概率论与数理统计156节

第五节独立重复试验独立重复试验的特征：1、每次试验都在相同条件下进行；2、每次试验的结果是相互独立的；3、每次试验有有限个确定的结果；如果试验共进行n次，称为n重独立重复试验.4、每次试验的结果发生的概率相同；比如：多次掷骰子；产品有放回地抽样检验。概率论与数理统计156节共54页，您现在浏览的是第1页!如果每次试验的结果有且仅有两种：，称为n重伯努利试验.贝努利(1700—1782)瑞士下面我们来研究n重伯努利试验中事件A发生k次的概率。概率论与数理统计156节共54页，您现在浏览的是第2页!例1设在10件产品中有1件废品，现进行3次有放回的抽样检查，求抽得2件废品的概率。解设“第次抽取时抽到废品”“共抽得2件废品”概率论与数理统计156节共54页，您现在浏览的是第3页!n重伯努利试验中事件A恰好出现k次的概率简记为b(k；n，p）.则b(k；n，p）＝Cnkpkqn－k.概率论与数理统计156节共54页，您现在浏览的是第4页!例3向单位圆中随机抛入3个点，求这3个点中恰有2个点落在第1象限的概率。解抛入3个点相当于3重贝努利试验，所求概率为3个点中恰有2个点落在第1象限的事件记为B由几何概率，点落在第1象限的概率为1/4概率论与数理统计156节共54页，您现在浏览的是第5页!趣例---“惊人的预测”一天，乔治在自己的邮箱中发现一封陌生的邮件，他好奇地打开了它：“亲爱的球迷，我们的统计学家已经设计了准确预测足球比赛的方法。今晚英国足球杯第三场考文垂队对谢非尔队，我们以95%的概率预测考文垂队获胜。”

乔治看后一笑。乔治并不在意。当晚看比赛时，考文垂队果然获胜。三周后，他又收到一封邮件：“亲爱的球迷，我们的统计学家已经设计了准确预测足球比赛的方法。今晚考文垂队对米德尔斯堡队，我们以95%的概率预测米德尔斯堡队获胜。”概率论与数理统计156节共54页，您现在浏览的是第6页!这之后，乔治又收到一封邮件：“亲爱的球迷，你是否发现我们已经多次预测成功。如果你支付200英镑，我们将为你预测以下多次比赛结果，并保证正确率在95%以上。”乔治想：如果发邮件的人只是猜测，则5次猜测成功的概率为这不太可能!当然他们也可能与黑社会有关或有非法财团支持,但这与乔治无关----只要能挣钱就行!如果预测成功,可以从彩票商那里赚回20万.乔治支付了200英镑.概率论与数理统计156节共54页，您现在浏览的是第7页!第六节

全概率公式和贝叶斯公式概率论与数理统计156节共54页，您现在浏览的是第8页!2.加法公式：当A、B互斥时，有P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)P(A＋B)＝P(A)＋P(B)3.乘法公式：P(AB)＝P(B)P(A|B)当A、B独立时，有P(AB)＝P(Ａ)P(Ｂ)

互斥简化了加法公式，独立简化了乘法公式

概率论与数理统计156节共54页，您现在浏览的是第9页!

例1有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2个红球3个白球，3号箱装有3个红球.某人从三箱中任取一箱，再从中任意摸出一球，求摸出红球的概率.解则B=A1B+A2B+A3B

P(B)=P(A1B+A2B+A3B)摸出红球=从1号箱中摸出红球或从2号箱中摸出红球或从3号箱中摸出红球设Ai={从i号箱中摸},i=1,2,3;B={摸出红球}=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)此题不合适要修改概率论与数理统计156节共54页，您现在浏览的是第10页!如果事件A1，A2，…，An构成一个完备事件组，且有P(Ai)>0，i=1,2…,n，则对任一事件B，有全概率公式（定理1.9）:概率论与数理统计156节共54页，您现在浏览的是第11页!例2某厂的一批产品,由甲、乙、丙三名工人生产,其产量分别占总产量的25%、35%、40%,若已知他们的次品率依次为5%、4%、2%,现在从这批产品中任意抽取一件,求这一件是次品的概率.解用A1、A2、A3分别表示“甲、乙、丙生产的产品”，用B表示“抽取的是次品”则A1、A２、A３

构成一个完备事件组由全概率公式得概率论与数理统计156节共54页，您现在浏览的是第12页!全概率公式应用的关键在于寻找或构造一个完备事件组…………概率论与数理统计156节共54页，您现在浏览的是第13页!实际生活中还存在这样一类问题，是“已知结果求原因”.全概率公式解决的是“已知原因求结果”的问题.解决这一类问题就要用到

贝叶斯公式概率论与数理统计156节共54页，您现在浏览的是第14页!概率论与数理统计156节共54页，您现在浏览的是第15页!1.结果B的发生来自于原因Ai的可能性:已知结果求原因2.结果B的发生来自于哪种原因的可能性最大:求P(Ai|B)比较哪个P(Ai|B)最大概率论与数理统计156节共54页，您现在浏览的是第16页!贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以帮助人们确定某结果发生的最可能原因。例如，贝叶斯公式可用于鉴定废品来源,从而可以为进一步的经济处罚提供依据。概率论与数理统计156节共54页，您现在浏览的是第17页!贝叶斯公式在疾病诊断中也有着重要的意义

A1，A2，…，An：ｎ种疾病Ｂ：ｎ中疾病都会导致的某种症状概率论与数理统计156节共54页，您现在浏览的是第18页!下面来分析一下结果的意义：由贝叶斯公式，可得代入数据计算得:P(A|B)=0.10662.检查出阳性是否一定患有癌症?1.这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？概率论与数理统计156节共54页，您现在浏览的是第19页!2.检查出是阳性是否一定患有癌症?试验结果为阳性，此人确患癌症的概率为

P(A|B)=0.1066即使检出阳性，尚可不必过早下结论你有癌症因为这种情况下患癌症的可能性只有10.66%(平均1000个人中大约只有107人确患癌症)，此时医生常要通过再试验来确认.概率论与数理统计156节共54页，您现在浏览的是第20页!完备事件组：A1，A2，…，An核心事件：B原因结果概率论与数理统计156节共54页，您现在浏览的是第21页!贝叶斯公式就是用来求后验概率的。后验概率P(Ai|B)是相对于先验概率P(Ai)来说的。P(Ai)是试验前根据以往经验确定的一种假设概率，P(Ai|B)是在获知事件B已经发生这一信息之后，事件Ai发生的条件概率，它是根据新的信息对各“原因”的发生情况获得的新的认识。贝叶斯公式又称为后验概率公式或逆概公式。概率论与数理统计156节共54页，您现在浏览的是第22页!在不知道事件B发生的情况下，但在知道事件B发生后，先验概率后验概率也就是说，在不知道摸出的是红球的情况下，我们只能认为球取自三个箱子的可能性相同，即即知道摸出的是红球了，我们对于球取自哪个箱子的可能性较大的估计就发生变化了：考虑刚才摸球的例子概率论与数理统计156节共54页，您现在浏览的是第23页!例（教材P36）用某种检验方法,对发病率为0.35%的甲种疾病的漏检率为5％,对无甲种疾病者经检验认为有甲种疾病的概率为1％.若在一次普查中,某人经此检验查为患甲种病,求该人确实患有甲种病的概率.解：设B=“患甲种病”，C=“经检验认为患甲种病”则欲求后验概率‰‰‰‰概率论与数理统计156节共54页，您现在浏览的是第24页!问题一：你的生日是否在7月1日之前？问题二：你是否看过黄色书刊和黄色影像？具体操作时要求被调查者从一个罐子中（其中有60个红球和40个白球）任取一球，看后放回，若抽到白球则回答问题一，若抽到红球则回答问题二。答卷时只需划钩。答卷是否概率论与数理统计156节共54页，您现在浏览的是第25页!贝叶斯公式在疾病诊断中的意义

A1，A2，…，An：ｎ种疾病Ｂ：ｎ中疾病都会导致的某种症状概率论与数理统计156节共54页，您现在浏览的是第26页!２.贝叶斯公式：已知结果求原因条件概率概率论与数理统计156节共54页，您现在浏览的是第27页!稍事休息概率论与数理统计156节共54页，您现在浏览的是第28页!例1设在M件产品中有N件废品，现进行n次有放回的抽样检查，求抽得k件废品的概率。解设“第次抽取时抽到废品”“共抽得k件废品”概率论与数理统计156节共54页，您现在浏览的是第29页!例2

一条自动生产线上产品的一级品率为0.6，检查10件，求至少有两件一级品的概率P(B)。解：这是n＝10的10重伯努利试验，p＝0.6依题意概率论与数理统计156节共54页，您现在浏览的是第30页!思考彩票投注点的门口有一副对联:“多买少买多少要买，早中晚中早晚要中”每次开奖，中奖的概率为而坚持十年，从未中奖的概率为每年按52周算，则十年中奖1次的概率为你如何理解“早晚要中”？假定每周开奖一次，每次中奖的概率为十万分之一，概率论与数理统计156节共54页，您现在浏览的是第31页!当晚，米德尔斯队果然获胜。乔治不由心中一震。一周后，他又收到第三封邮件：“亲爱的球迷，我们的统计学家已经设计了准确预测足球比赛的方法。今晚我们以95%的概率预测米德尔斯队将败给特伦米尔队。”。乔治发现这次预测又对了时不由大吃一惊。第四次，预测仍然是对的。第五次，预测还是对的。概率论与数理统计156节共54页，您现在浏览的是第32页!

实际上,这些骗子先发出8000封电子邮件,一半猜甲胜,一半猜乙胜,于是有4000人得到正确预测。第二次只给这些人发邮件，…..，依次类推，可以有250人获得五次成功的结论。只要有100人付钱，就可骗到20000英镑！乔治就是这100人中的一个。概率论与数理统计156节共54页，您现在浏览的是第33页!1.完备事件组如果n个事件A１，A２，…，Aｎ互不相容，并且它们的和是必然事件，称这n个事件构成一个完备事件组。……复习概率论与数理统计156节共54页，您现在浏览的是第34页!这一节我们将要学习的全概率公式贝叶斯公式是加法公式和乘法公式的综合运用，主要用于计算一些复杂事件的概率。概率论与数理统计156节共54页，您现在浏览的是第35页!A1BA2BA3BA1，A2，A3构成一个完备事件组B的发生必然伴随着A1,A2,A3之一同时发生即故概率论与数理统计156节共54页，您现在浏览的是第36页!某一事件B的发生有各种可能的原因，全概率公式可以这样来理解：每一原因都可能导致B发生，故B发生的总概率是各原因引起的B发生概率的总和。P(AiB)＝P(Ai)P(B|Ai)这些原因我们用A1、A2、…、An等来表示，其中原因Ai对总概率P(B)所作的贡献为全概率公式概率论与数理统计156节共54页，您现在浏览的是第37页!例（教材P35）

M地为甲种疾病多发区，该地共有南、北、中三个行政小区，其人口比例为9：7：4。据统计资料，甲种疾病在该地区三个小区内的发病率依次为4‰，2‰，5‰，试求出M地甲种疾病的发病率。解：设Ai=“某人是第i个小区内的人”，i=1,2,3

B=“M地的人得病”，则A1，A2，A3构成完备事件组,由全概率公式概率论与数理统计156节共54页，您现在浏览的是第38页!

例3甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7.飞机被一人击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6,若三人都击中,飞机必定被击落,求飞机被击落的概率.解设A=飞机被击落由全概率公式则A=C1A+C2A+C3ACi=飞机被i人击中,i=1,2,3Bi=飞机被第i人击中,i=1,2,3显然Ｃ1，Ｃ2，Ｃ3构成一个完备事件组P(A)=P(C1)P(A|C1)+P(C2)P(A|C2)+P(C3)P(A|C3)概率论与数理统计156节共54页，您现在浏览的是第39页!

例1有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2个红球3个白球，3号箱装有3个红球.某人从三箱中任取一箱，再从中任意摸出一球，求摸出红球的概率.

如果摸出的是红球，求该球取自１号箱的概率.解设Ai＝{球取自i号箱},i=1,2,3;

B＝{取得红球}所求概率为P(A1|B)概率论与数理统计156节共54页，您现在浏览的是第40页!

例1有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2个红球3个白球，3号箱装有3个红球.某人从三箱中任取一箱，再从中任意摸出一球，

如果摸出的是红球，求该球取自１号箱的概率.

如果摸出的是红球，求该球最有可能取自哪个箱子?解概率论与数理统计156节共54页，您现在浏览的是第41页!贝叶斯公式：

设A1,A2,…,An构成一完备事件组，且P(Ai)>0，i=1,2,…,n,则对任一概率不为零的事件B，有概率论与数理统计156节共54页，您现在浏览的是第42页!

例2某厂的一批产品，由甲、乙、丙三名工人生产，其产量分别占总产量的25%、35%、40%，且已知他们的次品率依次为5%、4%、2%，现在从这批产品中任意抽取一件，发现是次品。而工厂规定，出现一件次品罚款69元。请问这69元该谁出？解：概率论与数理统计156节共54页，您现在浏览的是第43页!例4某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大?则表示“抽查的人不患癌症”.解设A＝{抽查的人患有癌症}，

B＝{试验结果是阳性}，所求为P(A|B).已知P(A)＝0.005,P(B|A)＝0.95,P()＝0.995,P(B|)＝0.04概率论与数理统计156节共54页，您现在浏览的是第44页!如果不做试验,抽查一人,他是患者的概率

P(A)=0.005患者阳性反应的概率是0.95，若试验后得阳性反应，则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为P(A|B)=0.1066这种试验对于诊断一个人是否患有癌症是有意义的从0.005增加到0.1066,将近增加约21倍.1.这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？概率论与数理统计156节共54页，您现在浏览的是第45页!下面我们再回过头来看一下全概率公式和贝叶斯公式概率论与数理统计156节共54页，您现在浏览的是第46页!已知：用全概率公式求：用贝叶斯公式求先验概率后验概率概率论与数理统计156节共54页，您现在浏览的是第47页!P(Ai)是在没有进一步信息（不知道事件B是否发生）的情况下，人们对事件Ai发生的可能性大小的认识.当有了新的信息（知道B发生），人们对事件Ai发生的可能性大小有了新的估计，这就是P(Ai|B).贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。P(Ai|B)P(Ai)概率论与数理统计156节共54页，您现在浏览的是第48页!

在不了解案情细节(事件B)的情况下，侦破人员根据过去的前科，对他们作案的可能性有一个估计。比如原来认为作案可能性最小的丙，现在变成了重点嫌疑犯.丙乙甲P(A1)P(A2)P(A3)但在知道案情细节后(知道B发生后),这个估计就有了变化.P(A1|B)P(A2

|B)P(A3|B)最大最小再如：某地发生了一个