微积分教学课件第2章导数与微分

第2章导数与微分2.12.22.32.4导数概念函数的求导公式及求导法则微分高阶导数第2章导数与微分2.12.22.32.4导数概念函数的12.1导数的概念第二章

1、引例2、导数的定义3、导数的几何意义4、函数的可导性与连续性的关系2.1导数的概念第二章2一、引例1.变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为则到的平均速度为而在时刻的瞬时速度为自由落体运动一、引例1.变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为32.曲线的切线斜率曲线在M点处的切线割线MN的极限位置MT(当时)割线MN的斜率切线MT的斜率2.曲线的切线斜率曲线在M点处的切线割线MN的极4两个问题的共性:瞬时速度切线斜率所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.类似问题还有:加速度角速度线密度电流强度是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限变化率问题两个问题的共性:瞬时速度切线斜率所求量为函数增量与自变量增量5二、导数的定义定义1.设函数在点存在,并称此极限为记作:即则称函数若的某邻域内有定义,在点处可导,在点的导数.二、导数的定义定义1.设函数在点存在,并称此极限为记作:6运动质点的位置函数在时刻的瞬时速度曲线在M点处的切线斜率说明:在经济学中,边际成本率,边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数.运动质点的位置函数在时刻的瞬时速度曲线在M点处的7若上述极限不存在,在点不可导.若也称在若函数在开区间I内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.记作:注意:就说函数就称函数在

I内可导.的导数为无穷大.若上述极限不存在,在点不可导.若也称在若函数在8例1.求函数(C为常数)的导数.解:即例2.求函数解:例1.求函数(C为常数)的导数.解:即例2.求函数9说明：对一般幂函数(为常数)例如，（以后将证明）说明：对一般幂函数(为常数)例如，（以后将证明10例3.

求函数的导数.解:则即类似可证得例3.求函数的导数.解:则即类似可证得11例4.求函数的导数.解:

即或例4.求函数的导数.解:即或12原式是否可按下述方法作:例5.证明函数在x=0不可导.证:不存在,例6.设存在,求极限解:原式原式是否可按下述方法作:例5.证明函数在x=0不可13三、导数的几何意义曲线在点的切线斜率为若曲线过上升;若曲线过下降;若切线与x轴平行,称为驻点;若切线与x轴垂直.曲线在点处的切线方程:法线方程:三、导数的几何意义曲线在点的切线斜率为若曲线过上升;若曲线14例7.问曲线哪一点有垂直切线?哪一点处的切线与直线平行?写出其切线方程.解:令得对应则在点(1,1),(–1,–1)处与直线平行的切线方程分别为即故在原点(0,0)有垂直切线例7.问曲线哪一点有垂直切线?哪一点处的切线与直线平行15四、函数的可导性与连续性的关系定理1.证:设在点x

处可导,存在,因此必有其中故所以函数在点x连续.注意:函数在点x连续未必可导.反例:在x=0处连续,

但不可导.即四、函数的可导性与连续性的关系定理1.证:设在点x处16在点的某个右邻域内若极限则称此极限值为在处的右导数,记作即(左)(左)例如,在x=0处有定义2

.设函数有定义,存在,在点的某个右邻域内若极限则称此极限值为在17定理2.函数在点且存在简写为在点处右导数存在定理3.函数在点必右连续.(左)(左)若函数与都存在,则称显然:在闭区间[a,b]上可导在开区间

内可导,在闭区间

上可导.可导的充分必要条件是且定理2.函数在点且存在简写为在点处右导数存182.2函数的求导法则第二章反函数的求导法则复合函数求导法则初等函数的求导问题四则运算求导法则一二四三2.2函数的求导法则第二章反函数的求导法则复合函数求导19思路:(构造性定义)求导法则其它基本初等函数求导公式证明中利用了两个重要极限初等函数求导问题本节内容思路:(构造性定义)求导法则其它基本初等函数求导公式证明20一、四则运算求导法则

定理1.的和、差、积、商(除分母为0的点外)都在点x可导,且下面分三部分加以证明,并同时给出相应的推论和例题.一、四则运算求导法则定理1.的和、差、积、商(除分母为21此法则可推广到任意有限项的情形.证:

设,则故结论成立.例如,此法则可推广到任意有限项的情形.证:设,则故结论成立.例22(2)证:设则有故结论成立.推论:(C为常数)(2)证:设则有故结论成立.推论:(C为常数)23例1.解:例1.解:24(3)证:设则有故结论成立.推论:(C为常数)(3)证:设则有故结论成立.推论:(C为常数)25例2.

求证证:类似可证:例2.求证证:类似可证:26二、反函数的求导法则

定理2.y的某邻域内单调可导,证:在x处给增量由反函数的单调性知且由反函数的连续性知因此二、反函数的求导法则定理2.y的某邻域内单调可导,证27例3.

求反三角函数及指数函数的导数.解:1)设则类似可求得利用,则例3.求反三角函数及指数函数的导数.解:1)设则类似可282)设则特别当时,小结:2)设则特别当时,小结:29在点x可导,三、复合函数求导法则定理3.在点可导复合函数且在点x可导,证:在点u可导,故（当时)故有在点x可导,三、复合函数求导法则定理3.在点可导复合函数30例如,关键:搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.例如,关键:搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.推广31四、初等函数的求导问题1.常数和基本初等函数的导数(P94)四、初等函数的求导问题1.常数和基本初等函数的导数(P322.有限次四则运算的求导法则(C为常数)3.复合函数求导法则4.初等函数在定义区间内可导,由定义证,说明:最基本的公式其它公式用求导法则推出.且导数仍为初等函数2.有限次四则运算的求导法则(C为常数)3.复合函数332.3函数的微分第二章微分的概念微分运算法则微分在近似计算中的应用1231232.3函数的微分第二章微分的概念微分运算法则微分在近似34一、微分的概念

引例:一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?设薄片边长为x,面积为A,则面积的增量为关于△x

的线性主部高阶无穷小时为故称为函数在的微分当x

在取得增量时,变到边长由其一、微分的概念引例:一块正方形金属薄片受温度变化35的微分,定义:

若函数在点的增量可表示为(A为不依赖于△x

的常数)则称函数而称为记作即定理:函数在点可微的充要条件是即在点可微,的微分,定义:若函数在点的增量可表示为(A36定理:函数证:

“必要性”

已知在点可微,则故在点的可导,且在点可微的充要条件是在点处可导,且即定理:函数证:“必要性”已知在点可微,则37定理:函数在点可微的充要条件是在点处可导,且即“充分性”已知即在点的可导,则定理:函数在点可微的充要条件是在点处38说明:时,所以时很小时,有近似公式与是等价无穷小,当故当说明:时,所以时很小时,有近似公式与是等价无穷小,当故39微分的几何意义当很小时,则有从而导数也叫作微商切线纵坐标的增量自变量的微分,记作记微分的几何意义当很小时,则有从而导数也叫作微商切40例如,又如,例如,又如,41二、微分运算法则设u(x),v(x)均可微,则(C

为常数)分别可微,的微分为微分形式不变5.复合函数的微分则复合函数二、微分运算法则设u(x),v(x)均可微,42例1.求解:例1.求解:43三、微分在近似计算中的应用当很小时,使用原则:得近似等式:三、微分在近似计算中的应用当很小时,使用原则:得近似等式:44特别当很小时,常用近似公式:很小)证明:令得特别当很小时,常用近似公式:很小)证明:令得45的近似值.解:设取则例4.求的近似值.解:设取则例4.求462.4高阶导数2.4高阶导数47一、高阶导数的概念速度即加速度即引例：变速直线运动一、高阶导数的概念速度即加速度即引例：变速直线运动48定义.若函数的导数可导,或即或类似地,二阶导数的导数称为三阶导数,阶导数的导数称为n阶导数,或的二阶导数,记作的导数为依次类推,分别记作则称定义.若函数的导数可导,或即或类似地,二阶导数的导数称为49设求解:依次类推,例1.思考:设问可得设求解:依次类推,例1.思考:设问可得50例2.

设求解:特别有:解:规定0!=1思考:例3.设求例2.设求解:特别有:解:规定0!=1思考:例351例4.

设求解:一般地,类似可证:例4.设求解:一般地,类似可证:52例5.设解:例5.设解:53例6.

设求使存在的最高分析:但是不存在.2又阶数例6.设求使存在的最高分析:但是不存在.2又阶数54二、高阶导数的运算法则都有n阶导数,则(C为常数)莱布尼兹(Leibniz)公式及设函数二、高阶导数的运算法则都有n阶导数,则(C为常数)莱55用数学归纳法可证莱布尼兹公式成立.用数学归纳法可证莱布尼兹公式成立.56例7.求解:设则代入莱布尼兹公式,得例7.求解:设则代入莱布尼兹公式,得57例8.设求解:即用莱布尼兹公式求n阶导数令得由得即由得例8.设求解:即用莱布尼兹公式求n阶导数令得由得即由58第2章导数与微分2.12.22.32.4导数概念函数的求导公式及求导法则微分高阶导数第2章导数与微分2.12.22.32.4导数概念函数的592.1导数的概念第二章

1、引例2、导数的定义3、导数的几何意义4、函数的可导性与连续性的关系2.1导数的概念第二章60一、引例1.变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为则到的平均速度为而在时刻的瞬时速度为自由落体运动一、引例1.变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为612.曲线的切线斜率曲线在M点处的切线割线MN的极限位置MT(当时)割线MN的斜率切线MT的斜率2.曲线的切线斜率曲线在M点处的切线割线MN的极62两个问题的共性:瞬时速度切线斜率所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.类似问题还有:加速度角速度线密度电流强度是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限变化率问题两个问题的共性:瞬时速度切线斜率所求量为函数增量与自变量增量63二、导数的定义定义1.设函数在点存在,并称此极限为记作:即则称函数若的某邻域内有定义,在点处可导,在点的导数.二、导数的定义定义1.设函数在点存在,并称此极限为记作:64运动质点的位置函数在时刻的瞬时速度曲线在M点处的切线斜率说明:在经济学中,边际成本率,边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数.运动质点的位置函数在时刻的瞬时速度曲线在M点处的65若上述极限不存在,在点不可导.若也称在若函数在开区间I内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.记作:注意:就说函数就称函数在

I内可导.的导数为无穷大.若上述极限不存在,在点不可导.若也称在若函数在66例1.求函数(C为常数)的导数.解:即例2.求函数解:例1.求函数(C为常数)的导数.解:即例2.求函数67说明：对一般幂函数(为常数)例如，（以后将证明）说明：对一般幂函数(为常数)例如，（以后将证明68例3.

求函数的导数.解:则即类似可证得例3.求函数的导数.解:则即类似可证得69例4.求函数的导数.解:

即或例4.求函数的导数.解:即或70原式是否可按下述方法作:例5.证明函数在x=0不可导.证:不存在,例6.设存在,求极限解:原式原式是否可按下述方法作:例5.证明函数在x=0不可71三、导数的几何意义曲线在点的切线斜率为若曲线过上升;若曲线过下降;若切线与x轴平行,称为驻点;若切线与x轴垂直.曲线在点处的切线方程:法线方程:三、导数的几何意义曲线在点的切线斜率为若曲线过上升;若曲线72例7.问曲线哪一点有垂直切线?哪一点处的切线与直线平行?写出其切线方程.解:令得对应则在点(1,1),(–1,–1)处与直线平行的切线方程分别为即故在原点(0,0)有垂直切线例7.问曲线哪一点有垂直切线?哪一点处的切线与直线平行73四、函数的可导性与连续性的关系定理1.证:设在点x

处可导,存在,因此必有其中故所以函数在点x连续.注意:函数在点x连续未必可导.反例:在x=0处连续,

但不可导.即四、函数的可导性与连续性的关系定理1.证:设在点x处74在点的某个右邻域内若极限则称此极限值为在处的右导数,记作即(左)(左)例如,在x=0处有定义2

.设函数有定义,存在,在点的某个右邻域内若极限则称此极限值为在75定理2.函数在点且存在简写为在点处右导数存在定理3.函数在点必右连续.(左)(左)若函数与都存在,则称显然:在闭区间[a,b]上可导在开区间

内可导,在闭区间

上可导.可导的充分必要条件是且定理2.函数在点且存在简写为在点处右导数存762.2函数的求导法则第二章反函数的求导法则复合函数求导法则初等函数的求导问题四则运算求导法则一二四三2.2函数的求导法则第二章反函数的求导法则复合函数求导77思路:(构造性定义)求导法则其它基本初等函数求导公式证明中利用了两个重要极限初等函数求导问题本节内容思路:(构造性定义)求导法则其它基本初等函数求导公式证明78一、四则运算求导法则

定理1.的和、差、积、商(除分母为0的点外)都在点x可导,且下面分三部分加以证明,并同时给出相应的推论和例题.一、四则运算求导法则定理1.的和、差、积、商(除分母为79此法则可推广到任意有限项的情形.证:

设,则故结论成立.例如,此法则可推广到任意有限项的情形.证:设,则故结论成立.例80(2)证:设则有故结论成立.推论:(C为常数)(2)证:设则有故结论成立.推论:(C为常数)81例1.解:例1.解:82(3)证:设则有故结论成立.推论:(C为常数)(3)证:设则有故结论成立.推论:(C为常数)83例2.

求证证:类似可证:例2.求证证:类似可证:84二、反函数的求导法则

定理2.y的某邻域内单调可导,证:在x处给增量由反函数的单调性知且由反函数的连续性知因此二、反函数的求导法则定理2.y的某邻域内单调可导,证85例3.

求反三角函数及指数函数的导数.解:1)设则类似可求得利用,则例3.求反三角函数及指数函数的导数.解:1)设则类似可862)设则特别当时,小结:2)设则特别当时,小结:87在点x可导,三、复合函数求导法则定理3.在点可导复合函数且在点x可导,证:在点u可导,故（当时)故有在点x可导,三、复合函数求导法则定理3.在点可导复合函数88例如,关键:搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.例如,关键:搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.推广89四、初等函数的求导问题1.常数和基本初等函数的导数(P94)四、初等函数的求导问题1.常数和基本初等函数的导数(P902.有限次四则运算的求导法则(C为常数)3.复合函数求导法则4.初等函数在定义区间内可导,由定义证,说明:最基本的公式其它公式用求导法则推出.且导数仍为初等函数2.有限次四则运算的求导法则(C为常数)3.复合函数912.3函数的微分第二章微分的概念微分运算法则微分在近似计算中的应用1231232.3函数的微分第二章微分的概念微分运算法则微分在近似92一、微分的概念

引例:一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?设薄片边长为x,面积为A,则面积的增量为关于△x

的线性主部高阶无穷小时为故称为函数在的微分当x

在取得增量时,变到边长由其一、微分的概念引例:一块正方形金属薄片受温度变化93的微分,定义:

若函数在点的增量可表示为(A为不依赖于△x

的常数)则称函数而称为记作即定理:函数在点可微的充要条件是即在点可微,的微分,定义:若函数在点的增量可表示为(A94定理:函数证:

“必要性”

已知在点可微,则故在点的可导,且在点可微的充要条件是在点处可导,且即定理:函数证:“必要性”已知在点可微,则95定理:函数在点可微的充要条件是在点处可导,且即“充分性”已知即在点的可导,则定理:函数在点可微的充要条件是在点处96说明:时,所以时很小时,有近似公式与是等价无穷小,当故当说明:时,所以时很小时,有近似公式与是等价无穷小,当故97微分的几何意义当很小时,则有从而导数也叫作微商切线纵坐标的增量自变量的微分,记作记微分的几何意义当很小时,则有从而导数也叫作微商切98例如,又如,例如,又如,99二、微分运算法则设u(x),v(x)均可微,则