人教版七年级上册角(四)课件

角（四）角（四）1ACBACB∠A+∠B=90°问题1图中的∠A和∠B有怎样的数量关系？

引入新知ACBACB∠A+∠B=90°问题1图中的∠A和∠B有怎2

引入新知12∠1+∠2=90°测量问题2图中的∠1和∠2有怎样的数量关系？引入新知12∠1+∠2=90°测量问题2图中3

引入新知

下面每个图中的两个角也满足度数的和为

.引入新知下面每个图中的两个角也满足度数的和为4∠ACB=∠1+∠2=;（2）能试着画出∠1的余角吗？（1）∠1的余角是多少度？证明：因为∠1与∠2互余,（1）余角是指两个角的关系；解：因为点A，O，B在同一直线上，因为∠1+∠2=，∠3+∠4=，例2一个角比它的余角大，求这个角的度数.如果两个角的和等于90º（直角），就说这两个角互为余角，其中一个角是另一个角的余角.已知：∠1与∠2互余，∠1与∠3互余，所以∠1+∠2=.例3如图，点A，O，B在同一直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，问题：如果∠1+∠2=，∠3+∠4=，和为的两个角互为余角.因为在直角三角形ABC中，（1）∠1的余角是多少度？和为的两个角互为余角.如果两个角的和等于90º（直角），就说这两个角互为余角，其中一个角是另一个角的余角.

学习新知因为∠1+∠2=，所以∠1与∠2互为余角.因为∠1与∠2互为余角，所以∠1+∠2=.12如图，∠ACB=∠1+∠2=;如果两个角的和等于95

学习新知注意：（1）余角是指两个角的关系；（2）余角只考虑两个角的数量关系，与位置无关.12学习新知注意：（1）余角是指两个角的关系；126

探究性质问题3

如图，已知∠1=，

（1）∠1的余角是多少度？

（2）能试着画出∠1的余角吗？探究性质问题3如图，已知∠1=，7问题3

如图，已知∠1=，

（1）∠1的余角是多少度？

（2）能试着画出∠1的余角吗？

探究性质问题3如图，已知∠1=，探究性质8

探究性质思考：∠1与∠2互为余角，∠1与∠3互为余角，那么∠2与∠3有怎样的数量关系呢？你能证明这个结论吗？探究性质思考：∠1与∠2互为余角，∠1与∠3互为余角，你能9已知：∠1与∠2互余，∠1与∠3互余，求证：∠2=∠3.证明：因为∠1与∠2互余,

所以∠1+∠2=,

所以∠2=－∠1.

同理，因为∠1与∠3互余,

所以∠1+∠3=,

所以∠3=－∠1.

由等式性质可得

∠2=∠3.思考：∠1与∠2互为余角，∠1与∠3互为余角，那么∠2与∠3有怎样的数量关系呢？已知：∠1与∠2互余，∠1与∠3互余，证明：因为∠1与∠2互10同角的余角相等.

探究性质因为∠1+∠2=，∠1+∠3=，所以∠2=∠3.问题：如果∠1+∠2=，∠3+∠4=，且∠1=∠3，那么∠2=∠4吗？同角的余角相等.探究性质因为∠1+∠2=11

探究性质性质：同角（等角）的余角相等.因为∠1+∠2=，∠3+∠4=，且∠1=∠3，所以∠2=∠4.等角的余角相等.探究性质性质：同角（等角）的余角相等.因为∠1+∠2=12分析：因为∠α与∠β互为余角，

所以根据余角的定义，可得∠α+∠β=，

所以∠β=－∠α，

因为∠α＝

，所以可求出∠β的度数.

应用新知分析：因为∠α与∠β互为余角，应用新知13

应用新知应用新知14例2一个角比它的余角大

，求这个角的度数.分析：设这个角为

.

根据余角的定义，它的余角表示为，

题目中的数量关系：这个角=它的余角+.

应用新知例2一个角比它的余角大，求这个角的度数.15例2一个角比它的余角大

，求这个角的度数.

应用新知解：设这个角为

，依题意得：

x=90－x+10

x=50答：这个角为.例2一个角比它的余角大，求这个角的度数.16例3

如图，点A，O，B在同一直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，（1）求∠DOE的度数；分析：∠AOC+∠BOC=;例3如图，点A，O，B在同一直线上，射线OD和射线OE分17又因为射线OD和射线OE分别如果两个角的和等于90º（直角），就说这两个角互为余角，其中一个角是另一个角的余角.例2一个角比它的余角大，求这个角的度数.因为∠1+∠2=，∠3+∠4=，因为∠ADC=，∠ACB=∠1+∠2=;如果两个角的和等于90º（直角），就说这两个角互为余角，其中一个角是另一个角的余角.和为的两个角互为余角.∠ACB=，所以∠A+∠B=，例3如图，点A，O，B在同一直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，（2）图中哪些角互为余角?∠ACB=∠1+∠2=;∠ADC=，∠1=，求∠B的度数.所以∠β=－∠α，所以∠B=∠1=55°例2一个角比它的余角大，求这个角的度数.（1）求∠DOE的度数;如果两个角的和等于90º（直角），就说这两个角互为余角，其中一个角是另一个角的余角.那么∠2与∠3有怎样的数量关系呢？例3

如图，点A，O，B在同一直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，（1）求∠DOE的度数;解：因为点A，O，B在同一直线上，所以∠AOC+∠BOC=.

又因为射线OD和射线OE分别

平分∠AOC和∠BOC，

所以

所以∠DOE=.又因为射线OD和射线OE分别例3如图，点A，O，B在同一18和为的两个角互为余角.所以∠DOE=.因为∠ADC=，（1）∠1的余角是多少度？所以∠1+∠2=.因为∠1与∠2互为余角，∠ACB=∠1+∠2=;解：因为点A，O，B在同一直线上，所以∠1+∠3=,所以∠1+∠2=.分析：设这个角为.因为∠1+∠2=，∠3+∠4=，问题3如图，已知∠1=，（2）余角只考虑两个角的数量关系，与位置无关.由等式性质可得∠2=∠3.所以∠1+∠2=.∠ADC=，∠1=，求∠B的度数.因为∠1与∠2互为余角，例3

如图，点A，O，B在同一直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，（2）图中哪些角互为余角?

解：∠COD+∠COE=;∠AOD+∠BOE=;∠AOD+∠COE=;∠COD+∠BOE=.和为的两个角互为余角.例3如图，点A，O，19和为的两个角互为余角.因为∠1+∠2=，所以∠1与∠2互为余角.因为∠1与∠2互为余角，所以∠1+∠2=.12

1.余角的概念

课堂小结和为的两个角互为余角.因为∠1+∠220同角（等角）的余角相等.因为∠1+∠2=，∠1+∠3=，所以∠2=∠3.因为∠1+∠2=，∠3+∠4=，且∠1=∠3，所以∠2=∠4.

2.余角的性质

课堂小结同角（等角）的余角相等.因为∠1+∠2=，∠1+21如图，三角形ABC中，∠ACB=，∠ADC=，∠1=，求∠B的度数.

课后思考35°分析：∠ACB=∠1+∠2=

;∠ADC=∠BDC=

.如图，三角形ABC中，∠ACB=，课后思考2235°55°因为在直角三角形ACD中，∠ADC=，∠1=，所以∠A=，又在直角三角形ABC中,

∠ACB=，所以∠B=.解：如图，三角形ABC中，∠ACB=，∠ADC=，∠1=，求∠B的度数.35°55°因为在直角三角形ACD中，∠ADC=23∠ACB=，所以∠A+∠B=，因为∠1与∠2互为余角，因为∠1与∠2互为余角，如图，三角形ABC中，∠ACB=，∠ACB=，所以∠A+∠B=，如图，三角形ABC中，∠ACB=，所以∠1+∠2=.由等式性质可得∠2=∠3.那么∠2与∠3有怎样的数量关系呢？（1）∠1的余角是多少度？分析：因为∠α与∠β互为余角，因为∠ADC=，（2）余角只考虑两个角的数量关系，与位置无关.同角（等角）的余角相等.分析：设这个角为.如图，三角形ABC中，∠ACB=，（1）求∠DOE的度数;所以∠B=∠1=.分析：∠A+∠B=90°∠A+∠1=90°所以∠B=∠1=55°如图，三角形ABC中，∠ACB=，∠ADC=，∠1=，求∠B的度数.∠ACB=，所以∠A+∠B=，分24因为在直角三角形ABC中，∠ACB=，所以∠A+∠B=，因为∠ADC=，所以∠A+∠1=，所以∠B=∠1=.解：如图，三角形ABC中，∠ACB=，∠ADC=，∠1=，求∠B的度数.因为在直角三角形ABC中，因为∠ADC=，所25因为∠1+∠2=，∠3+∠4=，∠ADC=∠BDC=.（2）能试着画出∠1的余角吗？如果两个角的和等于90º（直角），就说这两个角互为余角，其中一个角是另一个角的余角.因为∠ADC=，和为的两个角互为余角.和为的两个角互为余角.且∠1=∠3，那么∠2=∠4吗？平分∠AOC和∠BOC，例2一个角比它的余角大，求这个角的度数.∠ADC=，∠1=，求∠B的度数.又因为射线OD和射线OE分别如图，三角形ABC中，∠ACB=，所以∠1+∠2=.所以∠1+∠2=,因为∠1+∠2=，∠1+∠3=，所以∠A=，同角的余角相等.∠A+∠B=90°∠A+∠1=90°∠B+∠2=90°∠1+∠2=90°图中互余的角有哪些?相等的角有哪些?

如图，三角形ABC中，∠ACB=，∠ADC=，∠1=，求∠B的度数.因为∠1+∠2=，∠3+∠4=，∠A26所以∠1+∠2=.如图，三角形ABC中，∠ACB=，等角的余角相等.答：这个角为.和为的两个角互为余角.所以∠B=∠1=55°问题：如果∠1+∠2=，∠3+∠4=，解：设这个角为，依题意得：平分∠AOC和∠BOC，由等式性质可得∠2=∠3.例2一个角比它的余角大，求这个角的度数.∠AOD+∠BOE=;问题：如果∠1+∠2=，∠3+∠4=，所以∠3=－∠1.∠ACB=∠1+∠2=;因为∠1+∠2=，∠3+∠4=，所以∠B=.（1）∠1的余角是多少度？图中互余的角有哪些?相等的角有哪些?

∠1=∠B∠A=∠2∠ACB=∠ADC=∠BDC=90°如图，三角形ABC中，∠ACB=，∠ADC=，∠1=，求∠B的度数.所以∠1+∠2=.图中互余的角有哪些?相等的角27角（四）角（四）28ACBACB∠A+∠B=90°问题1图中的∠A和∠B有怎样的数量关系？

引入新知ACBACB∠A+∠B=90°问题1图中的∠A和∠B有怎29

引入新知12∠1+∠2=90°测量问题2图中的∠1和∠2有怎样的数量关系？引入新知12∠1+∠2=90°测量问题2图中30

引入新知

下面每个图中的两个角也满足度数的和为

.引入新知下面每个图中的两个角也满足度数的和为31∠ACB=∠1+∠2=;（2）能试着画出∠1的余角吗？（1）∠1的余角是多少度？证明：因为∠1与∠2互余,（1）余角是指两个角的关系；解：因为点A，O，B在同一直线上，因为∠1+∠2=，∠3+∠4=，例2一个角比它的余角大，求这个角的度数.如果两个角的和等于90º（直角），就说这两个角互为余角，其中一个角是另一个角的余角.已知：∠1与∠2互余，∠1与∠3互余，所以∠1+∠2=.例3如图，点A，O，B在同一直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，问题：如果∠1+∠2=，∠3+∠4=，和为的两个角互为余角.因为在直角三角形ABC中，（1）∠1的余角是多少度？和为的两个角互为余角.如果两个角的和等于90º（直角），就说这两个角互为余角，其中一个角是另一个角的余角.

学习新知因为∠1+∠2=，所以∠1与∠2互为余角.因为∠1与∠2互为余角，所以∠1+∠2=.12如图，∠ACB=∠1+∠2=;如果两个角的和等于932

学习新知注意：（1）余角是指两个角的关系；（2）余角只考虑两个角的数量关系，与位置无关.12学习新知注意：（1）余角是指两个角的关系；1233

探究性质问题3

如图，已知∠1=，

（1）∠1的余角是多少度？

（2）能试着画出∠1的余角吗？探究性质问题3如图，已知∠1=，34问题3

如图，已知∠1=，

（1）∠1的余角是多少度？

（2）能试着画出∠1的余角吗？

探究性质问题3如图，已知∠1=，探究性质35

探究性质思考：∠1与∠2互为余角，∠1与∠3互为余角，那么∠2与∠3有怎样的数量关系呢？你能证明这个结论吗？探究性质思考：∠1与∠2互为余角，∠1与∠3互为余角，你能36已知：∠1与∠2互余，∠1与∠3互余，求证：∠2=∠3.证明：因为∠1与∠2互余,

所以∠1+∠2=,

所以∠2=－∠1.

同理，因为∠1与∠3互余,

所以∠1+∠3=,

所以∠3=－∠1.

由等式性质可得

∠2=∠3.思考：∠1与∠2互为余角，∠1与∠3互为余角，那么∠2与∠3有怎样的数量关系呢？已知：∠1与∠2互余，∠1与∠3互余，证明：因为∠1与∠2互37同角的余角相等.

探究性质因为∠1+∠2=，∠1+∠3=，所以∠2=∠3.问题：如果∠1+∠2=，∠3+∠4=，且∠1=∠3，那么∠2=∠4吗？同角的余角相等.探究性质因为∠1+∠2=38

探究性质性质：同角（等角）的余角相等.因为∠1+∠2=，∠3+∠4=，且∠1=∠3，所以∠2=∠4.等角的余角相等.探究性质性质：同角（等角）的余角相等.因为∠1+∠2=39分析：因为∠α与∠β互为余角，

所以根据余角的定义，可得∠α+∠β=，

所以∠β=－∠α，

因为∠α＝

，所以可求出∠β的度数.

应用新知分析：因为∠α与∠β互为余角，应用新知40

应用新知应用新知41例2一个角比它的余角大

，求这个角的度数.分析：设这个角为

.

根据余角的定义，它的余角表示为，

题目中的数量关系：这个角=它的余角+.

应用新知例2一个角比它的余角大，求这个角的度数.42例2一个角比它的余角大

，求这个角的度数.

应用新知解：设这个角为

，依题意得：

x=90－x+10

x=50答：这个角为.例2一个角比它的余角大，求这个角的度数.43例3

如图，点A，O，B在同一直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，（1）求∠DOE的度数；分析：∠AOC+∠BOC=;例3如图，点A，O，B在同一直线上，射线OD和射线OE分44又因为射线OD和射线OE分别如果两个角的和等于90º（直角），就说这两个角互为余角，其中一个角是另一个角的余角.例2一个角比它的余角大，求这个角的度数.因为∠1+∠2=，∠3+∠4=，因为∠ADC=，∠ACB=∠1+∠2=;如果两个角的和等于90º（直角），就说这两个角互为余角，其中一个角是另一个角的余角.和为的两个角互为余角.∠ACB=，所以∠A+∠B=，例3如图，点A，O，B在同一直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，（2）图中哪些角互为余角?∠ACB=∠1+∠2=;∠ADC=，∠1=，求∠B的度数.所以∠β=－∠α，所以∠B=∠1=55°例2一个角比它的余角大，求这个角的度数.（1）求∠DOE的度数;如果两个角的和等于90º（直角），就说这两个角互为余角，其中一个角是另一个角的余角.那么∠2与∠3有怎样的数量关系呢？例3

如图，点A，O，B在同一直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，（1）求∠DOE的度数;解：因为点A，O，B在同一直线上，所以∠AOC+∠BOC=.

又因为射线OD和射线OE分别

平分∠AOC和∠BOC，

所以

所以∠DOE=.又因为射线OD和射线OE分别例3如图，点A，O，B在同一45和为的两个角互为余角.所以∠DOE=.因为∠ADC=，（1）∠1的余角是多少度？所以∠1+∠2=.因为∠1与∠2互为余角，∠ACB=∠1+∠2=;解：因为点A，O，B在同一直线上，所以∠1+∠3=,所以∠1+∠2=.分析：设这个角为.因为∠1+∠2=，∠3+∠4=，问题3如图，已知∠1=，（2）余角只考虑两个角的数量关系，与位置无关.由等式性质可得∠2=∠3.所以∠1+∠2=.∠ADC=，∠1=，求∠B的度数.因为∠1与∠2互为余角，例3

如图，点A，O，B在同一直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，（2）图中哪些角互为余角?

解：∠COD+∠COE=;∠AOD+∠BOE=;∠AOD+∠COE=;∠COD+∠BOE=.和为的两个角互为余角.例3如图，点A，O，46和为的两个角互为余角.因为∠1+∠2=，所以∠1与∠2互为余角.因为∠1与∠2互为余角，所以∠1+∠2=.12

1.余角的概念

课堂小结和为的两个角互为余角.因为∠1+∠247同角（等角）的余角相等.因为∠1+∠2=，∠1+∠3=，所以∠2=∠3.因为∠1+∠2=，∠3+∠4=，且∠1=∠3，所以∠2=∠4.

2.余角的性质

课堂小结同角（等角）的余角相等.因为∠1+∠2=，∠1+48如图，三角形ABC中，∠ACB=，∠ADC=，∠1=，求∠B的度数.

课后思考35°分析：∠ACB=∠1+∠2=

;∠ADC=∠BDC=

.如图，三角形ABC中，∠ACB=，课后思考4935°55°因为在直角三角形ACD中，∠ADC=，∠1=，所以∠A=，又在直角三角形ABC中,

∠ACB=，所以∠B=.解：如图，三角形ABC中，∠ACB=，∠ADC=，∠1=，求∠B的度数.35°55°因为在直角三角形ACD中，∠ADC=50∠ACB=，所以∠A+∠B=，因为∠1与∠2互为余角，因为∠1与∠2互为余角，如图，三角形ABC中，∠ACB=，∠ACB=，所以∠A+∠B=，如图，三角形ABC中，∠ACB=，所以∠1+∠2=.由等式性质可得∠2=∠3.那么∠2与∠3有怎样的数量关系呢？（1）∠1的余角是多少度？分析：因为∠α与∠β互为余角，因为∠ADC=，（2）余角只考虑两个角的数量关系，与位置无关.同角（等角）的余角相等.分析：设这个角为.如图，三角形ABC中，∠ACB=，（1）求∠DOE的度数;所以∠B=∠1=.分析：∠A+∠B=90°∠A+∠1=90°所以∠B=∠1=55°如图，三角形ABC中，∠ACB=，∠ADC=，∠1=，求∠B的度数.∠ACB=，所以∠A+∠B=，分51因为在直角三角形ABC中，∠ACB=