北师大版《直角三角形》优质课件4

第一章三角形的证明1.2.1直角三角形的性质与判定北师大版数学八年级下册第一章三角形的证明1.2.1直角三角形的性质与判定北1学习目标1．理解并掌握直角三角形的判定定理和斜边上的中线性质定理。2．能应用直角三角形的判定与性质，解决有关问题。学习目标1．理解并掌握直角三角形的判定定理和斜边上的中线性质三角形的分类按边分类按角分类导入新知三角形的分类按边分类按角分类导入新知3锐角三角形直角三角形钝角三角形—有一个角是钝角三角形按角的分类—三个角都是锐角—有一个角是直角

生活中用到直角三角形的例子很多三角形锐角三角形—有一个角是钝角三角形按角的分类—三个角都是锐角—41知识点直角三角形中角的关系想一想(1) 直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？为什么？合作探究1知识点直角三角形中角的关系想一想合作探究5定理直角三角形的两个锐角互余.定理有两个角互余的三角形是直角三角形.定理直角三角形的两个锐角互余.6如图，在△ABC中，∠C＝70°，∠B＝30°，AD⊥BC于点D，AE为∠BAC的平分线，求∠DAE的度数．例1如图，在△ABC中，∠C＝70°，∠B＝30°，AD⊥BC于7应用方程思想求线段的长很常见，而用面积法求(4)原命题是假命题．逆命题为：如果a＞0，b＜0，题中葛藤的最短长度是________．在Rt△BCD中，CD2＝BC2－BD2＝122－(15－x)2.C．原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题(2)原命题是假命题．逆命题为：如果a2＞b2，那么a生活中用到直角三角形的例子很多∴AC·BC＝AB·CD.三角形中一个角的平分线和过这个角的顶点C．原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题(3)互逆命题、互逆定理：三角形中一个角的平分线和过这个角的顶点(1) 直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？求证：AB＝AC.由题意可知，∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－30°－70°＝80°.∵AE为∠BAC的平分线，∴∠CAE＝∠BAE＝∠BAC＝40°.∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°.∴∠CAD＝90°－∠C＝90°－70°＝20°.∴∠DAE＝∠CAE－∠CAD＝40°－20°＝20°.解：应用方程思想求线段的长很常见，而用面积法求由题意可知，解：8三角形中一个角的平分线和过这个角的顶点的高线的夹角等于另外两个角差的绝对值的一半．新知小结三角形中一个角的平分线和过这个角的顶点新知91【中考·郴州】小明把一副含45°，30°的直角三角尺如图摆放，其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠α＋∠β等于(

)A．180°B．210°C．360°D．270°B巩固新知1【中考·郴州】小明把一副含45°，30°的直角三角尺如图102知识点直角三角形中边角关系勾股定理直角三角形两条直角边的平方和等于

斜边的平方.ACB合作探究2知识点直角三角形中边角关系勾股定理直角三角形两条直11反过来，在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的办法得出“这个三角形是直角三角形”的结论.下面我们证明这个结论.已知：如图(1)，在△ABC中，AB2＋AC2＝BC2.求证：△ABC是直角三角形反过来，在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我12证明：如图(2)，作Rt△A′B′C′

，使∠A′＝90°A′B′＝AB,A′C′＝AC,则A′B′

2＋A′C′2

＝B′C′2（勾股定理）.∵AB2＋AC2＝BC2

，∴BC2

＝B′C′2.∴BC＝B′C′.∴△ABC≌

△A′B′C′(SSS).∴∠A＝∠A′＝90°(全等三角形的对应角相等）.因此，△ABC是直角三角形.证明：如图(2)，作Rt△A′B′C′，使13例2A如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离是(

)例2A如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC14导引：方法一：∵∠C＝90°，∴AB2＝AC2＋BC2＝92＋122＝225.∴AB＝15.过点C作CD⊥AB于点D，设AD＝x，则BD＝15－x.在Rt△ACD中，CD2＝AC2－AD2＝92－x2.在Rt△BCD中，CD2＝BC2－BD2＝122－(15－x)2.∴92－x2＝122－(15－x)2，解得x＝5.4.∴CD2＝92－5.42＝51.84.∴CD＝7.2＝

，即点C到AB的距离为.导引：方法一：15方法二：过点C作CD⊥AB于点D，则S△ABC＝

AC·BC＝

AB·CD，∴AC·BC＝AB·CD.又由方法一知AB＝15，∴CD＝

，即点C到AB的距离为

.方法二：过点C作CD⊥AB于点D，16应用方程思想求线段的长很常见，而用面积法求线段的长更是简化了计算步骤，使解题过程变得简明易懂．新知小结应用方程思想求线段的长很常见，而用面积法求新知小结171在△ABC中，已知∠A＝∠B＝45°，BC＝3，求AB的长.因为∠A＝∠B＝45°，所以△ABC为等腰直角三角形．所以AC＝BC＝3.所以解：巩固新知1在△ABC中，已知∠A＝∠B＝45°，BC＝3，求AB的长18如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离是()(1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点；后其末端恰好到达点B处．则问(1)四边形是多边形；因为AD是BC边上的中线，（2）如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧；应用方程思想求线段的长很常见，而用面积法求(2)两直线平行，同旁内角互补；∴CD＝，即点C到AB的距离为.三角形中一个角的平分线和过这个角的顶点则A′B′2＋A′C′2＝B′C′2（勾股定理）.(1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点；∴∠CAD＝90°－∠C＝90°－70°＝20°.（3）一个三角形中相等的边所对的角相等；加以证明即可判断原定理有逆定理．∵AE为∠BAC的平分线，（1）如果两个角是对顶角，那么它们相等；13，则小正方形的面积为()∵∠C＝90°，∴AB2＝AC2＋BC2＝92＋122＝225.生活中用到直角三角形的例子很多2已知：在△ABC中，AB＝13cm，BC＝10cm，BC边上的中线AD＝12cm.求证：AB＝AC.如图，因为AD是BC边上的中线，所以BD＝

BC＝×10

＝5(cm)．解：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，19在△ABD中，因为AB＝13cm，AD＝12cm，BD＝5cm，所以AB2＝AD2＋BD2.所以△ABD为直角三角形．所以AD⊥BC.在Rt△ADC中，AC＝

＝13(cm)，所以AB＝AC.在△ABD中，203【中考·陕西】如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为(

)A．3B．6C．3D.A3【中考·陕西】如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△214【中考·襄阳】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a＋b)2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为(

)A．3B．4C．5D．6C4【中考·襄阳】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理225如图是一棵美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则正方形E的面积是(

)A．13B．26C．47D．94C5如图是一棵美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的236【中考·东营】我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是10尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕5周后其末端恰好到达点B处．则问题中葛藤的最短长度是________．25尺6【中考·东营】我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地243知识点逆命题和逆定理观察上面第一个定理和第二个定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系？第三个定理和第四个定理呢？与同伴交流.再观察下面三组命题：（1）如果两个角是对顶角，那么它们相等；如果两个角相等，那么它们是对顶角.（2）如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧；如果小明发烧，那么他一定患了肺炎.合作探究3知识点逆命题和逆定理观察上面第一个定理和第二个定理，它们的25（3）一个三角形中相等的边所对的角相等；一个三角形中相等的角所对的边相等.上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗？与同伴交流.（3）一个三角形中相等的边所对的角相等；261．在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称

为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆

命题．2．如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么

它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理

的逆定理，这两个定理称为互逆定理．1．在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别2．如果一个定27＝5(cm)．下列说法正确的是()(2)如果a＞b，那么a2＞b2；1直角三角形的性质与判定∴∠DAE＝∠CAE－∠CAD＝40°－20°＝20°.定理的逆命题：在角的内部，到角两边距离相等的点在故定理“角平分线上的点到角的两边的距离相等”∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°.因此，△ABC是直角三角形.AC＝＝13(cm)，如图是一棵美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则正方形E的面积是()∴∠A＝∠A′＝90°(全等三角形的对应角相等）.∴CD＝，即点C到AB的距离为.根据题目要求，先判断原命题的真假，再将原命题零，那么它们互为相反数．逆命题是真命题．它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理(2)如果a＞b，那么a2＞b2；∴BC＝B′C′.第一章三角形的证明题中葛藤的最短长度是________．例3判断下列命题的真假，写出逆命题，并判断逆命题的真假：(1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点；(2)如果a＞b，那么a2＞b2；(3)如果两个数互为相反数，那么它们的和为零；(4)如果ab＜0，那么a＞0，b＜0.导引：根据题目要求，先判断原命题的真假，再将原命题的题设和结论部分互换，写出原命题的逆命题，最后判断逆命题的真假．＝5(cm)．例3判断下列命题的真假，写出逆命题，并判断逆28解：(1)原命题是真命题．逆命题为：如果两条直线只有一个交点，那么它们相交．逆命题是真命题．(2)原命题是假命题．逆命题为：如果a2＞b2，那么a＞b.逆命题是假命题．(3)原命题是真命题．逆命题为：如果两个数的和为

零，那么它们互为相反数．逆命题是真命题．(4)原命题是假命题．逆命题为：如果a＞0，b＜0，

那么ab＜0.逆命题是真命题．解：(1)原命题是真命题．逆命题为：如果两条直线只有29写出逆命题的关键是分清楚原命题的题设和结论，然后将它的题设和结论交换位置就得到这个命题的逆命题．判断一个命题是真命题需要进行逻辑推理，判断一个命题是假命题只需要举出反例就可以了．新知小结写出逆命题的关键是分清楚原命题的题设和结新知小结30例4定理“角平分线上的点到角的两边的距离相等”是否有逆定理？请说明理由．导引：先写出这个定理的逆命题，再判断逆命题的真假即可．解：定理的逆命题：在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上．可以证明其为真命题，所以它是原定理的逆定理．理由如下：已知：如图，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为E，F，且PE＝PF.求证：OP是∠AOB的平分线．合作探究例4定理“角平分线上的点到角的两边的距离相等”是否有逆定理31证明：∵PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠OEP＝∠OFP＝90°.在Rt△POE和Rt△POF中，由勾股定理易得OE＝OF，∴△POE≌△POF.∴∠AOP＝∠BOP，即OP是∠AOB的平分线．即在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的

平分线上．故定理“角平分线上的点到角的两边的距离相等”

有逆定理．证明：∵PE⊥OA，PF⊥OB，32判断一个定理是否有逆定理的方法：先把定理作为命题，写出它的逆命题，然后判断其逆命题是否正确，如果不正确，举一个反例即可；如果是真命题，加以证明即可判断原定理有逆定理．新知小结判断一个定理是否有逆定理的方法：先把定理作新知小结331说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：(1)四边形是多边形；(2)两直线平行，同旁内角互补；(3)如果ab＝0，那么a＝0，b＝0.(1)逆命题：多边形是四边形．原命题真，逆命题假．(2)逆命题：同旁内角互补，两直线平行．原命题真，

逆命题真．(3)逆命题：如果

a＝0，b＝0，那么ab＝0.原命题假，

逆命题真．解：巩固新知1说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：(1)逆命题：342下列说法正确的是(

)A．每个定理都有逆定理B．每个命题都有逆命题C．原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题D．真命题的逆命题是真命题B2下列说法正确的是()B35直角三角形角的关系：定理直角三角形的两个锐角互余.定理有两个角互余的三角形是直角三角形.1知识小结归纳新知直角三角形角的关系：1知识小结归纳新知36(2)勾股定理及其逆定理：勾股定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理逆定理如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.(3)互逆命题、互逆定理：(2)勾股定理及其逆定理：37已知：如图，PE⊥OA，后其末端恰好到达点B处．则问北师大版数学八年级下册∠BAC＝180°－∠B－∠C定理有两个角互余的三角形是直角三角形.∴∠CAE＝∠BAE＝∠BAC＝40°.题中葛藤的最短长度是________．故定理“角平分线上的点到角的两边的距离相等”(4)如果ab＜0，那么a＞0，b＜0.(3)如果两个数互为相反数，那么它们的和为零；则A′B′2＋A′C′2＝B′C′2（勾股定理）.在Rt△ACD中，CD2＝AC2－AD2＝92－x2.∵∠C＝90°，∴AB2＝AC2＋BC2＝92＋122＝225.∠BAC＝180°－∠B－∠C三角形中一个角的平分线和过这个角的顶点那么ab＜0.(3)互逆命题、互逆定理：∴∠CAD＝90°－∠C＝90°－70°＝20°.因此，△ABC是直角三角形.(1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点；【中考•黔西南州】一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为(

)A．5B.C.D．5或易错点：考虑问题不全面而漏解2易错小结D已知：如图，PE⊥OA，【中考•黔西南州】一直角三角形的两边38因为已知的两条边未指明是直角边还是斜边，所以需对两条边分类讨论．当3和4为直角边长时，则第三边为斜边，由勾股定理得第三边长为5；当3为直角边长，4为斜边长时，第三边为直角边，由勾股定理得第三边长为.故选D.本题易因没有分类讨论，直接将3和4作为直角边长去求斜边的长而出错．因为已知的两条边未指明是直角边还是斜边，所以需对两条边分类讨39互余直角三角形课后练习互余直角三角形课后练习CC北师大版《直角三角形》优质课件4【答案】C【答案】C斜边的平方第三边斜边的平方第三边CCAA北师大版《直角三角形》优质课件4【答案】C【答案】C北师大版《直角三角形》优质课件4【答案】B【答案】B互逆命题逆命题互逆命题逆命题逆定理逆定理AABB北师大版《直角三角形》优质课件4北师大版《直角三角形》优质课件4北师大版《直角三角形》优质课件4北师大版《直角三角形》优质课件4北师大版《直角三角形》优质课件4北师大版《直角三角形》优质课件4北师大版《直角三角形》优质课件4北师大版《直角三角形》优质课件4北师大版《直角三角形》优质课件4北师大版《直角三角形》优质课件4北师大版《直角三角形》优质课件4北师大版《直角三角形》优质课件4北师大版《直角三角形》优质课件4再见再见第一章三角形的证明1.2.1直角三角形的性质与判定北师大版数学八年级下册第一章三角形的证明1.2.1直角三角形的性质与判定北69学习目标1．理解并掌握直角三角形的判定定理和斜边上的中线性质定理。2．能应用直角三角形的判定与性质，解决有关问题。学习目标1．理解并掌握直角三角形的判定定理和斜边上的中线性质三角形的分类按边分类按角分类导入新知三角形的分类按边分类按角分类导入新知71锐角三角形直角三角形钝角三角形—有一个角是钝角三角形按角的分类—三个角都是锐角—有一个角是直角

生活中用到直角三角形的例子很多三角形锐角三角形—有一个角是钝角三角形按角的分类—三个角都是锐角—721知识点直角三角形中角的关系想一想(1) 直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？为什么？合作探究1知识点直角三角形中角的关系想一想合作探究73定理直角三角形的两个锐角互余.定理有两个角互余的三角形是直角三角形.定理直角三角形的两个锐角互余.74如图，在△ABC中，∠C＝70°，∠B＝30°，AD⊥BC于点D，AE为∠BAC的平分线，求∠DAE的度数．例1如图，在△ABC中，∠C＝70°，∠B＝30°，AD⊥BC于75应用方程思想求线段的长很常见，而用面积法求(4)原命题是假命题．逆命题为：如果a＞0，b＜0，题中葛藤的最短长度是________．在Rt△BCD中，CD2＝BC2－BD2＝122－(15－x)2.C．原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题(2)原命题是假命题．逆命题为：如果a2＞b2，那么a生活中用到直角三角形的例子很多∴AC·BC＝AB·CD.三角形中一个角的平分线和过这个角的顶点C．原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题(3)互逆命题、互逆定理：三角形中一个角的平分线和过这个角的顶点(1) 直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？求证：AB＝AC.由题意可知，∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－30°－70°＝80°.∵AE为∠BAC的平分线，∴∠CAE＝∠BAE＝∠BAC＝40°.∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°.∴∠CAD＝90°－∠C＝90°－70°＝20°.∴∠DAE＝∠CAE－∠CAD＝40°－20°＝20°.解：应用方程思想求线段的长很常见，而用面积法求由题意可知，解：76三角形中一个角的平分线和过这个角的顶点的高线的夹角等于另外两个角差的绝对值的一半．新知小结三角形中一个角的平分线和过这个角的顶点新知771【中考·郴州】小明把一副含45°，30°的直角三角尺如图摆放，其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠α＋∠β等于(

)A．180°B．210°C．360°D．270°B巩固新知1【中考·郴州】小明把一副含45°，30°的直角三角尺如图782知识点直角三角形中边角关系勾股定理直角三角形两条直角边的平方和等于

斜边的平方.ACB合作探究2知识点直角三角形中边角关系勾股定理直角三角形两条直79反过来，在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的办法得出“这个三角形是直角三角形”的结论.下面我们证明这个结论.已知：如图(1)，在△ABC中，AB2＋AC2＝BC2.求证：△ABC是直角三角形反过来，在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我80证明：如图(2)，作Rt△A′B′C′

，使∠A′＝90°A′B′＝AB,A′C′＝AC,则A′B′

2＋A′C′2

＝B′C′2（勾股定理）.∵AB2＋AC2＝BC2

，∴BC2

＝B′C′2.∴BC＝B′C′.∴△ABC≌

△A′B′C′(SSS).∴∠A＝∠A′＝90°(全等三角形的对应角相等）.因此，△ABC是直角三角形.证明：如图(2)，作Rt△A′B′C′，使81例2A如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离是(

)例2A如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC82导引：方法一：∵∠C＝90°，∴AB2＝AC2＋BC2＝92＋122＝225.∴AB＝15.过点C作CD⊥AB于点D，设AD＝x，则BD＝15－x.在Rt△ACD中，CD2＝AC2－AD2＝92－x2.在Rt△BCD中，CD2＝BC2－BD2＝122－(15－x)2.∴92－x2＝122－(15－x)2，解得x＝5.4.∴CD2＝92－5.42＝51.84.∴CD＝7.2＝

，即点C到AB的距离为.导引：方法一：83方法二：过点C作CD⊥AB于点D，则S△ABC＝

AC·BC＝

AB·CD，∴AC·BC＝AB·CD.又由方法一知AB＝15，∴CD＝

，即点C到AB的距离为

.方法二：过点C作CD⊥AB于点D，84应用方程思想求线段的长很常见，而用面积法求线段的长更是简化了计算步骤，使解题过程变得简明易懂．新知小结应用方程思想求线段的长很常见，而用面积法求新知小结851在△ABC中，已知∠A＝∠B＝45°，BC＝3，求AB的长.因为∠A＝∠B＝45°，所以△ABC为等腰直角三角形．所以AC＝BC＝3.所以解：巩固新知1在△ABC中，已知∠A＝∠B＝45°，BC＝3，求AB的长86如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离是()(1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点；后其末端恰好到达点B处．则问(1)四边形是多边形；因为AD是BC边上的中线，（2）如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧；应用方程思想求线段的长很常见，而用面积法求(2)两直线平行，同旁内角互补；∴CD＝，即点C到AB的距离为.三角形中一个角的平分线和过这个角的顶点则A′B′2＋A′C′2＝B′C′2（勾股定理）.(1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点；∴∠CAD＝90°－∠C＝90°－70°＝20°.（3）一个三角形中相等的边所对的角相等；加以证明即可判断原定理有逆定理．∵AE为∠BAC的平分线，（1）如果两个角是对顶角，那么它们相等；13，则小正方形的面积为()∵∠C＝90°，∴AB2＝AC2＋BC2＝92＋122＝225.生活中用到直角三角形的例子很多2已知：在△ABC中，AB＝13cm，BC＝10cm，BC边上的中线AD＝12cm.求证：AB＝AC.如图，因为AD是BC边上的中线，所以BD＝

BC＝×10

＝5(cm)．解：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，87在△ABD中，因为AB＝13cm，AD＝12cm，BD＝5cm，所以AB2＝AD2＋BD2.所以△ABD为直角三角形．所以AD⊥BC.在Rt△ADC中，AC＝

＝13(cm)，所以AB＝AC.在△ABD中，883【中考·陕西】如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为(

)A．3B．6C．3D.A3【中考·陕西】如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△894【中考·襄阳】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a＋b)2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为(

)A．3B．4C．5D．6C4【中考·襄阳】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理905如图是一棵美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则正方形E的面积是(

)A．13B．26C．47D．94C5如图是一棵美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的916【中考·东营】我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是10尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕5周后其末端恰好到达点B处．则问题中葛藤的最短长度是________．25尺6【中考·东营】我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地923知识点逆命题和逆定理观察上面第一个定理和第二个定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系？第三个定理和第四个定理呢？与同伴交流.再观察下面三组命题：（1）如果两个角是对顶角，那么它们相等；如果两个角相等，那么它们是对顶角.（2）如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧；如果小明发烧，那么他一定患了肺炎.合作探究3知识点逆命题和逆定理观察上面第一个定理和第二个定理，它们的93（3）一个三角形中相等的边所对的角相等；一个三角形中相等的角所对的边相等.上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗？与同伴交流.（3）一个三角形中相等的边所对的角相等；941．在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称

为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆

命题．2．如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么

它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理

的逆定理，这两个定理称为互逆定理．1．在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别2．如果一个定95＝5(cm)．下列说法正确的是()(2)如果a＞b，那么a2＞b2；1直角三角形的性质与判定∴∠DAE＝∠CAE－∠CAD＝40°－20°＝20°.定理的逆命题：在角的内部，到角两边距离相等的点在故定理“角平分线上的点到角的两边的距离相等”∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°.因此，△ABC是直角三角形.AC＝＝13(cm)，如图是一棵美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则正方形E的面积是()∴∠A＝∠A′＝90°(全等三角形的对应角相等）.∴CD＝，即点C到AB的距离为.根据题目要求，先判断原命题的真假，再将原命题零，那么它们互为相反数．逆命题是真命题．它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理(2)如果a＞b，那么a2＞b2；∴BC＝B′C′.第一章三角形的证明题中葛藤的最短长度是________．例3判断下列命题的真假，写出逆命题，并判断逆命题的真假：(1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点；(2)如果a＞b，那么a2＞b2；(3)如果两个数互为相反数，那么它们的和为零；(4)如果ab＜0，那么a＞0，b＜0.导引：根据题目要求，先判断原命题的真假，再将原命题的题设和结论部分互换，写出原命题的逆命题，最后判断逆命题的真假．＝5(cm)．例3判断下列命题的真假，写出逆命题，并判断逆96解：(1)原命题是真命题．逆命题为：如果两条直线只有一个交点，那么它们相交．逆命题是真命题．(2)原命题是假命题．逆命题为：如果a2＞b2，那么a＞b.逆命题是假命题．(3)原命题是真命题．逆命题为：如果两个数的和为

零，那么它们互为相反数．逆命题是真命题．(4)原命题是假命题．逆命题为：如果a＞0，b＜0，

那么ab＜0.逆命题是真命题．解：(1)原命题是真命题．逆命题为：如果两条直线只有97写出逆命题的关键是分清楚原命题的题设和结论，然后将它的题设和结论交换位置就得到这个命题的逆命题．判断一个命题是真命题需要进行逻辑推理，判断一个命题是假命题只需要举出反例就可以了．新知小结写出逆命题的关键是分清楚原命题的题设和结新知小结98例4定理“角平分线上的点到角的两边的距离相等”是否有逆定理？请说明理由．导引：先写出这个定理的逆命题，再判断逆命题的真假即可．解：定理的逆命题：在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上．可以证明其为真命题，所以它是原定理的逆定理．理由如下：已知：如图，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为E，F，且PE＝PF.求证：OP是∠AOB的平分线．合作探究例4定理“角平分线上的点到角的两边的距离相等”是否有逆定理99证明：∵PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠OEP＝∠OFP＝90°.在Rt△POE和Rt△POF中，由勾股定理易得OE＝OF，∴△POE≌△POF.∴∠AOP＝∠BOP，即OP是∠AOB的平分线．即在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的

平分线上．故定理“角平分线上的点到角的两边的距离相等”

有逆定理．证明：∵PE⊥OA，PF⊥OB，100判断一个定理是否有逆定理的方法：先把定理作为命题，写出它的逆命题，然后判断其逆命题是否正确，如果不正确，举一个反例即可；如果是真命题，加以证明即可判断原定理有逆定理．新知小结判断一个定理是否有逆定理的方法：先把定理作新知小结1011说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：(1)四边形是多边形；(2)两直线平行，同旁内角互补；(3)如果ab＝0，那么a＝0，