基本初等函数讲义(全)

过定点：所有的幂函数在(0,+s)都有定义，并且图象都通过点(1,1).四、指数函数根式的概念如果xn=a,agR,xgR,n>1，且ngN，那么x叫做a的n次方根.+分数指数幂的概念正数的正分数指数幂的意义是：a：=nam(a>0,m,ngN,且n>1).0+的正分数指数幂等于0.正数的负分数指数幂的意义是：a■:=(丄)：=n(!)m(a>0,m,ngN,a\a+且n>1).0的负分数指数幂没有意义.运算性质①ar•as=ar+s(a>0,r,sgR)②(ar)s=ar(a>0,r,sgR)③(ab)r=arbr(a>0,b>0,rgR)指数函数函数名称指数函数定义函数y二ax(a>0且a丰1)叫做指数函数图象a>10<a<1

定义域R值域(0,+如过定点图象过定点(0,1)，即当x=0时，y=1.奇偶性非奇非偶单调性在R上是增函数在R上是减函数函数值的变化情况ax>1(x>0)ax=1(x=0)ax<1(x<0)ax<1(x>0)ax=1(x=0)ax>1(x<0)a变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越咼；在第一象限内，a越大图象越低.五、对数函数对数的定义若ax=N(a>0,且a丰1)，则x叫做以a为底N的对数，记作x=logN，其a中a叫做底数，N叫做真数．负数和零没有对数．对数式与指数式的互化：x二logNoax=N(a>0,a丰1,N>0).a几个重要的对数恒等式log1=0，loga=1，logab=b.aaa常用对数与自然对数常用对数：lgN，即logN；自然对数：lnN，即logN(其中10ee=2.71828…)．(4)对数的运算性质如果a>0,a丰1,M>0,N>0，那么①加法：logM+logN=log(MN)aaa②减法：MlogM-logN=log——aaaN③数乘：nlogM=logMn(neR)aa④alogaN=N

⑤logMn=—logM(b丰0,ngR)⑥换底公式:abbalogNlogN=—(b>0,且b丰1)alogab(5)对数函数函数名称对数函数定义函数y=logx(a>0且a丰1)叫做对数函数a图象a>10<a<1J.x=1!y=logxiarix=1!y=logxlavI\：(1,0)OOIKx定义域(0,+S)值域R过定点图象过定点(1,0)，即当x=1时，y=0.奇偶性非奇非偶单调性在(0,+8)上是增函数在(0,+8)上是减函数函数值的变化情况logx>0(x>1)alogx=0(x=1)alogx<0(0<x<1)alogx<0(x>1)alogx=0(x=1)alogx>0(0<x<1)aa变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，a越大图象越靠高.(6)反函数的概念设函数y=f(x)的定义域为A，值域为C，从式子y=f(x)中解出x，得式子x=Q(y).如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x=申(y),x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x=申(y)表示x是y的函数，函数x=9(y)叫做函数y=f(x)的反函数，记作x=f-1(y)，习惯上改写成y=f-1(x).(7)反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式y二f(x)中反解出x二f-1(y)；③将x二f-1(y)改写成y二f-1(x)，并注明反函数的定义域.8)反函数的性质原函数y二f(x)与反函数y二f-1(x)的图象关于直线y=x对称.函数y二f(x)的定义域、值域分别是其反函数y二f-1(x)的值域、定义域.若P(a,b)在原函数y二f(x)的图象上，则P'(b,a)在反函数y二f-1(x)的图象上．一般地，函数y二f(x)要有反函数则它必须为单调函数.例题一、求二次函数的解析式例1.抛物线y=x2-4x-4的顶点坐标是()A.(2，0)B.(2，-2)C.(2，-8)D.(—2，—8)例2.已知抛物线的顶点为(-1，-2)，且通过(1，10)，则这条抛物线的表达式为()A.y=3(x-1)2-2B.y=3(x-1)2+2C.y=3(x+1)2一2D.y=-3(x+1)2一2例3.抛物线y=x2-2mx+m+2的顶点在第三象限，试确定m的取值范围是()A.mV—1或m>2B.mVO或m>—1C.—1VmVOD.mV—1例4.已知二次函数f(x)同时满足条件:f(1+x)=f(1-x)；f(x)的最大值为15；f(x)=0的两根立方和等于17求f(x)的解析式二、二次函数在特定区间上的最值问题例5.当-2<x<2时，求函数y=x2-2x-3的最大值和最小值.例6.当x>0时，求函数y=-x(2-x)的取值范围.

例7•当当<x匕t+1时’求函数y=2x2-x-5的最小值（其中t为常数）.三、幂函数例8.下列函数在（-〜0）上为减函数的是（）1A.y=x3y=x2C.y=x3D.y=x—2例9•下列幂函数中定义域为Ixx>0｝的是（）2A.y=x2A.y=x33D.y=x—2B.y=x2C.y=x—3例10.讨论函数丫=x5的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出图象的示意图.例10.已知函数y=415-2x_x2.（1）求函数的定义域、值域；（2）判断函数的奇偶性；（3）求函数的单调区间.四、指数函数的运算例11.计算[（—2）一2]1的结果是（）A、逅B1、—C、—逅D、一122f拯4例12.k丿丿等于（）A、a16B、a8C、a4D、a2例13.若3a=8,3b二5，贝卩33_2b—五、指数函数的性质例14.M={yiy=2x},P={yiy=Ux-1}，则MnP（）A.{yiy>1}b.{yiy>1}c.{yiy>0}d.{yiy>0}例15.求下列函数的定义域与值域：（1）y=2x-4（2）y=（-3）ixi例16•函数y=ax-2+3（a>0且a丰1）的图像必经过点（）A．（0，1）B．（1，1）C．（2，3）D．（2，4）

例17求函数y二口的定义域和值域，并讨论函数的单调性、奇偶性.2x+1五、对数函数的运算例18•已知3a=2'那么log8-2log6用a表示是(33A、B、5a—A、B、5a—2C、3a一(1+a)2D、3a一a2例例19.2log(M-2N)=logM+logN'则M的值为NA、B、4C、1D、4或1例20.已知A、B、4C、1D、4或1例20.已知log[log(logx)]=0,7321那么x-1等于(A、B、C、12/2D、A、f0上:U(1,+8)B、f2)—,+8C、f21]L3丿L3丿L3丿)例21-叫3<1'则a的取值范围是(D、五、对数函数的性质例五、对数函数的性质例22•下列函数中，在(0,2)上为增函数的是(A、y二log(x+1)丄2A、y二log(x+1)丄2B、y=logx2—1C、y二lOg2lD、y二log(x2—4x+5)（2\例23•函数y二lg——1的图像关于（）11+x丿A、x轴对称B、y轴对称C、原点对称D、直线y=x对称例23.函数f（x）=lg（匚石-x）是（奇、偶）函数。课下作业已知二次函数y二ax2+bx+c,如果a>b>c,且a+b+c=0,则它的图象可能是图所示TOC\o"1-5"\h\z2•对抛物线y=2（x—2）2—3与y=—2（x—2）2+4的说法不正确的是（）抛物线的形状相同B.抛物线的顶点相同C.抛物线对称轴相同D.抛物线的开口方向相反二次函数丫=—x2―2x+1图像的顶点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限如图所示，满足a>0,bV0的函数y=ax2+bx的图像是（）

如果抛物线y二x2+6x+c的顶点在x轴上，那么如果抛物线y二x2+6x+c的顶点在x轴上，那么c的值为()C.3D.9y=ax2+bx+c在同一坐标系中的图象大致是匸I)7•在下列图象中，二次函数by=ax2+bx+c与函数y=(a)x的图象可能是()若函数f(x)=(a—l)x2+(a2—l)x+1是偶函数，则在区间［0,+^)上f(x)是()减函数增函数常函数可能是减函数，也可能是常函数已知函数y=x2—2x+3在闭区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则m的取值范围是()A.[1,+^)B.[0,2]C.[1,2]D.(—*,2]

10、使x2〉x3成立的x的取值范围是()A、x<1且x工0B、0<x<1C、x〉1D、x<111、若四个幕函数y=xa,y=xb,y=图，则a、b、c、d的大小关系是A、d〉c〉b〉aB、a〉b〉c〉dC、d〉c〉a〉bD、a〉b〉d〉c12•若幂函数f(x)=XmT在(0,+s)上是减函数，贝I」()A.m>1B.m<1C.m=lD・不能确定A.B.C.D.14•右函数f(x)=log(x2—6x+5)在@+8)上是减函数，则a的取值范围是()A.B.C.D.14•右函数f(x)=log(x2—6x+5)在@+8)上是减函数，则a的取值范围是()A.(—8,1]C.(—8,3)+2B・(3,+8)D.[5,+8)15、A、B、TC、D、有限集函数y15、A、B、TC、D、有限集函数y=2+lOg2X(X$1)的值域为()(2,+8)16、A、B、(-g,2)C、[2,+a)D、[3,+g)设集合S={yIy=3x,xeR},T={yIy=x2-1,xeR}，则S"T是(1(1)-1.5<2丿，则y—40.9,y=80.48,y=17、设123()

ay>y>yry>y>ycy>y>ydA、312R、213C、132D、y>y>y12318、在b二lOg(a-2)(5-")中，实数。的取值范围是()A、a>5或a<2r、2<a<3或3<a<5c、2<a<5d、3<a<4M、计算(仗2)2+(lg5)2+2lg2•lg5等于()A、0R、1c、2D、320、已知a二log32，那么log38_2log36用a表示是()A、5a一2A、5a一2R、a-2c、3a—(1+a)2D、3a—a2—3a—a2—121、已知幂函数f(x)过点(2,五)，则f(4)的值为2()A、1R、1C、22D、8二、填空题1.抛物线y=8x2—(m—1)x+m—7的顶点在x轴上，则m=—32•函数y二x—2的定义域为.3.设f(x)=(m-2)如，如果f(x)是正比例函数，则m=____，如果f(x)是反比例函数，则m二,如果f(x)是幂函数，则m二.若(|x|-1)-4有意义，则xe.当3x<5y时，J25y2-30xy+9x2=若5x2-5x=25y，则y的最小值为.TOC\o"1-5"\h\z7、若log2=m,log3=n,a2m+n=。8、函数y=log(3-x)的定义域是。(x-1)9、lg25+lg2・lg50+(lg2)2=。10、不等式6x2+x-2<1的解集是.11、不等式卩F8<3_2x的解集是.(3丿12、若10x=3」°y=4，则10x-y=.13、已知函数f(x)二［驚3："：，则f［f(9)］的值为、2x,(x<0)914、函数f(x)=lg(3x-2)+2恒过定点三