人教B版必修第四册 11.1.6 祖暅原理与几何体的体积 学案

类型一 旋转体的体积【典例】1.圆台的轴截面等腰梯形的腰长为a,下底边长为

2a,对角线长为

a,则这个圆台的体积是(

)A.C.

πa

B.πa

D.

πaπa2.盛有水的圆柱形容器的内壁底面半径为

5cm,两个直径为

5cm

的玻璃小球都浸没于水中,若取出这两个小球,则水面将下降多少?【思维·引】1.求圆台的体积可依据圆台的体积公式寻求解题思路,求出圆台的上下底面半径和高即可.2.注意取出的两个小球的体积应该等于圆柱的底面积与水面下降的高度的乘积.【解析】1.选

D.由

AD=a,AB=2a,BD=C

点作

DH⊥AB,CG⊥AB.知

DH= a,

a

知∠ADB=90°,分别过

D

点、所以

HB= =

a,所以

DE=HF=

a,所以

V

=

·

a=

πa.2.

设取出小球后

,

容器中水面下降 hcm,

两个小球的体积为 V

=2 × =

(cm),此体积即等于它们在容器中排开水的体积V=π×5×

=π×5×h=

水面将下降

cm.【内化·悟】1.求圆柱、圆锥、圆台的体积应该知道哪些量?这些量经常出现在哪个截面中?提示:;这些量经常出现在轴截面中.2.求球的体积应该知道哪些量?提示:求球的体积只需要知道球的半径即可.【类题·通】求旋转体的体积的求解技巧一是借助旋转体的轴截面,将空间问题转化为平面问题

;二是利用三角形全等、相似等关系求出所需的量;三是利用体积公式求体积.【习练·破】如图,在四面体ABCD中,截面AEF经过四面体的内切球(与四个面都相切的球)球心O,且与BC,DC分别截于E,F,如果截面将四面体分成体积相等的两部分,设四棱锥

A-BEFD

与三棱锥

A-EFC

的表面积分别是

S

、S

,则必有

( )A.S

<SC.S

=S

B.S

>S

D.S

,S

的大小关系不能确定

选【解析】

OA,OB,OC,OD,OE,OF,则V选

=V

+V

+V

+V

,V

=V

+V

+V

.又V

=V

,而构成四棱锥

A-BEFD

和三棱锥

A-EFC

的每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径,故eq

\o\ac(△,S) ABD

+S

eq

\o\ac(△eq

\o\ac(△,+)

+S

ADFeq

\o\ac(△,=S)

+S

AECeq

\o\ac(△,+S)

,又△AEF

为公共面,所以

S

=S

.

【加练·固】1.半径为

R

的半圆卷成一个圆锥,这个圆锥的体积是( )A. πR B. πR C. πR D. πR【解析】选

A.设圆锥的底面半径为

r=

R.所以圆锥的高

h= = R.所以

V

=

πr·h=

· · R= πR.2.如图①,一只装了水的密封瓶子

,其内部可以看成是由半径为

1cm和半径为3cm的两个圆柱组成的几何体.当这个几何体如图②水平放置时,液面高度为20cm,当这个几何体如图③水平放置时,液面高度为28cm,则这个几何体的总高度为________cm.【解析】设半径为

1cm

和半径为

3cm

的两个圆柱的高分别为

h

cm

和3

h 1 1

h 3h

cm,则由题意知

π·

·

+π·

·(20-h

)=π·

3

h 1 1

h 3 整理得

8π(h

+h

)=232π,所以

h

+h

=29. 答案:29类型二 棱柱、棱锥、棱台的体积角度

1 等积法求体积【典例】如图,已知

ABCD-A

B

C

D

是棱长为

a

为

AA

的中 点,F

为

CC

上一点,求三棱锥

A

-D

EF

的体积. 【思维·引】

三棱锥

A

-D

EF

的高不易求出

,可以转换为求三棱锥 F-A

D

E

的体积. 【

解

析

】

由 = ,

因

为=

EA

·A

D

=

a,又三棱锥

F-A

D

E

的高为

CD=a,所以 =

×a×

a= a.= a.【素养·探】在与柱体、锥体、台体的体积有关的问题中,经常利用核心素养中的数学运算

,通过分析空间几何体的形状选择恰当的公式

,求出几何体的体积.将本例的条件改为点

F

为

CC

的中点,其他条件不变,如图,求四棱锥A

-EBFD

【解析】因为

EB=BF=FD

=D

E= = a,D

F∥EB,所以四边形 EBFD

是菱形,连接

EF,则△EFB≌△FED

.因为三棱锥

A

-EFB

与三棱锥 A

-FED

的

高

相

等

,

所

以=2= EA

·

AB==2

=2a,

所

以=

a.

=

,

又

因

为a,

所

以角度

2 公式法、割补法求体积【典例】1.如图所示,在多面体

ABCDEF

中,已知四边形

ABCD

是边长为1

的正方形,且△ADE,△BCF

均为正三角形,EF∥AB,EF=2,求该多面体的体积.2.如图所示,三棱锥

P-ABC

的所有棱长都为1,求此三棱锥的体积.【思维·引】1.该几何体是不规则图形,应该将其分割成我们熟悉的几部分,然后再去求解.2.将此三棱锥放在正方体中,看作正方体切去四个三棱锥得到

,据此设计算法求解.【解析】1.如图所示,过点

A,B

分别作

AM,BG

垂直于

EF,垂足分别为点

M,G,连接

DM,CG,这样就将多面体分为两个体积相等的三棱锥与一个直三棱柱.由图形的对称性,知

EM=GF=

.在

Rt△AME

中,可求得

AM=

.在等腰三角形

AMD

中,可求得

S

=

.所以

V =2V +V =

·EM·多面体

+AB·S

= × = .2.如图所示,把三棱锥放在正方体中.三棱锥

P-ABC

可看作正方体切去四个三棱锥得到,因为正四面体的棱长为1,所以正方体的棱长为 ,所以三棱锥

P-ABC

的体积为【类题·通】求几何体体积的常用方法

-4×

×

×

×

×

=

.【习练·破】1.如图所示,在三棱柱ABC-A

B

C

中,若E,F分别为AB,AC的中点,平面 EB

C

F

将三棱柱分成了

AEF-A

B

C

和

BB

E-CC

F

两部分,它们的体积分 别为

V

,V

,那么

V

∶V

=________. 【解析】设三棱柱的高为

h,底面的面积为

S,体积为

V,则

V=V

+V

=Sh. 因为

E,F

分别为

AB,AC

的中点,所以eq

\o\ac(△,S) AEF

=

S,V

=

h

=

Sh,V

=Sh-V

=

Sh,故

V

∶V

=7∶5.

答案:7∶52.正方形ABCD的边长为1,分别取边BC,CD的中点E,F,连接AE,EF,AF,以

AE,EF,FA为折痕,折叠这个正方形,使

B,C,D

重合于一点P,得到一个三棱锥如图.求此三棱锥的体积.【解析】因为∠D=∠C=∠B=90°,所以翻折后∠APE=∠EPF=∠APF=90°.所以

Rt△PEF

可以看作底面,而

AP

可以看作是高.比较发现:AP=1,PE⊥PF,PE=PF=

.所以

V =

S

·AP=

×

×

×

×1=

.【加练·固】现要建造一个长方体形状的仓库,其内部的高为

3m,长和宽的和为

20m,那么仓库的容积的最大值是 ( )A.300m B.400m C.200m D.240m【

解

析

】

选

A.

设

长

方

体

的

长

为

xm,

则

宽

为

(20-x)m,

所

以V=3x(20-x)=-3(x-10)+300≤300.故最大容积为

300m.类型三 组合体的体积【典例】1.已知正方体外接球的体积是 π,那么正方体的棱长等于( )A.2 B. C. D.2.有一个圆锥的侧面展开图是一个半径为

5,圆心角为

在这个圆锥中内接一个高为x

的圆柱.(1)求圆锥的体积.(2)当

x

为何值时,圆柱的侧面积最大?【思维·引】1.依据球的体积可求得球的半径,再注意到外接球的直径与正方体的体对角线的关系即可求解.2.(1)先根据题目条件,找出关于圆锥的底面半径

r

的方程,然后求圆锥的底面半径和高,最后求圆锥的体积.(2)在圆锥的轴截面中,利用三角形相似推出圆柱的底面半径

y

与圆锥的高

x

的关系,进而建立圆柱的侧面积

S

关于圆锥的高

x

的函数,求最大值.【解析】1.选

D.设正方体的棱长为

x,则正方体的体对角线长为 x,由题设有π = π,解得

x= .2.(1)因为圆锥侧面展开图的半径为

5,所以圆锥的母线长为

5.设圆锥的底面半径为

2πr=

×2π×5,所以

r=3,则圆锥的高为

4,故体积

V=

πr×4=12π.(2)如图为轴截面图,这个图为等腰三角形中内接一个矩形.设圆柱的底面半径为

=

,得

y=3-

x.圆柱的侧面积

S(x)=2π(3-

x)x=

π(4x-x)=

π[4-(x-2)](0<x<4),当

x=2

时,S(x)有最大值

6π.所以当圆柱的高为

2

时,有最大侧面积

6π.【内化·悟】求简单组合体的体积,应如何将几何体分解?提示:一般是将其分解为常见的几何体,如棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球等.【类题·通】求组合体体积的方法（1）分析组合体的结构特征:弄清组合体的组成形式,找准常见几何体的关键量.补形”的方法求解.（3）计算求值:依据计算方法与常见几何体的体积公式计算求解.【习练·破】1.正方体的内切球与其外接球的体积之比为

( )A.1∶C.1∶3

B.1∶3D.1∶9【解析】选

C.设正方体的棱长为

a,则它的内切球的半径为

a,它的外接球的半径为 a,故所求的比为

1∶3 .2.如图,半径为

2

的半球内有一内接正六棱锥

P-ABCDEF,则此正六棱锥的侧面积是________.【解析】显然正六棱锥

P-ABCDEF

的底面的外接圆是球的一个大圆

,于是可求得底面边长为

2.依题意可得正六棱锥

P-ABCDEF

的高为

2,以此可求得侧面积为6答案:6

.【加练·固】直角梯形的一个内角为

45°,下底长为上底长的

,此梯形绕下底所在直线旋转一周所成的旋转体的全面积为

(5+此旋转体的体积.【解析】画出旋转体的轴截面如图所示,

)π,求设

BC=a,则

DC= a,AE=a,ED=2a,AC=3a.S

=πa+2πa·2a+π

a=(5+

)π,所以

a=1,(负值舍去),所以

V=πa·2a+

πa=

πa=

π.类型四 现实生活中的体积问题情境经济开发区建造圆锥形仓库用于贮藏粮食,已建的仓库的底面直径为

12m,高为

4m.随着经济开发区农业经济的发展,粮食产量增大,经济开发区现拟建一个更大的圆锥形仓库,以存放更多粮食.现有两种方案:一是新建的仓库的底面半径比原来大

2m(高不变);二是高度增加

4m(底面直径不变).试判断哪个方案更经济些?转化模板1. —由题意可得,经济的方案应该是仓库的表面积尽量小,仓库的体积尽量大,所以可建立锥体表面积和体积模型求解.2. —设仓库的底面半径为

r,圆锥的母线长为

l,方案一:仓库的体积为

V

,表面积为

S

,方案二:仓库的体积为

V

,表面 积为

S

.3. —已知一个圆锥的底面直径为

16m,高为

4m,另一个圆锥的底面直径为

12m,高为

8m,求这两个圆锥的表面积和体积,并判断哪个圆锥的表面积小,体积大.4.l=

—如果按方案一,仓