導數

令f”(x)＝0可知，唯一可能的反曲點僅會發生在x

＝0。檢定區間(－∞,0)和(0,∞)後，就可判斷出圖形在(－∞,0)為凹向下，(0,∞)為凹向上。由於在x

＝0時凹性的正負號也發生改變，所以f的圖形在(0,1)有一個反曲點，如圖4.25所示。P.4-22第四章導數的應用範例3求反曲點（解）二次微分後可得 P.4-範例

3求反曲點（解）P.4-22圖4.25第四章導數的應用範例3求反曲點（解）P.4-22圖4.25第四章檢查站3討論函數f(x)＝－x3

的凹性並求其反曲點。P.4-22第四章導數的應用檢查站3討論函數f(x)＝－x3的凹性並求其反曲範例

4求反曲點討論函數f(x)＝x4

＋x3

－3x2

＋1圖形的凹性並求反曲點。P.4-23第四章導數的應用範例4求反曲點討論函數f(x)＝x4＋x3－範例

4求反曲點（解）首先計算f的二階導數。 f(x)＝x4

＋x3

－3x2

＋1 寫出原函數f

(x)＝4x3

＋3x2

－6x 找出一階導數 f

(x)＝12x2

＋6x－6 找出二階導數 ＝6(2x－1)(x＋1) 因式分解P.4-23第四章導數的應用範例4求反曲點（解）首先計算f的二階導數。P.4-因此，可能的反曲點在x＝

和x＝－1。在檢驗區間(－,－1)、(－1,)和(,)之後可知，圖形在(－,－1)為凹向上，在(－1,)為凹向下，而在(,)為凹向上。圖形的凹性在x＝－1與x＝

發生變化，所以x＝－1與x＝

為反曲點，如圖4.26所示。而反曲點為範例

4求反曲點（解）P.4-23第四章導數的應用因此，可能的反曲點在x＝和x＝－1。在檢驗範例

4求反曲點（解）P.4-23圖4.26第四章導數的應用範例4求反曲點（解）P.4-23圖4.26第四章檢查站4討論函數f(x)＝x4

－2x3

＋1圖形的凹性，並求反曲點。P.4-23第四章導數的應用檢查站4討論函數f(x)＝x4－2x3＋1圖反曲點另外，二階導數為零之處並不一定為反曲點。例如在圖4.27中，函數f(x)＝x3

與g(x)＝x4

的二階導數在x＝0皆為零，但是x＝0只有在f為反曲點。所以在判斷f

(x)＝0之處是否為反曲點時，必須先確定圖形在該點的凹性會有變化。P.4-23第四章導數的應用反曲點另外，二階導數為零之處並不一定為反曲點。例如在圖4.反曲點P.4-23圖4.27第四章導數的應用反曲點P.4-23圖4.27第四章導數的應用二階導數檢定法二階導數可用來檢定函數f的相對極值：如果f

(c)＝0且圖形在x＝c為凹向上，則f(c)為f的相對極小值；如果f

(c)＝0且圖形在x＝c為凹向下，則f(c)為f的相對極大值(見圖4.28)。P.4-23第四章導數的應用二階導數檢定法二階導數可用來檢定函數f的相對極值：如果二階導數檢定法P.4-23圖4.28第四章導數的應用二階導數檢定法P.4-23圖4.28第四章導數的應用二階導數檢定法P.4-24第四章導數的應用二階導數檢定法P.4-24第四章導數的應用範例

5使用二階導數檢定法求f(x)＝－3x5

＋5x3

的相對極值。P.4-24第四章導數的應用範例5使用二階導數檢定法求f(x)＝－3x5＋範例

5使用二階導數檢定法（解）首先計算f的一階導數。f

(x)＝－15x4

＋15x2 ＝15x2(1－x2) 即x＝0、x＝－1和x＝1為f的臨界數，且二階導數為

f

(x)＝－60x3

＋30x

＝30x(1－2x2)P.4-24第四章導數的應用範例5使用二階導數檢定法（解）首先計算f的一階導數範例

5使用二階導數檢定法（解）使用二階導數檢定法可得 但由一階導數檢定法可知點(0,0)不為相對極小值也不為相對極大值，它其實是反曲點(f的圖形見圖4.29)。P.4-24第四章導數的應用範例5使用二階導數檢定法（解）使用二階導數檢定法可得P範例

5使用二階導數檢定法（解）P.4-24圖4.29第四章導數的應