单自由度机械振动系统谐和力激励的受迫振动

1.1.2单自由度机械振动系统谐和力激励的受迫振动1.1单自由度机械系统的振动

内容提要一、强迫振动方程及其解

1、无阻尼系统的强迫振动

2、有阻尼系统的强迫振动二、强迫振动的过渡过程三、强迫振动的稳态振动

1、机械阻抗

2、频率特性

3、激励力对振动系统的输入功率一、强迫振动方程及其解

一个振动系统受到阻力作用后振动不能永远维持，它要渐渐衰减到停止，因此要使振动持续不停，就要不断从外部获得能量。外力作用下的振动-强迫振动（受迫振动)

（forcedvibration）

无阻尼强迫振动示意图谐合函数——正弦、余弦函数。1、无阻尼系统的强迫振动一、强迫振动方程及其解质量元件M受两个作用力①弹性力②外加推力f(x)一、强迫振动方程及其解1、无阻尼系统的强迫振动运动方程式用复数表示：，则运动方程化为：（*）一、强迫振动方程及其解1、无阻尼系统的强迫振动

强迫振动方程是二阶的非齐次常微分方程，其一般解应表示为该方程的一个特解与相应的齐次方程一般解之和。

方程的解=一般解＋特解其中：为方程（*）所对应的齐次方程的解（通解）为方程（*）的特解一、强迫振动方程及其解1、无阻尼系统的强迫振动据前，方程（*）的通解为：（1-1-1节已解出）其中一、强迫振动方程及其解1、无阻尼系统的强迫振动

设方程（*）特解的一般形式为一、强迫振动方程及其解特解含义：按外力的振动规律而变，其振动频率等于外力的频率。1、无阻尼系统的强迫振动

代入强迫振动方程（*）（*）得所以方程的解为：一、强迫振动方程及其解1、无阻尼系统的强迫振动所以以，，实实际际位位移移为为：：式中中的的和和由由初初条条件件决决定定。。第一一项项：：自自由由振振动动分分量量第二二项项：：强强迫迫振振动动分分量量结论论：：无无阻阻尼尼系系统统在在谐谐合合力力作作用用下下的的振振动动为为两两个个简谐谐振振动动的的迭迭加加。。一、、强强迫迫振振动动方方程程及及其其解解1、无阻阻尼尼系系统统的的强强迫迫振振动动一、、强强迫迫振振动动方方程程及及其其解解1、无阻尼系系统的强强迫振动动求得带入上式式得取零初始始条件；零初始条条件的振振动位移移三角变换换一、强迫迫振动方方程及其其解1、无阻尼系系统的强强迫振动动时‘拍’’现象不不明显时‘拍’’现象明明显形成‘拍拍’振动动一、强迫迫振动方方程及其其解1、无阻尼系系统的强强迫振动动无阻尼系系统的拍拍频振动动规律①振动频频率近似似等于②“振幅”作慢周期期变化，，拍周期期一、强迫迫振动方方程及其其解1、无阻尼系系统的强强迫振动动当一、强迫迫振动方方程及其其解1、无阻尼系系统的强强迫振动动特例：当当时时，，振子振振幅逐渐渐(共振)实际上，，由于阻阻的存在在，自由由振动随随时间增增加会逐逐渐消失失，振动动仅有强强迫振动动项，而而达到稳稳态振动动。结论：无无阻尼振振子在谐谐和力激激励下是是两个简简谐振动动的合振振动，一一个是自自由振动动，另一一个是强强迫振动动；形成成拍频振振动。由由于无阻阻尼，所所以自由由振动总总也不消消失。一、强迫迫振动方方程及其其解1、无阻尼系系统的强强迫振动动有阻尼时时，运动动方程2、有阻尼系系统的强迫迫振动一、强迫振振动方程及及其解复数表示：：外力为谐和和力运动方程：：其解：为齐次方程程的解，已已在前面解解出。此解解数学上称称为“通解”；物理中称称为“暂态解”。其中：2、有阻尼系系统的强迫迫振动一、强迫振振动方程及及其解系统的固有有频率，决决定于系统统本身的参参数由系统的初初始条件确确定2、有阻尼系系统的强迫迫振动一、强迫振振动方程及及其解当时时,设特解代入到运动动方程得到2、有阻尼系系统的强迫迫振动一、强迫振振动方程及及其解此解数学上上称为“特解“；物理中称称为“稳态解”2、有阻尼系系统的强迫迫振动一、强迫振振动方程及及其解令2、有阻尼系系统的强迫迫振动一、强迫振振动方程及及其解则外力引起的的位移振幅幅和外力的的振幅成正正比，并和外力频频率有关。。其中：由由初始条件件决定;由系统参数数决定。2、有阻尼系系统的强迫迫振动一、强迫振振动方程及及其解结论论：：阻阻尼尼系系统统在在谐谐和和力力作作用用下下的的强强迫迫振振动动质质量量的位位移移由由两两个个函函数数组组成成：：第一一项项为为暂态态分分量量：振振动动角角频频率率为为。。表示示外外力力刚刚开开始始时时激激发发起起系系统统的的自自由由振振动动分分量量。。振幅幅随随时时间间衰衰减减。。第二二项项为为稳态态分分量量：：振动动频频率率等等于于外外力力的的频频率率，，表示示外外力力产产生生的的强强制制振振动动分分量量。。是振幅幅不变变的简简谐振振动。。随时间间的增增加，，前者者对位位移的的影响响趋于于0,后者成为描描述振振子运运动的的函数数—稳态解解。2、有阻阻尼系系统的的强迫迫振动动一、强强迫振振动方方程及及其解解对解的的进一一步分分析：：(1)强迫振振动的的过渡渡过程程（暂暂态解解）阻尼振振子受受迫振振动，，总是是经过过一段段时间间后达达到稳稳定，，一般般说，，振子子受力力激励励后到到达到到稳定定振幅幅的简简谐振振动这这段过过程称称为过过渡过过程；；从数数学上上讲就就是暂暂态解解幅值值减小小到0的过程程。二、强强迫振振动的的过渡渡过程程几种典典型情情况外外力作作用下下，振振动过过渡过过程的的形式式不同同。①零初始始条件件：从最简简单的的情况况入手手分析析之，，设振动动系统统开始始时完完全处处于静静止状状态且外加加谐和和力的的频率率等于于系统统的固固有频频率。。则：二、强强迫振振动的的过渡渡过程程二、强强迫振振动的的过渡渡过程程得；带入零零初始始条件件得振动位位移的的过渡渡过程程二、强强迫振振动的的过渡渡过程程所以系统过过渡时时间：：稳态振振动基基本建建立所所需的的时间间称为为稳态态振动动的建建立时时间。。显然，，此振振动振振幅达达到稳稳定的的过程程由系系数决决定定，一一般上上，认认为振振幅到到稳定定值的的95％时,就达到到了稳稳态。。二、强强迫振振动的的过渡渡过程程定义：：为为系统统的过过渡时时间。。单位位，秒秒（Sec）。值与的的关关系：：大，大大——达到稳稳态需需要时时间长长（阻阻小））二、强强迫振振动的的过渡渡过程程②外力频频率接接近而而又不不等于于自由由振动动频率率，则在在过渡渡过程程期间间，暂暂态成成分和和稳态态成分分迭加加表现现出拍现象象。随时间间的增增加，，拍越越来越越不明明显，，直到到消失失。二、强强迫振振动的的过渡渡过程程③正弦脉脉冲填填充的的作用用周期出出现的的正弦弦填充充矩形形波的的强迫迫力作作用,且填充充正弦弦信号号频率率设脉冲冲正弦弦作用用力的的持续续时间间为，，当力力加到到系统统上以以后，，振动动的振振幅按按曲线线随随时间间增长长，而而脉冲冲结束束后，，系统统振动动按自自由振振动规规律指指数衰衰减，，因此此振动动的位位移和和力的的时间间波形形不同同。并并且、、不不同时时，脉脉冲波波形的的畸变变不同同。二、强强迫振振动的的过渡渡过程程大阻尼中阻尼尼小阻尼尼二、强强迫振振动的的过渡渡过程程图1.Qm=1.7（低））图2.Qm=5（中））图3.Qm=15（高））三、质质点的的稳态态振动动振子受受迫振振动，，经过过一段段时间间后，，暂态态解影影响0，只有稳稳态解，，所以下下面分析析稳态解解。（实际工程程中，主主要关心心的是稳稳态解））系统振动动达到稳稳态时位移：振速：其中，三、质点点的稳态态振动定义，机机械阻抗抗：机械械振动系系统在谐谐合激励励力作用用下产生生稳定的同频率谐合振速速，若用用复数力力表表示谐谐合激励励力，用用复数振振速表表示示同频率率振速；；则复数力与复数振速速之比为该该系统在在该频率率下的机机械阻抗抗。记为为（（或或））。1、机械阻阻抗三、质点点的稳态态振动—机械阻，，—机械抗。。MKS制中其单单位：kgs-1（力欧姆姆）1、机械阻阻抗三、质点点的稳态态振动据定义，，前例的的机械系系统的机机械阻抗抗为，1、机械阻阻抗物理意义义：机械械阻抗的的绝对值值等于产产生单位位振速幅值所需需力的大大小。三、质点点的稳态态振动;机械振动动系统在在简谐力力作用下下振动，，改变激激励信号号的频率率，并保保持简谐谐激励信信号的幅幅值不变变,初相位为为0；得到的的某个响响应信号号幅值随随频率的的变化曲曲线叫该该响应的的幅频特特性曲线线；得到到的某个个响应信信号相位位随频率率的变化化曲线叫叫响应的的相频特特性曲线线。——二者称作作该响应应的频率率特性曲曲线。幅频特性性曲线和和相频特特性曲线线，统称称作该响响应的频频率特性性曲线。。三、质点点的稳态态振动2、频率特特性曲线线①前例单自自由度阻阻尼机械械振动系系统的位移响应应2、频率特特性曲线线三、质点点的稳态态振动位移的频频响曲线线位移的相相频曲线线位移的幅幅频曲线线2、频率特特性曲线线三、质点点的稳态态振动②前例单自自由度阻阻尼机械械振动系系统的振速响应应2、频率特特性曲线线三、质点点的稳态态振动振速的频响曲线线振速的幅频曲线线振速的相频曲线线2、频率特特性曲线线三、质点点的稳态态振动③前例单自自由度阻阻尼机械械振动系系统的加速度响响应2、频率特特性曲线线三、质点点的稳态态振动加速度的的频响曲线线加速度的的幅频曲线线加速度的的相频曲线2、频率特特性曲线线三、质点点的稳态态振动共振频率率定义:机械振动动系统在在恒振幅幅激励力力作用下下发生振振动，若若响应随随激励力力频率的的变化出出现极大大值，则则称，系系统的该该响应发发生了共共振；此此时的频频率叫系系统该响响应的共共振频率率。一般上，，同一系系统不同同的响应应有不同同的共振振频率。。例如：：位移共共振频率率、速度度共振频频率、加加速度共共振频率率…等。三、质点点的稳态态振动①瞬时功率率3、激励力力对振动动系统的的输入功功率三、质点点的稳态态振动激励力对对振动系系统输入入的瞬时时功率系统的振振动达到到稳态时时，激励励力对振振动系统统的输入入功率等等于系统统阻尼的的消耗功功率。②机械械功功率率3、激励励力对对振动动系统统的输输入功功率三、质质点的的稳态态振动动一个周周期内内激励励力对对振动动系统统输入入的平均功功率平均功功率与与激励励力频频率的的关系系3、激励励力对对振动动系统统的输输入功功率三、质质点的的稳态态振动动③最大输输入功功率对对应的的激励励力频频率3、激励励力对对振动动系统统的输输入功功率三、质质点的的稳态态振动动谐振频频率机械振振动系系统在在谐合合激励励力作作用下下发生生振动动，达达到稳稳态时时如果果外力力时时时刻刻刻向系系统内内输入入能量量（对对系统统作正正功））则称称此时时系统统发生生了谐谐振。。发生生谐振振时的的频率率称作作系统统谐振频率。三、质点的的稳态振动动④半功率点频频带宽度平均功率下下降到最大大功率的1/2所对应的频频带宽度3、激励力对对振动系统统的输入功功率三、质点的的稳态振动动因为：所以：半功率点频频带宽度：：3、激励力对对振动系统统的输入功功率④半功率点频频带宽度三、质点的的稳态振动动（1）共振频率率定义:机械振动系系统在恒振振幅激励力力作用下发发生振动，，若响应随随激励力频频率的变化化出现极大大值，则称称，系统的的该响应发发生了共振振；此时的的频率叫系系统该响应应的共振频频率。一般上，同同一