第四章-平面任意力系-工程力学-教学课件

工程力学B1工程力学B1

§4-2平面任意力系向作用面内一点简化一、力线平移定理定理的表述：作用于刚体的力F可等效地平移到刚体上的任一点O，但须附加一力偶，此附加力偶矩M等于原力对平移点O的矩。OPdMPP§4-2平二、平面任意力系的简化简化过程：将力系向已知点O

简化——O点称为简化中心。OM力线平移合成汇交力系合成力偶系结论：平面一般力系向一点O简化一个力偶M一个力作用于简化中心O作用于原力系平面内P1P2PnOM1M2MnP1PnP2二、平面任意力系的简化简化过程：将力系向已知点O简化—主矢与简化点O位置无关主矩与简化点O位置有关

（包括大小和转向）——原力系的主矢——原力系对O点的主矩OM力线平移合成汇交力系合成力偶系P1P2PnOM1M2MnP1PnP2主矢与简化点O位置无关主矩与简化点O位置有关——原力系的主矢主矢的投影：主矢的大小：主矢的方向：主矩的计算：主矢的计算：OMxy主矢的投影：主矢的大小：主矢的方向：主矩的计算：主矢的计固定端约束：特点：既能限制物体移动，又能限制物体转动。固定端约束除了约束力和外，还有矩为的约束力偶。而固定铰链支座没有约束力偶，因为它不限制物体在平面内转动固定端约束：特点：既能限制物体移动，又能限制物体转动。固定端三、平面任意力系的合成结果（1）主矢和主矩都等于零，即：原力系与零力系等效，即原力系为平衡力系。（2）主矢为零，主矩不等于零，即：原力系与一力偶等效，即原力系合成为一力偶。（3）主矢不为零，主矩等于零，即：原力系与一力等效，即原力系合成为一合力，此力的作用线恰好通过简化中心O。三、平面任意力系的合成结果（1）主矢和主矩都等于零，即：原力（4）主矢不为零，主矩也不等于零，即：原力系仍合成为一合力，此力的作用线偏离简化中心距离d。若M>0，则顺

的方向右偏距离d;若M<0，则顺

的方向左偏距离d。POPd（4）主矢不为零，主矩也不等于零，即：原力系仍合成为一合力，四、合力矩定理

平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩，等于力系中各分力对同一点力矩的代数和。证明：′O

′FROFROO

′dFRFR′′dFR′OMoO

′MO(FR)=FRd=MO

MO=∑MO(Fi)MO(FR)=∑MO(Fi)四、合力矩定理平面任意力系的合力对作用面例3-1重力坝受力图形如图所示。已知：求：力系向点O简化的结果，合力与基线OA的交点到点O的距离x，以及合力作用线方程。解：（1）向O点简化，求主矢和主矩。Oxyθ例3-1重力坝受力图形如图所示。已知：求：力系向点O简化的结的方向余弦（2）求合力及其作用线位置。的方向余弦（2）求合力及其作用线位置。（3）求合力作用线方程即（3）求合力作用线方程即总结：1、力线平移定理:内容:作用于刚体的力F可等效地平移到刚体上的任一点O，但须附加一力偶，此附加力偶矩M等于原力对平移点O的矩。平面一般力系2、平面一般力系的简化3、平面一般力系合成结果向一点O简化作用于简化中心O力线平移定理与简中心O点位置无关与简中心O点位置有关（包括：大小、转向）（主矢）作用于原力系平面内一个力一个力偶(主矩)总结：1、力线平移定理:内容:作用于刚体的力F可等效地§3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程FR=0Mo=0′｝平面任意力系平衡的解析条件：所有各力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意一点矩的代数和也等于零。●几点说明：（1）三个方程只能求解三个未知量；（2）投影坐标轴尽可能与多个未知力平行或垂直；（3）力矩方程中，矩心尽可能选多个未知力的交点。平衡方程§3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程FR=0Mo=例题1

已知：M=Pa

求：A、B处约束反力。2a

PaMABCDFAxFAyFBxy解：（1）取刚架为研究对象解上述方程，得（2）画受力图（3）建立坐标系，列方程求解例题1已知：M=Pa求：A、B处约束反力。2a例3-2已知：尺寸如图；求：轴承A、B处的约束力。解：取起重机，画受力图。解得xy例3-2已知：尺寸如图；求：轴承A、B处的约束力。解：取起重例3-3已知：求：支座A、B处的约束力。解：取AB梁，画受力图。解得解得xy例3-3已知：求：支座A、B处的约束力。解：取AB梁，画受力分布载荷的合力q(x)载荷集度PdPdP=q(x)dxq(x)AB由合力之矩定理：合力作用线位置：hxdxlx分布载荷的合力q(x)载荷集度PdPdP=q(x)dxq(x☆两个特例(a)均布载荷Ph(b)三角形分布载荷Phlq0qlxx☆两个特例(a)均布载荷Ph(b)三角形分布载荷例3-4已知：求：固定端A处约束力。解：取T型刚架，画受力图。解得例3-4已知：求：固定端A处约束力。解：取T型刚架，画受力图（A、B、C三点不得共线）（x轴不得垂直于A、B两点的连线）

平面任意力系平衡方程的形式基本形式二力矩式三力矩式FRBAx是否存在三投影式？（A、B、C三点不得共线）（x轴不得垂直于A、B两点的解上述方程，得解：取三角形板ABC为研究对象FDECBAaaaMPFAFB例题2求：三杆对三角平板ABC的约束力。FCPACaaaMB解上述方程，得解：取三角形板ABC为研究对象FDECBAaayxo（A、B两点的连线不得与各力平行）F2F1Fn二个方程只能求解二个未知量二力矩式平面平行力系的平衡方程yxo（A、B两点的连线不得与各力平行）F2F1Fn二个方程解：取梁ABCD为研究对象解得：已知：F=2N，q=1N/m求：A、B支座反力。例题3D1m2m1mABCFFNAFNBP解：取梁ABCD为研究对象解得：已知：F=2N，q=§3-5物体系的平衡·静定和静不定问题●静定体系：未知量数目等于独立平衡方程数目●超静定体系：未知量数目多于独立平衡方程数目PABCFAFBFCPABFBFA§3-5物体系的平衡·静定和静不定问题●静定体系：例3-5已知：OA=R，AB=l,不计物体自重与摩擦,系统在图示位置平衡;求:(1)连杆AB受力;(2)冲头给导轨的侧压力;(3)力偶矩M的大小;(4)轴承O处的约束力。解:取冲头B,画受力图.解:例3-5已知：OA=R，AB=l,不计物体自重与摩擦,系统取轮,画受力图.取轮,画受力图.解:取CD梁,画受力图.

FB=45.77kN例3-6已知:F=20kN,求:A,B处的约束力.q=10kN/m,取整体,画受力图.解:取CD梁,画受力图.FB=45.77kN例3-6已知第四章-平面任意力系-工程力学-教学课件例3-7已知:P1,P2,P=20P1,r,R=2r,求:(1)轴承A，B处的约束力；(2)物C匀速上升时，作用于轮II上的力偶矩M

。解::取塔轮及重物C,画受力图.例3-7已知:P1,P2,P=20P1,r,R=2r,求:(取轮II，画受力图。取轮II，画受力图。例3-8已知:P=60kN,P2=10kN,P1=20kN,风载F=10kN,尺寸如图;求:A,B处的约束力。解:取整体,画受力图。例3-8已知:P=60kN,P2=10kN,P1=20kN,取吊车梁,画受力图.取右边刚架,画受力图.取吊车梁,画受力图.取右边刚架,画受力图.§3-4平面简单桁架的内力计算●桁架的杆件都是直的；●杆件用光滑的铰链连接；●载荷均作用在节点上；●重量平均分配在节点上。理想桁架

□桁架是一种由杆件彼此在两端用铰链连接而成的结构，它在受力后几何形状不变。桁架中杆件的铰链接头称为节点。★

节点法★

截面法§3-4平面简单桁架的内力计算●桁架的杆件都是直的；理解：(1)取整体为研究对象FAyF4FAxAF320kNF1F2CB10kN10kN10kN10kNA12345678910111412131516171819212020kNC(2)取节点C为研究对象(3)取节点A为研究对象解得：依此类推，可求得其余各杆内力。求：图示桁架各杆的力。

例题4解得：FAxFAyFBy解：(1)取整体为研究对象FAyF4FAxAF320kNB10kN10kN10kN10kNA12345678910111412131516171819212020kNCFAxFAyFBymn解：(1)取整体为研究对象计算支座反力。解得：(2)根据解题的需要，假想用一截面截断体系。10kNA1234520kNCF6F7F8FAxFAyD求：桁架6、7、8各杆的力。

例题5(3)取某一部分为研究对象，计算所求杆件内力。B10kN10kN10kN10kNA123456789101结论与讨论1.力的平移定理：平移一力的同时必须附加一力偶，附加力偶的矩等于原来的力对新作用点的矩。2.平面任意力系向平面内任选一点O简化，一般情况下，可得一个力和一个力偶，这个力等于该力系的主矢，即作用线通过简化中心O。这个力偶的矩等于该力系对于点O的主矩，即结论与讨论1.力的平移定理：平移一力的同时必须附加一力偶3.平面任意力系向一点简化，可能出现的四种情况。主矢主矩合成结果说明FR≠

0′FR=

0′MO=0MO≠0MO≠0MO=0合力合力力偶平衡此力为原力系的合力，合力的作用线通过简化中心合力作用线离简化中心的距离此力偶为原力系的合力偶，在这种情况下主矩与简化中心的位置无关4.平面任意力系平衡的必要与充分条件是：力系的主矢和对任一点的主矩都等于零，即：3.平面任意力系向一点简化，可能出现的四种情况。主矢（A、B、C三点不得共线）（x轴不得垂直于A、B两点的连线）

平面任意力系平衡方程的形式基本形式二力矩式三力矩式（A、B、C三点不得共线）（x轴不得垂直于A、B两点的5.其它各种平面力系都是平面任意力系的特殊情形，其平衡方程如下：力系名称独立方程的数目共线力系平衡方程平面力偶系平面汇交力系平面平行力系11225.其它各种平面力系都是平面任意力系的特殊情形，其平衡方6.桁架由二力杆铰接构成。求平面静定桁架各杆内力的两种方法：★

节点法：逐个考虑桁架中所有节点的平衡，利用平面汇交力系的平衡方程求出各杆的内力。应注意每次选取的节点其未知力的数目不宜多于2个。★

截面法

：截断待求内力的杆件，将桁架截割为两部分，取其中的一部分为研究对象，应用平面任意力系的平衡方程求出被截割各杆件的内力。应注意每次截割的内力未知的杆件数目不宜多于3。6.桁架由二力杆铰接构成。求平面静定桁架各杆内力的两种方解得:已知：P=0.4kN，Q=1.5kN，

sin=4/5练习1求：支座A、C的约束力。AQCBPPABFAxFAyFCxFCyFBxFByFAxFAy解：(1)取整体为研究对象解上述方程，得(2)取AB为研究对象代入（3）式得解得:已知：P=0.4kN，Q=1.5kN，sin=4/5EqaaaaaABCDFAyFAxFE求：A、E的约束力和BC杆内力。练习2CDqFDxFDy解：(1)取整体为研究对象解得：(2)取曲杆CD为研究对象解得：FCEqaaaaaABCDFAyFAxFE求：A、E的约束练习2BDAFDyFDxFBxFByFAxFAy解：(1)取整体为研究对象(2)取DEF杆为研究对象解得：(3)取ADB杆为研究对象解得：aBCDAFEPaaaFCxFCyFBxFByPDFEFNEB求：A、D、B的约束力。练习3BDAFDyFDxFBxFByFAxFAy解：(1)取整aBCDAFEPaaa(a)aBCDAFEPaaa(b)aBCDAFEaaaM(c)aBCDAFEaaaM(d)aBCDAFEPaaa(a)aBCDAFEPaaa(b)aBBCDqMEDqMABCDEH2m2m2m2m1m1mFNBFAxFAyMAFCxFCyFNBFDxFDyFNEH解：(1)取DE杆为研究对象(2)取BDC杆为研究对象(3)取整体为研究对象解得：求：

A、B的约束力。练习4已知：q=50kN/m,M=80kN·mBCDqMEDqMABCDEH2m2m2m2m1m1mFNB谢谢大家谢谢大家工程力学B1工程力学B1

§4-2平面任意力系向作用面内一点简化一、力线平移定理定理的表述：作用于刚体的力F可等效地平移到刚体上的任一点O，但须附加一力偶，此附加力偶矩M等于原力对平移点O的矩。OPdMPP§4-2平二、平面任意力系的简化简化过程：将力系向已知点O

简化——O点称为简化中心。OM力线平移合成汇交力系合成力偶系结论：平面一般力系向一点O简化一个力偶M一个力作用于简化中心O作用于原力系平面内P1P2PnOM1M2MnP1PnP2二、平面任意力系的简化简化过程：将力系向已知点O简化—主矢与简化点O位置无关主矩与简化点O位置有关

（包括大小和转向）——原力系的主矢——原力系对O点的主矩OM力线平移合成汇交力系合成力偶系P1P2PnOM1M2MnP1PnP2主矢与简化点O位置无关主矩与简化点O位置有关——原力系的主矢主矢的投影：主矢的大小：主矢的方向：主矩的计算：主矢的计算：OMxy主矢的投影：主矢的大小：主矢的方向：主矩的计算：主矢的计固定端约束：特点：既能限制物体移动，又能限制物体转动。固定端约束除了约束力和外，还有矩为的约束力偶。而固定铰链支座没有约束力偶，因为它不限制物体在平面内转动固定端约束：特点：既能限制物体移动，又能限制物体转动。固定端三、平面任意力系的合成结果（1）主矢和主矩都等于零，即：原力系与零力系等效，即原力系为平衡力系。（2）主矢为零，主矩不等于零，即：原力系与一力偶等效，即原力系合成为一力偶。（3）主矢不为零，主矩等于零，即：原力系与一力等效，即原力系合成为一合力，此力的作用线恰好通过简化中心O。三、平面任意力系的合成结果（1）主矢和主矩都等于零，即：原力（4）主矢不为零，主矩也不等于零，即：原力系仍合成为一合力，此力的作用线偏离简化中心距离d。若M>0，则顺

的方向右偏距离d;若M<0，则顺

的方向左偏距离d。POPd（4）主矢不为零，主矩也不等于零，即：原力系仍合成为一合力，四、合力矩定理

平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩，等于力系中各分力对同一点力矩的代数和。证明：′O

′FROFROO

′dFRFR′′dFR′OMoO

′MO(FR)=FRd=MO

MO=∑MO(Fi)MO(FR)=∑MO(Fi)四、合力矩定理平面任意力系的合力对作用面例3-1重力坝受力图形如图所示。已知：求：力系向点O简化的结果，合力与基线OA的交点到点O的距离x，以及合力作用线方程。解：（1）向O点简化，求主矢和主矩。Oxyθ例3-1重力坝受力图形如图所示。已知：求：力系向点O简化的结的方向余弦（2）求合力及其作用线位置。的方向余弦（2）求合力及其作用线位置。（3）求合力作用线方程即（3）求合力作用线方程即总结：1、力线平移定理:内容:作用于刚体的力F可等效地平移到刚体上的任一点O，但须附加一力偶，此附加力偶矩M等于原力对平移点O的矩。平面一般力系2、平面一般力系的简化3、平面一般力系合成结果向一点O简化作用于简化中心O力线平移定理与简中心O点位置无关与简中心O点位置有关（包括：大小、转向）（主矢）作用于原力系平面内一个力一个力偶(主矩)总结：1、力线平移定理:内容:作用于刚体的力F可等效地§3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程FR=0Mo=0′｝平面任意力系平衡的解析条件：所有各力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意一点矩的代数和也等于零。●几点说明：（1）三个方程只能求解三个未知量；（2）投影坐标轴尽可能与多个未知力平行或垂直；（3）力矩方程中，矩心尽可能选多个未知力的交点。平衡方程§3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程FR=0Mo=例题1

已知：M=Pa

求：A、B处约束反力。2a

PaMABCDFAxFAyFBxy解：（1）取刚架为研究对象解上述方程，得（2）画受力图（3）建立坐标系，列方程求解例题1已知：M=Pa求：A、B处约束反力。2a例3-2已知：尺寸如图；求：轴承A、B处的约束力。解：取起重机，画受力图。解得xy例3-2已知：尺寸如图；求：轴承A、B处的约束力。解：取起重例3-3已知：求：支座A、B处的约束力。解：取AB梁，画受力图。解得解得xy例3-3已知：求：支座A、B处的约束力。解：取AB梁，画受力分布载荷的合力q(x)载荷集度PdPdP=q(x)dxq(x)AB由合力之矩定理：合力作用线位置：hxdxlx分布载荷的合力q(x)载荷集度PdPdP=q(x)dxq(x☆两个特例(a)均布载荷Ph(b)三角形分布载荷Phlq0qlxx☆两个特例(a)均布载荷Ph(b)三角形分布载荷例3-4已知：求：固定端A处约束力。解：取T型刚架，画受力图。解得例3-4已知：求：固定端A处约束力。解：取T型刚架，画受力图（A、B、C三点不得共线）（x轴不得垂直于A、B两点的连线）

平面任意力系平衡方程的形式基本形式二力矩式三力矩式FRBAx是否存在三投影式？（A、B、C三点不得共线）（x轴不得垂直于A、B两点的解上述方程，得解：取三角形板ABC为研究对象FDECBAaaaMPFAFB例题2求：三杆对三角平板ABC的约束力。FCPACaaaMB解上述方程，得解：取三角形板ABC为研究对象FDECBAaayxo（A、B两点的连线不得与各力平行）F2F1Fn二个方程只能求解二个未知量二力矩式平面平行力系的平衡方程yxo（A、B两点的连线不得与各力平行）F2F1Fn二个方程解：取梁ABCD为研究对象解得：已知：F=2N，q=1N/m求：A、B支座反力。例题3D1m2m1mABCFFNAFNBP解：取梁ABCD为研究对象解得：已知：F=2N，q=§3-5物体系的平衡·静定和静不定问题●静定体系：未知量数目等于独立平衡方程数目●超静定体系：未知量数目多于独立平衡方程数目PABCFAFBFCPABFBFA§3-5物体系的平衡·静定和静不定问题●静定体系：例3-5已知：OA=R，AB=l,不计物体自重与摩擦,系统在图示位置平衡;求:(1)连杆AB受力;(2)冲头给导轨的侧压力;(3)力偶矩M的大小;(4)轴承O处的约束力。解:取冲头B,画受力图.解:例3-5已知：OA=R，AB=l,不计物体自重与摩擦,系统取轮,画受力图.取轮,画受力图.解:取CD梁,画受力图.

FB=45.77kN例3-6已知:F=20kN,求:A,B处的约束力.q=10kN/m,取整体,画受力图.解:取CD梁,画受力图.FB=45.77kN例3-6已知第四章-平面任意力系-工程力学-教学课件例3-7已知:P1,P2,P=20P1,r,R=2r,求:(1)轴承A，B处的约束力；(2)物C匀速上升时，作用于轮II上的力偶矩M

。解::取塔轮及重物C,画受力图.例3-7已知:P1,P2,P=20P1,r,R=2r,求:(取轮II，画受力图。取轮II，画受力图。例3-8已知:P=60kN,P2=10kN,P1=20kN,风载F=10kN,尺寸如图;求:A,B处的约束力。解:取整体,画受力图。例3-8已知:P=60kN,P2=10kN,P1=20kN,取吊车梁,画受力图.取右边刚架,画受力图.取吊车梁,画受力图.取右边刚架,画受力图.§3-4平面简单桁架的内力计算●桁架的杆件都是直的；●杆件用光滑的铰链连接；●载荷均作用在节点上；●重量平均分配在节点上。理想桁架

□桁架是一种由杆件彼此在两端用铰链连接而成的结构，它在受力后几何形状不变。桁架中杆件的铰链接头称为节点。★

节点法★

截面法§3-4平面简单桁架的内力计算●桁架的杆件都是直的；理解：(1)取整体为研究对象FAyF4FAxAF320kNF1F2CB10kN10kN10kN10kNA12345678910111412131516171819212020kNC(2)取节点C为研究对象(3)取节点A为研究对象解得：依此类推，可求得其余各杆内力。求：图示桁架各杆的力。

例题4解得：FAxFAyFBy解：(1)取整体为研究对象FAyF4FAxAF320kNB10kN10kN10kN10kNA12345678910111412131516171819212020kNCFAxFAyFBymn解：(1)取整体为研究对象计算支座反力。解得：(2)根据解题的需要，假想用一截面截断体系。10kNA1234520kNCF6F7F8FAxFAyD求：桁架6、7、8各杆的力。

例题5(3)取某一部分为研究对象，计算所求杆件内力。B10kN10kN10kN10kNA123456789101结论与讨论1.力的平移定理：平移一力的同时必须附加一力偶，附加力偶的矩等于原来的力对新作用点的矩。2.平面任意力系向平面内任选一点O简化，一般情况下，可得一个力和一个力偶，这个力等于该力系的主矢，即作用线通过简化中心O。这个力偶的矩等于该力系对于点O的主矩，即结论与讨论1.力的平移定理：平移一力的同时必须附加一力偶3.平面任意力系向一点简化，可能出现的四种情况。主矢主矩合成结果说明FR≠

0′FR=

0′MO=0MO≠0MO≠0MO=0合力合力力偶平衡此力为原力系的合力，合力的作用线通过简化中心合力作用线离简化中心的距离此力偶为原力系的合力偶，在这种情况下主矩与简化中心的位置无关4.平面任意力系平衡的必要与充分条件是：力系的主矢和对任一点的主矩都等于零，即：3.平面任意力系向一点简化，可能出现的四种情况。主矢（A、B、C三点不得共线）（x轴不得垂直于A、B两点的连线）

平面任意力系平衡方程的形式基本形式二力矩式三力矩式（A、B、C三点不得共线）（x轴不得垂直于A、