北师大版《平方差公式》精美课件2

第一章整式的乘除1.5平方差公式北师大版数学七年级下册第一章整式的乘除1.5平方差公式北师大版数学七年级下11.平方差公式的推导和应用.2.理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式.学习目标1.平方差公式的推导和应用.学习目标2复习回顾：多项式与多项式是如何相乘的？(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn导入新知复习回顾：多项式与多项式是如何相乘的？(a+b)(m31知识点平方差公式计算下列各题：(1)(x+2)(x－2)；(2)(1+3a)

(1－3a)；(3)(x+5y)(x－5y)；(4)(2y+z)(2y－z).观察以上算式及其运算结果，你有什么发现？再举两例验证你的发现.合作探究1知识点平方差公式计算下列各题：合作探究4平方差公式：(1)平方差公式的推导：(a+b)(a-b)=

=

.(2)文字语言：两个数的和与这两个数的差的积，等于

这两个数的

.(3)符号语言：(a+b)(a-b)=

.a2-ab+ab-b2a2-b2平方差a2-b2新知归纳平方差公式：a2-ab+ab-b2a2-b2平方差a2-b2如图①，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸片拼成如图②的等腰梯形．(1)设图①中阴影部分面积为S1，图②中阴影部分面积为S2，请直接用含a，b的代数式表示S1，S2；(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式．例1合作探究如图①，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，6导引：直先计算图①中阴影部分面积为S1＝a2－b2，

再计算图②中阴影部分面积为S2＝(2b＋2a)(a－b)，然后根据面积相等得到乘法公式．解：(1)S1＝a2－b2，S2＝(2b＋2a)(a－b)＝(a＋b)(a－b)．(2)(a＋b)(a－b)＝a2－b2.导引：直先计算图①中阴影部分面积为S1＝a2－b2，7本题易错之处在于对平方差公式的左右结构特征没有认识清楚从而导致选错．(3)(－x－1)(1－x)；2014＝2015－1，2016＝2015＋1；解：(1)原式＝(2015－1)(2015＋1)－20152＝1－0.D．(a＋b2)(a2－b)(2)(1+3a)(1－3a)；＝1－0.本题易错之处在于对平方差公式的左右结构特征没有认识清楚从而导致选错．例5运用平方差公式计算：A．14B．－14解：(1)S1＝a2－b2，(4)(－4k+3)(－4k－3).＝(1002－1)×10001＝3600－＝3599.(4)(－4k+3)(－4k－3).(2)(1+3a)(1－3a)；＝x2－x－x2＋＝－x＋.数的项的平方．平方差公式：(a+b)(a−b)=a2−b2两数和与这两数差的积，等于这两个数的平方差.公式变形:1、(a–b)(a+b)=a2－b22、(b+a)(－b+a)=a2－b2本题易错之处在于对平方差公式的左右结构特征没有认识清楚从而导(a+b)(a－b)=(a)2－(b)2

相同为a相反为b注：这里的两数可以是两个单项式也可以是两个

多项式等等．适当交换合理加括号(a+b)(a－b)=(a)2－(b)2相同为a相例2利用平方差公式计算：(1)(5+6x)(5－6x)；(2)(x－2y)(x+2y)；(3)(－m+n)(－m－n).解：(1)(5+6x)(5－6x)=52－(6x)2=25－36x2；(2)(x－2y)(x+2y)=x2－(2y)2=x2－4y2；(3)(－m+n)(－m－n)=(－m)2－n2=m2－n2.例2利用平方差公式计算：10例3利用平方差公式计算：(1)；(2)(ab+8)(ab－8).解：(2)(ab+8)(ab－8)=(ab)2－64=a2b2－64.例3利用平方差公式计算：111计算：(1)(a+2)(a－2)；(2)(3a+2b)(3a－2b)；(3)(－x－1)(1－x)；(4)(－4k+3)(－4k－3).(1)(a＋2)(a－2)＝a2－22＝a2－4.(2)(3a＋2b)(3a－2b)＝(3a)2－(2b)2＝9a2－4b2.(3)(－x－1)(1－x)＝(－x－1)(－x＋1)

＝(－x)2－12＝x2－1.(4)(－4k＋3)(－4k－3)＝(－4k)2－32＝16k2－9.解：巩固新知1计算：(1)(a＋2)(a－2)＝a2－22＝a2－4.解12下列计算能运用平方差公式的是(

)A．(m＋n)(－m－n)B．(2x＋3)(3x－2)C．(5a2－b2c)(bc2＋5a2)D.(m2－

n3)(－

m2－

n3)2D下列计算能运用平方差公式的是()2D下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是(

)A．(2a＋b)(－2a＋b)B．(a＋2)(2＋a)C．(－a＋b)(a－b)D．(a＋b2)(a2－b)3A下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的3A4【中考·衡阳】已知a＋b＝3，a－b＝1，则a2－b2的值为________．【中考·沈阳】下列运算正确的是(

)A．x3＋x5＝x8

B．x3＋x5＝x15C．(x＋1)(x－1)＝x2－1D．(2x)5＝2x553C4【中考·衡阳】已知a＋b＝3，a－b＝1，则a2－b2的值15(3)40×39.(2)原式＝(1＋0.1、(a–b)(a+b)=a2－b2A．m＝2，n＝3例5运用平方差公式计算：(3)(－x－1)(1－x)；(1)499×501；【中考·枣庄】如图，在边长为2a的正方形中央剪去一边长为(a＋2)的小正方形(a＞2)，将剩余部分沿虚线剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四本题易错之处在于对平方差公式的左右结构特征没有认识清楚从而导致选错．例4用平方差公式进行计算：C．(－a＋b)(a－b)(2)60×59；=a2(a2-b2)+a2b2B．(2x＋3)(3x－2)(2)(x＋2y)(x－2y)＋(x＋1)(x－1)＝x2－4y2＋x2－1(3)99×101×10001＝(100－1)×(100＋1)×10001(1)2014×2016－20152；(3)请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗?【中考·南平】下列运算正确的是()6【中考·南平】下列运算正确的是(

)A．3x＋2y＝5xy

B．(m2)3＝m5C．(a＋1)(a－1)＝a2－1D.＝2C(3)40×39.6【中考·南平】下列运算167若(2x＋3y)(mx－ny)＝9y2－4x2，则(

)A．m＝2，n＝3

B．m＝－2，n＝－3C．m＝2，n＝－3

D．m＝－2，n＝3B7若(2x＋3y)(mx－ny)＝9y2－4x2，则()178若x，y满足|x＋y＋5|＋(x－y－9)2＝0，则x2－y2的值为(

)A．14B．－14C．45D．－45D8若x，y满足|x＋y＋5|＋(x－y－9)2＝0，则x2－189如图①，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a＞b)，把剩下部分沿虚线剪开拼成一个梯形(如图②)，利用这两个图形的面积，可以验证的公式是(

)A．a2＋b2＝(a＋b)(a－b)B．a2－b2＝(a＋b)(a－b)C．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2

D．(a－b)2＝a2－2ab＋b2B9如图①，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a1910【中考·枣庄】如图，在边长为2a的正方形中央剪去一边长为(a＋2)的小正方形(a＞2)，将剩余部分沿虚线剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为(

)A．a2＋4

B．2a2＋4aC．3a2－4a－4D．4a2－a－2C10【中考·枣庄】如图，在边长为2a的正方形中央剪去一边长为202知识点平方差公式的应用(1)计算下列各组算式，并观察它们的共同特点:(2)从以上的过程中，你发现了什么规律？(3)请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗?7×9=8×8=11×13=12×12=79×81=80×80=合作探究2知识点平方差公式的应用(1)计算下列各组算式，并观察它们的21例4用平方差公式进行计算：(1)103×97；(2)118×122.解：(1)103×97=(100+3)(100－3)=1002－32=9991；(2)118×122=(120－2)(100+2)=1202－22=14396.例4用平方差公式进行计算：(2)118×12222例5运用平方差公式计算：(1)2014×2016－20152；(2)1.03×0.97；(3)40×39.导引：在(1)中，2014与2016都与2015相差1，即2014＝2015－1，2016＝2015＋1；在(2)中1.03与0.97都与1相差0.03，即1.03＝1＋0.03，0.97＝1－0.03；在(3)中40与39都与40相差，即40＝40＋，39＝40－，因此可运用平方差公式进行计算．例5运用平方差公式计算：23解：

(1)原式

＝(2015－1)(2015＋1)－20152

＝20152－1－20152＝－1；(2)原式

＝(1＋0.03)(1－0.03)＝12－0.032

＝1－0.0009＝0.9991；(3)原式解：(1)原式＝(2015－1)(2015＋1)－224本题运用了转化思想求解．运用平方差公式计算两数乘积问题，关键是找到这两个数的平均数，再将原两个数与这个平均数进行比较变形成两数的和与这两数的差的积的形式，再用平方差公式可求解．新知小结本题运用了转化思想求解．运用平方差公式计算两数新知小结25C．45D．－45本题易错之处在于对平方差公式的左右结构特征没有认识清楚从而导致选错．(1)499×501；(2)118×122.C．(x＋1)(x－1)＝x2－1(1)499×501；C．(x＋1)(x－1)＝x2－1(a+b)(m+n)D．(a－b)2＝a2－2ab＋b2＝1－0.(3)99×101×10001＝(100－1)×(100＋1)×10001(2)(ab+8)(ab－8)=(ab)2－64=a2b2－64.C．(－a＋b)(a－b)＝(10000－1)×(10000＋1)且这两个二项式有一项完全相同，另一项互为相＝(－x)2－12＝x2－1.乘积问题，关键是找到这两个数的平均数，再将原两例3利用平方差公式计算：=(120－2)(100+2)例6计算：(1)

a2(a+b)(a-b)+a2b2；(2)(2x-5)(2x+5)-2x(2x-3).解：(1)

a2(a+b)(a-b)+a2b2；=a2(a2-b2)+a2b2=a4-a2b2+a2b2=a4；(2)(2x-5)(2x+5)-2x(2x-3).=(2x)2-25-(4x2

-6x)=4x2-25-4x2

+6x=6x-25合作探究C．45261(1)704×696＝(700＋4)(700－4)＝7002－42＝489984.(2)(x＋2y)(x－2y)＋(x＋1)(x－1)＝x2－4y2＋x2－1

＝2x2－4y2－1.(3)x(x－1)－

＝x2－x－

＝x2－x－x2＋

＝－x＋.解：(1)704×696；(2)(x+2y)(x－2y)+(x+1)(x－1)；(3)x(x－1)－(x－)(x+).巩固新知1(1)704×696＝(700＋4)(700－4)＝700272计算20162－2015×2017的结果是(

)A．1

B．－1

C．2

D．－2A2计算20162－2015×2017的结果是()A3(1)499×501＝(500－1)×(500＋1)＝5002－12

＝250000－1＝249999.(2)60×59＝×(60－)＝602－

＝3600－

＝3599.解：计算：(1)499×501；(2)60×59；3(1)499×501＝(500－1)×(500＋1)＝5029(3)99×101×10001＝(100－1)×(100＋1)×10001

＝(1002－1)×10001

＝9999×10001

＝(10000－1)×(10000＋1)

＝100002－1

＝99999999.解：(3)99×101×10001.(3)99×101×10001＝(100－1)×(100＋301.平方差公式的特征：左边是两个二项式相乘，并

且这两个二项式有一项完全相同，另一项互为相

反数；右边是左边的相同项的平方减去互为相反

数的项的平方．2.公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2中的字母a，b可以是单

项式，也可以是多项式．3.平方差公式可以逆用：a2－b2＝(a＋b)(a－b)．1知识小结归纳新知1.平方差公式的特征：左边是两个二项式相乘，并1知识小结归31下列运算正确的是(

)易错点：对平方差公式的特征理解不透而出错2易错小结D下列运算正确的是()易错点：对平方差公式的特征理解不透而32本题易错之处在于对平方差公式的左右结构特征没有认识清楚从而导致选错．本题易错之处在于对平方差公式的左右结构特征没有认识清楚从而导33a2－b2和差平方差课后练习a2－b2和差平方差课后练习CCDDBBCCCC2424119999119999BBDDDDCC北师大版《平方差公式》精美课件2【答案】B【答案】B北师大版《平方差公式》精美课件2北师大版《平方差公式》精美课件2北师大版《平方差公式》精美课件2北师大版《平方差公式》精美课件2二去括号时没有变号二去括号时没有变号北师大版《平方差公式》精美课件2a2－b2(a＋b)(a－b)a2－b2(a＋b)(a－b)北师大版《平方差公式》精美课件2北师大版《平方差公式》精美课件2北师大版《平方差公式》精美课件2北师大版《平方差公式》精美课件2北师大版《平方差公式》精美课件2【答案】a2024－b2024【答案】a2024－b2024an－bnan－bn北师大版《平方差公式》精美课件2再见再见第一章整式的乘除1.5平方差公式北师大版数学七年级下册第一章整式的乘除1.5平方差公式北师大版数学七年级下641.平方差公式的推导和应用.2.理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式.学习目标1.平方差公式的推导和应用.学习目标65复习回顾：多项式与多项式是如何相乘的？(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn导入新知复习回顾：多项式与多项式是如何相乘的？(a+b)(m661知识点平方差公式计算下列各题：(1)(x+2)(x－2)；(2)(1+3a)

(1－3a)；(3)(x+5y)(x－5y)；(4)(2y+z)(2y－z).观察以上算式及其运算结果，你有什么发现？再举两例验证你的发现.合作探究1知识点平方差公式计算下列各题：合作探究67平方差公式：(1)平方差公式的推导：(a+b)(a-b)=

=

.(2)文字语言：两个数的和与这两个数的差的积，等于

这两个数的

.(3)符号语言：(a+b)(a-b)=

.a2-ab+ab-b2a2-b2平方差a2-b2新知归纳平方差公式：a2-ab+ab-b2a2-b2平方差a2-b2如图①，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸片拼成如图②的等腰梯形．(1)设图①中阴影部分面积为S1，图②中阴影部分面积为S2，请直接用含a，b的代数式表示S1，S2；(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式．例1合作探究如图①，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，69导引：直先计算图①中阴影部分面积为S1＝a2－b2，

再计算图②中阴影部分面积为S2＝(2b＋2a)(a－b)，然后根据面积相等得到乘法公式．解：(1)S1＝a2－b2，S2＝(2b＋2a)(a－b)＝(a＋b)(a－b)．(2)(a＋b)(a－b)＝a2－b2.导引：直先计算图①中阴影部分面积为S1＝a2－b2，70本题易错之处在于对平方差公式的左右结构特征没有认识清楚从而导致选错．(3)(－x－1)(1－x)；2014＝2015－1，2016＝2015＋1；解：(1)原式＝(2015－1)(2015＋1)－20152＝1－0.D．(a＋b2)(a2－b)(2)(1+3a)(1－3a)；＝1－0.本题易错之处在于对平方差公式的左右结构特征没有认识清楚从而导致选错．例5运用平方差公式计算：A．14B．－14解：(1)S1＝a2－b2，(4)(－4k+3)(－4k－3).＝(1002－1)×10001＝3600－＝3599.(4)(－4k+3)(－4k－3).(2)(1+3a)(1－3a)；＝x2－x－x2＋＝－x＋.数的项的平方．平方差公式：(a+b)(a−b)=a2−b2两数和与这两数差的积，等于这两个数的平方差.公式变形:1、(a–b)(a+b)=a2－b22、(b+a)(－b+a)=a2－b2本题易错之处在于对平方差公式的左右结构特征没有认识清楚从而导(a+b)(a－b)=(a)2－(b)2

相同为a相反为b注：这里的两数可以是两个单项式也可以是两个

多项式等等．适当交换合理加括号(a+b)(a－b)=(a)2－(b)2相同为a相例2利用平方差公式计算：(1)(5+6x)(5－6x)；(2)(x－2y)(x+2y)；(3)(－m+n)(－m－n).解：(1)(5+6x)(5－6x)=52－(6x)2=25－36x2；(2)(x－2y)(x+2y)=x2－(2y)2=x2－4y2；(3)(－m+n)(－m－n)=(－m)2－n2=m2－n2.例2利用平方差公式计算：73例3利用平方差公式计算：(1)；(2)(ab+8)(ab－8).解：(2)(ab+8)(ab－8)=(ab)2－64=a2b2－64.例3利用平方差公式计算：741计算：(1)(a+2)(a－2)；(2)(3a+2b)(3a－2b)；(3)(－x－1)(1－x)；(4)(－4k+3)(－4k－3).(1)(a＋2)(a－2)＝a2－22＝a2－4.(2)(3a＋2b)(3a－2b)＝(3a)2－(2b)2＝9a2－4b2.(3)(－x－1)(1－x)＝(－x－1)(－x＋1)

＝(－x)2－12＝x2－1.(4)(－4k＋3)(－4k－3)＝(－4k)2－32＝16k2－9.解：巩固新知1计算：(1)(a＋2)(a－2)＝a2－22＝a2－4.解75下列计算能运用平方差公式的是(

)A．(m＋n)(－m－n)B．(2x＋3)(3x－2)C．(5a2－b2c)(bc2＋5a2)D.(m2－

n3)(－

m2－

n3)2D下列计算能运用平方差公式的是()2D下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是(

)A．(2a＋b)(－2a＋b)B．(a＋2)(2＋a)C．(－a＋b)(a－b)D．(a＋b2)(a2－b)3A下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的3A4【中考·衡阳】已知a＋b＝3，a－b＝1，则a2－b2的值为________．【中考·沈阳】下列运算正确的是(

)A．x3＋x5＝x8

B．x3＋x5＝x15C．(x＋1)(x－1)＝x2－1D．(2x)5＝2x553C4【中考·衡阳】已知a＋b＝3，a－b＝1，则a2－b2的值78(3)40×39.(2)原式＝(1＋0.1、(a–b)(a+b)=a2－b2A．m＝2，n＝3例5运用平方差公式计算：(3)(－x－1)(1－x)；(1)499×501；【中考·枣庄】如图，在边长为2a的正方形中央剪去一边长为(a＋2)的小正方形(a＞2)，将剩余部分沿虚线剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四本题易错之处在于对平方差公式的左右结构特征没有认识清楚从而导致选错．例4用平方差公式进行计算：C．(－a＋b)(a－b)(2)60×59；=a2(a2-b2)+a2b2B．(2x＋3)(3x－2)(2)(x＋2y)(x－2y)＋(x＋1)(x－1)＝x2－4y2＋x2－1(3)99×101×10001＝(100－1)×(100＋1)×10001(1)2014×2016－20152；(3)请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗?【中考·南平】下列运算正确的是()6【中考·南平】下列运算正确的是(

)A．3x＋2y＝5xy

B．(m2)3＝m5C．(a＋1)(a－1)＝a2－1D.＝2C(3)40×39.6【中考·南平】下列运算797若(2x＋3y)(mx－ny)＝9y2－4x2，则(

)A．m＝2，n＝3

B．m＝－2，n＝－3C．m＝2，n＝－3

D．m＝－2，n＝3B7若(2x＋3y)(mx－ny)＝9y2－4x2，则()808若x，y满足|x＋y＋5|＋(x－y－9)2＝0，则x2－y2的值为(

)A．14B．－14C．45D．－45D8若x，y满足|x＋y＋5|＋(x－y－9)2＝0，则x2－819如图①，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a＞b)，把剩下部分沿虚线剪开拼成一个梯形(如图②)，利用这两个图形的面积，可以验证的公式是(

)A．a2＋b2＝(a＋b)(a－b)B．a2－b2＝(a＋b)(a－b)C．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2

D．(a－b)2＝a2－2ab＋b2B9如图①，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a8210【中考·枣庄】如图，在边长为2a的正方形中央剪去一边长为(a＋2)的小正方形(a＞2)，将剩余部分沿虚线剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为(

)A．a2＋4

B．2a2＋4aC．3a2－4a－4D．4a2－a－2C10【中考·枣庄】如图，在边长为2a的正方形中央剪去一边长为832知识点平方差公式的应用(1)计算下列各组算式，并观察它们的共同特点:(2)从以上的过程中，你发现了什么规律？(3)请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗?7×9=8×8=11×13=12×12=79×81=80×80=合作探究2知识点平方差公式的应用(1)计算下列各组算式，并观察它们的84例4用平方差公式进行计算：(1)103×97；(2)118×122.解：(1)103×97=(100+3)(100－3)=1002－32=9991；(2)118×122=(120－2)(100+2)=1202－22=14396.例4用平方差公式进行计算：(2)118×12285例5运用平方差公式计算：(1)2014×2016－20152；(2)1.03×0.97；(3)40×39.导引：在(1)中，2014与2016都与2015相差1，即2014＝2015－1，2016＝2015＋1；在(2)中1.03与0.97都与1相差0.03，即1.03＝1＋0.03，0.97＝1－0.03；在(3)中40与39都与40相差，即40＝40＋，39＝40－，因此可运用平方差公式进行计算．例5运用平方差公式计算：86解：

(1)原式

＝(2015－1)(2015＋1)－20152

＝20152－1－20152＝－1；(2)原式

＝(1＋0.03)(1－0.03)＝12－0.032

＝1－0.0009＝0.9991；(3)原式解：(1)原式＝(2015－1)(2015＋1)－287本题运用了转化思想求解．运用平方差公式计算两数乘积问题，关键是找到这两个数的平均数，再将原两个数与这个平均数进行比较变形成两数的和与这两数的差的积的形式，再用平方差公式可求解．新知小结本题运用了转化思想求解．运用平方差公式计算两数新知小结88C．45D．－45本题易错之处在于对平方差公式的左右结构特征没有认识清楚从而导致选错．(1)499×501；(2)118×122.C．(x＋1)(x－1)＝x2－1(1)499×501；C．(x＋1)(x－1)＝x2－1(a+b)(m+n)D．(a－b)2＝a2－2ab＋b2＝1－0.(3)99×101×10001＝(100－1)×(100＋1)×10001(2)(ab+8)(ab－8)=(ab)2－64=a2b2－64.C．(－a＋b)(a－b)＝(10000－1)×(10000＋1)且这两个二项式有一项完全相同，另一项互为相＝(－x)2－12＝x2－1.乘积问题，关键是找到这两个数的平均数，再将原两例3利用平方差公式计算：=(120－2)(100+2)例6计算：(1)

a2(a+b)(a-b)+a2b2；(2)(2x-5)(2x+5)-2x(2x-3).解：(1)

a2(a+b)(a-b)+a2b2；=a2(a2-b2)+a2b2=a4-a2b2+a2b2=a4；(2)(2x-5)(2x+5)-2x(2x-3).=(2x)2-25-(4x2

-6x)=4x2-25-4x2

+6x=6x-25合作探究C．45891(1)704×696＝(700＋4)(700－4)＝7002－42＝489984.(2)(x＋2y)(x－2y)＋(x＋1)(x－1)＝x2－4y2＋x2－1

＝2x2－4y2－1.(3)x(x－1)－

＝x2－x－

＝x2－x－x2＋

＝－x＋.解：(1)704×696；(2)(