北航金融计量学第五章

第五章

一元时间序列的分析方法及应用1主要内容5.1时间序列分析方法的特点与平稳性的提出5.2重要的时间序列5.3时间序列的平稳性检验5.4一元时间序列分析方法的应用25.1时间序列分析方法的特点

与平稳性的提出所谓时间序列，就是各种社会、经济、自然现象的数量指标按照时间次序排列起来的统计数据。一元时间序列分析方法的基本原理是在解释一个变量的变化或预测其未来时，不再使用一组与之有相关关系的其他变量组成回归模型，而是依据变量本身的变化规律，让变量自身的过去值及误差项来解释。时间序列分析分析模型分为确定性时间序列分析模型和随机时间序列分析模型两大类。3确定性时间序列分析模型主要通过简单的外推技术，如移动平均、指数平滑等进行预测，不反映时间序列的随机性质。随机时间序列分析模型将时间序列数据看作一个随时间变化的随机变量在不同时点取值的结果。如对一个具体的时间序列X1，X2，…，XT，可将其看作某个随机变量Xt在t＝1，2，…，T的一个可能结果或实现。利用随机过程的一个实现去推断该随机过程的统计特征，并用于未来的预测。4平稳时间序列1对于任意t，

（常数）2方差

（常数）

3任何两个时期之间的协方差只依赖于该两时期之间的距离。5若一时间序列变量Xt平稳，其一个样本为X1，X2，…，XT，T为序列的样本容量，则其主要统计特性的计算方法分别为：（1）期望值（2）方差（3）

协方差6考虑时间序列数据的平稳性，主要有两个原因：1只有序列平稳，才可把根据数据推测出来的关于序列的统计特征应用于对序列未来时期变化的预测，从而为预测奠定有效的基础。2“虚假回归”现象：即使两个序列互相独立，在经济意义上无任何相关关系，但若两个序列非平稳，则用传统的回归方法及显著性检验时，仍可能会显示出两者在统计上有较高的相关关系。75.2重要的时间序列5.2.1白噪声过程对于随机过程

{t}，如果期望为零，方差为固定值，且不同时点之间的协方差为0，则称{t}为白噪声。白噪声是其他各类时间序列的重要组成部分。85.2.2一阶自回归过程AR(1)：Xt=Φ1Xt-1+t，其中，t为白噪声，E(t)=0,var(t)=9若能确定,即随机过程Xt是平稳的AR(1)过程时,可直接用最小二乘法,求出系数Φ1的估计值,并且可以应用传统的t检验或F检验.AR(1)过程可扩展为p阶自回归过程,记为AR(p).模型表示为:Xt=Φ1Xt-1+Φ2Xt-2+…+ΦpXt-p+t105.2.3趋趋势平稳过过程许多时间序列列数据，特别别是宏观经济济数据，常常常显示出明显显的时间趋势势，如GNP大致随时间间递增，这种种趋势特征可可归结为技术术进步、劳动动力及其素质质的增长等。。非平稳过程11可见,序序列的期望值值是时间t的函数。根据据定义,序序列为非平平稳时间序列列。之所以称称之为趋势平平稳，是因为为模型中Xt减掉趋势项+t后，是一个平平稳过程。可可以证明该模模型满足经典典回归假设，，用普通最小小二乘法对参参数和进行回归及检检验都是有效效的或渐进有有效的。125.2.4随随机游走过过程非平稳过程可见,随随机游走过程程的方差随时时间推移而变变得越来越大大。13含位移项的随随机游走过程程同时含趋势项项和位移项的的随机游走过过程14趋势平稳过程程及带位移项项的随机游走走过程，期望望值都是时间间t的函数，，即序列的走走势都包含了了确定的时间间趋势。其背后的统计意义和经济意义不同：对于趋势平稳稳过程，t时时刻的干扰项项只对序列值值Xt产生影响；对于随机游走走过程，则序序列值Xt除受t时刻的的干扰项t影响之外，前前期的干扰项项都对其发生生作用。155.2.5单单位根过程程非平稳过程单位根过程只只要求干扰项项为一平稳过过程，不要求求不同时点的的协方差为0。随机游走过程程是单位根过过程的一个特特例。单位根过程经经过一阶差分分后，为平稳稳序列，即单单位根过程为为一阶单整。。如果一个序序列在成为稳稳定序列之前前必须经过d次差分，则该该序列被称为为d阶单整。16[金融相关点点5-1]经济周期与冲冲击的持久性性175.3时间间序列的平稳稳性检验5.3.1利利用自相相关函数及相相关图进行平平稳性检验自相关函数（（ACF,autocorrelationfunctions）反映序序列两个相邻邻数据点之间间存在多大程程度的相关性性。间隔k期的数据点之之间的相关系系数，称为k阶自相关系数数,记为k18往往表现为k=1时对应应的一阶样本本自相关函数数比较高，然然后随着k的的增加而下降降。样本的自相关关函数(ACF)：k为第k个自相关系数数。显然并且任意过程程的0阶自相相关系数0=119以k为横坐标、为为纵纵坐标，描绘绘出对对阶数k的关系图形，，称为样本相相关图。往往表现为k=1时对应应的一阶样本本自相关函数数比比较高，然然后随着k的的增加，下下降。。20对于p阶自回回归过程，当当k≤p时，，偏相关系数数不为0；当当k>p时，，偏相关系数数为0，即截截尾特征。偏自相关函数数(PartialAutocorrelationFunction,PACF)：21检验时间序列列是否平稳的的简单办法是是考察样本自自相关函数的的变化。平稳时间序列列的样本自相相关函数随着着阶数的增加加而迅速下降降为0，非平平稳时间序列列的自相关函函数则衰减得得十分缓慢。。可以证明，如如果总体Xt服从标准正态态分布，则k阶自相关函函数的样本估估计近似服从从均值为0，，方差为1/T的正态分分布，T为时时间序列的样样本容量。22Box-Pierce-Q统计量，，或Ljung-Box统统计量，可以证明，这这两个统计量量均近似服从从于自由度为为k的2分布。23Q检验统计量量可以检验某某一时间序列列其1至k阶阶的自相关函函数是是否同时为0的联合假设设，即零假设设：备备选假假设为中中至少有一个个显著不为零零。这一方法法可用于对白白噪声过程的的近似检验。。由于白噪声过过程的任意阶阶自相关函数数为0，为此此可以设定一一较大的滞后后阶数，如k=20，按按公式计算出出统计量若若计计算出的统计计量大大于于显著性水平平为自由度为20的分分布布的临界值，，即拒绝原假假设，意味着着对应的序列列不是白噪声声过程，反之之，则接受原原假设。24许多计量经济济软件在给出出自相关函数数和Q统计量量之外，还会会给出偏自相相关函数PACF，可以以加以利用来来辅助判断自自回归阶数。。与自相关函数数的样本估计计的的分布相同，，在自回归过过程阶数为p的假设条件件下，p+1以及更高阶阶偏自相关函函数估计量（（k>p）近似的的服从均值为为0，方差为为1/T的正正态分布。25[实证案例5-1]上证A股指数数的自相关函函数及自相关关图265.3.2时时间序列平平稳性的单位位根检验（unitroottest）问题的提出迪克－福勒方方法（DF检检验）增广的迪克－－福勒方法（（ADF检验验）菲利普斯－配配荣方法（PP检验）总结27问题的提出时间序列平稳稳性检验的重重要性对于一阶自回回归过程=1：随机游走过过程，非平稳稳；||<1：：平稳稳序列列需要对对单位位根假假设作作检检验对于具具有明明显时时间趋趋势的的序列列，要要判断断是由由趋势势平稳稳过程程，还还是含含位移移项的的随机机游走走过程程产生生此时传统统的t检验验不再适适用，需需要采用用新的检检验方法法。28迪克(Dickey)－福勒勒(Fuller)方方法（（DF检检验）情况一真实的数数据产生生过程：：回归模型型：其中是是白噪声声过程（非平稳稳）（平稳））29迪克－福福勒方法法（DF检验））统计量：：DF的统计量＝＝DF的统计量＝＝其中：T为样本本容量，，和和是是用OLS得得到的的估计值值及其标标准差。。注：当零零假设为为真时，，最小二二乘估计计和和t统计计量有非非标准和和非对称的的极限分分布，此此时的t统计量量不是通通常意义义下的t分分布，而是是服从下下述渐近近分布301976年迪克克和福勒勒模拟计计算了DF统计计量的临临界值，，见附表表5（统计量））和6（（统计量））判断规则则：DF统计计量>相相应临界界值，接接受，，序列非非平稳；；DF统计计量<相相应临界界值，拒拒绝，，序列平平稳。若DF检检验表明明序列非非平稳，，且至少少为一阶阶单整，，则进一一步对序序列的一一阶差分分序列重重复以上上的检验验过程。。31迪克－福福勒方法法（DF检验））实际应用用回归式可可写成其中此时：DF统计计量：和和（Eviews软件中中给出的的检验统统计量））实证案例例：上上证指数数的DF检验在情况一一下分别别对水平平序列和和一阶差差分序列列进行检检验注：Eviews软件件中给出出的临界界值称为为麦金农农临界值值（Mackinnoncriticalvalue），是是麦金农农教授用用模拟方法计算算所得。。32迪克－福福勒方法法（DF检验））情况二真实的数数据产生生过程：：回归模型型：DF统计计量计算算方法与与判断规规则与情情况1相相同，临临界值见见相应附附表。33迪克－福福勒方法法（DF检验））对于联合假设设，可用OLS计算算F统计计量其中和和分分别为为有约束束的和无无约束的的残差平平方和，，此时对应应的临界界值不是是标准的的F分布布表，也也是极限限分布的的模拟计计算值，，见附表表7。判断：若若大于临临界值，，则拒绝绝零假设设，序列列平稳。。在Eviews软件中中给出F统计量量及其p值。34迪克－福福勒方法法（DF检验））与情况一一类似，，回归模模型也可可变为此时假设设变为F检验的的联合假假设DF统计计量也相相应地变变化。实例35迪克－福福勒方法法（DF检验））情况三真实的数数据产生生过程：：回归模型型：假设：F检验的的联合假假设：与前两种种情况类类似，回回归模型型可变为为零假设设和DF统统计量量也发发生相相应变变化。。实例36增广的的迪克克－福福勒检检验(ADF检检验)原理：：在上上述DF检检验的的三种种情况况中，，假定定干扰扰项为为白噪噪声，，无序序列相相关；；如果放放松这这一假假设，，允许许其序序列相相关，，在原原DF方法法中加加入滞滞后的的自回回归项项，可可消除除模型型中可可能存存在的的序列列相关关给估估计值值带来来的有有偏的的影响响，即即为ADF检验验。37增广的的迪克克－福福勒检检验(ADF检检验)情况一一回归模型：：假设：统计量＝统计量＝临界值分布布见附表，，判断规则则同DF检检验。38增广的迪克克－福勒检检验(ADF检验)同样，模型型也可变为为此时零假设设：统计量变为为实例。39增广的迪克克－福勒检检验(ADF检验)情况二回归模型假设F检验的联联合假设ADF统计计量和F统统计量临界界值见附表表。同样，模型型也可变为为40增广的迪克克－福勒检检验(ADF检验)情况三回归模型假设F检验的联联合假设同样模型可可变为41增广的迪克克－福勒检检验(ADF检验)注：ADF检验中滞滞后差分项项的个数p的选选择应在尽尽量小的情情况下，消消除干扰项项中存在的的自相关。。当p取某某个值时，，ADF回回归式中DW统计量量较低，则则说明存在在自相关，，此时应增增加p值，，直至干扰扰项的自相相关消失。。另外，在在进行DF检验时，，若发现残残差项存在在自相关，，则应进行行相应模型型的ADF检验。42菲利普斯－－配荣检验验(PP检检验)PP检验针针对的是回回归模型的的干扰项存存在异方差差或序列相相关的现象象。回归模型的的三种情况况及检验规规则与DF检验相同同情况一：情况二：情况三：43菲利普斯－－配荣检验验(PP检检验)PP检验统统计量的计计算是在DF检验统统计量的形形式上加以以修正。与与DF统计量对应应的是PP的统计量Z，与DF统计量对应应的是PP的统计量Z。临界值分分布表与DF检验对对应情况的的分布表一一样。在Eviews软件中中给出了对对应的临界界值。实例44总结对三种检验验方法的小小结DF检验、、ADF检检验和PP检验都是是基于统计量和统计量的极极限分布。。DF方法适适用于干扰扰项为白噪噪声过程的的情况，ADF与PP方法分分别适用于于干扰项存存在序列相相关以及异异方差的情情况。在ADF和和PP方法法之间不存存在一般的的选择原则则。在实际际中，常根根据模型的的结构选择择。如果在在模型中包包含滞后差差分项，用用ADF较较合理，如如果模型只只描述了Xt和Xt-1的关系，对对随机干扰扰项只作了了较一般的的假设，则则可选用PP方法。。45总结结对三三种种回回归归模模型型的的选选择择一般般地地，，如如果果待待检检验验序序列列在在0均均值值上上下下波波动动，，则则应应选选择择情情况况一一的的回回归归模模型型，，如如果果序序列列具具有有非非零零均均值值，，则则应应采采用用情情况况二二的的模模型型（（包包含含位位移移项项）），，如如果果序序列列有有明明显显的的时时间间趋趋势势，，则则可可采采用用情情况况三三（（包包含含位位移移项项和和趋趋势势项项））。。另另外外，，还还要要从从经经济济学学的的角角度度考考虑虑数数据据生生成成过过程程可可能能有有的的形形式式，，如如果果在在经经济济意意义义上上得得不不出出明明确确的的结结论论，，则则应应采采用用较较为为一一般般的的回回归归模模型型进进行行单单位位根根检检验验。。465.4一一元元时时间间序序列列分分析析方方法法的的应应用用：：市市场场弱弱式式有有效效假假说说的的检检验验市场场弱弱式式有有效效，，指指现现行行的的股股票票价价格格已已经经充充分分反反应应了了历历史史交交易易数数据据所所蕴蕴含含的的信信息息，，即即在在t时时刻刻的的股股票票价价格格包包含含了了t时时刻刻及及以以前前的的所所有有信信息息。。而而t到到t+1时时刻刻的的新新信信息息是是随随机机的的，，因因此此t+1时时刻刻的的价价格格等等于于t时时刻刻的的股股价价水水平平加加上上一一个个随随机机扰扰动动项项，，即即：：为白白噪噪声声过过程程47由于于弱弱式式有有效效市市场场假假说说强强调调证证券券价价格格的的变变化化是是一一个个随随机机的的、、不不可可预预测测的的过过程程，，因因此此无无法法用用过过去去的的股股价价来来预预测测未未来来的的股股价价，，对对于于该该假假说说的的检检验验通通常常用用下下面面的的两两个个方方面面着着手手进进行行：：（1））以以价价格格为为研研究究对对象象检检验验独独立立性性（2））以以收收益益率率为为研研究究对对象象检检验验独独立立性性485.4.1直直接接以以价价格格为为研研究究对对象象检检验验独独立立性性从统统计计检检验验的的角角度度看看，，就就是是看看股股价价序序列列在在不不同同时时点点是是否否存存在在自自相相关关性性，，如如果果存存在在自自相相关关性性，，那那么么过过去去的的股股价价就就对对未未来来的的股股价价有有影影响响，，存存在在这这种种股股价价序序列列的的市市场场就就不不是是弱弱式式有有效效市市场场。。对股票价格序序列相关性检检验又可分为为三种方法：：49方法一：计算算并检验相隔隔k期的股价价的自相关系系数相隔k期的股股价的自相关关系数依次检验零假假设，，k=1，2，…，，m当时时，接受零假假设，即显显著著为0；否则则拒绝原假设设，认为前后后期股价存在在相关性，市市场不符合弱弱式有效的特特征。50方法二：建立立股价序列自自回归模型，，检验系数的的显著性如建立m阶自自回归模型：：若市场是弱式式有效的，则则股价未来价价格与历史价价格不存在相相关性，也就就是说上式中中的参数与零零相比不应该该有统计意义义上的显著性性。方法三：价格格序列进行单单位根检验，，判断是否符符合随机游走走若市场是弱式式有效的，则则股价序列呈呈随随机游走特征征，也就是说说为为一阶单整过过程。51例证：以2004年上证证指数的日收收盘价为研究究对象验证上上海股市的弱弱式有效性1）用自相关关模型我们得到的自自相关模型参参数估计值为为：从上表看出，，在显著水平平为0.05时，2004年上证指指数基本上不不存在显著的的自相关性，，这表明上海海股票市场基基本上具备了了弱式有效性性。名称滞后1天滞后2天滞后3天上证指数0.034632-0.0007310.04666152具体操作：打开EVIEWS软件，，打开建好的的工作文件然后打开需要要的时间序列列点击时间序列列窗口上的““Quick”在下拉菜单中中选取“EquationSpecification”在弹出的窗口口中输入：“DP=C(1)*DP(-1)+C(2)*DP(-2)+C(3)*DP(-3)”回车即可532）用单位根根检验我们用单位根根检验，得到到的水平序列列与一阶差分分序列的ADF值如下表表：上证指数序列列的单位根检检验结果表明明，在10％％、5％和1％的显著性性水平下，ADF值大于于所有的临界界值，也就是是说上证指数数存在单位根根。我们进一一步对一阶差差分序列进行行ADF检验验，ADF值值小于所有的的临界值，因因此认为一阶阶差分序列是是平稳的。由由这两个检验验得出上证指指数是一阶单单整，这表明明上海股票市市场达到了弱弱式有效。变量ADF1%5%10%D.W水平序列-1.0368-2.5742-1.9410-1.61642.0064一阶差分序列-10.627-2.5743-1.9410-1.61641.999754具体操作：打开EVIEWS软件，，打开建好的的工作文件然后打开需要要的时间序列列点击时间序列列窗口上的““View””在下拉菜单中中选取“UnitRootTest”在弹出的窗口口中选择合适适的参数，回回车即可555.4.2以以收益率为为研究对象检检验独立性除了对股票价价格或股票指指