函数的极值及最大小值课件

6.5函数的极值与最大(小)值由单调性的判定法则，结合函数的图形可知，曲线在升、降转折点处形成“峰”、“谷”，函数在这些点处的函数值大于或小于两侧附近各点处的函数值。函数的这种性态以及这种点，无论在理论上还是在实际应用上都具有重要的意义，值得我们作一般性的讨论.6.5函数的极值与最大(小)值由单调性的判1一、函数极值的定义一、函数极值的定义2定义函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.定义函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极3二、函数极值的求法定理1(必要条件)定义注意:例如,二、函数极值的求法定理1(必要条件)定义注意:例如,4注①这个结论又称为Fermat定理②如果一个可导函数在所论区间上没有驻点则此函数没有极值，此时导数不改变符号③不可导点也可能是极值点可疑极值点：驻点、不可导点可疑极值点是否是真正的极值点，还须进一步判明。由单调性判定法则知，若可疑极值点的左、右两侧邻近，导数分别保持一定的符号，则问题即可得到解决。注①这个结论又称为Fermat定理②如果一个可导函数在所论区5定理2(第一充分条件)(是极值点情形)定理2(第一充分条件)(是极值点情形)6函数的极值及最大小值课件7求极值的步骤:(不是极值点情形)求极值的步骤:(不是极值点情形)8例1解列表讨论极大值极小值例1解列表讨论极大值极小值9图形如下图形如下10列表讨论如下：列表讨论如下：11定理3(第二充分条件)证定理3(第二充分条件)证12例2解图形如下例2解图形如下13注意:注意:14例3解注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.例3解注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.15例4证（不易判明符号）而且是一个最大值点，例4证（不易判明符号）而且是一个最大值点，16例5设f(x)连续，且f(a)是f(x)的极值，问f

2(a)是否是f

2(x)的极值证分两种情况讨论①所以f

2(a)是f

2(x)的极小值例5设f(x)连续，且f(a)是f(x17②设f(a)是f(x)的极小值，且又f(x)在x=a处连续，且f

2(a)是f

2(x)的极大值同理可讨论f(a)是f(x)的极大值的情况②设f(a)是f(x)的极小值，且又f(x18例6假定f(x)在x=x0处具有直到n阶的连续导数，且证明当n为偶数时，f(x0)是f(x)的极值当n为奇数时，f(x0)不是f(x)的极值证由Taylor公式，得例6假定f(x)在x=x0处具有直到n阶的连续导数，且证明当19因此存在x0的一个小邻域，使在该邻域内下面来考察两种情形①n为奇数，当x渐增地经过x0时变号不变号变号不是极值因此存在x0的一个小邻域，使在该邻域内下面来考察两种情形①n20②n为偶数，当x渐增地经过x0时不变号不变号不变号是极值且当时是极小值当时是极大值②n为偶数，当x渐增地经过x0时不变号不变号不变号是极值且21例4

解例4解22例5

解例523函数最大值和最小值的一般求法：(一)y=f(x)x∈[a,b](1)求出f(x)的导数f'(x)；令f'(x)=0，求出驻点；(2)求出驻点处的函数值以及端点处的函数值；(3)比较这些值的大小，其中最大的就是函数的最大值，最小的就是最小值.三.函数的最值函数最大值和最小值的一般求法：(一)y=f(x)x∈24解：(1).f(x)的定义域为(-∞，1]

，[-8，1](-∞，+1](2).(3).令f‘(x)=0，解之得驻点为

(5).比较大小得，在[-8，1]上的最大值为，最小值为-5.(4).解：(1).f(x)的定义域为(-∞，1]，[-8，1]25函数的极值及最大小值课件26例8.求函数f(x)=x2-2x+6的最值.(1).f(x)的定义域为(-∞，+∞).解：(2).f’(x)=2x-2=2(x-1)(3).令f’(x)=0，解之得驻点为x=1.当x∈(-∞，1)时，f’(x)<0,单调递减.当x∈(1，+∞)时，f’(x)>0,单调递增.(二)若函数在一个开区间或无穷区间(-∞，+∞)内可导，且有唯一的极值点.例8.求函数f(x)=x2-2x+6的最值.(1).f(x27

例9.在半径为R的半圆内作内接梯形，使其底为直径其他三边为圆的弦，问应怎样设计，才能使梯形的面积最大？解：(三)：解决实际问题中的最大值问题的步骤：(1).根据题意建立函数关系式.(2).确定函数的定义域..(3).求函数f(x)在给定区域上的最大值或最小值.例9.在半径为R的半圆内作内接梯形，使其底为直径其他三28函数的极值及最大小值课件29函数的极值及最大小值课件30函数的极值及最大小值课件311）求出函数的定义域；2）求出函数f(x)的导数f'(x)；3）令f’(x)=0,解出方程f'(x)=0的全部解，得到f(x)的全部驻点。4）列表考察f’(x)的符号，以确定该驻点是否为极值点，并由极值点求出函数的极值。求函数极值的步骤：1）求出函数的定义域；2）求出函数f(x)的导数f'(x)；32极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为临界点.函数的极值必在临界点取得.判别法第一充分条件;第二充分条件;(注意使用条件)极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于33小结最值问题的两种类型：(1)求出给定解析式的导数f'(x)；令f'(x)=0，求出驻点；(2)求出驻点处的函数值以及端点处的函数值；(3)比较这些值的大小，其中最大的就是函数的最大值，最小的就是最大值.1.已知函数解析式及闭区间求最值.2.实际问题求最值.(1)根据题意建立函数关系式y=f(x)；(2)根据实际问题确定函数的定义域；

(3)求出函数y=f(x)的导数，令f‘(x)=0，求出驻点；若定义域为开区间且驻点只存一个，则由题意判定函数存在最大或最小值，则该驻点所对应函数值就是所求.小结最值问题的两种类型：(1)求出给定解析式的导数f'(x)34思考题下命题正确吗？思考题下命题正确吗？35思考题解答不正确．例思考题解答不正确．例36在–1和1之间振荡故命题不成立．在–1和1之间振荡故命题不成立．376.5函数的极值与最大(小)值由单调性的判定法则，结合函数的图形可知，曲线在升、降转折点处形成“峰”、“谷”，函数在这些点处的函数值大于或小于两侧附近各点处的函数值。函数的这种性态以及这种点，无论在理论上还是在实际应用上都具有重要的意义，值得我们作一般性的讨论.6.5函数的极值与最大(小)值由单调性的判38一、函数极值的定义一、函数极值的定义39定义函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.定义函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极40二、函数极值的求法定理1(必要条件)定义注意:例如,二、函数极值的求法定理1(必要条件)定义注意:例如,41注①这个结论又称为Fermat定理②如果一个可导函数在所论区间上没有驻点则此函数没有极值，此时导数不改变符号③不可导点也可能是极值点可疑极值点：驻点、不可导点可疑极值点是否是真正的极值点，还须进一步判明。由单调性判定法则知，若可疑极值点的左、右两侧邻近，导数分别保持一定的符号，则问题即可得到解决。注①这个结论又称为Fermat定理②如果一个可导函数在所论区42定理2(第一充分条件)(是极值点情形)定理2(第一充分条件)(是极值点情形)43函数的极值及最大小值课件44求极值的步骤:(不是极值点情形)求极值的步骤:(不是极值点情形)45例1解列表讨论极大值极小值例1解列表讨论极大值极小值46图形如下图形如下47列表讨论如下：列表讨论如下：48定理3(第二充分条件)证定理3(第二充分条件)证49例2解图形如下例2解图形如下50注意:注意:51例3解注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.例3解注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.52例4证（不易判明符号）而且是一个最大值点，例4证（不易判明符号）而且是一个最大值点，53例5设f(x)连续，且f(a)是f(x)的极值，问f

2(a)是否是f

2(x)的极值证分两种情况讨论①所以f

2(a)是f

2(x)的极小值例5设f(x)连续，且f(a)是f(x54②设f(a)是f(x)的极小值，且又f(x)在x=a处连续，且f

2(a)是f

2(x)的极大值同理可讨论f(a)是f(x)的极大值的情况②设f(a)是f(x)的极小值，且又f(x55例6假定f(x)在x=x0处具有直到n阶的连续导数，且证明当n为偶数时，f(x0)是f(x)的极值当n为奇数时，f(x0)不是f(x)的极值证由Taylor公式，得例6假定f(x)在x=x0处具有直到n阶的连续导数，且证明当56因此存在x0的一个小邻域，使在该邻域内下面来考察两种情形①n为奇数，当x渐增地经过x0时变号不变号变号不是极值因此存在x0的一个小邻域，使在该邻域内下面来考察两种情形①n57②n为偶数，当x渐增地经过x0时不变号不变号不变号是极值且当时是极小值当时是极大值②n为偶数，当x渐增地经过x0时不变号不变号不变号是极值且58例4

解例4解59例5

解例560函数最大值和最小值的一般求法：(一)y=f(x)x∈[a,b](1)求出f(x)的导数f'(x)；令f'(x)=0，求出驻点；(2)求出驻点处的函数值以及端点处的函数值；(3)比较这些值的大小，其中最大的就是函数的最大值，最小的就是最小值.三.函数的最值函数最大值和最小值的一般求法：(一)y=f(x)x∈61解：(1).f(x)的定义域为(-∞，1]

，[-8，1](-∞，+1](2).(3).令f‘(x)=0，解之得驻点为

(5).比较大小得，在[-8，1]上的最大值为，最小值为-5.(4).解：(1).f(x)的定义域为(-∞，1]，[-8，1]62函数的极值及最大小值课件63例8.求函数f(x)=x2-2x+6的最值.(1).f(x)的定义域为(-∞，+∞).解：(2).f’(x)=2x-2=2(x-1)(3).令f’(x)=0，解之得驻点为x=1.当x∈(-∞，1)时，f’(x)<0,单调递减.当x∈(1，+∞)时，f’(x)>0,单调递增.(二)若函数在一个开区间或无穷区间(-∞，+∞)内可导，且有唯一的极值点.例8.求函数f(x)=x2-2x+6的最值.(1).f(x64

例9.在半径为R的半圆内作内接梯形，使其底为直径其他三边为圆的弦，问应怎样设计，才能使梯形的面积最大？解：(三)：解决实际问题中的最大值问题的步骤：(1).根据题意建立函数关系式.(2).确定函数的定义域..(3).求函数f(x)在给定区域上的最大值或最小值.例9.在半径为R的半圆内作内接梯形，使其底为直径其他三65函数的极值及最大小值课件66函数的极值及最大小值课件67函数的极值及最大小值课件681）求出函数的定义域；2）求出函数f(x)的导数f'(x)；3）令f’(x)=0,解出方程f'(x)=0的全部解，得到f(x)的全部驻点。4）列表考察f’(x)的