含绝对值不等式证明方法综述

含绝对值不等式证明方法综述1引言由于含绝对值不等式证明是中学数学内容的重要组成部分，也是近年来数学竞赛命题的一个重要知识点，而且含绝对值不等式证明对中学生解题能力的提高也很有帮助，因此探讨含绝对值不等式证明方法对中学数学教学以及数学竞赛的训练具有一定的指导意义．2基本概念和基本结论2.1基本概念绝对值定义[6](pn):数轴上表示数a的点与原点的距离，叫做a的绝对值.由绝对值的定义可知：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.用式子表示为:(1)a=a(a>0)(2)a=—a(a<0)(3)a=0(a=0).2.2基本结论TOC\o"1-5"\h\zx<a(a>0)Ox2<a2o—a<x<a.x>a(a>0)Ox2>a2ox>a或x<—a.|x—m<a(a>0)O—a<x—m<aom—a<x<a+m.|x—m>a(a>0)Ox>a或x—m<—aox>m+a或x<m—a.|x—m|=|m—x|,x2=x2.有关定理2.3.1一个重要不等式[2](P9)如果a,beR那么a2+b2>2ab(当且仅当a=b时取“=”号).2.3.2算术平均数与几何平均数定理⑵(P9)如果a,b是正整数，那么>爲匸(当且仅当a=b时取“=”号).关于绝对值不等式的定理及推论定理1[2](p21)|a|—b<|a+b\<|a|+|b|.

推论1[2](P22)推论2【2](p22)a-b|<|a一b\<a+|b|2.4去绝对值的方法（1）根据绝对值的意义及有关同解定理．（2）两边平方法．（3）零点分区法．3含绝对值不等式证明方法举例3.1两边平方法对于形式简单的含绝对值不等式，可以考虑两边平方法去绝对值符号，然后再证明例1已知a<1,b<1,求证誥<1-证明要证1+ab证明要证1+ab需证(a+b)2<1.(1+ab)2因为(1+ab)2>0,所以a2+2ab+b2<1+2ab+a2b2,所以(1一a2一b2)+a2b2>0,即(1—a2)(1—b2)>0.由问<1,|b|<1,知(1-a2)(1—b2)>0成立.所以a+所以a+b1+ab<1成立.3.2零点分区法绝对值符号的存在是证明含绝对值不等式的一大障碍,对此常采取划分区间逐段讨论法先去掉绝对值符号转化为一般不等式再证明.例2[3]（P140）已知x2+y2<1，其中x,y为实数.求证3<|x+y|+|y++|2y一x—4<7.证明根据已知条件x2+y2<1,得y2<x2+y2<1,即一1<y<1.所以y+1>(-1)+1=0,因此|y+1|=y+1.再由X2<x2+y2<1，得一1<x<1.由此2x(—1)—1<2y—x<2x1—(—1),即一3<2y—x<3.所以2y—x—4<3—4=—1<0.那么|2x—y—4=—(2y—x—4)=—2y+x+4.下面分两种情况讨论：x+y>0时，|x+y|+|y+1|+|2y—x—4|=(x+y)+(y+1)—(2y—x—4)=2x+5,所以3=2x(—1)+5<2x+5<2x1+5=7.x+y<0时，|x+y|+|y+1|+|2y—x—4|=—(x+y)+(y+1)—(2y—x—4)=—2y+5,所以3=(-2)x1+5<—2y+5<(—2)x(—1)+5=7.综合(1)、(2)得3<|x+y|+|y+1|+|2y—x—4\<7.3.3综合法综合法是由因导果，即从已知的条件或已知的真命题出发一步步推出结论成立的一种方法例3⑵(p22)已知|x<；,|y<；,|Z<：，求证|x+2y—3z|<£.369证明|x+2y—3z|<|x|+|2y|+1—3z|=|x|+|2||y|+—3||z|=x+2|y|+3|z.

TOC\o"1-5"\h\z8||8s因为H<3，ly<6，kl<9'III82838所以X+2|y+3zy+丁+==8•369所以|x+2y-3z|<8.3.4分析法分析法是执果索因，即从结论开始，一步步寻求上一步成立的条件，直至得出一个真命题为止对于含绝对值不等式不好入手，常采用分析法．例4求证a+|b|例4求证a+|b|

i+a+ib证明要证a+|b|

i+a+|b|只需证(|a|+|b|)(1+|a+b|)>|a+冰1+|a|+|b|),只需证|a|+|b|+(|a|+|b|)|a+b>|a+b+(|a|+|b|)|a+b,只需证|a|+bl>|a+b，此式显然成立.所以原式成立.3.5比较法在证明不等式的各种方法中，比较法是一种最基本、最重要的方法，它是利用不等式两边的差是正数还是负数来证明的，其应用非常广泛．例5⑵(p29)已知a,b,c,d都是实数，且a2+b2=1,c2+d2=1,求证|ac+bd\<1.证明显然有|ac+bd\<1o-1<ac+bd<1.证明先证ac先证ac+bd>-1因为ac+bd—(—1)=ac+bd++—因为22a2+b2c2+d2=ac+bd++22(a+c)2+(b+d)2>o>,所以ac+bd所以ac+bd>-1.再证ac+bd<1.因为因为1—(ac+bd)二㊁+—(ac+bd)——ac—cd(a—c)2+(b—d)22所以ac+bd<1.综上得|ac+bd\<1.3.6放缩法(1+a(1+a2)—(1+b2)v1+a2+1+b2a+|b|]<性宇=|a—b|.|a+b|在证明含绝对值不等式过程中，有时需要对不等式进行适度的放缩，但放缩时要根据题目要求及时调整放缩形式．例6已知函数fC)=\；1+X2,设a，bGr.证明f(a)—f(b)<a—b证明因为f(a)—f(b)|=/+a2—看1+b2所以原不等式成立．3.7归纳法对于与自然数n有关的不等式问题，往往采用归纳法进行证明.应用归纳法时，先假设n=k时不等式成立，然后推证n=k+1时不等式也成立.从而使命题得证.例7已知n是自然数，a,bgR(i=1,2,A,n)，求证ii:a2+a2+A+a2<|a|+|a|+A+|a|.TOC\o"1-5"\h\z"12n12n证明(1)当n=1，n=2时，不等式显然成立.(2)设n=k时，不等式成立，即a2+a2+A+a2<|a|+|a|+A+|a|12k12k(3)当n=k+1时，有a2+a2+A+a2+a212kk+1<|a+aA+a|+|a|12kk11<laJ+laJ+A+lakl+lak+11所以当n二k+1时，不等式仍成立.

所以原命题成立．3.8构造函数法构造法的基本思想是通过构造中介性的辅助元素，沟通不等式的条件与结论的内在联系，从而得以证明．对于不等式两边结构完全相同或相似的，可以联想利用函数知识及不等式特点，构造辅助函数，将不等式证明转化为函数增减性来研究．例8a例8a,b,ceR，求证a1+ac1+c分析由于不等式四个式子中出现的形式相似相当于函数仏)=总在相应四个点的函数值，因此设置辅助函数证明这个不等式．证明构造函数f°证明构造函数f°)=亡xe[0,+w)，则当0<x<x时,12x—1—二f(x)x—1—二f(x)—f(x)=-^-2|b||c|i+(a+bi+c)i+(a+bi+c)+1+(|a|+b+|c|)b++1+blc1+c^4—>0,11+x1+x(1+x)(1+x)2112所以函数f⑺乱在上是严格递增的,|a+b+c|<|+bl+|c|,fC+b+ci)<fCi+闵+1』,所以原不等式成立．3.9换元法换元法的基本思想，就是根据不等式的结构特征，选取能以简代繁、化难为易的变量代换，使不等式得到证明的方法．通过合理换元可以达到事半功倍的效果．例9设x，yeR，且x2+y2<1，求证x2+2xy—y2<J5.证明设x2+y2二九2，则由题设可知，九<1，并可设x二九cos0，y=九sin9，于是x2+2xy一y2=九2(cos29+2cos9sin9一sin29)

=九2(cos29+sin29)=sin(20+—).4所以x2+2xy—y2<九2迈<^：2.3.10积分法积分法是利用积分学的知识来证明不等式的一种方法，它的主要依据是积分学基本公式和基本性质．例10已知x>1，求证5|x—1|<x5—1<5x4(x—1].证明由x>1可先去掉绝对值符号，得5(x—1)<x5—1<5x4(x—1)取tW6,x),则14<14<x4,有5<5t4<5x4，所以J5dt<J5t4dt<J5x4dt.11所以J5t4dt11所以J5t4dt=x5—1,5x4dt=5x4(x—1),5(x—1)<x5—1<5x4(x—1)4综述由于含绝对值不等式的