三大抽样分布课件

§5.4三大抽样分布§5.4三大抽样分布1本次课教学目的：

掌握三大抽样分布的构造性定义并熟悉一些重要结论重点难点:

三大抽样分布的构造及其抽样分布一些重要结论教学基本内容及其时间分配三大抽样分布的构造性定义——————30分钟定理及其三个推论以及证明——————70分钟根据本节课的特点所采取的教学方法和手段:启发式讲授，图文结合加深对三大分布的印象本次课教学目的：2引言有许多统计推断是基于正态分布的假设的，以标准正态变量为基石而构造的三个著名统计量在实际中有广泛的应用，这是因为这三个统计量不仅有明确背景，而且其抽样分布的密度函数有明显表达式，他们被称为统计中的“三大抽样分布”.若设是来自标准正态分布的两个相互独立的样本，则此三个统计量的构造及其抽样分布如表5.4.1所示.引言有许多统计推断是基于正态分布的假设的，以标准正态变量为3三大抽样分布课件45.4.1分布(卡方分布)问题：如何确定的分布？5.4.1分布(卡方分布)问题：如何确定5图像：密度函数的图像是一个只取非负值的偏态分布

数字特征：图像：数字特征：6三大抽样分布课件7三大抽样分布课件8三大抽样分布课件9当随机变量～时，对给定的，称满足的是自由度为n的卡方分布的分位数.

当随机变量～时，对给定的，称满足的是自由度为n的卡方分布的分10三大抽样分布课件115.4.2F分布其中m称为分子自由度，n称为分母自由度.定义5.4.2

设独立，则称的分布是自由度为m与n的F分布,记为问题：如何确定的分布？首先，我们导出的密度函数

第二步，我们导出的密度函数

5.4.2F分布其中m称为分子自由度，n称为分母自由度12首先，我们导出的密度函数

首先，我们导出的密度函数13Z的密度函数为

Z的密度函数为14第二步，我们导出的密度函数

这就是自由度为m与n的F分布的密度函数。）

第二步，我们导出的密度函数这就是自由度为m与n的F分布的15三大抽样分布课件16三大抽样分布课件17三大抽样分布课件18三大抽样分布课件19有F分布的构造知，若F~F(m,n),则有1/F~F(n,m),故对给定，

有F分布的构造知，若F~F(m,n),则有1/F~F(n,20例5.4.1若取m=10,n=5,

=0.05,那么从附表5上查得例5.4.1若取m=10,n=5,=0.05,那么从附表215.4.3t分布定义5.4.3设随机变量独立且则称的分布为自由度为n的t分布，记为

问题：如何确定的分布？由标准正态密度函数的对称性知，从而t与-t有相同分布。

5.4.3t分布定义5.4.3设随机变量独立且则称的22所以在上式两边同时关于y求导得t分布的密度函数为：这就是自由度为ｎ的ｔ分布的密度函数。

所以在上式两边同时关于y求导得t分布的密度函数为：这就是自由23ｔ分布的密度函数的图象是一个关于纵轴对称的分布

与标准正态分布的密度函数形状类似，只是峰比标准正态分布低一些，尾部的概率比标准正态分布的大一些。ｔ分布的密度函数的图象是一个关于纵轴对称的分布与标准正态分24三大抽样分布课件25三大抽样分布课件26●自由度为1的ｔ分布就是标准柯西分布，它的均值不存在；●ｎ>1时,ｔ分布的数学期望存在且为0。●ｎ<1时,ｔ分布的方差存在，且为ｎ/(ｎ-2)；●当自由度较大时，ｔ分布可以用Ｎ(0,1)分布近似(见下页图)●自由度为1的ｔ分布就是标准柯西分布，它的均值不存在；27三大抽样分布课件28N(0，1)和t(4)的尾部概率比较c=2c=2.5c=3c=3.5X~N(0,1)0.04550.01240.00270.000465X~t(4)0.11610.06680.03990.0249N(0，1)和t(4)的尾部概率比较c=2c=2.5c=3c29当随机变量时称满足的是自由度为ｎ的ｔ分布的1-ａ分位数。由于ｔ分布的密度函数关于0对称，故其分位数间有如下关系譬如。那么从附表4上查到可以从附表4中查到。譬如ｎ=10,ａ=0.05,分位数当随机变量时称满足的是自由度为ｎ的ｔ分布的1-ａ分位数。由30三大抽样分布课件31三大抽样分布课件325.4.4一些重要结论的样本，其样本定理5.4.1设是来自正态总体均值和样本方差分别为和则有（1）与（2）（3）相互独立；5.4.4一些重要结论的样本，其样本定理5.4.1设是来33证明记，则有取一个n维正交矩阵A，其第一行的每一个元素均为,如证明记，则有取一个n维正交矩阵A，其第一行的每一个元素均为34令Y=AX，则由多维正态分布的性质知Y仍服从n维正态分布，其均值和方差分别为由此，且都服从正态的各个分量相互独立，分布，其方差均为,而均值不完全相同，令Y=AX，则由多维正态分布的性质知Y仍服从n维正态分布，由35这证明了结论（1）

这证明了结论（2）

这证明了结论（3）

这证明了结论（1）这证明了结论（2）这证明了结论（3）36推论5.4.1在定理5.4.1的记号下，有将5.4.4左端改写为由于分子是标准正态变量，分母的根号里是自由度为n-1的t变量除以它的自由度，且分子与分母相互独立，由t分布定义可知，t~t（n-1），推论证完。证明由定理5.4.1（2）可以推出推论5.4.1在定理5.4.1的记号下，有将5.4.437

推论5.4.2设是来自的样本，是来自的样本且此两样本相互独立，记其中则有特别，若，则

推论5.4.2设是来自的样本，是来自的样本且此两样本相互38证明:由两样本独立可知，与相互独立且由F分布定义可知F~F（m-1，n-1）证明:由两样本独立可知，与相互独立且由F分布定义可知F~39推论5.4.3在推论5.4.2的记号下，设,并记则推论5.4.3在推论5.4.2的记号下，设,并记则40证明由与独立由定理5.4.1知，独立，相互独立，根据t分布的定义即可得到（5.4.8）.证明由与独立由定理5.4.1知，独立，相互独立，根据t分41思考题及作业题:三大抽样分布之间的内在关系是什么？作业题：P277

必做：1，2，5，11，13选做：8，12思考题及作业题:42§5.4三大抽样分布§5.4三大抽样分布43本次课教学目的：

掌握三大抽样分布的构造性定义并熟悉一些重要结论重点难点:

三大抽样分布的构造及其抽样分布一些重要结论教学基本内容及其时间分配三大抽样分布的构造性定义——————30分钟定理及其三个推论以及证明——————70分钟根据本节课的特点所采取的教学方法和手段:启发式讲授，图文结合加深对三大分布的印象本次课教学目的：44引言有许多统计推断是基于正态分布的假设的，以标准正态变量为基石而构造的三个著名统计量在实际中有广泛的应用，这是因为这三个统计量不仅有明确背景，而且其抽样分布的密度函数有明显表达式，他们被称为统计中的“三大抽样分布”.若设是来自标准正态分布的两个相互独立的样本，则此三个统计量的构造及其抽样分布如表5.4.1所示.引言有许多统计推断是基于正态分布的假设的，以标准正态变量为45三大抽样分布课件465.4.1分布(卡方分布)问题：如何确定的分布？5.4.1分布(卡方分布)问题：如何确定47图像：密度函数的图像是一个只取非负值的偏态分布

数字特征：图像：数字特征：48三大抽样分布课件49三大抽样分布课件50三大抽样分布课件51当随机变量～时，对给定的，称满足的是自由度为n的卡方分布的分位数.

当随机变量～时，对给定的，称满足的是自由度为n的卡方分布的分52三大抽样分布课件535.4.2F分布其中m称为分子自由度，n称为分母自由度.定义5.4.2

设独立，则称的分布是自由度为m与n的F分布,记为问题：如何确定的分布？首先，我们导出的密度函数

第二步，我们导出的密度函数

5.4.2F分布其中m称为分子自由度，n称为分母自由度54首先，我们导出的密度函数

首先，我们导出的密度函数55Z的密度函数为

Z的密度函数为56第二步，我们导出的密度函数

这就是自由度为m与n的F分布的密度函数。）

第二步，我们导出的密度函数这就是自由度为m与n的F分布的57三大抽样分布课件58三大抽样分布课件59三大抽样分布课件60三大抽样分布课件61有F分布的构造知，若F~F(m,n),则有1/F~F(n,m),故对给定，

有F分布的构造知，若F~F(m,n),则有1/F~F(n,62例5.4.1若取m=10,n=5,

=0.05,那么从附表5上查得例5.4.1若取m=10,n=5,=0.05,那么从附表635.4.3t分布定义5.4.3设随机变量独立且则称的分布为自由度为n的t分布，记为

问题：如何确定的分布？由标准正态密度函数的对称性知，从而t与-t有相同分布。

5.4.3t分布定义5.4.3设随机变量独立且则称的64所以在上式两边同时关于y求导得t分布的密度函数为：这就是自由度为ｎ的ｔ分布的密度函数。

所以在上式两边同时关于y求导得t分布的密度函数为：这就是自由65ｔ分布的密度函数的图象是一个关于纵轴对称的分布

与标准正态分布的密度函数形状类似，只是峰比标准正态分布低一些，尾部的概率比标准正态分布的大一些。ｔ分布的密度函数的图象是一个关于纵轴对称的分布与标准正态分66三大抽样分布课件67三大抽样分布课件68●自由度为1的ｔ分布就是标准柯西分布，它的均值不存在；●ｎ>1时,ｔ分布的数学期望存在且为0。●ｎ<1时,ｔ分布的方差存在，且为ｎ/(ｎ-2)；●当自由度较大时，ｔ分布可以用Ｎ(0,1)分布近似(见下页图)●自由度为1的ｔ分布就是标准柯西分布，它的均值不存在；69三大抽样分布课件70N(0，1)和t(4)的尾部概率比较c=2c=2.5c=3c=3.5X~N(0,1)0.04550.01240.00270.000465X~t(4)0.11610.06680.03990.0249N(0，1)和t(4)的尾部概率比较c=2c=2.5c=3c71当随机变量时称满足的是自由度为ｎ的ｔ分布的1-ａ分位数。由于ｔ分布的密度函数关于0对称，故其分位数间有如下关系譬如。那么从附表4上查到可以从附表4中查到。譬如ｎ=10,ａ=0.05,分位数当随机变量时称满足的是自由度为ｎ的ｔ分布的1-ａ分位数。由72三大抽样分布课件73三大抽样分布课件745.4.4一些重要结论的样本，其样本定理5.4.1设是来自正态总体均值和样本方差分别为和则有（1）与（2）（3）相互独立；5.4.4一些重要结论的样本，其样本定理5.4.1设是来75证明记，则有取一个n维正交矩阵A，其第一行的每一个元素均为,如证明记，则有取一个n维正交矩阵A，其第一行的每一个元素均为76令Y=AX，则由多维正态分布的性质知Y仍服从n维正态分布，其均值和方差分别为由此，且都服从正态的各个分量相互独立，分布，其方差均为,而均值不完全相同，令Y=AX，则由多维正态分布的性质知Y仍服从n维正态分布，由77这证明了结论（1）

这证明了结论（2）

这证明了结论（3）

这证明了结论（1）这证明了结论（2）这证明了结论（3）78推论5.4.1在定理5.4.1的记号下，有将5.4.4左端改写为由于分子是标准正态变量，分母的根号里是自由度为n-1的t变量除以它的自由度，且分子与分母相互独立，由t分布定义可知，t~t（n-1），推论证完。证明由定理5.4.1（2）可以推出推论5.4.1在定理5.4.1的记号下，有将5.4.479

推论5.4.2设是来自的样本，是来自的样本且此两样本相互独立，记其中则有特别，若，则

推论5.4.2设是来自的样本，是来自的样本且此两样本相互80证明:由两样本独立可知