概率统计基础培训教材详细优化版本中级质量工程师用课件

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2第二部分随机变量及其分布第一部分概率基础知识目录Page2第二部分随机变量及其分布第一部分概率基础概率基础知识一、事件与概率（一）随机现象1、定义：在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象。2、随机现象的特点：⑴随机现象的结果至少有两个；⑵至于哪一个出现，事先人们并不知道。3、样本点（抽样单元）：随机现象中的每一个可能结果，称为一个样本点，又称为抽样单元。4、样本空间：随机现象一切可能样本点的全体称为这个随机现象的样本空间，常记为Ω。认识一个随机现象首要的就是能罗列出它的一切可能发生的基本结果。Page

3概率基础知识一、事件与概率Page3[例]⑴一天内进某超市的顾客数:Ω={0,1,2,······}⑵一顾客在超市购买的商品数:Ω={0,1,2,······}⑶一顾客在超市排队等候付款的时间:Ω={t:t≥0}⑷一颗麦穗上长着的麦粒个数:Ω={0,1,2,······}⑸新产品在未来市场的占有率:Ω={[0,1]}⑹一台电视机从开始使用到发生第一次故障的时间:Ω={t:t≥0}⑺加工机构轴的直径尺寸:Ω={}⑻一罐午餐肉的重量：Ω={G±g}概率基础知识Page

4[例]概率基础知识Page4（二）随机事件定义：随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件，简称事件，常用大写字母A、B、C等表示。1、随机事件的特征⑴任一事件A是相应样本空间Ω中的一个子集；⑵事件A发生当且仅当A中某一样本点发生；⑶事件A的表示可用集合，也可用语言，但所用的语言应是明确无误的；⑷任一样本空间都有一个最大子集，这个最大子集就是Ω，它对应的事件就是必然事件，仍用Ω表示；⑸任一样本空间都有一个最小子集，这个最小子集就是空集，它对应的事件称为不可能事件，记为φ。概率基础知识Page

5（二）随机事件概率基础知识Page52、随机事件之间的关系⑴包含：【若事件A发生必然导致事件B发生，则事件B包含事件A，记为B

A或A

B。】

⑵互不相容：【若事件A与B不能同时发生，则称事件A与B互不相容。】（互斥）

两个事件间的互不相容性可推广到三个或更多个事件间的互不相容。概率基础知识ABBASA与B互斥ABPage

62、随机事件之间的关系概率基础知识ABBASA与B互斥A⑶相等：【若事件A与B有相同的样本点，则称事件A与B相等。】若事件A包含事件B，事件B也包含事件A，则称事件A和B相等。[例]掷骰子：Ω=｛1，2，3，4，5，6｝，设事件A=“等于小于4的数”={1，2，3，4}，事件B=“偶数”={2，4，6}，显然A与B有相同的样本点{2，4}，但事件A与B并不相等。可定义为“若事件A与B有完全相同的样本点，则称事件A与B相等”。5Ω概率基础知识Page

7⑶相等：【若事件A与B有相同的样本点，则称事件A与B相等。】（三）事件的运算⑴对立事件（又称为互逆事件或逆事件）【在Ω中而不在A中的样本点组成的事件称为A的对立事件（互逆事件）。记为（读非A）。】Ω概率基础知识互逆事件A补充：互斥事件与互逆事件的区别：互斥事件：若事件A与B不能同时发生，即AB=φ，则称事件A与B互不相容。互逆事件：若事件A+B=Ω，AB=φ，则称A与B为互逆事件（对立事件）。①两事件互逆，必定互斥；但两事件互斥，不一定互逆。②互斥事件适用于多个事件,但互逆事件只适用于两个事件。③两事件互斥，只表明两事件不能同时出现，即至多只能出现其中一个，但可以都不出现。两个事件互逆，则表示两个事件之中有且仅有一个出现，即肯定了至少有一个出现。Page

8（三）事件的运算Ω概率基础知识互逆事件A补充：互斥事件与互逆⑵事件A与B的并（又称为和事件）【由事件A与事件B中所有样本点组成的新事件为A与B的并，记为A∪B或A+B。并事件意味着事件A与事件B至少有一个发生。】Ω概率基础知识A∪BABS⑶事件A与B的交（又称为积事件）【由事件A与事件B中公共的样本点组成的新事件称为为事件A与B的交，记为A∩B，简记为AB。交事件意味着事件A与事件B同时发生。】ABABPage

9⑵事件A与B的并（又称为和事件）【由事件A与事件B中所有样本⑷事件A对B的差【由在事件A中而不在事件B中的样本点组成的新事件称为A对B的差，记为A－B。】

ΩΩ概率基础知识A-BBA[例]：打靶，最高环数为10环。若设事件A=击中三环以上的事件={3，4，5，6，7，8，9，10}，事件B=最多击中4环的事件={0，1，2，3，4}。则A－B={5，6，7，8，9，10}=击中5环以上的事件；另B－A={0，1，2}=最多击中2环的事件Page

10⑷事件A对B的差【由在事件A中而不在事件B中的样本点组成的新Page

11概率基础知识事件运算具有如下性质：1、交换律：AB＝BA，AB＝BA2、结合律：(AB)C＝A(BC)，(AB)C＝A(BC)3、分配律：(AB)C＝(AC)(BC)，(AB)C＝(AC)(BC)4、对偶律：以上性质都可推广到多个事件运算中去。[例]甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C的运算关系表示下列事件：Page11概率基础知识事件运算具有如下性质：（四）概率—事件发生可能性大小的度量一个随机事件A发生可能性的大小用这个事件的概率P（A）来表示。概率是一个介于0到1之间的数。概率越大，事件发生的可能性就愈大；概率愈小，事件发生的可能性也就愈小。特别地，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1。即：

P(φ)=0

P(Ω)=1概率基础知识Page

12（四）概率—事件发生可能性大小的度量概率基础知识Page二、概率的古典定义与统计定义（一）古典定义用概率的古典定义确定概率方法的要点如下：（1）所涉及的随机现象只有有限个样本点，设共有n个样本点；（2）每个样本点出现的可能性是相同的（等可能性）；（3）若被考察的事件A含有k个样本点，则事件A的概率定义为：概率基础知识乘法原理：设完成一件事需分两步，第一步有n1种方法,第二步有n2种方法，则完成这件事共有n1n2种方法加法原理：设完成一件事可有两种途径，第一种途径有n1种方法，第二种途径有n2种方法，则完成这件事共有n1+n2种方法。可以推广到多个步骤和途径事件。Page

13二、概率的古典定义与统计定义概率基础知识乘法原理：设完成一件（二）统计定义用概率的统计定义确定概率方法的要点如下：（1）此随机现象是能大量重复试验的；（2）若在n次重复试验中，事件A发生kn次，则事件A发生的频率为（3）频率会随重复试验次数增加而趋于稳定，这个频率的稳定值就是事件A的概率。Page

14概率基础知识（二）统计定义Page14概率基础知识[例]投掷一枚硬币，出现正面和反面的频率，随着投掷次数n的增大，出现正面和反面的频率稳定在1/2左右。概率基础知识试验的次数正面/试验次数1.000.000.250.500.750255075100125Page

15[例]概率基础知识试验的次数正面/试验次数1.000.00三、概率的性质及其运算法则（一）概率的基本性质及加法法则性质1：概率是非负的，且数值介于0与1之间，

0≤P(A)≤1，特别，P(φ)=0,P(Ω)=1性质2：

或性质3：若AB，则性质4：性质5：概率基础知识Page

16三、概率的性质及其运算法则概率基础知识Page16Page

17（二）条件概率、概率的乘法法则及事件的独立性（1）条件概率与概率的乘法法则条件概率要涉及两个事件A与B，在事件B已发生的条件下，事件A再发生的概率称为条件概率，记为P(A|B)。条件概率的计算公式为：性质6：（乘法法则）对任意两个随机事件A与B，有

P（AB）=P(B)P（A|B）P(B)>0=P(A)P（B|A）P(A)>0

概率基础知识Page17（二）条件概率、概率的乘法法则及事件的独立（2）独立性与独立事件的概率

设有两个事件A与B，假如其中一个事件的发生不依赖另一个事件发生与否，则称事件A与B相互独立。性质7：假如两个事件A与B相互独立，则A与B同时发生的概率为

性质8：假如两个事件A与B相互独立，则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率P(A|B)等于事件A的(无条件)概率P(A)。概率基础知识Page

18（2）独立性与独立事件的概率概率基础知识Page18Page

19[例]一家电脑公司从两个供应商处购买了同一种计算机配件，质量状况如下表所示

从这200个配件中任取一个进行检查，求

(1)

取出的一个为正品的概率

(2)

取出的一个为供应商甲的配件的概率

(3)取出一个为供应商甲的正品的概率

(4)已知取出一个为供应商甲的配件，它是正品的概率甲乙两个供应商提供的配件正品数次品数合计供应商甲84690供应商乙1028110合计18614200概率基础知识Page19[例]甲乙两个供应商提供的配件正品数次品Page

20概率基础知识解：设A=取出的一个为正品

B=取出的一个为供应商甲供应的配件（1）

（2）

（3）

（4）Page20概率基础知识解：设A=取出的一个为正Page

21[例]某厂生产的产品能直接出厂的概率为70%，余下的30%的产品要调试后再定，已知调试后有80%的产品可以出厂，20%的产品要报废。求该厂产品的报废率。解：设A={生产的产品要报废}B={生产的产品要调试}已知P(B)=0.3，P(A|B)=0.2，概率基础知识Page21[例]概率基础知识随机变量及其分布一、随机变量1、定义：用来表示随机现象结果的变量称为随机变量。常用大写字母X、Y、Z等表示随机变量，而随机变量的值用小写字母x、y、z表示。例如，在灯泡寿命试验中，令X为“灯泡寿命”(小时)，则X为一随机变量。{X>500}，{X≤1000}，{800<X≤1200}等表示了不同的随机事件。2、分类：Page

22随机变量及其分布一、随机变量Page22离散型随机变量：假如一个随机变量仅取数轴上有限个点或可列个点，则称此随机变量为离散随机变量。连续型随机变量：假如一个随机变量的所有可能取值充满数轴上一个区间（a，b），则称此随机变量为连续随机变量。二、随机变量的分布随机变量的取值是随机的，但其内在还是有规律性的，这个规律可以用分布来描述。认识一个随机变量X的关键就是要知道它的分布。分布包含如下两方面的内容：（1）X可能取哪些值，或在哪个区间上取值。（2）X取这些值的概率各是多少，或X在任一小区间上取值的概率是多少？随机变量及其分布Page

23离散型随机变量：假如一个随机变量仅取数轴上有限个点或可列个点Page

24（一）离散型随机变量的分布若随机变量X只能取有限个值或可列无穷多个值，则称X为离散型随机变量。设X的所有可能取值为，为了描述随机变量X，我们不仅需要知道随机变量X的取值，而且还应知道X取每个值的概率。

定义1：设xk(k=1,2,…)是离散型随机变量X所取的一切可能值，称为离散型随机变量X的概率分布简称分布列,又称分布律。其中(k=1,2,…)满足：（1）k=1,2,…（2）随机变量及其分布Page24（一）离散型随机变量的分布随机变量及其分布Page

25[例]某篮球运动员投中篮圈概率是0.9，求他两次独立投篮投中次数X的概率分布。解：X可取0、1、2为值P(X=0)=(0.1)(0.1)=0.01P(X=1)=2(0.9)(0.1)=0.18P(X=2)=(0.9)(0.9)=0.81

且P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1也可表示为：这就是X的概率分布列。随机变量及其分布Page25[例]随机变量及其分布（二）连续型随机变量

连续型随机变量的分布可用概率密度函数p(x)表示，也可以用f(x)表示。连续型随机变量还可用概率分布函数F(x)表示。对连续型随机变量X，如果存在非负可积函数ƒ(x)，使得对任意实数x，有则称ƒ(x)为X的概率密度函数，简称概率密度或密度。由上述性质可知，对于连续型随机变量，我们关心它在某一点取值的问题没有太大的意义；我们所关心的是它在某一区间上取值的问题．若已知连续型随机变量X的密度函数为f(x),则X在任意区间G(G可以是开区间,也可以是闭区间;可以是有限区间,也可以是无穷区间)上取值的概率为：随机变量及其分布Page

26（二）连续型随机变量随机变量及其分布Page26Page

27随机变量及其分布Page27随机变量及其分布三、随机变量分布的均值、方差与标准差随机变量X的分布（概率函数或密度函数）有几个很重要的特征数，用来表示分布的集中位置（中心位置）和散布大小。两个最重要的特征数：1)均值：表示分布的中心位置，E(x)2)方差：表示分布的散布大小，Var(x)1、均值的计算公式随机变量及其分布Page

28三、随机变量分布的均值、方差与标准差随机变量及其分布Page2、方差的计算公式3、标准差的计算公式随机变量及其分布Page

292、方差的计算公式随机变量及其分布Page2930随机变量及其分布30随机变量及其分布均值与方差的运算性质：（1）设X为随机变量，a与b为任意常数，则有：E(aX+b)=aE(X)+b

Var(aX+b)=a2Var(X)（2）对任意两个随机变量X1与X2，有：

E(X1+X2)=E(X1)+E(X2)

（3）设随机变量X1与X2独立，则有：

Var(X1

±X2)=Var(X1)+Var(X2)随机变量及其分布Page

31均值与方差的运算性质：随机变量及其分布Page31四、常用分布（一）常用离散型分布

常用离散型随机变量的分布有：单点分布（退化分布）、两点分布（0-1分布）、几何分布、二项分布、泊松分布、超几何分布等，按教材重点介绍后三种。随机变量及其分布Page

32四、常用分布随机变量及其分布Page321、二项分布1）重复进行n次试验；2）n次试验间相互独立；3）每次试验仅有两个可能结果；4）成功的概率为p，失败的概率为1-p；在上述四个条件下，设x表示n次独立重复试验中成功出现的次数，则有这个分布称为二项分布，记为b（n，p）。均值：E(x)=np方差：Var(x)=np(1-p)随机变量及其分布Page

331、二项分布随机变量及其分布Page33Page

34[例]有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆汽车在一天的某段时间内,出事故的概率为0.0001,在每天的该段时间内有1000辆汽车通过,问出事故的次数不小于2的概率是多少?解：设1000辆车通过，出事故的次数为X，则故所求概率为二项分布泊松分布随机变量及其分布Page34[例]二项分布2、泊松分布在一定时间内出现在空间给定区域的随机质点的个数为k的概率服从泊松分布：泊松分布可用来描述不少随机变量的概率分布。例如：1）一块钢板上的气泡数；

2）一本书上面的印刷错误；

3）排队等候的人数；

4）某地区某月发生的交通事故；这个分布就称为泊松分布，记为P(λ)。其均值、方差、标准差为：

E(x)=λVar(x)=λσ(x)=随机变量及其分布Page

352、泊松分布随机变量及其分布Page35[例]一大批产品，其废品率为0.015，求任取100件产品，其中有1件不合格品的概率。解：此时

n=100p=0.015，np=1.5若按二项分布计算：若按泊松分布计算：比较两种计算结果可以看出，两者计算结果的误差不超过1%。随机变量及其分布Page

36[例]随机变量及其分布Page363、超几何分布其中，r=min（n，M），这个分布称为超几何分布，记为h（n，N，M）。其均值、方差为：超几何分布用于从有限的整体中进行不放回抽样。随机变量及其分布Page

373、超几何分布随机变量及其分布Page37Page

38[例]在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同.游戏者一次从中摸出5个球.至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率。解：设摸出红球的个数为X,则X服从超几何分布,其中,于是由超几何分布模型得中奖的概率≈0.191随机变量及其分布Page38[例]随机变量及其分布常用离散型随机变量分布汇总名称符号均值方差二项分布b(n,p)npnp(1-p)超几何分布h(n,N,M)泊松分布P(λ)λλ随机变量及其分布Page

39常用离散型随机变量分布汇总名称符号均值方差二（二）正态分布1、正态分布的概率密度函数它的图形是对称的钟形曲线，常称为正态曲线。正态分布有两个参数μ和σ，常记为N（μ，σ2）。随机变量及其分布Page

40（二）正态分布随机变量及其分布Page402、标准正态分布

μ=0且σ=1的分布称为标准正态分布，记为N（0，1）。也记为U。1）标准正态分布表①P(U≤a)=P(U<a)=Φ(a)②P(U>a)=1-Φ(a)③Φ(-a)=1-Φ(a)④P(a≤U≤b)=Φ(b)-Φ(a)⑤P(|U|≤a)=P(-a≤U≤a)=Φ(a)-Φ(-a)=2Φ(a)-1随机变量及其分布Page

412、标准正态分布随机变量及其分布Page413、标准正态分布的分位数分位数是一个基本概念，结合标准正态分布N（0，1）来叙述分位数概念。一般说来，对任意介于0与1之间的实数α，标准正态分布N（0，1）的α分位数是这样一个数，它的左侧面积恰好为α，它的右侧面积恰好为1-α，用概率的语言来说，α分位数是满足下列等式的实数：

P(U≤uα)=α关于分位数的正负符号问题：0.5分位数,即50%分位数,也称为中位数。在标准正态分布场合：u0.5=0

当α<0.5时,uα<0(负数)α>0.5时,uα>0(正数)①α或1-α永远为正（概率必为正）②uα

与-uα对应（下标相同，加负号）③uα

与u1-α对应（下标不同，不加负号）随机变量及其分布Page

423、标准正态分布的分位数随机变量及其分布Page424、有关正态分布的计算正态分布计算是基于下面的重要性质：性质1：性质2：设X~N（μ，σ2），则对任意实数a、b有：①②③随机变量及其分布Page

434、有关正态分布的计算随机变量及其分布Page43[例]某产品的质量特性X~N(16,σ2),若要求P(12<X<20)≥0.8，则σ最大值应为（）

A、u0.9/4B、4/u0.9C、u0.9/2D、2/u0.9解：随机变量及其分布Page

44[例]随机变量及其分布Page44产品质量特性的不合格品率的计算1、质量特性X的分布，在受控的情况下，常为正态分布；2、产品的规范限，常包括上规范限TU和下规范限TL。产品质量特性的不合格品率为：

p

=pL+pU随机变量及其分布Page

45产品质量特性的不合格品率的计算随机变量及其分布Page[例]某厂生产产品的长度服从N(10.05,0.052)(单位cm)，规定长度在10.00cm±0.10cm内为合格品,则此产品不合格的概率是()A、Φ(3)+Φ(1)B、Φ(3)-Φ(1)C、1-Φ(1)+Φ(-3)D、Φ(1)-Φ(-3)解:

TL=10.00–0.10=9.90TU=10.00+0.10=10.10

pL=P(X<TL)=Φ(-3)

pU

=P(X>TU)=1-Φ(1)

p

=pL+pU=1-Φ(1)+Φ(-3)随机变量及其分布Page

46[例]随机变量及其分布Page46（三）其他连续分布1、均匀分布其均值、方差为：随机变量及其分布Page

47（三）其他连续分布随机变量及其分布Page47Page

48[例]某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班车，即7:00，7:15，7:30，7:45等时刻，如果乘客到达此站时间X是7:00到7:30之间的均匀随机变量,试求他候车时间少于5分钟的概率。解：依题意可知，X～U(0,30)，即为使候车时间X少于5分钟，乘客必须在7:10，到7:15之间，或在7:25到7:30之间到达车站，则随机变量及其分布Page48[例]随机变量及其分布2、对数正态分布1）在正半轴（0，∞）上取值；2）这些随机变量的大量取值在左边，少量取值在右边，并且很分散，因此也称为“右偏分布”。3）最重要的特征：若随机变量X服从对数正态分布，而经过对数变换Y=lnX后服从正态分布。其均值、方差为：随机变量及其分布Page

492、对数正态分布随机变量及其分布Page493、指数分布其均值、方差为：

E（X）=1/λVar（X）=1/λ2Page

50随机变量及其分布3、指数分布Page50随机变量及其分布Page

51[例]电子元件的寿命X(年）服从λ＝3的指数分布(1)求该电子元件寿命超过2年的概率。(2)已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用2年的概率为多少？解：由已知得X的概率密度为随机变量及其分布Page51[例]随机变量及其分布Page

52随机变量及其分布Page52随机变量及其分布常用连续型随机变量汇总名称符号均值方差正态分布N(μ,σ2)μσ2均匀分布U(a，b)（b+a）/2(b-a)2/12对数正态分布LN(μ,σ2)指数分布Exp(λ)1/λ1/λ2Page

53随机变量及其分布常用连续型随机变量汇总名称符号均值方差正态分布N(μ,σ2)54五、中心极限定理中心极限定理：设X1，X2，······Xn为相互独立同分布的随机变量，均值μ、σ2都存在，则在n较大时，样本均值的分布总是近似服从正态分布。Page

5454五、中心极限定理Page54Page

55谢谢!Page55谢谢!概率统计基础知识宁波南车时代传感技术有限公司质量安全部概率统计基础知识宁波南车时代传感技术有限公司目录Page

57第二部分随机变量及其分布第一部分概率基础知识目录Page2第二部分随机变量及其分布第一部分概率基础概率基础知识一、事件与概率（一）随机现象1、定义：在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象。2、随机现象的特点：⑴随机现象的结果至少有两个；⑵至于哪一个出现，事先人们并不知道。3、样本点（抽样单元）：随机现象中的每一个可能结果，称为一个样本点，又称为抽样单元。4、样本空间：随机现象一切可能样本点的全体称为这个随机现象的样本空间，常记为Ω。认识一个随机现象首要的就是能罗列出它的一切可能发生的基本结果。Page

58概率基础知识一、事件与概率Page3[例]⑴一天内进某超市的顾客数:Ω={0,1,2,······}⑵一顾客在超市购买的商品数:Ω={0,1,2,······}⑶一顾客在超市排队等候付款的时间:Ω={t:t≥0}⑷一颗麦穗上长着的麦粒个数:Ω={0,1,2,······}⑸新产品在未来市场的占有率:Ω={[0,1]}⑹一台电视机从开始使用到发生第一次故障的时间:Ω={t:t≥0}⑺加工机构轴的直径尺寸:Ω={}⑻一罐午餐肉的重量：Ω={G±g}概率基础知识Page

59[例]概率基础知识Page4（二）随机事件定义：随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件，简称事件，常用大写字母A、B、C等表示。1、随机事件的特征⑴任一事件A是相应样本空间Ω中的一个子集；⑵事件A发生当且仅当A中某一样本点发生；⑶事件A的表示可用集合，也可用语言，但所用的语言应是明确无误的；⑷任一样本空间都有一个最大子集，这个最大子集就是Ω，它对应的事件就是必然事件，仍用Ω表示；⑸任一样本空间都有一个最小子集，这个最小子集就是空集，它对应的事件称为不可能事件，记为φ。概率基础知识Page

60（二）随机事件概率基础知识Page52、随机事件之间的关系⑴包含：【若事件A发生必然导致事件B发生，则事件B包含事件A，记为B

A或A

B。】

⑵互不相容：【若事件A与B不能同时发生，则称事件A与B互不相容。】（互斥）

两个事件间的互不相容性可推广到三个或更多个事件间的互不相容。概率基础知识ABBASA与B互斥ABPage

612、随机事件之间的关系概率基础知识ABBASA与B互斥A⑶相等：【若事件A与B有相同的样本点，则称事件A与B相等。】若事件A包含事件B，事件B也包含事件A，则称事件A和B相等。[例]掷骰子：Ω=｛1，2，3，4，5，6｝，设事件A=“等于小于4的数”={1，2，3，4}，事件B=“偶数”={2，4，6}，显然A与B有相同的样本点{2，4}，但事件A与B并不相等。可定义为“若事件A与B有完全相同的样本点，则称事件A与B相等”。5Ω概率基础知识Page

62⑶相等：【若事件A与B有相同的样本点，则称事件A与B相等。】（三）事件的运算⑴对立事件（又称为互逆事件或逆事件）【在Ω中而不在A中的样本点组成的事件称为A的对立事件（互逆事件）。记为（读非A）。】Ω概率基础知识互逆事件A补充：互斥事件与互逆事件的区别：互斥事件：若事件A与B不能同时发生，即AB=φ，则称事件A与B互不相容。互逆事件：若事件A+B=Ω，AB=φ，则称A与B为互逆事件（对立事件）。①两事件互逆，必定互斥；但两事件互斥，不一定互逆。②互斥事件适用于多个事件,但互逆事件只适用于两个事件。③两事件互斥，只表明两事件不能同时出现，即至多只能出现其中一个，但可以都不出现。两个事件互逆，则表示两个事件之中有且仅有一个出现，即肯定了至少有一个出现。Page

63（三）事件的运算Ω概率基础知识互逆事件A补充：互斥事件与互逆⑵事件A与B的并（又称为和事件）【由事件A与事件B中所有样本点组成的新事件为A与B的并，记为A∪B或A+B。并事件意味着事件A与事件B至少有一个发生。】Ω概率基础知识A∪BABS⑶事件A与B的交（又称为积事件）【由事件A与事件B中公共的样本点组成的新事件称为为事件A与B的交，记为A∩B，简记为AB。交事件意味着事件A与事件B同时发生。】ABABPage

64⑵事件A与B的并（又称为和事件）【由事件A与事件B中所有样本⑷事件A对B的差【由在事件A中而不在事件B中的样本点组成的新事件称为A对B的差，记为A－B。】

ΩΩ概率基础知识A-BBA[例]：打靶，最高环数为10环。若设事件A=击中三环以上的事件={3，4，5，6，7，8，9，10}，事件B=最多击中4环的事件={0，1，2，3，4}。则A－B={5，6，7，8，9，10}=击中5环以上的事件；另B－A={0，1，2}=最多击中2环的事件Page

65⑷事件A对B的差【由在事件A中而不在事件B中的样本点组成的新Page

66概率基础知识事件运算具有如下性质：1、交换律：AB＝BA，AB＝BA2、结合律：(AB)C＝A(BC)，(AB)C＝A(BC)3、分配律：(AB)C＝(AC)(BC)，(AB)C＝(AC)(BC)4、对偶律：以上性质都可推广到多个事件运算中去。[例]甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C的运算关系表示下列事件：Page11概率基础知识事件运算具有如下性质：（四）概率—事件发生可能性大小的度量一个随机事件A发生可能性的大小用这个事件的概率P（A）来表示。概率是一个介于0到1之间的数。概率越大，事件发生的可能性就愈大；概率愈小，事件发生的可能性也就愈小。特别地，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1。即：

P(φ)=0

P(Ω)=1概率基础知识Page

67（四）概率—事件发生可能性大小的度量概率基础知识Page二、概率的古典定义与统计定义（一）古典定义用概率的古典定义确定概率方法的要点如下：（1）所涉及的随机现象只有有限个样本点，设共有n个样本点；（2）每个样本点出现的可能性是相同的（等可能性）；（3）若被考察的事件A含有k个样本点，则事件A的概率定义为：概率基础知识乘法原理：设完成一件事需分两步，第一步有n1种方法,第二步有n2种方法，则完成这件事共有n1n2种方法加法原理：设完成一件事可有两种途径，第一种途径有n1种方法，第二种途径有n2种方法，则完成这件事共有n1+n2种方法。可以推广到多个步骤和途径事件。Page

68二、概率的古典定义与统计定义概率基础知识乘法原理：设完成一件（二）统计定义用概率的统计定义确定概率方法的要点如下：（1）此随机现象是能大量重复试验的；（2）若在n次重复试验中，事件A发生kn次，则事件A发生的频率为（3）频率会随重复试验次数增加而趋于稳定，这个频率的稳定值就是事件A的概率。Page

69概率基础知识（二）统计定义Page14概率基础知识[例]投掷一枚硬币，出现正面和反面的频率，随着投掷次数n的增大，出现正面和反面的频率稳定在1/2左右。概率基础知识试验的次数正面/试验次数1.000.000.250.500.750255075100125Page

70[例]概率基础知识试验的次数正面/试验次数1.000.00三、概率的性质及其运算法则（一）概率的基本性质及加法法则性质1：概率是非负的，且数值介于0与1之间，

0≤P(A)≤1，特别，P(φ)=0,P(Ω)=1性质2：

或性质3：若AB，则性质4：性质5：概率基础知识Page

71三、概率的性质及其运算法则概率基础知识Page16Page

72（二）条件概率、概率的乘法法则及事件的独立性（1）条件概率与概率的乘法法则条件概率要涉及两个事件A与B，在事件B已发生的条件下，事件A再发生的概率称为条件概率，记为P(A|B)。条件概率的计算公式为：性质6：（乘法法则）对任意两个随机事件A与B，有

P（AB）=P(B)P（A|B）P(B)>0=P(A)P（B|A）P(A)>0

概率基础知识Page17（二）条件概率、概率的乘法法则及事件的独立（2）独立性与独立事件的概率

设有两个事件A与B，假如其中一个事件的发生不依赖另一个事件发生与否，则称事件A与B相互独立。性质7：假如两个事件A与B相互独立，则A与B同时发生的概率为

性质8：假如两个事件A与B相互独立，则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率P(A|B)等于事件A的(无条件)概率P(A)。概率基础知识Page

73（2）独立性与独立事件的概率概率基础知识Page18Page

74[例]一家电脑公司从两个供应商处购买了同一种计算机配件，质量状况如下表所示

从这200个配件中任取一个进行检查，求

(1)

取出的一个为正品的概率

(2)

取出的一个为供应商甲的配件的概率

(3)取出一个为供应商甲的正品的概率

(4)已知取出一个为供应商甲的配件，它是正品的概率甲乙两个供应商提供的配件正品数次品数合计供应商甲84690供应商乙1028110合计18614200概率基础知识Page19[例]甲乙两个供应商提供的配件正品数次品Page

75概率基础知识解：设A=取出的一个为正品

B=取出的一个为供应商甲供应的配件（1）

（2）

（3）

（4）Page20概率基础知识解：设A=取出的一个为正Page

76[例]某厂生产的产品能直接出厂的概率为70%，余下的30%的产品要调试后再定，已知调试后有80%的产品可以出厂，20%的产品要报废。求该厂产品的报废率。解：设A={生产的产品要报废}B={生产的产品要调试}已知P(B)=0.3，P(A|B)=0.2，概率基础知识Page21[例]概率基础知识随机变量及其分布一、随机变量1、定义：用来表示随机现象结果的变量称为随机变量。常用大写字母X、Y、Z等表示随机变量，而随机变量的值用小写字母x、y、z表示。例如，在灯泡寿命试验中，令X为“灯泡寿命”(小时)，则X为一随机变量。{X>500}，{X≤1000}，{800<X≤1200}等表示了不同的随机事件。2、分类：Page

77随机变量及其分布一、随机变量Page22离散型随机变量：假如一个随机变量仅取数轴上有限个点或可列个点，则称此随机变量为离散随机变量。连续型随机变量：假如一个随机变量的所有可能取值充满数轴上一个区间（a，b），则称此随机变量为连续随机变量。二、随机变量的分布随机变量的取值是随机的，但其内在还是有规律性的，这个规律可以用分布来描述。认识一个随机变量X的关键就是要知道它的分布。分布包含如下两方面的内容：（1）X可能取哪些值，或在哪个区间上取值。（2）X取这些值的概率各是多少，或X在任一小区间上取值的概率是多少？随机变量及其分布Page

78离散型随机变量：假如一个随机变量仅取数轴上有限个点或可列个点Page

79（一）离散型随机变量的分布若随机变量X只能取有限个值或可列无穷多个值，则称X为离散型随机变量。设X的所有可能取值为，为了描述随机变量X，我们不仅需要知道随机变量X的取值，而且还应知道X取每个值的概率。

定义1：设xk(k=1,2,…)是离散型随机变量X所取的一切可能值，称为离散型随机变量X的概率分布简称分布列,又称分布律。其中(k=1,2,…)满足：（1）k=1,2,…（2）随机变量及其分布Page24（一）离散型随机变量的分布随机变量及其分布Page

80[例]某篮球运动员投中篮圈概率是0.9，求他两次独立投篮投中次数X的概率分布。解：X可取0、1、2为值P(X=0)=(0.1)(0.1)=0.01P(X=1)=2(0.9)(0.1)=0.18P(X=2)=(0.9)(0.9)=0.81

且P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1也可表示为：这就是X的概率分布列。随机变量及其分布Page25[例]随机变量及其分布（二）连续型随机变量

连续型随机变量的分布可用概率密度函数p(x)表示，也可以用f(x)表示。连续型随机变量还可用概率分布函数F(x)表示。对连续型随机变量X，如果存在非负可积函数ƒ(x)，使得对任意实数x，有则称ƒ(x)为X的概率密度函数，简称概率密度或密度。由上述性质可知，对于连续型随机变量，我们关心它在某一点取值的问题没有太大的意义；我们所关心的是它在某一区间上取值的问题．若已知连续型随机变量X的密度函数为f(x),则X在任意区间G(G可以是开区间,也可以是闭区间;可以是有限区间,也可以是无穷区间)上取值的概率为：随机变量及其分布Page

81（二）连续型随机变量随机变量及其分布Page26Page

82随机变量及其分布Page27随机变量及其分布三、随机变量分布的均值、方差与标准差随机变量X的分布（概率函数或密度函数）有几个很重要的特征数，用来表示分布的集中位置（中心位置）和散布大小。两个最重要的特征数：1)均值：表示分布的中心位置，E(x)2)方差：表示分布的散布大小，Var(x)1、均值的计算公式随机变量及其分布Page

83三、随机变量分布的均值、方差与标准差随机变量及其分布Page2、方差的计算公式3、标准差的计算公式随机变量及其分布Page

842、方差的计算公式随机变量及其分布Page2985随机变量及其分布30随机变量及其分布均值与方差的运算性质：（1）设X为随机变量，a与b为任意常数，则有：E(aX+b)=aE(X)+b

Var(aX+b)=a2Var(X)（2）对任意两个随机变量X1与X2，有：

E(X1+X2)=E(X1)+E(X2)

（3）设随机变量X1与X2独立，则有：

Var(X1

±X2)=Var(X1)+Var(X2)随机变量及其分布Page

86均值与方差的运算性质：随机变量及其分布Page31四、常用分布（一）常用离散型分布

常用离散型随机变量的分布有：单点分布（退化分布）、两点分布（0-1分布）、几何分布、二项分布、泊松分布、超几何分布等，按教材重点介绍后三种。随机变量及其分布Page

87四、常用分布随机变量及其分布Page321、二项分布1）重复进行n次试验；2）n次试验间相互独立；3）每次试验仅有两个可能结果；4）成功的概率为p，失败的概率为1-p；在上述四个条件下，设x表示n次独立重复试验中成功出现的次数，则有这个分布称为二项分布，记为b（n，p）。均值：E(x)=np方差：Var(x)=np(1-p)随机变量及其分布Page

881、二项分布随机变量及其分布Page33Page

89[例]有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆汽车在一天的某段时间内,出事故的概率为0.0001,在每天的该段时间内有1000辆汽车通过,问出事故的次数不小于2的概率是多少?解：设1000辆车通过，出事故的次数为X，则故所求概率为二项分布泊松分布随机变量及其分布Page34[例]二项分布2、泊松分布在一定时间内出现在空间给定区域的随机质点的个数为k的概率服从泊松分布：泊松分布可用来描述不少随机变量的概率分布。例如：1）一块钢板上的气泡数；

2）一本书上面的印刷错误；

3）排队等候的人数；

4）某地区某月发生的交通事故；这个分布就称为泊松分布，记为P(λ)。其均值、方差、标准差为：

E(x)=λVar(x)=λσ(x)=随机变量及其分布Page

902、泊松分布随机变量及其分布Page35[例]一大批产品，其废品率为0.015，求任取100件产品，其中有1件不合格品的概率。解：此时

n=100p=0.015，np=1.5若按二项分布计算：若按泊松分布计算：比较两种计算结果可以看出，两者计算结果的误差不超过1%。随机变量及其分布Page

91[例]随机变量及其分布Page363、超几何分布其中，r=min（n，M），这个分布称为超几何分布，记为h（n，N，M）。其均值、方差为：超几何分布用于从有限的整体中进行不放回抽样。随机变量及其分布Page

923、超几何分布随机变量及其分布Page37Page

93[例]在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同.游戏者一次从中摸出5个球.至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率。解：设摸出红球的个数为X,则X服从超几何分布,其中,于是由超几何分布模型得中奖的概率≈0.191随机变量及其分布Page38[例]随机变量及其分布常用离散型随机变量分布汇总名称符号均值方差二项分布b(n,p)npnp(1-p)超几何分布h(n,N,M)泊松分布P(λ)λλ随机变量及其分布Page

94常用离散型随机变量分布汇总名称符号均值方差二（二）正态分布1、正态分布的概率密度函数它的图形是对称的钟形曲线，常称为正态曲线。正态分布有两个参数μ和σ，常记为N（μ，σ2）。随机变量及其分布Page

95（二）正态分布随机变量及其分布Page402、标准正态分布

μ=0且σ=1的分布称为标准正态分布，记为N（0，1）。也记为U。1）标准正态分布表①P(U≤a)=P(U<a)=Φ(a)②P(U>a)=1-Φ(a)③Φ(-a)=1-Φ(a)④P(a≤U≤b)=Φ(b)-Φ(a)⑤P(|U|≤a)=P(-a≤U≤a)=Φ(a)-Φ(-a)=2Φ(a)-1随机变量及其分布Page

962、标准正态分布随机变量及其分布Page413、标准正态分布的分位数分位数是一个基本概念，结合标准正态分布N（0，1）来叙述分位数概念。一般说来，对任意介于0与1之间的实数α，标准正态分布N（0，1）的α分位数是这样一个数，它的左侧面积恰好为α，它的右侧面积恰好为1-α，用概率的语言来说，α分位数是满足下列等式的实数：

P(U≤uα)=α关于分位数的正负符号问题：0.5分位数,即50%分位数,也称为中位数。在标