人教版八年级上册课题学习最短路径问题课件

13.4

课题学习最短路径问题13.4课题学习最短路径问题1

如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？

两点之间,线段最短①②③如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最2(Ⅰ)两点在一条直线异侧已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。

P连接AB,线段AB与直线L的交点P，就是所求。(Ⅰ)两点在一条直线异侧已知：如图，A，B在直线L的两侧，在3思考？？？为什么这样做就能得到最短距离呢？根据：两点之间线段最短.思考？？？根据：两点之间线段最短.4如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？P所以泵站建在点P可使输气管线最短应用如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵5问题1

相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：

从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？探索新知BAl问题1相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久探索新知BA6追问1

这是一个实际问题，你打算首先做什么？将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．探索新知B··Al追问1这是一个实际问题，你打算首先做什么？将A，7（1）从A地出发，到河边l饮马，然后到B地；（2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B连接起来的两条线段的长度之和，就是从A地到饮马地点，再回到B地的路程之和；

探索新知追问2

你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？人教版八年级上册课题学习最短路径问题课件人教版八年级上册课题学习最短路径问题课件（1）从A地出发，到河边l饮马，然后到B地；探索新知8探索新知

追问2

你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C在l的什么位置时，

AC与CB的和最小（如图）．BAlC人教版八年级上册课题学习最短路径问题课件人教版八年级上册课题学习最短路径问题课件探索新知追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思，（39

追问1

对于问题2，如何将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等？探索新知

问题2

如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？B·lA·人教版八年级上册课题学习最短路径问题课件人教版八年级上册课题学习最短路径问题课件追问1对于问题2，如何探索新知问题2如图，点A10

追问2

你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？探索新知

问题2

如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？

B·lA·人教版八年级上册课题学习最短路径问题课件人教版八年级上册课题学习最短路径问题课件追问2你能利用轴对称的探索新知问题2如图，点A11作法：（1）作点B关于直线l的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．探索新知问题2

如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？B·lA·B′C人教版八年级上册课题学习最短路径问题课件人教版八年级上册课题学习最短路径问题课件作法：探索新知问题2如图，点A，B在直线l的12探索新知问题3

你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？B·lA·B′C人教版八年级上册课题学习最短路径问题课件人教版八年级上册课题学习最短路径问题课件探索新知问题3你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？13证明：如图，在直线l上任取一点C′（与点C不重合），连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，

BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′

=AC′+B′C′．在△AB′C′中，

AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即AC+BC最短．探索新知问题3

你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？B·lA·B′CC′人教版八年级上册课题学习最短路径问题课件人教版八年级上册课题学习最短路径问题课件证明：如图，在直线l上任取一点C′（与点C不探索新知14若直线l上任意一点（与点C不重合）与A，B两点的距离和都大于AC+BC，就说明AC+BC最小．探索新知B·lA·B′CC′追问1

证明AC+BC最短时，为什么要在直线l上任取一点C′（与点C不重合），证明AC+BC＜AC′+BC′？这里的“C′”的作用是什么？人教版八年级上册课题学习最短路径问题课件人教版八年级上册课题学习最短路径问题课件若直线l上任意一点（与点探索新知B·lA·B′CC′15探索新知追问2

回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？B·lA·B′CC′人教版八年级上册课题学习最短路径问题课件人教版八年级上册课题学习最短路径问题课件探索新知追问2回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的B16

问题：如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短．练习请你自己动手试一试！人教版八年级上册课题学习最短路径问题课件人教版八年级上册课题学习最短路径问题课件问题：如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居17(Ⅲ)一点在两直线内部已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.BCDE分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小

人教版八年级上册课题学习最短路径问题课件人教版八年级上册课题学习最短路径问题课件(Ⅲ)一点在两直线内部BCDE分析：当AB、BC和AC三条边18(Ⅲ)一点在两相交直线内部已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；连接A′，A″，分别交OM，ON于点B、点C，则点B、点C即为所求人教版八年级上册课题学习最短路径问题课件人教版八年级上册课题学习最短路径问题课件(Ⅲ)一点在两相交直线内部分别作点A关于OM，ON的对称点A193.某班举行晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？

作法：1.作点C关于直线

OA

的对称点点D,2.作点C关于直线

OB

的对称点点E,

3.连接DE分别交直线OA.OB于点M.N，则CM+MN+CN最短AOBＣ.

.EDMNGH人教版八年级上册课题学习最短路径问题课件人教版八年级上册课题学习最短路径问题课件3.某班举行晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO，BO)，AO204.如图：C为马厩，D为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。作法：1.作点C关于直线

OA

的对称点点F,2.作点D关于直线

OB

的对称点点E,

3.连接EF分别交直线OA.OB于点G.H，则CG+GH+DH最短FAOBD

··CEGH人教版八年级上册课题学习最短路径问题课件人教版八年级上册课题学习最短路径问题课件4.如图：C为马厩，D为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，21ABA/B/PQ最短路线：APQBlMN人教版八年级上册课题学习最短路径问题课件人教版八年级上册课题学习最短路径问题课件ABA/B/PQ最短路线：APQBlMN人22证明：在直线OA

上另外任取一点G，连接…∵点F,点C关于直线OA对称，点G.M在OA上，∴GF=GC,FM=CM,

同理HD=HE，ND=NE,∴CM+MN+ND=FM+MN+NE=FE,CG+GH+HD=FG+GH+HE,在四边形EFGH中，∵FG+GH+HE＞FE（两点之间，线段最短），即CG+GH+HD＞CM+MN+ND

即CM+MN+ND最短FAOBD

··CEMNGH人教版八年级上册课题学习最短路径问题课件人教版八年级上册课题学习最短路径问题课件FAOBD··CEMNGH人教版八年级上册课题学习最2313.4

课题学习最短路径问题13.4课题学习最短路径问题24

如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？

两点之间,线段最短①②③如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最25(Ⅰ)两点在一条直线异侧已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。

P连接AB,线段AB与直线L的交点P，就是所求。(Ⅰ)两点在一条直线异侧已知：如图，A，B在直线L的两侧，在26思考？？？为什么这样做就能得到最短距离呢？根据：两点之间线段最短.思考？？？根据：两点之间线段最短.27如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？P所以泵站建在点P可使输气管线最短应用如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵28问题1

相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：

从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？探索新知BAl问题1相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久探索新知BA29追问1

这是一个实际问题，你打算首先做什么？将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．探索新知B··Al追问1这是一个实际问题，你打算首先做什么？将A，30（1）从A地出发，到河边l饮马，然后到B地；（2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B连接起来的两条线段的长度之和，就是从A地到饮马地点，再回到B地的路程之和；

探索新知追问2

你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？人教版八年级上册课题学习最短路径问题课件人教版八年级上册课题学习最短路径问题课件（1）从A地出发，到河边l饮马，然后到B地；探索新知31探索新知

追问2

你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C在l的什么位置时，

AC与CB的和最小（如图）．BAlC人教版八年级上册课题学习最短路径问题课件人教版八年级上册课题学习最短路径问题课件探索新知追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思，（332

追问1

对于问题2，如何将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等？探索新知

问题2

如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？B·lA·人教版八年级上册课题学习最短路径问题课件人教版八年级上册课题学习最短路径问题课件追问1对于问题2，如何探索新知问题2如图，点A33

追问2

你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？探索新知

问题2

如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？

B·lA·人教版八年级上册课题学习最短路径问题课件人教版八年级上册课题学习最短路径问题课件追问2你能利用轴对称的探索新知问题2如图，点A34作法：（1）作点B关于直线l的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．探索新知问题2

如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？B·lA·B′C人教版八年级上册课题学习最短路径问题课件人教版八年级上册课题学习最短路径问题课件作法：探索新知问题2如图，点A，B在直线l的35探索新知问题3

你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？B·lA·B′C人教版八年级上册课题学习最短路径问题课件人教版八年级上册课题学习最短路径问题课件探索新知问题3你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？36证明：如图，在直线l上任取一点C′（与点C不重合），连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，

BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′

=AC′+B′C′．在△AB′C′中，

AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即AC+BC最短．探索新知问题3

你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？B·lA·B′CC′人教版八年级上册课题学习最短路径问题课件人教版八年级上册课题学习最短路径问题课件证明：如图，在直线l上任取一点C′（与点C不探索新知37若直线l上任意一点（与点C不重合）与A，B两点的距离和都大于AC+BC，就说明AC+BC最小．探索新知B·lA·B′CC′追问1

证明AC+BC最短时，为什么要在直线l上任取一点C′（与点C不重合），证明AC+BC＜AC′+BC′？这里的“C′”的作用是什么？人教版八年级上册课题学习最短路径问题课件人教版八年级上册课题学习最短路径问题课件若直线l上任意一点（与点探索新知B·lA·B′CC′38探索新知追问2

回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？B·lA·B′CC′人教版八年级上册课题学习最短路径问题课件人教版八年级上册课题学习最短路径问题课件探索新知追问2回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的B39

问题：如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短．练习请你自己动手试一试！人教版八年级上册课题学习最短路径问题课件人教版八年级上册课题学习最短路径问题课件问题：如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居40(Ⅲ)一点在两直线内部已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.BCDE分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小

人教版八年级上册课题学习最短路径问题课件人教版八年级上册课题学习最短路径问题课件(Ⅲ)一点在两直线内部BCDE分析：当AB、BC和AC三条边41(Ⅲ)一点在两相交直线内部已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；连接A′，A″，分别交OM，ON于点B、点C，则点B、点C即为所求人教版八年级上册课题学习最短路径问题课件人教版八年级上册课题学习最短路径问题课件(Ⅲ)一点在两相交直线内部分别作点A关于OM，ON的对称点A423.某班举行晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？

作法：1.作点C关于直线

OA

的对称点点D,