2023年数学(三)考研大纲

PAGEPAGE13/132023考研数学三考试大纲考试科目：微积分、线性代数、概率论与数理统计考试形式和试卷结构一、试卷满分及考试时间试卷满分为150分，考试时间为180分钟．二、答题方式答题方式为闭卷、笔试．三、试卷内容结构微积分线性代数概率论与数理统计四、试卷题型结构单项选择题填空题解答题（包括证明题）

10550分6530分6小题，共70分微积分一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数 函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限：sinxxlim sinxxx®0

limçx®¥èç

1öxx+ ÷=xø函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质考试要求理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念．之间的关系．要极限求极限的方法．限．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续，会判别函数间断点的类型．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（)，并会应用这些性质．二、一元函数微分学考试内容导数和微分的概念 导数的几何意义和经济意义 函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线与法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数反函数和隐函数的微分法高阶导数 一阶微分形式的不变性微分中值定理 洛必达法则 函数单调性的判别函数的极值 函数图形的凹凸性拐点及渐近线 函数图形的描绘 函数的最大值与最小值考试要求理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义与经济意义（边际与弹性的概念，会求平面曲线的切线方程和法线方程．段函数的导数，会求反函数与隐函数的导数．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数．分．理解并会用罗尔(Lagrange)中值定理和泰勒了解并会用柯西（Cauchy)中值定理．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法．的求法及其应用．（(abf(xf(x)>0时，f(x)的图形是凹的；当f(x)<0时，f(x)的图形是凸的，会求函数图形的拐点以及水平、铅直、和斜渐近线．会描述函数的图形．三、一元函数积分学考试内容性质定积分中值定理积分上限的函数及其导数牛顿莱布尼茨（Newton-Leibniz）不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法反常（广义）积分定积分的应用考试要求积分的换元积分法与分部积分法．莱布尼茨公式以及定积分的换元积分法和分部积分法．解简单的经济应用问题．理解反常积分的概念，了解反常积分收敛的比较判别法，会计算反常积分．四、多元函数微积分学考试内容多元函数的概念 二元函数的几何意义 二元函数的极限与连续的概念 有界闭区域上二元连续函数的性质 多元函数偏导数的概念与计算 多元复合函数的求导法与隐函数求导法 二阶偏导数 全微分 多元函数的极值和条件极值最大值和最小值二重积分的概念基本性质和计算无界区域上简单的反常二重积分考试要求了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义．了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质．微分，了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数．函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题．重积分的计算方法（直角坐标、极坐标，了解无界区域上较简单的反常二重积分并会计算．五、无穷级数考试内容常数项级数的收敛与发散的概念收敛级数的和的概念级数的基本性质与收敛的必要p条件收敛交错级数与莱布尼茨定理幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）域幂级数的和函数幂级数在其收敛区间内的基本性质简单幂级数的和函数的求法初等函数的幂级数展开式考试要求的必要条件．p级数的收敛与发散的条件掌握正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法、根值判别法，会用积分判别法．掌握交错级数的莱布尼茨判别法．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系．了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分会求一些简单幂级数在其收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和．掌握exsinxcosxln(1x及(1x)的麦克劳林（Maclaurin）展开式，会用它们将一些简单函数间接展开为幂级数．六、常微分方程与差分方程考试内容常微分方程的基本概念变量可分离的微分方程齐次微分方程一阶线性微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微分方程及简单的非齐次线性微分方程差分与差分方程的概念差分方程的通解与特解一阶常系数线性差分方程微分方程的简单应用考试要求了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念．掌握变量可分离的微分方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法．掌握线性微分方程解的性质及解的结构．数非齐次线性微分方程．了解差分与差分方程及其通解与特解等概念．了解一阶常系数线性差分方程的求解方法．会用微分方程求解简单的经济应用问题．线性代数一、行列式考试内容行列式的概念和基本性质行列式按行（列）考试要求了解行列式的概念，掌握行列式的性质．会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式．二、矩阵考试内容矩阵的概念矩阵的线性运算矩阵的乘法方阵的幂方阵乘积的行列式矩阵的转置逆矩阵的概念和性质矩阵可逆的充分必要条件伴随矩阵矩阵的初等变换初等矩阵矩阵的秩矩阵的等价分块矩阵及其运算考试要求解对称矩阵、反对称矩阵及正交矩阵等的定义和性质．行列式的性质．.等变换求矩阵的逆矩阵和秩的方法．了解分块矩阵的概念，掌握分块矩阵的运算法则．三、向量考试内容线性无关向量组的正交规范化方法考试要求了解向量的概念，掌握向量的加法和数乘运算法则．性相关、线性无关的有关性质及判别法．理解向量组的极大线性无关组的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩．理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的关系．了解内积的概念．掌握线性无关向量组正交规范化的施密特方法．四、线性方程组考试内容线性方程组的克拉默（Cramer）法则齐次线性方程组有非零解的充分必要条件非齐次线性方程组有解的充分必要条件线性方程组解的性质和解的结构齐次线性方程组的基础解系和通解非齐次线性方程组的通解考试要求会用克拉默法则解线性方程组．掌握非齐次线性方程组有解和无解的判定方法．法．理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念．掌握用初等行变换求解线性方程组的方法．五、矩阵的特征值和特征向量考试内容矩阵的特征值和特征向量的概念、性质 相似矩阵的概念及性质 矩阵可相似对角化充分必要条件及相似对角矩阵实对称矩阵的特征值和特征向量及相似对角矩阵考试要求特征向量的方法．掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法．掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质．六、二次型考试内容二次型及其矩阵表示 合同变换与合同矩阵 二次型的秩 惯性定理 二次型的标准和规范形 用正交变换和配方法化二次型为标准形二次型及其矩阵的正定性考试要求了解二次型的标准形、规范形的概念以及惯性定理．掌握用正交变换化二次型为标准形的方法，会用配方法化二次型为标准形．理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法．概率论与数理统计一、随机事件和概率考试内容随机事件与样本空间 事件的关系与运算 完备事件组 概率的概念 概率的基本性古典型概率几何型概率 条件概率 概率的基本公式事件的独立性独立重复试验考试要求了解样本空间（基本事件空间）算．公式等．念，掌握计算有关事件概率的方法．二、随机变量及其分布考试内容随机变量 随机变量分布函数的概念及其性质 离散型随机变量的概率分布 连续型机变量的概率密度常见随机变量的分布随机变量函数的分布考试要求理解随机变量的概念，理解分布函数F(xPX£（¥<x+¥）的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率．0－1B(np何分布、超几何分布、泊松P及其应用．掌握泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布．．理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布 U(a,b)、正态分布N(, 2)、指数分布及其应用，其中参数为( >0)的指数分布E()的概率密度为f(x)=ìï

e-x,若x>0îïí0,î

若x£0会求随机变量函数的分布．三、多维随机变量的分布考试内容多维随机变量及其分布函数 二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度 随机变量的独立性和不相关常见二维随机变量的分布两个及两个以上随机变量简单函数的分布考试要求理解多维随机变量的分布函数的概念和基本性质．变量的不相关性与独立性的关系．掌握二维均匀分布和二维正态分布N( 1

;2, 22 1 2

)，理解其中参数的概率意义．四、随机变量的数字特征考试内容随机变量的数学期望（均值、方差、标准差及其性质随机变量函数的数学期望切雪夫（Chebyshev）不等式 矩、协方差、相关系数及其性质考试要求理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数）会运用数字特征的基本性质，并掌握常用分布的数字特征．会求随机变量函数的数学期望．了解切比雪夫不等式．五、大数定律和中心极限定理考试内容切比雪夫大数定律 伯努利（Bernoulli）大数定律 辛钦（Khinchine）大数定律 棣弗拉普拉斯Moivre－Laplace）定理 列林德伯格（Levy－Lindberg）定理考试要求了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律（的大数定律．了解棣莫弗拉普拉斯中心极限定理（二项分布以正态分布为极限分布、列维林德（独立同分布随机变量序列的中心极限定理有关随机事件的概率．六、数理统计的基本概念考试内容总体 个体 简单随机样本 统计量 经验分布函数 样本均值 样本方差和样本矩2分布 t分布F分布分位数 正态总体的常用抽样分考试要求1．了解总体、简