2019江苏省高二上学期数学期末考试

-一20•设函数f(x)xalnx1(aR),g(x)xlnx,.⑴当a1时，求曲线f(x)在x1处的切线方程；求函数f(x)在［l,e］上的最小值(e为自然对数的底数);是否存在实数a,使得f(x)g(x)对任意正实数x均成立？若存在，求出所有满足条件的实数a的值；若不存在，请说明理由.高二数学参考答案与评分标准1.xN*,x1.xN*,x2<12.873.24.196,41TOC\o"1-5"\h\z7.48.—19.x2-兰=110.511.（-迈-1,-2]12.11536313.[—4、3,4呵14.[-e,-]15.解（1）当a=0时，指数函数y=（3一m+a）x化为y=（3一m）x因为指数函数y=(3-m)x是减函数，所以0<3-m<14分即2<m<3所以实数m的取值范围为(2,3)6分(2)当a=—2时，指数函数y=(3一m+a)x化为y=(1—m)x若命题p为真命题，则0<1—m<1,即0<m<1所以p为假命题时m的取值范围是m<0或m>18分命题q为真命题时，即关于x的方程x2—x+m=0有实数解，所以A=1—4m>0，解得m<1，4TOC\o"1-5"\h\z所以命题q为假命题时m的取值范围为m>1104分因为p且q为假命题，所以p为假命题或者q为假命题12分所以实数m满足m<0或m>1或m>1，即m<0或m>144所以实数m的取值范围为(-8,02丄,+81414丿分16.解：（1）a=37，b=0.1，c=0.323分（2）1x0.05+3x0.1+5x0.37+7x0.32+9x0.16=5.889分（3）25x（0.05+0.1+0.37）=1313分答：（1）表格中的a=37，b=0-1，c=0.32；

估计用户的满意度评分的平均数为5.88；若从这100名用户中随机抽取25人，估计满意度评分低于6分的人数为1314分17.解:(1)设AABC外接圆M的方程为X2+y2+Dx+Ey+F=0,F=0将A(0,0),B(2,2),C(1,_冋代入上述方程得：<2D+2E+8=02、D-73E+4=0分解得'D=-4TOC\o"1-5"\h\z<E=04分、F=0则圆M的方程为X2+y2一4x=06分(2)设点P的坐标为(x,y)，因为PA2+PB2=4，所以x2+y2-(x-2)2-(y-2)2=4,化简得：x+y-3=08分即考察直线x+y-3=0与圆C的位置关系10分点M到直线x+y-3=0的距离为d=9d=9巨<2弋12+12212分所以直线x+y-3=0与圆M相交，故满足条件的点P有两个。14分18.解：(1)ZOAM=9,PM丄ABAO=BO=~^,OM=10tan9，OP=10-10tan9cos0•••y=10X1+10X2+(10—10tan9)x1.5COS9COS9—15tan0+15cos02兀=15-tan0)+15(0<0<—)cos04(定义域不写扣1分)(2)设f(0)=二-tan0=cos0cos0贝y广(0)=-cos20+sin0(2-sin0)cos202si0-

co2010分令f'(0)=0，sin0=丄又0<0<，所以0=.

246当0<0<K,sin0<1，广(0)<0,y=f(0)单调递减；62当乍<0<眷,sin0〉1，广(0)>0,y=f(0)单调递增;14所以f(q)的最小值为15分答：y的最小值为15^3+15(百万元)，此时_p

q書16分3丄+4=1a2b219.解：⑴因为＜c="3，得a2=4,b2=19.解：⑴因为＜a2所以椭圆的标准方程是(2)设E、F的坐标分别为(x,y),(x,y)，1122①直线l:X+y-J3=0代入椭圆方程得：5y2—2、：3y-1=0，所以y+y12分2弋31y!-y2^5(片+y2)2-4片y24所以S=2•AC・|y-y|AA]EF212二2^6+42②直线AG:y=k(x+2)，联立方程组J11y=k](x+2)得.x2+4y2=4(4k2+1)x2+16k2x+16k2—4=°111则-2•x1=7^+15所以x1=18k2-214k2+11y1=4k14k2+118k2-24k所以E(—1,1)4k2+14k2+111同理可得:F(8t+t3-4k4k2+13又因为C,同理可得:F(8t+t3-4k4k2+13又因为C,E,F三点共线,所以kEC=k，即yE一ycFCX一XEyF一yc，将C,E,F三点坐X一XFC代入上式得：齐-°4k2+1，=3!8kj-2.r—13—14k2+14k2+113化简得占-4k31-12k24k2—313整理得:(3k-k)(1+4kk)=0，13口13因为kk>0，所以3k-k=0即3k=k..111A1E：y=k1(X+2)得1A1F：y=k1(X-2)12分一2(k+k)412分G(，E3131所以k24kk

k-k312(k+k)“k1-k3一1314kkI32k+k1312k26k11所以k+kk+k4ki=2=2k114分当x1二1时，点EQ*),F(1,-*),G(4,间或E(1-^3)，F(I#),G(4,-间，均满足k土k13=2・k2所以斗斗为定值16分所以斗斗为定值16分rk220.解：(1)因为函数f(x)=x+aInx一1，且a=1,所以f(x)=x+Inx一1，xe(0,+s).所以f,(x)=1+-1分x所以f(1)=1,广(1)=2.所以曲线y=f(x)在x=1处的切线方程是y=2(x-1),即2x-y-2=02分(2)因为函数f(x)=x+aInx一1(x>0)，所以广(x)=1+a=x+".xx1°当a>0时，广(x)>0，所以f(x)在(0,+s)上单调递增.所以函数f(x)在11,e］上的最小值是f(1)=0.2°当a<0时，令广(x)>0，即x+a>0，所以x>—a.令广(x)<0，即x+a<0，所以x<—a.(i)当0<—a<1，即a>—1时，f(x)在b,e]上单调递增,所以f(x)在［1,e］上的最小值是f(1)=0.当1<—a<e，即—e<a<—1时，f(x)在［1,—a］上单调递减，在(—a,e］上单调递增，所以f(x)在11,e］上的最小值是f(—a)=—a+aIn(—a)—1.当—a>e，即a<—e时，f(x)在I1,e］上单调递减，所以f(x)在b,e］上的最小值是TOC\o"1-5"\h\zf(e)=e+a-17分综上所述，当a>-1时，f(x)在I1,e］上的最小值是f(1)=0.当-e<a<-1时，f(x)在I1,e］上的最小值是f(—a)=—a+aln(—a)-1.当a<-e时，f(x)在\1,e］上的最小值是f(e)=e+a—18分(3)令h(x)=f(x)—g(x)，贝Vh(x)=x—2lnx—1+xlnx，且h(1)=0若h'(1)=0，即2+a+ln1=0，得a=—29分若a=—2日寸,h(x)=x—2lnx—1+xlnx，h'(x)=2——+lnxx令s(x)=2——+lnx，则s'(x)=—+—>0，则s(x)在(0,+Q上是增函数，TOC\o"1-5"\h\zxx2x而h'(1)=0，则有当0<x<1时，h'(x)<h'(1)=0，当x>1时，h'(x)>h'(1)=0，所以当x=1时，h(x)有极小值，也是最小值，则有h(x)=f(x)—g(x)>h(1)=0成立10分当a<—2日寸,h(x)=x+alnx—1+xlnx，(x>0)，h'(x)=2+a+lnxx贝Uh'(1)=2+a<0，h'(—1a)=2—2+ln(—1a)=ln(—1a)>0^2^2^2所以在(1,—1a)内存在x，使h'(x)=0，即当1<x<x时，有h'(x)<0，2000则h(x)在(1x)是减函数，则有h(x)<h(1)=0，即f(x)<g(x)这与f(x)>g(x)不符，则a<—2不成立；14分当—2<a<0日寸，h'(x)=2+—+lnxx

h'(1)=2+a>0，h'(--a)=2—2+ln(--a)=ln(--h'(1)=2+