十年高考数学试卷汇编(10~19年 解答题部分)

卷•十年高考（解答题部分）2019年全国统一高考数学试卷（理科2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标I2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标I2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标I2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标I2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标I2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标I2013年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标I2012年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）2011年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）2010年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）)2)6)10)15)20)25)313641462019年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标I)三、解答题：共60分。17.(2019・新课标HABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设(sinB-sinC)2二sin^-sinBsinC.(1)求A；(2)若'迈a+b二2c，求sinC.18.(2019・新课标I)如图，直四棱柱ABCD-ABCDX的底面是菱形，AA广4,AB二2,zBAD二60。，E,M,N分别是BC,BB1,AD的中点.(1)证明：MNii平面CDE；(2)求二面角A-MA1-N的正弦值.19.（2019・新课标I）已知抛物线C：匕二3兀的焦点为F，斜率为旦的直线I与C的2交点为A，B，与x轴的交点为P.若|af|+|bf|=4,求I的方程;若丽二3西，求|AB|.20.（2019・新课标I）已知函数广（x）=sinx-ln（l+x）if（x）^f（x）的导数•证明：（1）/（x）在区间（-1,.）存在唯一极大值点;2（2）f（x）有且仅有2个零点.21.(2019・新课标I)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得-1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分•甲、乙两种药的治愈率分别记为«和0,—轮试验中甲药的得分记为X.(1)求X的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,P(i=0,1，…，8)表示“甲药的i累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则P0二0,P8=1,Pi=api-1+bPi+Cpi+1(i=1,2，…，7),其中a=p(x=-1)tb=p(x=0)tc=P(X=1),假设a二0.5,0=0.8.(')证明：{P.厂p}(i=0,1,2，…，7)为等比数列；i+1i(方)求P4，并根据P4的值解释这种试验方案的合理性.（二）选考题：共10分。［选修4-4：坐标系与参数方程］r21-V工，22•在直角坐标系x°y中，曲线C的参数方程为1厂（/为参数）.以坐标原4t点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线I的极坐标方程为2pcos0+：乎sinO+11二0.（1）求C和1的直角坐标方程；（2）求C上的点到1距离的最小值.［选修4-5：不等式选讲］23•已知a,b,c为正数，且满足a比二1.证明：(1)］+L+LSa2+b2+C2；abc(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3>24.2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标I）三、解答题：共60分。17.（2018・新课标I）在平面四边形ABCD中.ADC二90°,zA二45。，AB二2,BD=5.(1)求cos^ADB；(2)若DC二2•.迈，求BC.18.（2018・新课标I）如图，四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点，以DF为折痕把adFC折起，使点C到达点P的位置，且“丄财.（1）证明：平面PEF丄平面ABFD;（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值.P19.(2018・新课标I)设椭圆C:「+尹2二1的右焦点为F，过F的直线I与C交于2A，B两点，点M的坐标为(2,0).(1)当1与x轴垂直时，求直线AM的方程；(2)设O为坐标原点，证明•.乙OMA二乙OMB.20.(2018・新课标I)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0vp<1)'且各件产品是否为不合格品相互独立.(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(P)，求f(P)的最大值点P0.(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的P0作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.(')若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX；(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？21.(2018・新课标I)已知函数/(x)二丄・x+alnx.X(1)讨论f(x)的单调性；(2)若/(X)存在两个极值点X1,x2，证明：va-2.(二)选考题：共10分。［选修4-4：坐标系与参数方程］22•在直角坐标系x°y中，曲线q的方程为y二牛|+2•以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为P2+2PCOS0-3=0.求C2的直角坐标方程；若0］与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程.［选修4-5：不等式选讲］23•已知/(x)=|x+1|-|^x-1|.(1)当Q二1时，求不等式f(x)>1的解集；(2)若xE(0,1)时不等式f(x)>x成立，求a的取值范围.2017年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标I)三、解答题：共60分．17.(2017・新课标的内角A,B,C的对边分别为a»c,已知△ABC的面积为—•3sinA（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC二1,a二3,求^ABC的周长..（2017・新课标I）如图，在四棱锥P-ABCD中，AB||CD,且zBAP=ZCDP二90°.证明：平面PAB丄平面PAD；若PA=pD=AB二DC，乙APD二90°,求二面角A-PB-C的余弦值..（2017・新课标I）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（卩42）.（1）假设生产状态正常，己X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在;卩-3。〃+3"）之外的零件数，求P（X>1）及X的数学期望；（2）—天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（〃-3。，〃+3。）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.（i）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ii）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算飯=羅:X1=9.97,，［芝芦［鲁営『曲）也212，其中X为抽取的第i个零件的尺寸,i=1,2，…，16.i用样本平均数匚作为U的估计值卩，用样本标准差s作为。的估计值口，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除］口£口，n+3cr）之外的数据，用剩下的数据估计U和。（精确到0.01）.附：若随机变量Z服从正态分布N（卩，。2）,则P（卩-3"Zv“+3。）二0.9974,0.997416^0.9592,^qq^~0.09.20.(2017・新课标I)已知椭圆C：「+匚二1(a>b>0),四点P1(1,1),且bP2(0,1),P3(乎，4(1，乎)中恰有三点在椭圆C上.(1)求C的方程；(2)设直线I不经过P2点且与C相交于A，B两点•若直线P2A与直线pB的斜率的和为-1,证明：1过定点.21.(2017・新课标I)已知函数/(x)二ae2x+(a-2)ex-x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若/(x)有两个零点，求a的取值范围.(二)选考题：共10分。［选修4-4：坐标系与参数方程］22•在直角坐标系X®中，曲线C的参数方程为,(0为参数)，直线I的}y=sin9参数方程为,(/为参数)•若a=-1,求C与1的交点坐标；若C上的点到1距离的最大值为帀，求a.［选修4-5：不等式选讲］23•已知函数/(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+i|+|x-1|.(1)当a=1时，求不等式f(X)>g(X)的解集；(2)若不等式/(x)>g(x)的解集包含［-1,1］,求a的取值范围.2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标I）三、解答题：满分60分.17•（2016・新课标HABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c（I）求C；5）若cfBC的面积为竽，求AABC的周长.18.（2016・新课标I）如图，在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF二2FD,zAFD二90。，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60°．（I）证明平面ABEF丄平面EFDC;（口）求二面角E-BC-A的余弦值.

19.（2016・新课标I）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰•机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.（I）求X购买的易损零件数.（I）求X的分布列；（口）若要求P（X<n）>0.5，确定n的最小值;（皿）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n二19与n二20之中选其一，应选用哪个？20.(2016・新课标I)设圆七+乃+2兀-15=0的圆心为力，直线I过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．(I)证明|以|+|朋|为定值，并写出点E的轨迹方程；(口)设点E的轨迹为曲线J,直线I交q于M,N两点，过B且与I垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．21.（2016・新课标I）已知函数/（x）二（x-2）冬+Q（x-l）2有两个零点.（I）求a的取值范围；（口）设x1,x2是/（x）的两个零点，证明：x1+x2v2.（二）选考题：共10分。［选修4-4：坐标系与参数方程］23•在直角坐标系x°y中，曲线q的参数方程为（/为参数，a>0）.在|.y=l十且mint以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：P二4cosd•（I）说明q是哪种曲线，并将q的方程化为极坐标方程;（口）直线C3的极坐标方程为da。，其中a°满足tana0二2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a•［选修4-5：不等式选讲］24•已知函数/（x）=|x+i|-|2x-3|.2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标I）三、解答题：17.（2015・新课标I）S为数列呂｝的前n项和，已知a>0,a2+2a二4S+3nnnnnn（I）求2｝的通项公式：n（口）设b二I，求数列也｝的前n项和.n一一n18（2015・新课标I）如图，四边形ABCD为菱形上ABC二120。0F是平面ABCD同一侧的两点，BE丄平面ABCD,DF丄平面ABCD,BE=2df,AE丄ec.（I）证明：平面AEC丄平面AFC（口）求直线AE与直线CF所成角的余弦值.E

19.（2015・新课标I）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量尹（单位：/）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费X和年销售量y.（二1,2，…，8）数据作了初步处理，得到下ii面的散点图及一些统计量的值.620-600-580-564)-544)-•510-300-•54颐―I―I―L5434363S40（学匚）2i=l3

E

i=i(w.^)2y(x（学匚）2i=l3

E

i=i(w.^)2y(x込)(y.Z，‘ZZ（叫咗）i=ly)（叮刁46.65636.8289.81.61469108.8（I）根据散点图判断,y=a+bx与y二c+d.二明匕一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（口）根据（I）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程;（皿）已知这种产品的年利润z与xy的关系为一o.2y-x•根据（口）的结果回答下列问题：（.）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（方）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据（u1v1）,（u2v2）••…（uv），其回归线v=a+Pu的斜率和截距的1122nn■->20.（2015・新课标I）在直角坐标系xOy中，曲线C：y=与直线l：y=kx+a（a4>0）交于M,N两点.（I）当k=0时，分別求C在点M和N处的切线方程.（口）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有乙OPM二乙OPN?（说明理由）21.(2015・新课标I)已知函数/(x)=X3+ax+丄,g(x)=-lnx4(，)当a为何值时，x轴为曲线y=f(x)的切线；(方)用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0),讨论h(x)零点的个数.(二)选考题：共10分。［选修4-4：坐标系与参数方程］23•在直角坐标系xOy中，直线Ci：x=-2,圆C2：(x-1)2+(y-2)2二1,以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(I)求q,C2的极坐标方程；(口)若直线^的极坐标方程为0二(P^R)，设c2与^的交点为M,N,求4△c2mn的面积.【选修4-5：不等式选讲】24•已知函数/(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0.(I)当a=1时，求不等式f(x)>1的解集；(口)若/(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标I）三、解答题，共60分。17.（2014・新课标I）已知数列呂｝的前n项和为Sf二14hOja1=2S-1,1+1其中久为常数.（I）证明：a-a二久+2（口）是否存在久，使得｛a｝为等差数列？并说明理由.n18.（2014・新课标I）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（I）求这500件产品质量指标值的样本平均数匚和样本方差S2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（口）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（「O2）,其中卩近似为样本平均数匚，血近似为样本方差S2•（'）利用该正态分布，求P（187.8<Z<212.2）；（力）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（7）的结果，求EX.附：丽12・2•若Z~N（Q）则P（“-"Z<〃+6二0.6826P（卩-2"Z<〃+26二0.9544.19.（2014・新课标I）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB丄BC.（I）证明:AC=AB1;（口）若AC丄Aq,zcbbi=60°,ab=bc,求二面角A^A1B1-C1的余弦值.20.(2014・新课标I)已知点力(0,-2),椭圆E亠亠二1(a>b>0)的离心fb2率为立，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点.23(I)求E的方程；(口)设过点A的直线I与E相交于P,Q两点，当△OPQ的面积最大时，求I的方程．21（2014・新课标I）设函数/（x）=aexlnx^^LL,曲线y=f[x）在点（1』（1））处得切线方程为y=e（x-i）+2.（I）求ab;（口）证明：f（x）＞1.（二）选考题：共10分。［选修4-4：坐标系与参数方程］■-I9广23•已知曲线C：—l,直线I:（/为参数）49［y=2-2t（I）写出曲线C的参数方程，直线I的普通方程.（口）过曲线C上任意一点p作与I夹角为30。的直线，交I于点力，求I刃I的最大值与最小值.【选修4-5：不等式选讲】24.若A>0,B>0,且丄+丄=：'忑•且b（I）求A3+B3的最小值；（口）是否存在A,B，使得2A+3B=6?并说明理由.2013年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标I）三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（2013・新课标I）如图，在△ABC中"ABC二90。，AB二込，BC二1,P为ABC内一点，乙BPC=90°.（1）若PB^,求PA；2（2）若厶处£二150°,求tan^PBA.18.（2013・新课标I）如图，三棱柱ABC-ABCr中,CA二CB,AB二AA_zBAA\=60°.（I）证明AB丄A]C；（口）若平面ABC丄平面AABB,AB=CB=2，求直线A1C与平面BBCC所成角的正弦值.19.（2013・新课标I）—批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为刃•如果n二3,再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n二4,再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验•假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为丄,2且各件产品是否为优质品相互独立.（I）求这批产品通过检验的概率；（口）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望.20.（2013・新课标I）已知圆M：（x+i）2+y2=1,圆N：（x-i）2+y2=9,动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.（I）求C的方程；（口）1是与圆P，圆M都相切的一条直线，I与曲线C交于A,B两点，当圆P的半径最长时，求IABI.21.（2013・新课标I）已知函数/（x）=X2+ax+b,g（x）=ex（cx+d），若曲线y=f^^｝和曲线y=g（x）都过点P（0,2）,且在点p处有相同的切线y二尔+2.（I）求a，b，c，d的值；（口）若x>-2时，f（x）s弦（x）,求k的取值范围.(二)选考题：共10分。［选修4-4：坐标系与参数方程］23•已知曲线q的参数方程为(/为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正十5sirit半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为P二2sin0•把C1的参数方程化为极坐标方程；求q与C2交点的极坐标(pn0,0Wv2n).【选修4-5：不等式选讲】24•已知函数/(x)=|2x-1|+|2x+Q|,g(x)=x+3.(I)当a=-2时，求不等式f(x)vg(x)的解集；(口)设a>-1,且当xe［-，丄］时，f(x)wg(x),求a的取值范围.222012年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）三、解答题：共60分．.（2012・新课标I）已知a飞,分别为△ABC三个内角A几C的对边，acosC+込asinC-b-c=0(1)求A；(2)若a=2"ABC的面积为七，求b,c..（2012・新课标I）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润尹（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n^N）的函数解析式.（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：日需求量n14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．（'）若花店一天购进16枝玫瑰花/表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期望及方差；（方）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，尔认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．

.(2012・新课标I)如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中^AC=BC^_AA1,D是棱aa/勺中点，Dq丄BD(1)证明：DC^BC；20•(2012・新课标I)设抛物线C:X2二2py(P>0)的焦点为F，准线为I,A^C,已知以F为圆心，FA为半径的圆F交1于B,D两点；(1)若乙BFD二90°,aabd的面积为4.N求P的值及圆F的方程；(2)若A,B,F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m,n距离的比值.21.(2012・新课标I)已知函数/(x)满足/(x)=f{1)ex-i<f(0}x+J_x2；2(1)求/(x)的解析式及单调区间；(2)若f磊九，求(“1"的最大值.（二）选考题：共10分。［选修4-4：坐标系与参数方程］23•已知曲线J的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，x轴的y=3sin0正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是P二2,正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）.3（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设p为q上任意一点，求pAb+pBb+pCb+pDb的取值范围.【选修4-5：不等式选讲】24.已知函数/（x）=X+a|+|x-2|①当a=-3时，求不等式/（x）＞3的解集；@/（x）＜|x-4|若的解集包含［1,2］,求a的取值范围.2011年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）三、解答题（满分60分）17.（2011・新课标I）等比数列匕｝的各项均为正数，且2ai+3a2=1,a3?=9aa6,（I）求数列｛a｝的通项公式；n（口）设b二log3a1+log3a2+...+log3a，求数列｛丄｝的前n项和.n31323ni_18.（2011・新课标I）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，zDAB二60。，AB二2AD,PD丄底面ABCD.（I）证明：PA丄BD；（口）若PD二AD，求二面角A-pB-C的余弦值.F

19.（2011・新课标I）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A配方的频数分布表指标值分组A配方的频数分布表指标值分组[90，94）频数8B配方的频数分布表指标值分组[90，94）频数4[94，98)[98，102)42[94，98)[98，102)1242[102，106)[106，110]228[102，106)[106，110]3210（I）分别估计用力配方，B配方生产的产品的优质品率；（口）已知用B配方生成的一件产品的利润尹（单位：元）与其质量指标值/的关系式为Pi2,94<t<102半t>102从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元）求X的分布列及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）•（2011・新课标I）在平面直角坐标系x°中，已知点力{0,-1},B点在直线y=-3上,M点满足乔II花，冠•忑二乔•西,M点的轨迹为曲线C•（I）求C的方程；（口）P为C上的动点〃为C在P点处的切线，求°点到I距离的最小值.21.(2011・新课标I)已知函数心)二+虫，曲线*f(x)在点(1^^(1))x+1I处的切线方程为x+2X-3=0.(I)求ab的值；(口)如果当x>0,且xh1时，f(x)>如+鱼，求k的取值范围.S-lK（二）选考题：共10分。［选修4-4：坐标系与参数方程］23•在直角坐标系x&y中，曲线q的参