《高等数学》第四章不定积分课件

10十二月20221高等数学多媒体课件牛顿（Newton）莱布尼兹（Leibniz）10十二月20221高等数学多媒体课件牛顿（Newton10十二月20222微分法:积分法:互逆运算第四章不定积分（IndefiniteIntegrals）10十二月20222微分法:积分法:互逆运算第四章10十二月20223主要内容第一节不定积分的概念与性质第二节换元积分法第三节分部积分法第四节几种特殊类型函数的积分第五节积分表的使用10十二月20223主要内容第一节不定积分的概10十二月20224第一节不定积分的概念与性质

第四章一、原函数与不定积分的概念二、基本积分表（ConceptionsandpropertiesofIndefiniteIntegrals）三、不定积分的性质四、小结与思考题10十二月20224第一节不定积分的概念与性质10十二月20225一、原函数与不定积分的概念(PrimitiveFunctionandtheIndefiniteIntegral)定义1

若在区间I

上定义的两个函数F(x)及f(x)满足在区间

I

上的一个原函数

.则称F(x)为f(x)例如,的原函数有问题:1.在什么条件下,一个函数的原函数存在?2.若原函数存在,它如何表示?10十二月20225一、原函数与不定积分的概念(Prim10十二月20226

定理1（原函数存在定理）

存在原函数.(下章证明)初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数10十二月20226定理1（原函数存在定理）存在原函10十二月20227原函数都在函数族(C为任意常数)内.证:1)又知故即属于函数族即定理210十二月20227原函数都在函数族(C为任意常数10十二月20228在区间

I上的原函数全体称为上的不定积分,其中—积分号;—被积函数;—被积表达式.—积分变量;若则(C为任意常数)C

称为积分常数不可丢!例如,记作定义210十二月20228在区间I上的原函数全体称为上的不10十二月20229的原函数的图形称为的图形的所有积分曲线组成的平行曲线族.的积分曲线

.不定积分的几何意义:10十二月20229的原函数的图形称为的图形的所有积分曲10十二月202210二、基本积分表从不定积分定义可知:或或利用逆向思维(k

为常数)10十二月202210二、基本积分表从不定积分定义可知10十二月202211或或10十二月202211或或10十二月20221210十二月20221210十二月202213解:

原式=例2（补充题）求解:

原式=例1（课本例5）求10十二月202213解:原式=例2（补充题）10十二月202214三、不定积分的性质(PropertiesoftheIndefiniteIntegral)推论:

若则10十二月202214三、不定积分的性质(Propert10十二月202215解:

原式=例3

（补充题）求10十二月202215解:原式=例3（补充题）求10十二月202216解:

原式=例5（课本例8）求解:

原式=例4（补充题）

求10十二月202216解:原式=例5（课本例810十二月202217解：10十二月202217解：10十二月202218内容小结1.不定积分的概念•原函数与不定积分的定义•不定积分的性质•基本积分表2.直接积分法:利用恒等变形,及基本积分公式进行积分.常用恒等变形方法分项积分加项减项利用三角公式,代数公式,积分性质10十二月202218内容小结1.不定积分的概念•原10十二月202219课后练习习题4-11（偶数题）；3思考与练习1.

若提示:10十二月202219课后练习习题4-11（10十二月202220是的原函数,则提示:已知2.

若10十二月202220是的原函数,则提示:已知2.10十二月202221的导函数为则的一个原函数是().提示:已知求即B??或由题意其原函数为3.

若10十二月202221的导函数为则的一个原函数是(10十二月202222提示:4.

求下列积分:10十二月202222提示:4.求下列积分:10十二月202223解：5.

求不定积分10十二月202223解：5.求不定积分10十二月202224求A,B.解:

等式两边对x

求导,得6.

已知10十二月202224求A,B.解:等式两边10十二月202225复习引入(Introduction)在上次课中，我们学习了“不定积分的概念和性质”给出了“基本积分公式表”。但是，对于形如这样的积分，利用不定积分的性质和基本积分公式表我们就无能为力了。为此，……10十二月202225复习引入(Introduction10十二月202226第二节换元积分法(1)

第四章一、第一类换元积分法二、第二类换元积分法（IntegrationbySubstitution）三、小结与思考题10十二月202226第二节换元积分法(1)第10十二月202227第二类换元法第一类换元法设可导,则有基本思路10十二月202227第二类换元法第一类换元法设可导,则10十二月202228一、第一类换元积分法定理1

则有换元公式(也称配元法,凑微分法)10十二月202228一、第一类换元积分法定理1则有换10十二月202229提示：令例1

求例2

求提示：令例3（补充题）求解:

令则故原式

=10十二月202229提示：令例1求例2求提示10十二月202230例4

求答案：例5

求例6

求答案：例7

（补充题）求解:例8

（课本例7）求答案：10十二月202230例4求答案：例5求例610十二月202231万能凑幂法常用的几种配元形式:10十二月202231万能凑幂法常用的几种配元形式:10十二月202232解:

原式=例9（补充题）求10十二月202232解:原式=例9（补充题）求10十二月202233解:

原式=例11（补充题）求解:

原式=例10（补充题）

求自学课本例18～1910十二月202233解:原式=例11（补充题）求解10十二月202234解法1解法2两法结果一样例12（补充题）求10十二月202234解法1解法2两法结果一样例12（10十二月202235解法1例13（课本例14）求（与课本解法不一样）10十二月202235解法1例13（课本例14）求（10十二月202236同样可证或(课本例13)解法210十二月202236同样可证或(课本例13)解法10十二月202237解:

原式=例14（补充题）求10十二月202237解:原式=例14（补充题）求10十二月202238解:例15（补充题）求10十二月202238解:例15（补充题）求10十二月202239解:∴原式=例16（补充题）求10十二月202239解:∴原式=例16（补充题）求10十二月202240解:

原式=分析:

例17（补充题）求10十二月202240解:原式=分析:例17（补10十二月202241内容小结常用简化技巧:(1)分项积分:(2)降低幂次:(3)统一函数:利用三角公式;配元方法(4)巧妙换元或配元万能凑幂法利用积化和差;分式分项;利用倍角公式,如10十二月202241内容小结常用简化技巧:(1)分10十二月202242课后练习习题4-21；2（1）～（18）思考与练习1.

下列各题求积方法有何不同?10十二月202242课后练习习题4-21；2（110十二月202243提示:法1法2法32.

求10十二月202243提示:法1法2法32.求10十二月202244解:原式3.求10十二月202244解:原式3.求10十二月2022454.

求下列积分:10十二月2022454.求下列积分:10十二月202246求不定积分解：利用凑微分法,原式=令得5.10十二月202246求不定积分解：利用凑微分法,原式10十二月202247第二节换元积分法(2)

第四章一、第一类换元积分法二、第二类换元积分法（IntegrationbySubstitution）三、小结与思考题10十二月202247第二节换元积分法(2)第四10十二月202248二、第二类换元法第一类换元法解决的问题难求易求若所求积分易求,则用第二类换元积分法

.难求，10十二月202248二、第二类换元法第一类换元法解决的10十二月202249是单调可导函数,且具有原函数,证:令则则有换元公式定理2设10十二月202249是单调可导函数,且具有原函数10十二月202250解:

令则∴原式例1（课本例21）求10十二月202250解:令则∴原式例1（课本例210十二月202251解:

令则∴原式例2（课本例22）

求10十二月202251解:令则∴原式例2（课本例10十二月202252解:令则∴原式例3（课本例23）求10十二月202252解:令则∴原式例3（课本例210十二月202253令于是10十二月202253令于是10十二月202254被积函数含有时,除采用采用双曲代换：消去根式,所得结果一致.例如，或或三角代换外,还可利用公式：说明:中,令10十二月202254被积函数含有时,除采用采用双曲代10十二月202255原式解:

令则原式当

x<0时,类似可得同样结果.例4（补充题）求10十二月202255原式解:令则原式当x<010十二月202256例5（补充题）求令解：10十二月202256例5（补充题）求令解：10十二月2022571.第二类换元法常见类型:令令令或令或令或第四节讲小结:10十二月2022571.第二类换元法常见类型:10十二月202258(7)

分母中因子次数较高时,可试用倒代换

令2.常用基本积分公式的补充

10十二月202258(7)分母中因子次数较高时,10十二月20225910十二月20225910十二月202260解:

原式(补充公式(20))例7（补充题）求解:(补充公式(23))例6（课本例25）求10十二月202260解:原式(补充公式(20)10十二月202261解:

原式=(补充公式(22))例9

（补充题）求解:

原式(补充公式(22))例8（课本例27）求10十二月202261解:原式=(补充公式(2210十二月202262课后练习习题4-22（19）～（22）思考与练习1.

下列积分应如何换元才使积分简便?令令令10十二月202262课后练习习题4-22（1910十二月202263求解:

两边求导,得则(代回原变量)

2.

已知10十二月202263求解:两边求导,得则(代回10十二月2022643.求不定积分分子分母同除以解:令原式10十二月2022643.求不定积分分子分母同除以解:10十二月202265新课引入(Introduction)在前一节，我们利用复合函数的求到法则得到了“换元积分法”

。但是，对于形如的积分用直接积分法或换元积分法都无法计算.

注意到，这些积分的被积函数都有共同的特点——都是两种不同类型函数的乘积。这就启发我们把两个这就是另一个基本的积分方法：分部积分法.

函数乘积的微分法则反过来用于求这类不定积分，10十二月202265新课引入(Introduction10十二月202266积分得:分部积分公式或1)v容易求得;容易计算.由导数乘法公式：10十二月202266积分得:分部积分公式或1)v10十二月202267第三节分部积分法

第四章（IntegrationbyParts）例1

求解:

令则∴原式另解:令则∴原式10十二月202267第三节分部积分法第四章（10十二月202268解:

令则原式=例2求（课本例3）10十二月202268解:令则原式=例2求（课10十二月202269解:

令则∴原式例3求（课本例4）10十二月202269解:令则∴原式例3求（10十二月202270解:

令,则∴原式再令,则故原式=说明:

也可设为三角函数,但两次所设类型必须一致.例4

求（课本例7）10十二月202270解:令,则∴原式再令,10十二月202271把被积函数视为两个函数之积,按“反对幂指三”

的顺序,前者为后者为例5（补充题）求解:

令,则原式=反:反三角函数对:

对数函数幂:

幂函数指:

指数函数三:

三角函数解题技巧:（自学课本例5～6）10十二月202271把被积函数视为两个函数之积,按10十二月202272解:

令,则原式=例6（补充题）求10十二月202272解:令,则原式=例6（补充10十二月202273解:

令则原式令例7（课本例10）求10十二月202273解:令则原式令例7（课本例110十二月202274解:

令则得递推公式例8求（课本例9）10十二月202274解:令则得递推公式例8求（课10十二月202275递推公式已知利用递推公式可求得例如,说明:10十二月202275递推公式已知利用递推公式可求得例如10十二月202276分部积分题目的类型:1)直接分部化简积分;2)分部产生循环式,由此解出积分式;(注意:两次分部选择的u,v

函数类型不变,

解出积分后加

C)例43)对含自然数n

的积分,通过分部积分建立递推公式.说明:10十二月202276分部积分题目的类型:1)直接分10十二月202277的一个原函数是求解:说明:

此题若先求出再求积分反而复杂.例9已知（补充题）10十二月202277的一个原函数是求解:说明:此题10十二月202278解法1

先换元后分部令即则故例10求（补充题）10十二月202278解法1先换元后分部令即则故例10十二月202279解法2

用分部积分法10十二月202279解法2用分部积分法10十二月202280本节小结分部积分公式1.使用原则:易求出,易积分2.使用经验:“反对幂指三”

,前u

后3.题目类型:分部化简;循环解出;递推公式10十二月202280本节小结分部积分公式1.使用原则10十二月202281课后练习习题4-3（偶数题）思考与练习1.

下述运算错在哪里?应如何改正?得

0=1答:

不定积分是原函数族,相减不应为0.求此积分的正确作法是用换元法.10十二月202281课后练习习题4-3（偶数10十二月2022822.求不定积分解：方法1(先分部,再换元)令则10十二月2022822.求不定积分解：方法1(先分部10十二月202283方法2(先换元,再分部)令则故10十二月202283方法2(先换元,再分部)令则故10十二月2022843.求解:令则10十二月2022843.求解:令则10十二月2022854.证明递推公式证：注：或10十二月2022854.证明递推公式证：注：或10十二月202286第四节几种特殊类型函数的积分

第四章

基本积分法:直接积分法;换元积分法;分部积分法

初等函数求导初等函数积分（见本节第一段）一、有理函数的积分二、可化为有理函数的积分举例本节内容:（IntegrationofseveralkindsofSpecialFunctions）10十二月202286第四节几种特殊类型函数的积分10十二月202287一、有理函数的积分(IntegrationofRationalFunction)两个多项式的商表示的函数.有理函数的定义：10十二月202287一、有理函数的积分(Integr10十二月202288假定分子与分母之间没有公因式这有理函数是真分式；这有理函数是假分式；有理函数有以下性质：1）利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.例如，我们可将化为多项式与真分式之和10十二月202288假定分子与分母之间没有公因式这有理10十二月2022892）在实数范围内真分式总可以分解成几个最简式之和最简分式是下面两种形式的分式10十二月2022892）在实数范围内真分式总可以分解成10十二月202290（1）分母中若有因式，则分解后为3）有理函数化为部分分式之和的一般规律：（2）分母中若有因式，其中则分解后为10十二月202290（1）分母中若有因式10十二月202291

为了便于求积分，必须把真分式化为部分分式之和，同时要把上面的待定的常数确定，这种方法叫待定系数法例110十二月202291为了便于求积分，必须把真10十二月202292例2通分以后比较分子得：10十二月202292例2通分以后比较分子得：10十二月202293

我们也可以用赋值法来得到最简分式，比如前面的例2，两端去分母后得到10十二月202293我们也可以用赋值法来得10十二月202294例3整理得10十二月202294例3整理得10十二月202295例4

求积分解：例210十二月202295例4求积分解：例210十二月202296例5

求积分解：例310十二月202296例5求积分解：例310十二月202297解:

原式思考:

如何求提示:变形方法同例6,并利用第三节例9.例6求10十二月202297解:原式思考:如何求提示:10十二月202298注意：有理函数的积分就是对下列三类函数的积分：多项式；主要讨论（3）积分10十二月202298注意：有理函数的积分就是对下列三类10十二月202299其中并记令10十二月202299其中并记令10十二月2022100第三节例9结论：有理函数的原函数都是初等函数.10十二月2022100第三节例9结论：有理函数的原函10十二月2022101解:说明:

将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便,因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法.例7（补充题）

求10十二月2022101解:说明:将有理函数分解为部10十二月2022102解:

原式注意本题技巧按常规方法较繁例8（补充题）

求点击看“常规解法”10十二月2022102解:原式注意本题技巧按常规方10十二月2022103第一步令比较系数定a,b,c,d.得第二步化为部分分式.即令比较系数定A,B,C,D.第三步分项积分.此解法较繁!按常规方法解:10十二月2022103第一步令比较系数定a,10十二月2022104二、可化为有理函数的积分举例设表示三角函数有理式,令万能代换t

的有理函数的积分1.三角函数有理式的积分则10十二月2022104二、可化为有理函数的积分举例设10十二月202210510十二月202210510十二月2022106令10十二月2022106令10十二月2022107例9

（课本例5）求解：令则10十二月2022107例9（课本例5）求解：令则10十二月2022108例10（补充题）求解：一直做下去，一定可以积出来，只是太麻烦。

由此可以看出，万能代换法不是最简方法，能不用尽量不用。10十二月2022108例10（补充题）求解：一直做下10十二月2022109解:说明:

通常求含的积分时,往往更方便.的有理式用代换例11（1987.III)

求10十二月2022109解:说明:通常求含的积分时,10十二月2022110令令被积函数为简单根式的有理式,可通过根式代换化为有理函数的积分.例如:令2.简单无理函数的积分10十二月2022110令令被积函数为简单根式的有理式10十二月2022111解:

令则原式例12（课本例7）求10十二月2022111解:令则原式例12（课本10十二月2022112解:

为去掉被积函数分母中的根式,取根指数2,3的最小公倍数6,则有原式令例13求（自学课本例8）10十二月2022112解:为去掉被积函数分母中的根式10十二月2022113解:

令则原式例14求（自学课本例9）10十二月2022113解:令则原式例14求（自学10十二月2022114本节小结1.可积函数的特殊类型有理函数分解多项式及部分分式之和三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换2.特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定要注意综合使用基本积分法,简便计算.简便,10十二月2022114本节小结1.可积函数的特殊类型10十二月2022115课后练习习题4-4奇数题思考与练习1.如何求下列积分更简便?解:

（1）（2）原式10十二月2022115课后练习习题4-4奇数10十二月2022116解法1令原式2.求10十二月2022116解法1令原式2.求10十二月2022117解法2令原式2.求10十二月2022117解法2令原式2.求10十二月2022118解:

因被积函数关于cosx

为奇函数,可令原式3.

求10十二月2022118解:因被积函数关于cosx10十二月2022119第五节积分表的使用

第四章积分计算比导数计算灵活复杂,为提高求积分已把常用积分公式汇集成表,以备查用.见课本附录.积分表的结构:

按被积函数类型排列积分表的使用:1)注意公式的条件2)注意简单变形的技巧的效率,注:

很多不定积分也可通过Mathematica,Maple等数学软件的符号演算功能求得.10十二月2022119第五节积分表的使用第四10十二月202212010十二月202212010十二月202212110十二月202212110十二月202212210十二月202212210十二月202212310十二月202212310十二月2022124本节小结10十二月2022124本节小结10十二月2022125高等数学多媒体课件牛顿（Newton）莱布尼兹（Leibniz）10十二月20221高等数学多媒体课件牛顿（Newton10十二月2022126微分法:积分法:互逆运算第四章不定积分（IndefiniteIntegrals）10十二月20222微分法:积分法:互逆运算第四章10十二月2022127主要内容第一节不定积分的概念与性质第二节换元积分法第三节分部积分法第四节几种特殊类型函数的积分第五节积分表的使用10十二月20223主要内容第一节不定积分的概10十二月2022128第一节不定积分的概念与性质

第四章一、原函数与不定积分的概念二、基本积分表（ConceptionsandpropertiesofIndefiniteIntegrals）三、不定积分的性质四、小结与思考题10十二月20224第一节不定积分的概念与性质10十二月2022129一、原函数与不定积分的概念(PrimitiveFunctionandtheIndefiniteIntegral)定义1

若在区间I

上定义的两个函数F(x)及f(x)满足在区间

I

上的一个原函数

.则称F(x)为f(x)例如,的原函数有问题:1.在什么条件下,一个函数的原函数存在?2.若原函数存在,它如何表示?10十二月20225一、原函数与不定积分的概念(Prim10十二月2022130

定理1（原函数存在定理）

存在原函数.(下章证明)初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数10十二月20226定理1（原函数存在定理）存在原函10十二月2022131原函数都在函数族(C为任意常数)内.证:1)又知故即属于函数族即定理210十二月20227原函数都在函数族(C为任意常数10十二月2022132在区间

I上的原函数全体称为上的不定积分,其中—积分号;—被积函数;—被积表达式.—积分变量;若则(C为任意常数)C

称为积分常数不可丢!例如,记作定义210十二月20228在区间I上的原函数全体称为上的不10十二月2022133的原函数的图形称为的图形的所有积分曲线组成的平行曲线族.的积分曲线

.不定积分的几何意义:10十二月20229的原函数的图形称为的图形的所有积分曲10十二月2022134二、基本积分表从不定积分定义可知:或或利用逆向思维(k

为常数)10十二月202210二、基本积分表从不定积分定义可知10十二月2022135或或10十二月202211或或10十二月202213610十二月20221210十二月2022137解:

原式=例2（补充题）求解:

原式=例1（课本例5）求10十二月202213解:原式=例2（补充题）10十二月2022138三、不定积分的性质(PropertiesoftheIndefiniteIntegral)推论:

若则10十二月202214三、不定积分的性质(Propert10十二月2022139解:

原式=例3

（补充题）求10十二月202215解:原式=例3（补充题）求10十二月2022140解:

原式=例5（课本例8）求解:

原式=例4（补充题）

求10十二月202216解:原式=例5（课本例810十二月2022141解：10十二月202217解：10十二月2022142内容小结1.不定积分的概念•原函数与不定积分的定义•不定积分的性质•基本积分表2.直接积分法:利用恒等变形,及基本积分公式进行积分.常用恒等变形方法分项积分加项减项利用三角公式,代数公式,积分性质10十二月202218内容小结1.不定积分的概念•原10十二月2022143课后练习习题4-11（偶数题）；3思考与练习1.

若提示:10十二月202219课后练习习题4-11（10十二月2022144是的原函数,则提示:已知2.

若10十二月202220是的原函数,则提示:已知2.10十二月2022145的导函数为则的一个原函数是().提示:已知求即B??或由题意其原函数为3.

若10十二月202221的导函数为则的一个原函数是(10十二月2022146提示:4.

求下列积分:10十二月202222提示:4.求下列积分:10十二月2022147解：5.

求不定积分10十二月202223解：5.求不定积分10十二月2022148求A,B.解:

等式两边对x

求导,得6.

已知10十二月202224求A,B.解:等式两边10十二月2022149复习引入(Introduction)在上次课中，我们学习了“不定积分的概念和性质”给出了“基本积分公式表”。但是，对于形如这样的积分，利用不定积分的性质和基本积分公式表我们就无能为力了。为此，……10十二月202225复习引入(Introduction10十二月2022150第二节换元积分法(1)

第四章一、第一类换元积分法二、第二类换元积分法（IntegrationbySubstitution）三、小结与思考题10十二月202226第二节换元积分法(1)第10十二月2022151第二类换元法第一类换元法设可导,则有基本思路10十二月202227第二类换元法第一类换元法设可导,则10十二月2022152一、第一类换元积分法定理1

则有换元公式(也称配元法,凑微分法)10十二月202228一、第一类换元积分法定理1则有换10十二月2022153提示：令例1

求例2

求提示：令例3（补充题）求解:

令则故原式

=10十二月202229提示：令例1求例2求提示10十二月2022154例4

求答案：例5

求例6

求答案：例7

（补充题）求解:例8

（课本例7）求答案：10十二月202230例4求答案：例5求例610十二月2022155万能凑幂法常用的几种配元形式:10十二月202231万能凑幂法常用的几种配元形式:10十二月2022156解:

原式=例9（补充题）求10十二月202232解:原式=例9（补充题）求10十二月2022157解:

原式=例11（补充题）求解:

原式=例10（补充题）

求自学课本例18～1910十二月202233解:原式=例11（补充题）求解10十二月2022158解法1解法2两法结果一样例12（补充题）求10十二月202234解法1解法2两法结果一样例12（10十二月2022159解法1例13（课本例14）求（与课本解法不一样）10十二月202235解法1例13（课本例14）求（10十二月2022160同样可证或(课本例13)解法210十二月202236同样可证或(课本例13)解法10十二月2022161解:

原式=例14（补充题）求10十二月202237解:原式=例14（补充题）求10十二月2022162解:例15（补充题）求10十二月202238解:例15（补充题）求10十二月2022163解:∴原式=例16（补充题）求10十二月202239解:∴原式=例16（补充题）求10十二月2022164解:

原式=分析:

例17（补充题）求10十二月202240解:原式=分析:例17（补10十二月2022165内容小结常用简化技巧:(1)分项积分:(2)降低幂次:(3)统一函数:利用三角公式;配元方法(4)巧妙换元或配元万能凑幂法利用积化和差;分式分项;利用倍角公式,如10十二月202241内容小结常用简化技巧:(1)分10十二月2022166课后练习习题4-21；2（1）～（18）思考与练习1.

下列各题求积方法有何不同?10十二月202242课后练习习题4-21；2（110十二月2022167提示:法1法2法32.

求10十二月202243提示:法1法2法32.求10十二月2022168解:原式3.求10十二月202244解:原式3.求10十二月20221694.

求下列积分:10十二月2022454.求下列积分:10十二月2022170求不定积分解：利用凑微分法,原式=令得5.10十二月202246求不定积分解：利用凑微分法,原式10十二月2022171第二节换元积分法(2)

第四章一、第一类换元积分法二、第二类换元积分法（IntegrationbySubstitution）三、小结与思考题10十二月202247第二节换元积分法(2)第四10十二月2022172二、第二类换元法第一类换元法解决的问题难求易求若所求积分易求,则用第二类换元积分法

.难求，10十二月202248二、第二类换元法第一类换元法解决的10十二月2022173是单调可导函数,且具有原函数,证:令则则有换元公式定理2设10十二月202249是单调可导函数,且具有原函数10十二月2022174解:

令则∴原式例1（课本例21）求10十二月202250解:令则∴原式例1（课本例210十二月2022175解:

令则∴原式例2（课本例22）

求10十二月202251解:令则∴原式例2（课本例10十二月2022176解:令则∴原式例3（课本例23）求10十二月202252解:令则∴原式例3（课本例210十二月2022177令于是10十二月202253令于是10十二月2022178被积函数含有时,除采用采用双曲代换：消去根式,所得结果一致.例如，或或三角代换外,还可利用公式：说明:中,令10十二月202254被积函数含有时,除采用采用双曲代10十二月2022179原式解:

令则原式当

x<0时,类似可得同样结果.例4（补充题）求10十二月202255原式解:令则原式当x<010十二月2022180例5（补充题）求令解：10十二月202256例5（补充题）求令解：10十二月20221811.第二类换元法常见类型:令令令或令或令或第四节讲小结:10十二月2022571.第二类换元法常见类型:10十二月2022182(7)

分母中因子次数较高时,可试用倒代换

令2.常用基本积分公式的补充

10十二月202258(7)分母中因子次数较高时,10十二月202218310十二月20225910十二月2022184解:

原式(补充公式(20))例7（补充题）求解:(补充公式(23))例6（课本例25）求10十二月202260解:原式(补充公式(20)10十二月2022185解:

原式=(补充公式(22))例9

（补充题）求解:

原式(补充公式(22))例8（课本例27）求10十二月202261解:原式=(补充公式(2210十二月2022186课后练习习题4-22（19）～（22）思考与练习1.

下列积分应如何换元才使积分简便?令令令10十二月202262课后练习习题4-22（1910十二月2022187求解:

两边求导,得则(代回原变量)

2.

已知10十二月202263求解:两边求导,得则(代回10十二月20221883.求不定积分分子分母同除以解:令原式10十二月2022643.求不定积分分子分母同除以解:10十二月2022189新课引入(Introduction)在前一节，我们利用复合函数的求到法则得到了“换元积分法”

。但是，对于形如的积分用直接积分法或换元积分法都无法计算.

注意到，这些积分的被积函数都有共同的特点——都是两种不同类型函数的乘积。这就启发我们把两个这就是另一个基本的积分方法：分部积分法.

函数乘积的微分法则反过来用于求这类不定积分，10十二月202265新课引入(Introduction10十二月2022190积分得:分部积分公式或1)v容易求得;容易计算.由导数乘法公式：10十二月202266积分得:分部积分公式或1)v10十二月2022191第三节分部积分法

第四章（IntegrationbyParts）例1

求解:

令则∴原式另解:令则∴原式10十二月202267第三节分部积分法第四章（10十二月2022192解:

令则原式=例2求（课本例3）10十二月202268解:令则原式=例2求（课10十二月2022193解:

令则∴原式例3求（课本例4）10十二月202269解:令则∴原式例3求（10十二月2022194解:

令,则∴原式再令,则故原式=说明:

也可设为三角函数,但两次所设类型必须一致.例4

求（课本例7）10十二月202270解:令,则∴原式再令,10十二月2022195把被积函数视为两个函数之积,按“反对幂指三”

的顺序,前者为后者为例5（补充题）求解:

令,则原式=反:反三角函数对:

对数函数幂:

幂函数指:

指数函数三:

三角函数解题技巧:（自学课本例5～6）10十二月202271把被积函数视为两个函数之积,按10十二月2022196解:

令,则原式=例6（补充题）求10十二月202272解:令,则原式=例6（补充10十二月2022197解:

令则原式令例7（课本例10）求10十二月202273解:令则原式令例7（课本例110十二月2022198解:

令则得递推公式例8求（课本例9）10十二月202274解:令则得递推公式例8求（课10十二月2022199递推公式已知利用递推公式可求得例如,说明:10十二月202275递推公式已知利用递推公式可求得例如10十二月2022200分部积分题目的类型:1)直接分部化简积分;2)分部产生循环式,由此解出积分式;(注意:两次分部选择的u,v

函数类型不变,

解出积分后加

C)例43)对含自然数n

的积分,通过分部积分建立递推公式.说明:10十二月202276分部积分题目的类型:1)直接分10十二月2022201的一个原函数是求解:说明:

此题若先求出再求积分反而复杂.例9已知（补充题）10十二月202277的一个原函数是求解:说明:此题10十二月2022202解法1

先换元后分部令即则故例10求（补充题）10十二月202278解法1先换元后分部令即则故例10十二月2022203解法2

用分部积分法10十二月202279解法2用分部积分法10十二月2022204本节小结分部积分公式1.使用原则:易求出,易积分2.使用经验:“反对幂指三”

,前u

后3.题目类型:分部化简;循环解出;递推公式10十二月202280本节小结分部积分公式1.使用原则10十二月2022205课后练习习题4-3（偶数题）思考与练习1.

下述运算错在哪里?应如何改正?得

0=1答:

不定积分是原函数族,相减不应为0.求此积分的正确作法是用换元法.10十二月202281课后练习习题4-3（偶数10十二月20222062.求不定积分解：方法1(先分部,再换元)令则10十二月2022822.求不定积分解：方法1(先分部10十二月2022207方法2(先换元,再分部)令则故10十二月202283方法2(先换元,再分部)令则故10十二月20222083.求解:令则10十二月2022843.求解:令则10十二月20222094.证明递推公式证：注：或10十二月2022854.证明递推公式证：注：或10十二月2022210第四节几种特殊类型函数的积分

第四章

基本积分法:直接积分法;换元积分法;分部积分法

初等函数求导初等函数积分（见本节第一段）一、有理函数的积分二、可化为有理函数的积分举例本节内容:（IntegrationofseveralkindsofSpecialFunctions）10十二月202286第四节几种特殊类型函数的积分10十二月2022211一、有理函数的积分(IntegrationofRationalFunction)两个多项式的商表示的函数.有理函数的定义：10十二月202287一、有理函数的积分(Integr10十二月2022212假定分子与分母之间没有公因式这有理函数是真分式；这有理函数是假分式；有理函数有以下性质：1）利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.例如，我们可将化为多项式与真分式之和10十二月202288假定分子与分母之间没有公因式这有理10十二月20222132）在实数范围内真分式总可以分解成几个最简式之和最简分式是下面两种形式的分式10十二月2022892）在实数范围内真分式总可以分解成10十二月2022214（1）分母中若有因式，则分解后为3）有理函数化为部分分式之和的一般规律：（2）分母中若有因式，其中则分解后为10十二月202290（1）分母中若有因式10十二月2022215

为了便于求积分，必须把真分式化为部分分式之和，同时要把上面的待定的常数确定，这种方法叫待定系数法例110十二月202291为了便于求积分，必须把真10十二月2022216例2通分以后比较分子得：10十二月202292例2通分以后比较分子得：10十二月2022217

我们也可以用赋值法来得到最简分式，比如前面的例2，两端去分母后得到10十二月202293我们也可以用赋值法来得10十二月2022218例3整理得10十二月202294例3整理得10十二月2022219例4

求积分解：例210十二月202295例4求积分解：例210十二月2022220例5

求积分解：例310十二月202296例5求积分解：例310十二月2022221解:

原式思考:

如何求提示:变形方法同例6,并利用第三节例9.例6求