3点线面教学讲解课件

第三章

点、线、面第三章

点、线、面1§3-1点

的

投

影一、点在两面投影体系中的投影：（一）、两面投影体系：H与V划分空间为4个分角着重研究第一分角。

§3-1点

的

投

影一、点在两面投影体系中的投影：（二）、四个象角内的点（1）A点在Ⅰ象角内。其正面投影a’在OX轴上方，水平投影a在OX轴下方。（2）B点在Ⅱ象角内。H面之上，V面之后。正投影b’在OX轴上方，水平投影b也在OX轴上方。（3）C点在第Ⅲ象角内。其正投影c’在OX下方，水平投影c在OX上方。（4）D点在Ⅳ象角内。其二投影d、d’都在OX轴上方。（二）、四个象角内的点3（三）、点的两面投影：（三）、点的两面投影：4（四）、点的两面投影规律：Aa⊥H→a’ax⊥H→a’ax⊥oxox⊥Aaa’ax→ox⊥aa’Aa’⊥V→aax⊥V→aax⊥ox所以：得出：1、aa’⊥ox2、axa’=Aa,aax=Aa’（四）、点的两面投影规律：53点线面［教学讲解课件］63点线面［教学讲解课件］73点线面［教学讲解课件］8总

结综上所述，从投影图中点的投影与OX轴的相对位置，可判断空间点在投影面体系中所处位置，反之亦然。（1）在投影图中，点的水平投影位于OX轴下方，则该点必位于V面之前；反之则在V面之后。（2）点的正面投影位于OX轴上方，则该点必位于H面之上；反之则在H面之下。（3）若点有一个投影位于OX轴上，则该点必在投影面上。总

结综上所述，从投影图中点的投影与OX轴的相对位置，可判断二、点的三面投影：（一）、三面投影体系，八个分角：（二）、点的坐标及投影：（三）、点的三面投影规律：1、aa’⊥ox2、a’a”⊥oz3、aax⊥a”az二、点的三面投影：（一）、三面投影体系，八个分角：3点线面［教学讲解课件］11点的轴测图点的轴测图三、作图问题：（一）根据点的两面投影，求作第三投影：（二）根据点的坐标，求作点的三面投影：已知Ａ（１５，１０，１５）求Ａ的三面投影Ｘ＝１５,Ｙ＝１０,Ｚ＝１５（三）求作点的轴测图：三、作图问题：已知点A的两投影a、a’，作出其第三投影a”

已知点A的两投影a、a’，作出其第三投影a”已知点的正面投影和其侧面投影，求其水平投影已知点的水平投影和侧面投影，求作正面投影已知点的正面投影和水平面投影，求作侧面投影已知点的正面投影和其侧面投影，求其水平投影3点线面［教学讲解课件］四、两点的相对位置：（一）、一般情况空间两个点具有前后、左右、上下位置关系。四、两点的相对位置：（二）、特殊情况重影点：当空间两点的连线⊥某个投影面时，它们在该面上的投影重合。由于重影，有可见与不可见的问题，不可见用（）将投影括起来。（二）、特殊情况注意:重影点是相对于投影面而言的注意:重影点是相对于投影面而言的19总

结１.Ｚ坐标大位于上方，坐标小位于下方。２.Ｙ坐标大位于前方，坐标小位于后方。３.Ｘ坐标大位于左方，坐标小位于右方。总

结１.Ｚ坐标大位于上方，坐标小位于下方。例

题1：已知点A的两投影ɑ和ɑ′，以及点B在点A的右方10mm、上方8mm、前方6mm，试确定点B的投影。例

题1：已知点A的两投影ɑ和ɑ′，以及点B在点A的右方103点线面［教学讲解课件］例题2：已知A、B、C、D的投影图，判断其相对位置例题2：已知A、B、C、D的投影图，判断其相对位置§3-２直

线一、直线的投影：（直线段）AB对于H面的倾角为α，AB对于V面的倾角为β，AB对于W面的倾角为Υ直线的投影一般情况下仍为直线。§3-２直

线一、直线的投影：（直线段）AB对于H面的倾角为两点决定一条直线，确定了直线上两点的投影也就确定了直线的投影。即直线上两点的同面投影的连线就是直线的投影。两点决定一条直线，确定了直线上两点的投影也就确定了25二、各种位置直线的投影特征：（一）、直线对一个投影的投影特征：（1）、积聚性：垂直于投影面（2）、实形性：平行于投影面（3）、类似性：倾斜于投影面二、各种位置直线的投影特征：26（二）、直线在三面投影体系中的投影特性：（1）、投影面平行线：1）空间位置：平行于一投影面，倾斜于其他两个投影面。2）投影特点：-----反映实长/反映夹角①水平线：②正平线：③侧平线：（二）、直线在三面投影体系中的投影特性：273点线面［教学讲解课件］28水平线（horizontalline）水平线（horizontalline）29正平线（frontalline）α=实长投影与OX轴的夹角，β=0、γ=实长投影与OZ的夹角。正平线（frontalline）α=实长投影与OX轴的夹角30侧平线（profileline）α=实长投影与OYW轴的夹角，β=实长投影与OZ的夹角、γ=0。侧平线（profileline）α=实长投影与OYW31（2）、投影面垂直线：①铅垂线②正垂线③侧垂线1）空间位置：垂直于一投影面，倾斜于其他两投影面。2）投影特点：-----积聚性/反映实长（2）、投影面垂直线：①铅垂线1）空间位置：垂直于一投影面323点线面［教学讲解课件］33铅垂线（verticalline）α=90º，β=0º，γ=0º铅垂线（verticalline）α=90º，β=0º，γ34正垂线（horizontal-profileline）α=0º，β=90º，γ=0º正垂线（horizontal-profileline）α=35

侧垂线（frontalhorizontalline）α=0º，β=0º，γ=90º侧垂线（frontalhorizontalline）α36（3）、一般位置线：一般位置线——与三个投影面既不垂直也不平行的直线。不具有积聚性和度量性，而且各个投影与投影轴的夹角不能反映直线对投影面的倾角α、β、γ。（3）、一般位置线：一般位置线——与三个投影面既不垂直也不平373点线面［教学讲解课件］38三、一般位置线的实长及倾角（对于投影面）α是垂直坐标差β是前后坐标差Γ是水平坐标差三、一般位置线的实长及倾角（对于投影面）39E△h△h=BE?AE=ab△hFaF=AB?QWWF1E△h△h=BE?AE=ab△hFaF=AB?QWWF140（be=bc）（be=bc）41四、直线上的点：

（一）、从属性：点的投影在直线的投影上。（二）、点分割线段之比，等于其投影之比。四、直线上的点：42求做直线上的点：点在直线上，点的投影在直线的同名投影上。判断：对于一般位置线，点的投影在直线的同名投影上，则点在直线上。求做直线上的点：点在直线上，点的投影在直线的同名投影上。433点线面［教学讲解课件］44例题1、已知侧平线AB的两投影和直线上S点的正面投影s＇，求其水平投影s.a＇b＇abs＇例题1、已知侧平线AB的两投影和直线上S点的正面投影s＇，2、已知直线AB的水平投影ab和A点的正面投影a＇，且AB=20mm，试求直线AB的正面投影a＇b＇；在直线AB上取一点C，使AC=15mm，求C点的两投影。例题2、已知直线AB的水平投影ab和A点的正面投影a＇，且AB3点线面［教学讲解课件］47五、直线的迹点：（一）、定义：投影面垂直线1个迹点投影面平行线2个迹点一般位置线有3个迹点｛直线与H面的交点-------水平迹点------M｛直线与V面的交点-------正面迹点------N｛直线与W面的交点-------侧面迹点------S直线与投影面的交点，称为直线的迹点五、直线的迹点：48（二）、特性：（1）迹点的两投影必在该直线的同面投影上。（2）迹点在该投影面上的投影与本身重合，另一投影在投影轴上。（二）、特性：493点线面［教学讲解课件］六、两直线的相对位置：（一）、两直线平行：AB∥CD→ab∥cd,a,b,∥c,d,,a”b”∥c”d”

反过来：ab∥cd,a,b,∥c,d,,a”b”∥c”d”→AB∥CD六、两直线的相对位置：51投影面平行线→→｛3个同面投影都平行→AB∥CD｛反之，有1个同面投影不平行→AB不∥CDab∥cd，a,b,∥c,d,,a”b”∥c”d”→AB∥CD投影面平行线→→52（二）、两直线相交：判断是否相交→→

一般位置线，两组同面投影相交，且交点符合投影规律，则空间两直线一定相交。

在其所平行的投影面上

投影面平行线

相交，且符合规律→相交

投影符合定比关系→相交（二）、两直线相交：53（三）、两直线交叉：不符合平行投影特征，也不符合相交投影特征。(1)可以两组同面投影平行，但不可能三组都平行。(2)可能相交，但不可能符合相交投影规律。（三）、两直线交叉：54七、直角投影定律：｛两直线相交或交叉成直角，其投影可能为直角，也可能不是直角。｛两直线相交或交叉成直角，这两条直线又同时平行于一投影面，则在该投影面上的投影角为直角。｛两线条都不平行时，投影肯定不为直角。七、直角投影定律：55判断下列直线互相垂直：判断下列直线互相垂直：判断下列直线互相不垂直：判断下列直线互相不垂直：例题求作交叉二直线（其中之一为垂直线）的公垂线。例题求作交叉二直线（其中之一为垂直线）的公垂线。例题例：已知：水平线AB，正平线CD,试过点S做他们的公垂线的平行线（SL）S,Sd,b,a,c,cdba例题例：已知：水平线AB，正平线CD,试过点S做他们的公垂线S,Sd,b,a,c,cdba例题L,LS,Sd,b,a,c,cdba例题L,L例题例6已知矩形ABCD的边AB为水平线，试完成图中矩形的两面投影。例题例6已知矩形ABCD的边AB为水平线，试完成图中矩形的③①②③①②例题完成等腰直角三角形ABC的两面投影（直角边BC在水平线MN上）。例题完成等腰直角三角形ABC的两面投影（直角边BC在水平线M3点线面［教学讲解课件］§3-3

平面一、平面的表示：（1）不在同一直线上的三点。（2）一直线与一点。（3）两相交直线。（4）两平行直线。（5）任意的平面图形。（一）、平面的投影表示法（二）、用迹线表示平面。（三角形、圆、其他）§3-3

平面一、平面的表示：（三角形、圆、其他）1用平面的几何元素的投影表示1、三点A、B、C—a、b、c,a’、b’、c，,a”、b”、c”2、一点一直线——AB、C3、相交二直线——AB、AC4、平行二直线——AB与CD5、平面图形ABC1用平面的几何元素的投影表示2．用迹线（trace）来表示平面空间平面与投影面的交线，称为平面的迹线。水平迹线——PH（horizontaltrace）正面迹线——PV（frontaltrace）侧面迹线——PW（profiletrace）2．用迹线（trace）来表示平面空间平面与投影面的交线，称迹线的投影特点和画法：迹线是投影面内的直线。画法：只画出与迹线本身重合的那个投影，并加以标记，其余两投影在相应的投影轴上，不画出并省略标记。迹线的投影特点和画法：二、平面的相对位置和投影特征：（一）、一般位置面（1）一般位置平面在三个投影面上的投影均为类似形。（2）在投影图上不能直接反映空间平面的实形和投影面所成的二面角。与三投影面均倾斜α,β,γ。α----坡度二、平面的相对位置和投影特征：（1）一般位置平面在三个投影面3点线面［教学讲解课件］3点线面［教学讲解课件］(二)、投影面垂直面垂直于某一个投影面，分：铅垂面（verticalplane）、正垂面（horizontal-profileplane）、侧垂面（frontalhorizontalplane），反映α、β、γ。积聚投影可用迹线PH或PH表示。(二)、投影面垂直面3点线面［教学讲解课件］(三)、投影面平行面平行于某一个投影面（必然垂直于另外两个投影面），分：水平面（horizontalplane）正平面（frontalplane）侧平面（profileplane）(三)、投影面平行面3点线面［教学讲解课件］三、平面在单面投影体系中的投影：四、平面上的直线与点：平面上的点和线点在面上，点在面内的线上。反之亦然。直线在平面上，直线过面内二已知点或过面内一点且平行于面内一直线。反之亦然。三、平面在单面投影体系中的投影：3点线面［教学讲解课件］１△ABC,E∈AB,F∈AC,则EF∈平面ABC?2CD∥EF,则CD∈平面ABC？——一点一方向3给定M(m,m’),△ABC,判断M∈平面ABC?4给定△ABC和k’，且K∈平面ABC,求k例题１△ABC,E∈AB,F∈AC,则EF∈平面ABC?例5补全平面图形的正面投影。5补全平面图形的正面投影。3点线面［教学讲解课件］例题6给定△ABC，在其上作一条水平线。例题6给定△ABC，在其上作一条水平线。五、平面上的投影面平行线：五、平面上的投影面平行线：六、平面上的最大斜度线：给定平面内垂直于该平面内投影面平行线的直线称为该平面的最大斜度线。其中，垂直于水平线的直线称为对H面的最大斜度线，垂直于正平线的直线称为对V面的最大斜度线，垂直于侧平线的直线称为对W面的最大斜度线。对H面的最大斜度线也称最大坡度线（一小球在坡面上的自由滚动路线）。六、平面上的最大斜度线：例题例9.已知直线EF是某一平面对H面的最大斜度线,求该平面的βe,f,fe例题例9.已知直线EF是某一平面对H面的最大斜度线,求该平3点线面［教学讲解课件］直线与平面、平面与平面

相对位置实例应用直线与平面、平面与平面

相对位置实例应用aa′b′be′c′d′decfg2:给出一个矩形相邻两边AB、BC的V面投影及其中一边AB的H面投影，试完成矩形的投影图。aa′b′be′c′d′decfg2:fg1:已知正三棱柱的底面⊿ABC的投影及棱线的实长为25，求作正三棱柱的投影图。a′b′c′bcagg′h′hii′j1jj′fg1:a′b′c′bcagg′h′hii′j1jj′第三章

点、线、面第三章

点、线、面89§3-1点

的

投

影一、点在两面投影体系中的投影：（一）、两面投影体系：H与V划分空间为4个分角着重研究第一分角。

§3-1点

的

投

影一、点在两面投影体系中的投影：（二）、四个象角内的点（1）A点在Ⅰ象角内。其正面投影a’在OX轴上方，水平投影a在OX轴下方。（2）B点在Ⅱ象角内。H面之上，V面之后。正投影b’在OX轴上方，水平投影b也在OX轴上方。（3）C点在第Ⅲ象角内。其正投影c’在OX下方，水平投影c在OX上方。（4）D点在Ⅳ象角内。其二投影d、d’都在OX轴上方。（二）、四个象角内的点91（三）、点的两面投影：（三）、点的两面投影：92（四）、点的两面投影规律：Aa⊥H→a’ax⊥H→a’ax⊥oxox⊥Aaa’ax→ox⊥aa’Aa’⊥V→aax⊥V→aax⊥ox所以：得出：1、aa’⊥ox2、axa’=Aa,aax=Aa’（四）、点的两面投影规律：933点线面［教学讲解课件］943点线面［教学讲解课件］953点线面［教学讲解课件］96总

结综上所述，从投影图中点的投影与OX轴的相对位置，可判断空间点在投影面体系中所处位置，反之亦然。（1）在投影图中，点的水平投影位于OX轴下方，则该点必位于V面之前；反之则在V面之后。（2）点的正面投影位于OX轴上方，则该点必位于H面之上；反之则在H面之下。（3）若点有一个投影位于OX轴上，则该点必在投影面上。总

结综上所述，从投影图中点的投影与OX轴的相对位置，可判断二、点的三面投影：（一）、三面投影体系，八个分角：（二）、点的坐标及投影：（三）、点的三面投影规律：1、aa’⊥ox2、a’a”⊥oz3、aax⊥a”az二、点的三面投影：（一）、三面投影体系，八个分角：3点线面［教学讲解课件］99点的轴测图点的轴测图三、作图问题：（一）根据点的两面投影，求作第三投影：（二）根据点的坐标，求作点的三面投影：已知Ａ（１５，１０，１５）求Ａ的三面投影Ｘ＝１５,Ｙ＝１０,Ｚ＝１５（三）求作点的轴测图：三、作图问题：已知点A的两投影a、a’，作出其第三投影a”

已知点A的两投影a、a’，作出其第三投影a”已知点的正面投影和其侧面投影，求其水平投影已知点的水平投影和侧面投影，求作正面投影已知点的正面投影和水平面投影，求作侧面投影已知点的正面投影和其侧面投影，求其水平投影3点线面［教学讲解课件］四、两点的相对位置：（一）、一般情况空间两个点具有前后、左右、上下位置关系。四、两点的相对位置：（二）、特殊情况重影点：当空间两点的连线⊥某个投影面时，它们在该面上的投影重合。由于重影，有可见与不可见的问题，不可见用（）将投影括起来。（二）、特殊情况注意:重影点是相对于投影面而言的注意:重影点是相对于投影面而言的107总

结１.Ｚ坐标大位于上方，坐标小位于下方。２.Ｙ坐标大位于前方，坐标小位于后方。３.Ｘ坐标大位于左方，坐标小位于右方。总

结１.Ｚ坐标大位于上方，坐标小位于下方。例

题1：已知点A的两投影ɑ和ɑ′，以及点B在点A的右方10mm、上方8mm、前方6mm，试确定点B的投影。例

题1：已知点A的两投影ɑ和ɑ′，以及点B在点A的右方103点线面［教学讲解课件］例题2：已知A、B、C、D的投影图，判断其相对位置例题2：已知A、B、C、D的投影图，判断其相对位置§3-２直

线一、直线的投影：（直线段）AB对于H面的倾角为α，AB对于V面的倾角为β，AB对于W面的倾角为Υ直线的投影一般情况下仍为直线。§3-２直

线一、直线的投影：（直线段）AB对于H面的倾角为两点决定一条直线，确定了直线上两点的投影也就确定了直线的投影。即直线上两点的同面投影的连线就是直线的投影。两点决定一条直线，确定了直线上两点的投影也就确定了113二、各种位置直线的投影特征：（一）、直线对一个投影的投影特征：（1）、积聚性：垂直于投影面（2）、实形性：平行于投影面（3）、类似性：倾斜于投影面二、各种位置直线的投影特征：114（二）、直线在三面投影体系中的投影特性：（1）、投影面平行线：1）空间位置：平行于一投影面，倾斜于其他两个投影面。2）投影特点：-----反映实长/反映夹角①水平线：②正平线：③侧平线：（二）、直线在三面投影体系中的投影特性：1153点线面［教学讲解课件］116水平线（horizontalline）水平线（horizontalline）117正平线（frontalline）α=实长投影与OX轴的夹角，β=0、γ=实长投影与OZ的夹角。正平线（frontalline）α=实长投影与OX轴的夹角118侧平线（profileline）α=实长投影与OYW轴的夹角，β=实长投影与OZ的夹角、γ=0。侧平线（profileline）α=实长投影与OYW119（2）、投影面垂直线：①铅垂线②正垂线③侧垂线1）空间位置：垂直于一投影面，倾斜于其他两投影面。2）投影特点：-----积聚性/反映实长（2）、投影面垂直线：①铅垂线1）空间位置：垂直于一投影面1203点线面［教学讲解课件］121铅垂线（verticalline）α=90º，β=0º，γ=0º铅垂线（verticalline）α=90º，β=0º，γ122正垂线（horizontal-profileline）α=0º，β=90º，γ=0º正垂线（horizontal-profileline）α=123

侧垂线（frontalhorizontalline）α=0º，β=0º，γ=90º侧垂线（frontalhorizontalline）α124（3）、一般位置线：一般位置线——与三个投影面既不垂直也不平行的直线。不具有积聚性和度量性，而且各个投影与投影轴的夹角不能反映直线对投影面的倾角α、β、γ。（3）、一般位置线：一般位置线——与三个投影面既不垂直也不平1253点线面［教学讲解课件］126三、一般位置线的实长及倾角（对于投影面）α是垂直坐标差β是前后坐标差Γ是水平坐标差三、一般位置线的实长及倾角（对于投影面）127E△h△h=BE?AE=ab△hFaF=AB?QWWF1E△h△h=BE?AE=ab△hFaF=AB?QWWF1128（be=bc）（be=bc）129四、直线上的点：

（一）、从属性：点的投影在直线的投影上。（二）、点分割线段之比，等于其投影之比。四、直线上的点：130求做直线上的点：点在直线上，点的投影在直线的同名投影上。判断：对于一般位置线，点的投影在直线的同名投影上，则点在直线上。求做直线上的点：点在直线上，点的投影在直线的同名投影上。1313点线面［教学讲解课件］132例题1、已知侧平线AB的两投影和直线上S点的正面投影s＇，求其水平投影s.a＇b＇abs＇例题1、已知侧平线AB的两投影和直线上S点的正面投影s＇，2、已知直线AB的水平投影ab和A点的正面投影a＇，且AB=20mm，试求直线AB的正面投影a＇b＇；在直线AB上取一点C，使AC=15mm，求C点的两投影。例题2、已知直线AB的水平投影ab和A点的正面投影a＇，且AB3点线面［教学讲解课件］135五、直线的迹点：（一）、定义：投影面垂直线1个迹点投影面平行线2个迹点一般位置线有3个迹点｛直线与H面的交点-------水平迹点------M｛直线与V面的交点-------正面迹点------N｛直线与W面的交点-------侧面迹点------S直线与投影面的交点，称为直线的迹点五、直线的迹点：136（二）、特性：（1）迹点的两投影必在该直线的同面投影上。（2）迹点在该投影面上的投影与本身重合，另一投影在投影轴上。（二）、特性：1373点线面［教学讲解课件］六、两直线的相对位置：（一）、两直线平行：AB∥CD→ab∥cd,a,b,∥c,d,,a”b”∥c”d”

反过来：ab∥cd,a,b,∥c,d,,a”b”∥c”d”→AB∥CD六、两直线的相对位置：139投影面平行线→→｛3个同面投影都平行→AB∥CD｛反之，有1个同面投影不平行→AB不∥CDab∥cd，a,b,∥c,d,,a”b”∥c”d”→AB∥CD投影面平行线→→140（二）、两直线相交：判断是否相交→→

一般位置线，两组同面投影相交，且交点符合投影规律，则空间两直线一定相交。

在其所平行的投影面上

投影面平行线

相交，且符合规律→相交

投影符合定比关系→相交（二）、两直线相交：141（三）、两直线交叉：不符合平行投影特征，也不符合相交投影特征。(1)可以两组同面投影平行，但不可能三组都平行。(2)可能相交，但不可能符合相交投影规律。（三）、两直线交叉：142七、直角投影定律：｛两直线相交或交叉成直角，其投影可能为直角，也可能不是直角。｛两直线相交或交叉成直角，这两条直线又同时平行于一投影面，则在该投影面上的投影角为直角。｛两线条都不平行时，投影肯定不为直角。七、直角投影定律：143判断下列直线互相垂直：判断下列直线互相垂直：判断下列直线互相不垂直：判断下列直线互相不垂直：例题求作交叉二直线（其中之一为垂直线）的公垂线。例题求作交叉二直线（其中之一为垂直线）的公垂线。例题例：已知：水平线AB，正平线CD,试过点S做他们的公垂线的平行线（SL）S,Sd,b,a,c,cdba例题例：已知：水平线AB，正平线CD,试过点S做他们的公垂线S,Sd,b,a,c,cdba例题L,LS,Sd,b,a,c,cdba例题L,L例题例6已知矩形ABCD的边AB为水平线，试完成图中矩形的两面投影。例题例6已知矩形ABCD的边AB为水平线，试完成图中矩形的③①②③①②例题完成等腰直角三角形ABC的两面投影（直角边BC在水平线MN上）。例题完成等腰直角三角形ABC的两面投影（直角边BC在水平线M3点线面［教学讲解课件］§3-3

平面一、平面的表示：（1）不在同一直线上的三点。（2）一直线与一点。（3）两相交直线。（4）两平行直线。（5）任意的平面图形。（一）、平面的投影表示法（二）、用迹线表示平面。（三角形、圆、其他）§3-3

平面一、平面的表示：（三角形、圆、其他）1用平面的几何元素的投影表示1、三点A、B、C—a、b、c,a’、b’、c，,a”、b”、c”2、一点一直线——AB、C3、相交二直线——AB、AC4、平行二直线——AB与CD5、平面图形ABC1用平面的几何元素的投影表示2．用迹线（trace）来表示平面空间平面与投影面的交线，称为平面的迹线。水平迹线——PH（horizontaltrace）正面迹线——PV（frontaltrace）侧面迹线——PW（profiletrace）2．用迹线（trace）来表示平面空间平面与投影面的交线，称迹线的投影特点和画法：迹线是投影面内的直线。画法：只画出与迹线本身重合的那个投影，并加以标记，其余两投影在相应的投影轴上，不画出并省