高考数学一轮复习讲练测(浙江版)专题210函数的综合问题与实际应用(讲)答案解析

【课前小测摸底细】1.【必修一P107A组T1改编】在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组数据，以下表：x0.500.992.013.98y﹣0.990.010.982.00则x,y最适合的函数的是（）A．y2xB．yx21C．y2x2D．ylog2x【答案】D【剖析】依照x=0.50,y=-0.99,代入计算,能够消除A;依照x=2.01,y=0.98,代入计算,能够消除B,C;将各数据代入函数ylog2x，可知满足题意.应选D.2.【2016高考四川文科】某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入.若该公司2015年全年投入研发资本130万元，在此基础上，每年投入的研发资本比上一年增加12％，则该公司全年投入的研发资本开始高出200万元的年份是()(参照数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30)(A)2018年(B)2019年(C)2020年(D)2021年【答案】B【2016·日照模拟】下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，它最可能的函数模型是()x45678910y15171921232527A.一次函数模型B．幂函数模型C．指数函数模型D．对数函数模型【答案】A【剖析】依照已知数据可知，自变量每增加1函数值增加2，因此函数值的增量是平均的，故为一次函数模型。4.【基础经典试题】某人骑着自行车一路匀速行驶，可是在途中遇到了一次交通拥堵，耽搁了一些时间(约占行程的三分之一左右的时间)，下面哪个图象与这件事相吻合（）【答案】D【剖析】由于匀速度在vt图象中是平行于t轴的直线段，又依照题意知选D.5.某汽车销售公司在A、B两地销售同一中品牌的车，在A地的销售利润（单位：万元）为y14.1x0.1x2，在B地的销售利润（单位：万元）为y22x，其中x为销售量（单位：辆），若该公司在两地共销售16辆这种品牌车，则能获取的最大利润是万元.【答案】43【考点深度剖析】高考对函数应用的观察，常与二次函数、基本不等式及导数等知识交汇，以解答题为主要形式出现．高考对一次函数、二次函数模型的观察主要有以下两个命题角度：(1)单调观察一次函数或二次函数模型的成立及最值问题；(2)以分段函数的形式观察一次函数和二次函数．【经典例题精析】考点1一次函数与分段函数模型【1-1】我国为了加强对烟酒生产的宏观管理，除了应收税收外，还征收附加税，已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时，每年大体销售100万瓶；若每销售100元国家要征附加税

x元(即税率为

x%)，则每年销售量将减少

10x万瓶，若是要使每年在此项经营中所收取的附加税额很多于

112万元，则

x的最小值为

(

)A．2

B

．6

C

．8

D

．9【答案】

A【剖析】依题意，有(100－10x)×70×x≥112，因此2≤x≤8.1001-2】甲、乙两人同时从A地赶往B地，甲先骑自行车到中点改为跑步，而乙则是先跑步，到中点后改为骑自行车，最后两人同时到达B地.已知甲骑自行车比乙骑自行车快.若每人走开甲地的距离

S与所用时间

t的函数用图象表示，则甲、乙两人的图象分别是

(

)A．甲是(1)，乙是(2)C．甲是(3)，乙是(2)

B．甲是D．甲是

(1)，乙是(3)，乙是

(4)(4)【答案】

B【剖析】显然甲图象为

(1)或(3)

，乙图象为

(2)或(4).

又由于甲骑车比乙骑车快，即甲前一半行程图象的中

y随x的变化比乙后一半行程

y随

x的变化要快，因此

甲为(1)

，乙为

(4).选B.【1-3】【2013年广州模拟】某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为元，该厂为激励销售商订购，决定当一次订购量高出100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实质出厂单价不能够低于51元．（Ⅰ）当一次订购量为多少个时，零件的实质出厂单价恰好降为51元；（Ⅱ）设一次订购量为x个，零件的实质出厂单价为P元，求出函数P＝f(x)的表达式．

60【课本回眸】一次函数模型：f(x)axb（a、b为常数，a0）.【方法规律技巧】1．在现实生活中，很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增加特点是直线上涨(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小于0)．2．在现实生活中，很多问题的两变量之间的关系，不能够用同一个关系式给出，而是由几个不同样的关系式构成分段函数．如出租车票价与行程之间的关系，就是分段函数．分段函数主若是每一段上自变量变化所依照的规律不同样，能够先将其作为几个不同样问题，将各段的规律找出来，再将其合在一起．要注意各段变量的范围，特别是端点．【新题变式研究】【变式一】(2016·湖州模拟)物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为赶忙实现牢固菜价，提出四种绿色运输方案．据展望，这四种方案均能在规定的时间

T

内完成展望的运输任务

Q0，各种方案的运输总量Q与时间

t

的函数关系以下列图，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐渐提高的是()ABCD【答案】B【剖析】由运输效率(单位时间的运输量)逐渐提高得曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大，应选B。【变式二】某网民用电脑上因特网有两种方案可选：一是在家里上网，花销分为通讯费(即电话费)与网络保护费两部分．现有政策规定：通讯费为0.02元/分钟，但每个月30元封顶(即高出30元则只需交30元)，网络保护费1元/小时，但每个月上网不高出10小时则要交10元；二是到周边网吧上网，价格为1.5元/小时．（Ⅰ）将该网民某月内在家上网的花销y(元)表示为时间t(小时)的函数；（Ⅱ）试确定在何种情况下，该网民在家上网更低价？考点2二次函数模型【2-1】将一个底面圆的直径为d的圆柱截成横截面为长方形的棱柱，若这个长方形截面的一条边长为

x，对角线长为

d，截面的面积为

A，求面积

A以

x为自变量的函数式，并写出它的定义域

.【剖析】如上图，截面的一条边为

x，对角线

AC

d，另一条边

BC

d2

x2

,因此Sxd2

x2

,定义域为

(0,d)

.【2-2】某汽车销售公司在

A

、

B

两地销售同一中品牌的车，

在A地的销售利润

（位：万元）为y1

4.1x

0.1x2，在

B

地的销售利润（单位：万元）为

y2

2x，其中

x为销售量（单位：辆），若该公司在两地共销售

16辆这种品牌车，则能获取的最大利润是（

）A．

10.5

B.

11万元

C.

43万元

D.43.025万元【答案】C【剖析】依题意，设在A地销售x辆汽车，则在B地销售16x辆汽车，所以总利润y4.1x0.1x22(16x)0.1x22.1x320.1(x21)20.121232，24由于x[0,16]且xN，因此当x10辆或11辆时，总利润yMax43万元.应选C.【2-3】【2013年河南调研】为了在“十一”黄金周时期降价搞促销，某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总数：①若是不高出200元，则不予优惠；②若是高出200元，但不高出500元，则按标价恩赐9折优惠；③若是高出500元，其中500元按第②条给予优惠，高出500元的部分恩赐7拆优惠．辛云和她母亲两次去购物，分别付款168元和423元，假设她们一次性购买上述同样的商品，则应付款额为．【答案】546.6【课本回眸】二次函数模型：f(x)ax2bxc（a、b、c为常数，a0）.【方法规律技巧】有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、利润问题、产量问题等．成立二次函数模型，利用二次函数图象与单调性解决．在解决二次函数的应用问题时，必然要注意定义域．【新题变式研究】【变式一】【2015届北京旭日区上学期期中检测】设某公司原有员工100人从事产品A的生产，平均每人每年创立产值t万元（t为正常数）．公司决定从原有员工中分流x（0x100）人去进行新开发的产品B的生产．分流后，连续从事产品A生产的员工平均每人每年创立产值在原有的基础上增加了1.2x%．若要保证产品A的年产值不减少，则最多能分流的人数是（）A．15B．16C．17D．18【答案】B【剖析】试题剖析：由题意，分流前每年创立的产值为100t（万元），分流后x人后，每年创立的产值为100x0x10050．所11.2x%t，则由，解得：0x100x11.2x%t100t3以x的最大值为16．应选：B．【变式二】某厂有容量300吨的水塔一个,每天从早六点到晚十点供应生活和生产用水,已知:该厂生活用水每小时10吨,工业用水总量W(吨)与时间t(单位:小时,规定清早六点时t0)的函数关系为

W

100t

,水塔的进水量有

10级,第一级每小时进水

10吨,今后每提高一级

,

进水量增加

10吨.若某天水塔原有水

100吨,在供应同时打开进水管

.问该天进水量应选择几级

,既能保证该厂用水

(即水塔中水不空

),

又不会使水溢出

?考点3指数函数模型3-1】【2013年长春结合测试】某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他花销)为()A．略有盈利B．略有损失C．没有盈利也没有损失

D．无法判断盈亏情况【答案】

B【剖析】设该股民购这支股票的价格为

a，则经历

n次涨停后的价格为

a(1＋10%)n＝a×1.1

n，经历

n次跌停后的价格为

a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)

n＝0.99n·a<a，故该股民这支股票略有损失．【3-2】某工厂一年中十二月份的产量是一月份产量的

m倍，那么该工厂这一年中的月平均增加率是（

）A.mB.mC.12m－1D.11m－11112【答案】D【剖析】设该厂一月份产量为a，这一年中月平均增加率为x.则ax11ma，解得11.应选D.(1)xm13-3】一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积最少要保留原面积的124，已知到今年为止，森林节余面积为原来的2.（Ⅰ）求每年砍伐面积的百分比；（Ⅱ）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？（Ⅲ）今后最多还能够砍伐多少年？【剖析】（Ⅰ）设每年降低的百分比为x(0<x<1)．则a(1－x)101101，＝a，即(1－x)＝22【课本回眸】指数函数模型：f(x)baxc（a、b、c为常数，a0且a1，b0）.【方法规律技巧】1．指数函数模型，常与增加率相结合进行观察，在实责问题中有人口增加、银行利率、细胞分裂等增加问题能够利用指数函数模型来表示．2．应用指数函数模型时，要点是对模型的判断，先设定模型将相关数据代入考据，确定参数，从而确定函数模型．3．y＝a(1＋x)n平时利用指数运算与对数函数的性质求解．4．对于直线上涨、指数增加、对数增加的特点要注意区分：直线上涨：匀速增加，其增加量固定不变；指数增加：先慢后快，其增加量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；对数增加：先快后慢，其增加速度缓慢．公司的利润选择直线上涨或指数模型增加，而员工奖金选择对数模型增加．1．在解答本题时有两点简单造成失分：忽略实责问题对变量x的限制即定义域．将侧面积、容积求错，从而造成后续的求解不正确．2．解决函数模型应用的解答题，还有以下几点简单造成失分，在备考中要高度关注：①读不懂实质背景，不能够将实责问题转变为函数模型．②对涉及的相关公式，记忆错误．③在求解的过程受骗算错误．别的需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确地求解．【新题变式研究】【变式一】(2016·安徽名校联考)如图，在平面直角坐标系中，AC平行于是边长为1的正方形，记四边形位于直线x＝t(t＞0)左侧图形的面积为致图象是()

x轴，四边形ABCDf(t)，则f(t)的大ABCD【答案】C【剖析】t2,0t22f(x)(t2)21,2t2，故其图象为C。21,t2【变式二】衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积减小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后体积与天数t的关系式为：Vaekt，若新丸经过50天后，体积变为4a；若一个89新丸体积变为a，则需经过的天数为27A．75天B．100天C．125天D．150天【答案】A.考点4对数函数模型【4-1】光辉透过一块玻璃板，其强度要减弱1，要使光辉的强度减少到原来的1，则最少103要（）快这样的玻璃(lg30.4771).A．8B.9C.10D.11【答案】D【4-2】某种放射性元素的原子数N随时间t变化规律是NN0et，其中N0、为正的常数.由放射性元素的这种性质，能够制造高精度的时钟，用原子数表示时间t为.1N【答案】tlnN0【剖析】由于NN0et，因此Net，两边取以e为底的对数，因此t1lnN.N0N0【4-3】我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的翱翔速度能够表示为函数v5log2O，单位m/s，其中O表示燕子的耗氧量.则当10燕子静止时的耗氧量时单位和当一只燕子的耗氧量是80个单位时的翱翔速度分别是（）A．10个15C.15个15【答案】A

m/sm/s

B.10个8D.50个15

m/sm/sv0，代入v5log2O5log2O【剖析】由题意知，当燕子静止时，它的速度，即0，1010解得O10个单位.因此80m/s.v5log2105log2815【课本回眸】对数函数模型：f(x)blogaxc，（a、bc为常数，a0且a1，b0）.【方法规律技巧】解答函数应用题的一般步骤：①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；②建模：将自然语言转变为数学语言，将文字语言转变为符号语言，利用数学知识，成立相应的数学模型；③求模：求解数学模型，得出数学结论；④还原：将数学问题还原为实责问题的意义．【新题变式研究】【变式一】2008年我国人口总数为14亿，若是人口的自然年增加率控制在1.25%，则________年我国人口将高出20亿．(lg2≈0.3010，lg3≈