向量的本质理解及其教学研究

PAGEPAGE5向量的本质理解及其教学研究长春市十一高中赵桂梅【摘要】向量是我国高中数学新课程中的必修内容，向量具有代数的抽象与严谨和几何的直观，是解决几何问题的有力工具，集中体现了数形结合的思想。本文从向量的本质理解出发，探讨向量的核心概念、重要模型和思想，进而从多个视角分析向量教学中应注意的问题，以其对我国向量教学提供新的视野。【关键词】课程改革；数学教学；向量当前，在世界各国的数学课程改革中有很多共同的特点和趋势，在数学内容的选择方面亦如此。向量作为近代数学最重要和最基本的概念之一，既是很多国家高中数学课程的学习内容，也是此次我国高中数学新课程中的必修内容。本文从向量的本质理解出发，探讨向量的核心概念、重要模型和思想，进而从多个视角分析向量教学中应注意的问题，以其对我国向量教学提供新的视野和建议。1、向量的本质理解与教学向量是刻画几何对象的重要工具，大多数教材定义向量是有大小有方向的量.从几何直观的角度来看，向量可以描述为有向线段：起点，大小与方向（注意教学中对起点理解的处理方式），而如果把这个定义为原始概念，如何推导出例如加法的平行四边形的法则成为困难，解决方法必须把向量的运算也归入定义之中.因此，在大学教材中通常要采用公理化定义：先定义线性空间（或称向量空间），然后定义向量为线性空间的元素.而在高中教学避免过度的形式化，采用了直观的定义与运算并行的处理方式，避开了公理化定义。向量既具有图形的直观性，又有代数推理的严密性.从而向量是一个具有几何和代数双重身份的概念.（1）向量的代数描述：从代数运算的角度理解：把向量的加法(减法)、数乘以向量和向量的数量积看作新的运算，使学生认识到数、量和运算的形式在不断的发展，更为重要的是在教材和教师教学的处理上应该表现出“数、量和运算”的一个发展趋势链。因此向量不是“数”的简单扩大，它所关注的不是“数”的扩大问题，而是“量及运算”的扩大问题.从结构主义的角度理解，我们从向量概念、运算律、共线(平面或空间)向量定理、空间向量共面定理、平面(或空间)向量基本定理出发,可以揭示平面(或空间)向量基本结构,即向量之间关系.向量与向量的加法运算构成了加法交换群，向量与向量的加法运算向量、数乘运算构成了线性空间，向量与向量的加法、实数、乘法运算构成了线性赋范空间。可见，向量代数所依附的线性代数是高等数学中一个完整的体系，具有良好代数结构，是重要的数学模型。（2）向量的几何描述：向量作为有向线段，可以刻画位置关系和几何度量。向量的加法用几何语言来讲即平行四边形法则，数乘向量是位似中心在原点的位似变换，可以刻画垂直、角度等几何量，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量积等运算（运算律），从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系。可见向量沟通了代数、几何与三角，是数形结合的最好体现。（3）向量的坐标描述：向量可以表为一组个实数，这种坐标描述把一切运算都化成了数的代数运算.而几何描述（以原点为起点的有向线段）与坐标描述之间有一种对应关系：这种对应关系不只是一一对应，而且保持运算关系，即同构关系.向量几何在本质上是坐标几何的返璞归真”返璞归真是认识的一个进步,即向量几何揭示了坐标几何的本质,是坐标几何的向前发展向量几何使用.由上分析可见，从知识的角度理解：向量的概念、平面向量基本定理、向量运算构成了向量的核心概念，其中向量的概念是内核。向量方法也就成为核心数学思想方法。2、向量模型及其思想2.1向量模型向量的本质决定向量具有两个模型特征：向量数量积的几何模型：对于向量我们定义其数量积为 其中是的夹角。由此模型可以推到余弦定理和三角函数的“差角公式”.向量的坐标模型：设有两个向量，则定义 由此模型可以推导施瓦兹不等式. 2.2向量中体现的数学思想向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，兼有代数与几何两种形式，具有代数的抽象与严谨和几何的直观，运算简洁又富有新意，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具，这集中体现数形结合的思想。向量概念引入后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量积等运算（运算律），从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系。在平面向量基本定理的支撑下，平面向量的正交分解、坐标表示的目的是要把平面向量这一定性的结果变成定量的结果，把存在的东西具体表示出来，一旦定性的东西得到定量的表示，再用坐标运算操作起来就容易多了。进而通过“三步曲”，即用向量表示出问题中关键的点、线、（面）；进行向量计算得出结果；对所得结果给予几何的解释而将问题解决。使得以向量及其运算为工具，可以研究几何。因此，在教学中要鼓励学生更多地理解“几何代数化”.正如数学课程标准中所言:用空间向量处理立体几何问题，提供了新的视角.所以向量更多更重要的是提供了一种认识图形和空间的方法，为解决问题提供了一个十分有效的工具.因而，在教学中教师要重视渗透这一数学思想，让学生体会向量方法在研究几何图形中的作用，进一步发展空间想象能力与几何直观能力.向量及其运算构成向量代数，从代数运算角度向量具有较好的代数结构，是公理化思想的体现，把平面和空间看作是一个向量场，可以培养学生对结构数学的认识，而结构数学是现代数学发展的主要方向，也可以把向量的引入理解为现代数学与初等数学的衔接的组成部分之一.3、向量教学应注意的问题从向量的表示形式看，其与几何有着千丝万缕的联系，向量的运算关系能充分反映几何图形中存在的一些特定的关系或性质.所谓性质，指一对象在某些条件改变后还仍然保持的某种不变的关系.对于向量与几何的联系、变与不变的关系，如何让学生通过自身的活动去观察、去发现、去感悟，积极地参与到教学活动中来，是新课程改革的突出要求.而数形结合的原则应该是贯穿整个向量理论的教学的基本原则.不仅引领整个向量知识块的发生、发展、深化，而且对向量概念内涵的理解要通过数形教学不断提升：（1）数学理解的视角——对向量内容的本质和所蕴含的数学思想、方法及其精神的把握，是理解向量本质的决定性因素。向量是重要的数学模型，向量是刻画位置的重要工具，向量与运算构成了代数系统，具有良好的代数结构，而向量概念的双重性决定向量具有数形结合、公理化思想，这要求我们对向量概念教学应把握注重本质和思想的理解。，处理好以下几个关系：处理好向量的概念、运算与平面向量基本定理的关系。这三个核心概念同在概念外延的生长期，由于正交分解、坐标表示及坐标运算生成的需要，平面向量基本定理尤为重要，这导致教学中对向量的概念很容易被认为已经完成历史使命，不再对它的外延的生长加以注意，而导致学生对向量的概念的疑惑或异化，忽略了对向量概念的本质教学。处理好向量与物理背景的关系。向量是一个很抽象的东西，看不见摸不着，赋予它形的东西，意义巨大，便于学生理解，但向量的背景与向量的概念的本质毕竟是有距离的，但形不是向量的内涵，如果学生对有向线段的形与向量的形不能真正的区分开来，就不能正确地理解向量的内涵。处理好直观理解与形式化理解的关系。通常向量概念的教学，以物理背景为切入点，以有向线段为几何直观意义，这会导致学生产生困惑或思想障碍：向量是有向线段吗？向量究竟与起点有没有关系？海拔是向量吗？怎样表示0向量？单位向量有几条？0向量的长度为什么为0，方向任意？a＞b有意义吗？这需要教师对向量概念的本质有深刻的理解。（2）思维的视角——理解学生的数学思维规律向量概念具有二重性，既表现为过程操作，又表现为一种对象、结构；向量概念又是代数与几何的交汇，所以教学更应该具有思维发展的层次性和阶段性，从代数思维角度看，向量教学应当帮助学生较好地实现由“程序性观念”向“结构性观念”的转变，不是仅停留在代数运算的理解，而是要上升到结构性理解；从几何思维的角度看，向量教学应当要注意物理背景、几何意义和抽象性相结合，促进学生从初级到高级数学思维的认知发展，运用操作符号和视觉直观建立由过程到概念的连续抽象概括，形成创造性思维。因此，向量教学过程要注重知识的再组织和再创造，注重对向量教学的教育形态研究和开发。例如，探究数量积的概念，从探究向量的数量积运算入手，到研究数量积的几何意义和物理意义，再到探究数量积的运算性质与运算律，经历从数到形和从形到数的转化，使学习向量走向“思维中的具体”。（3）认知的视角——理解学生的认知发展水平从心理学角度分析，高中学生认知发展处于双重阶段：具体运算向形式运算过渡阶段与真正掌握形式运算阶段，属于经验型抽象，因此，向量的教学应该注意物理背景和几何直观意义，二者是学生理解向量概念的经验基础，是实施向量概念教学的有效“平台”。从物理背景中揭示隐藏在现实背景下的向量概念，帮助学生建立多元多维的向量认识，这符合学生认识规律的过程。（4）表征方式的视角——注重学生的差异性在向量教学中，教师普遍采用课本统一的教学程序和教学策略，在传授过程中对向量做一定的简单化处理，建立单一标准的基本表征，认知环境的单一化，导致学生对向量概念的本质认识模糊。而用向量解决问题通常有三个过程：形译成向量向量运算向量译成形。学生表征的转化能力较弱，（教师没有采取更多的教学手段（包括计数器、信息技术整合等），所以学生对向量的掌握停留在初级水平上，只建立在向量的求解步骤或计算公式的死记硬背和机械应用之上，没有建构起解决问题的思路，缺乏问题探究与体验过程，难以产生广泛、灵活的迁移。不同的个体倾向影响学生利用不同的表征来理解向量，我们知道在数学概念学习中确实存在分析型、集合型和调和型学生，但我们的教师教学更多的适合对分析型学生的培养，因此，应该强调认知途径的多样化、概念表征的多元化必须采取“数量化”的方法，也就是代数化几何的处理方法，例如，对平面向量的正交分解的理解，可以从物理背景、几何直观、坐标表示等方法来适应不同层次学生理解的需要，同样，信息技术作为学习的认知工具，可实现运动变化的可操作和可视性，并将各种元素的变化与联系同时呈现，可以更好地帮助学生在教师的辅导下进行充分自主地观察、尝试、猜想、发现、思考、分析、提问等探究式的活动，从而更好地发展数学的思维、领悟向量的本质。[参考文献][1]中华人民共和国教育部制订.普通高中数学