(安徽专用)2020年中考数学复习第三章函数与图象33课件

第三章函数与图象§3.3反比例函数中考数学

(安徽专用)第三章函数与图象中考数学(安徽专用)1A组2014—2018年安徽中考题组五年中考1.(2017安徽,9,4分)已知抛物线y=ax2+bx+c与反比例函数y=

的图象在第一象限有一个公共点,其横坐标为1.则一次函数y=bx+ac的图象可能是

()

A组2014—2018年安徽中考题组五年中考1.(20172解题关键

通过公共点坐标(1,b)得出c=-a是解题的关键.答案

B因为抛物线与反比例函数的图象在第一象限有一个公共点,所以b>0,a≠0,且公共

点的坐标为(1,b),代入抛物线方程可得b=a+b+c,所以c=-a,所以一次函数为y=bx-a2,其图象过第

一、三、四象限,故选B.思路分析

由抛物线与反比例函数的图象在第一象限有一个公共点可判断b>0,a≠0,由公共点的横坐标为1可得公共点坐标为(1,b),代入抛物线方程可得a,c的关系,从而判断一次函数的图象.解题关键

通过公共点坐标(1,b)得出c=-a是解题的32.(2013安徽,9,4分)图1所示矩形ABCD中,BC=x,CD=y,y与x满足的反比例函数关系如图2所示,

等腰直角三角形AEF的斜边EF过C点,M为EF的中点,则下列结论正确的是

()

图1图2A.当x=3时,EC<EMB.当y=9时,EC>EMC.当x增大时,EC·CF的值增大D.当y增大时,BE·DF的值不变2.(2013安徽,9,4分)图1所示矩形ABCD中,BC=4答案

D∵反比例函数图象过(3,3),∴y=

,∵△AEF是等腰直角三角形,∴△EBC、△CDF都是等腰直角三角形,A项:在矩形ABCD中,BC=3时,CD=3,此时矩形ABCD是边长为3的正方形,∴当x=3时,EC=EM=3

,故本选项错误;B项:∵当y=9时,x=1,∴EC=

,CF=9

,∴EM=5

,即EC<EM,故本选项错误;C项:∵EC·CF=

x·

y=2xy=18,值不变,故本选项错误;D项:∵BE·DF=xy=9,值不变,故本选项正确.故选D.思路分析

首先根据反比例函数图象过点(3,3)求出反比例函数的表达式,从而得到xy=9,由△

AEF是等腰直角三角形可知△EBC、△CDF也是等腰直角三角形,从而可以推断

出A、B、C、D是否正确.答案

D∵反比例函数图象过(3,3),思路分析

53.(2018安徽,13,5分)如图,正比例函数y=kx与反比例函数y=

的图象有一个交点A(2,m),AB⊥x轴于点B.平移直线y=kx,使其经过点B,得到直线l,则直线l对应的函数表达式是

.

答案

y=

x-3解析将点A的坐标代入y=

,可得m=3,将A(2,3)代入y=kx,可得k=

,因为AB⊥x轴,所以点B(2,0),由平移可得直线l对应的函数表达式为y=

(x-2)=

x-3.思路分析

先把点A的坐标代入y=

得m的值,然后求k的值,由AB⊥x轴得点B的坐标,从而由平移及直线l过点B得直线l对应的函数表达式.3.(2018安徽,13,5分)如图,正比例函数y=kx与反64.(2015安徽,21,12分)如图,已知反比例函数y=

与一次函数y=k2x+b的图象交于A(1,8),B(-4,m).(1)求k1、k2、b的值;(2)求△AOB的面积;(3)若M(x1,y1)、N(x2,y2)是反比例函数y=

图象上的两点,且x1<x2,y1<y2,指出点M、N各位于哪个象限,并简要说明理由.

4.(2015安徽,21,12分)如图,已知反比例函数y= 7解析(1)把A(1,8),B(-4,m)分别代入y=

,得k1=8,m=-2.∵A(1,8),B(-4,-2)在y=k2x+b图象上,∴

解得k2=2,b=6.

(5分)(2)设直线y=2x+6与x轴交于点C,当y=0时,x=-3,∴OC=3.∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=

×3×8+

×3×2=15.

(8分)(3)点M在第三象限,点N在第一象限.

(9分)①若x1<x2<0,点M、N在第三象限分支上,则y1>y2,不合题意;②若0<x1<x2,点M、N在第一象限分支上,则y1>y2,不合题意;③若x1<0<x2,点M在第三象限,点N在第一象限,则y1<0<y2,符合题意.

(12分)思路分析

(1)利用待定系数法将A,B两点分别代入反比例函数和一次函数,求出m,k1,k2,b;(2)设

直线AB与x轴的交点为C并求出,将△AOB的面积转化为△AOC与△OBC的面积之和;(3)分三

种情况进行讨论:①x1<x2<0,②0<x1<x2,③x1<0<x2,最后得出结论.方法指导

反比例函数常结合一次函数进行考查,确定反比例函数的关系式只需知道一个点

的坐标即可,而一次函数的关系式的确定一般需要两个点的坐标,故经常先由一个点的坐标确

定反比例函数的关系式,再确定另一个点的坐标,最后求出一次函数的关系式.解析(1)把A(1,8),B(-4,m)分别代入y= ,得8B组2014—2018年全国中考题组考点一反比例函数的图象与性质1.(2018天津,9,3分)若点A(x1,-6),B(x2,-2),C(x3,2)在反比例函数y=

的图象上,则x1,x2,x3的大小关系是

()A.x1<x2<x3

B.x2<x1<x3C.x2<x3<x1

D.x3<x2<x1

答案

B∵反比例函数y=

中,k=12>0,∴此函数的图象在一、三象限,在每一象限内y随x的增大而减小.∵y1<y2<0<y3,∴x2<x1<x3.故选B.B组2014—2018年全国中考题组考点一反比例函数的图92.(2017天津,10,3分)若点A(-1,y1),B(1,y2),C(3,y3)在反比例函数y=-

的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是

()A.y1<y2<y3

B.y2<y3<y1C.y3<y2<y1

D.y2<y1<y3

答案

B∵-3<0,∴在第四象限内,y随x的增大而增大,∵1<3,∴y2<y3<0.易知y1>0,∴y2<y3<y1,故选B.解题关键

掌握反比例函数的增减性是解题的关键.2.(2017天津,10,3分)若点A(-1,y1),B(1103.(2015重庆,12,4分)如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD在第一象限内,边BC与x轴平行,A,B

两点的纵坐标分别为3,1,反比例函数y=

的图象经过A,B两点,则菱形ABCD的面积为

()

A.2

B.4

C.2

D.4

答案

D由题意可得A(1,3),B(3,1),底边BC=AB= =2

,菱形BC边上的高为3-1=2,所以菱形ABCD的面积是4

,故选D.3.(2015重庆,12,4分)如图,在平面直角坐标系中,菱114.(2014天津,9,3分)已知反比例函数y=

,当1<x<2时,y的取值范围是

()A.0<y<5

B.1<y<2

C.5<y<10

D.y>10答案

C当1<x<2时,反比例函数y=

的图象在第一象限,且y随x的增大而减小,当x=1时,y=10,当x=2时,y=5,所以5<y<10,故选C.5.(2017福建,16,4分)已知矩形ABCD的四个顶点均在反比例函数y=

的图象上,且点A的横坐标是2,则矩形ABCD的面积为

.答案

4.(2014天津,9,3分)已知反比例函数y= ,当1<x12解析∵点A在反比例函数y=

的图象上,且点A的横坐标是2,∴y=

,即点A的坐标为

.如图,∵双曲线y=

和矩形ABCD都是轴对称图形和中心对称图形,∴点A、B关于直线y=x对称,B

,同理,C

,D

.∴AB=

=

.AD=

=

.∴S矩形ABCD=AB·AD=

.解题思路

本题主要结合双曲线和矩形的对称性求出B,C,D的坐标,再用两点之间的距离公式

求出矩形的长和宽,即可求矩形的面积.解析∵点A在反比例函数y= 的图象上,且点A的横坐标是2,136.(2016广西南宁,17,3分)如图所示,反比例函数y=

(k≠0,x>0)的图象经过矩形OABC的对角线AC的中点D,若矩形OABC的面积为8,则k的值为

.

答案26.(2016广西南宁,17,3分)如图所示,反比例函数y=14解析设D(xD,yD),xD>0,yD>0,过D分别作DE⊥OA,DF⊥OC,则DF=xD,DE=yD,且DF∥OA,DE∥

OC,∵点D为AC的中点,∴OA=2DF=2xD,OC=2DE=2yD.∵矩形OABC的面积等于8,∴OA·OC=8,

即2xD·2yD=8,∴xDyD=2.又点D在反比例函数y=

(k≠0,x>0)的图象上,∴k=xDyD=2.

解析设D(xD,yD),xD>0,yD>0,过D分别作DE157.(2016内蒙古呼和浩特,12,3分)已知函数y=-

,当自变量的取值为-1<x<0或x≥2时,函数值y的取值为

.答案

y>1或-

≤y<0解析函数y=-

,在每个象限内,y都随x的增大而增大,所以当-1<x<0或x≥2时,y>1或-

≤y<0.7.(2016内蒙古呼和浩特,12,3分)已知函数y=- ,168.(2015广西南宁,17,3分)如图,点A在双曲线y=

(x>0)上,点B在双曲线y=

(x>0)上(点B在点A的右侧),且AB∥x轴.若四边形OABC是菱形,且∠AOC=60°,则k=

.

答案6

8.(2015广西南宁,17,3分)如图,点A在双曲线y= 17评析

本题考查了反比例函数与菱形的综合应用,需要借助反比例函数关系式求出菱形的边

长,再利用菱形的性质求出反比例函数图象上的点的坐标.属中档题.解析作AD⊥x轴交x轴于点D,∵∠AOC=60°,∴AD=

OD,∴可设A(x,

x).∵点A在双曲线y=

(x>0)上,∴x·

x=2

,∴x2=2.∵x>0,∴x=

,∴A(

,

),∴OA=2

.∵四边形OABC是菱形,∴AB=OA=2

.∵AB∥x轴,∴B(3

,

).∵点B在双曲线y=

(x>0)上,∴k=xy=3

×

=6

.评析

本题考查了反比例函数与菱形的综合应用,需要借助反189.(2015陕西,13,3分)如图,在平面直角坐标系中,过点M(-3,2)分别作x轴、y轴的垂线与反比例

函数y=

的图象交于A、B两点,则四边形MAOB的面积为

.

答案10解析如图,设MA与x轴交于点C,MB与y轴交于点D.由题意可知点A的坐标为

,点B的坐标为(2,2),则点C的坐标为(-3,0),点D的坐标为(0,2).

∴S四边形MAOB=S矩形MCOD+S△ACO+S△BDO=3×2+

×3×

+

×2×2=6+2+2=10.9.(2015陕西,13,3分)如图,在平面直角坐标系中,过1910.(2018河南,18,9分)如图,反比例函数y=

(x>0)的图象过格点(网格线的交点)P.(1)求反比例函数的解析式;(2)在图中用直尺和2B铅笔画出两个矩形(不写画法),要求每个矩形均需满足下列两个条件:①四个顶点均在格点上,且其中两个顶点分别是点O,点P;②矩形的面积等于k的值.

10.(2018河南,18,9分)如图,反比例函数y= (x20解析(1)∵点P(2,2)在反比例函数y=

(x>0)的图象上,∴

=2,即k=4.∴反比例函数的解析式为y=

.

(3分)(2)(答案不唯一,正确画出两个矩形即可)

(9分)举例:如图,矩形OAPB,矩形OPCD.

解析(1)∵点P(2,2)在反比例函数y= (x>0)的图2111.(2017内蒙古呼和浩特,23,7分)已知反比例函数y=

(k为常数).(1)若点P1

和点P2

是该反比例函数图象上的两点,试利用反比例函数的性质比较y1和y2的大小;(2)设点P(m,n)(m>0)是其图象上的一点,过点P作PM⊥x轴于点M,若tan∠POM=2,PO=

(O为坐标原点),求k的值,并直接写出不等式kx+

>0的解集.11.(2017内蒙古呼和浩特,23,7分)已知反比例函数y22解析(1)∵-k2-1<0,∴反比例函数y=

在每个象限内y随x的增大而增大,又∵-

<

<0,∴y1>y2.(2)∵点P(m,n)在反比例函数y=

的图象上,且m>0,∴n<0,∴OM=m,PM=-n,∵tan∠POM=2,∴

=

=2,∴n=-2m,又∵PO=

,∴m2+n2=5,∴m=1,n=-2,∴点P的坐标为(1,-2),∴-k2-1=-2,解得k=±1.①当k=-1时,不等式kx+

>0的解集为x<-

或0<x<

;②当k=1时,不等式kx+

>0的解集为x>0.解析(1)∵-k2-1<0,②当k=1时,不等式kx+ >2312.(2016吉林,22,7分)如图,在平面直角坐标系中,反比例函数y=

(x>0)的图象上有一点A(m,4),过点A作AB⊥x轴于点B,将点B向右平移2个单位长度得到点C,过点C作y轴的平行线交反比例

函数的图象于点D,CD=

.(1)点D的横坐标为

(用含m的式子表示);(2)求反比例函数的解析式.

12.(2016吉林,22,7分)如图,在平面直角坐标系中,24解析(1)m+2.

(2分)(2)∵CD=

,∴点D的坐标为

.∵点A(m,4),点D

在函数y=

的图象上,∴4m=

(m+2).∴m=1.

(5分)∴k=4m=4×1=4.

(6分)∴反比例函数的解析式为y=

.

(7分)解析(1)m+2. (2分)251.(2017甘肃兰州,11,4分)如图,反比例函数y=

(x<0)与一次函数y=x+4的图象交于A,B两点,A,B两点的横坐标分别为-3,-1,则关于x的不等式

<x+4(x<0)的解集为

()

A.x<-3

B.-3<x<-1C.-1<x<0

D.x<-3或-1<x<0考点二反比例函数与一次函数的综合应用1.(2017甘肃兰州,11,4分)如图,反比例函数y= (26答案

B由题意知A,B两点既在一次函数y=x+4的图象上,又在反比例函数y=

(x<0)的图象上,当x<-3时,反比例函数y=

(x<0)的图象在一次函数y=x+4图象的上方;当-3<x<-1时,反比例函数y=

(x<0)的图象在一次函数y=x+4图象的下方;当-1<x<0时,反比例函数y=

(x<0)的图象在一次函数y=x+4图象的上方,故选B.思路分析

分析图象解题,根据“函数值大的图象在上方”写出x的取值范围.答案

B由题意知A,B两点既在一次函数y=x+4的图272.(2016宁夏,8,3分)正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数y2=

的图象相交于A,B两点,其中点B的横坐标为-2,当y1<y2时,x的取值范围是

()

A.x<-2或x>2

B.x<-2或0<x<2C.-2<x<0或0<x<2

D.-2<x<0或x>2答案

B因为点A,B是y1=k1x的图象与y2=

的图象的交点,所以两点关于原点对称.因为点B的横坐标为-2,所以点A的横坐标为2.由题图知,当y1<y2时,x<-2或0<x<2.故选B.评析本题考查利用函数图象比较函数值的大小.属中档题.2.(2016宁夏,8,3分)正比例函数y1=k1x的图象与283.(2016新疆乌鲁木齐,14,4分)如图,直线y=-2x+4与双曲线y=

交于A,B两点,与x轴交于点C,若AB=2BC,则k=

.

答案

3.(2016新疆乌鲁木齐,14,4分)如图,直线y=-2x29解析过点A作AE⊥x轴,垂足为E,过点B作BF⊥x轴,垂足为F,∴AE∥BF,∴△CBF∽△CAE,∴

=

=

,∵AB=2BC,∴

=

=

,

∴yB=

yA,∵xA·yA=k,xB·yB=k,∴xB=3xA.由题意可知C点坐标为(2,0),则CF=2-xB,CE=2-xA,∵

=

,∴2-xA=3(2-xB),又∵xB=3xA,∴2-xA=3(2-3xA),解得xA=

.把xA=

代入y=-2x+4,得yA=3,解析过点A作AE⊥x轴,垂足为E,过点B作BF⊥x轴,垂足30∴A点坐标为

,∴k=

×3=

.评析此题综合考查了反比例函数的图象和性质,相似三角形的性质等知识点,有一定难度,综

合性较强,注意对各个知识点的灵活运用,本题的关键是通过点A,B的坐标,由两点之间与点C

的关系得到点A的坐标,进而确定k的值.∴A点坐标为 ,评析此题综合考查了反比例函数的图象和性质,314.(2018四川成都,19,10分)如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=x+b的图象经过点A(-2,0),

与反比例函数y=

(x>0)的图象交于B(a,4).(1)求一次函数和反比例函数的表达式;(2)设M是直线AB上一点,过M作MN∥x轴,交反比例函数y=

(x>0)的图象于点N,若以A,O,M,N为顶点的四边形为平行四边形,求点M的坐标.

4.(2018四川成都,19,10分)如图,在平面直角坐标系32解析(1)∵一次函数y=x+b的图象经过点A(-2,0),∴-2+b=0,∴b=2,∴一次函数的表达式为y=x+2,∵一次函数的图象与反比例函数y=

(x>0)的图象交于B(a,4),∴a+2=4,∴a=2,∴B(2,4),∴反比例函数的表达式为y=

.(2)设M(m-2,m),N

,m>0.当MN∥AO且MN=AO时,以A、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形.故

=2且m>0,解得m=2

或m=2

+2,∴M的坐标为(2

-2,2

)或(2

,2

+2).解析(1)∵一次函数y=x+b的图象经过点A(-2,0),335.(2017北京,23,5分)如图,在平面直角坐标系xOy中,函数y=

(x>0)的图象与直线y=x-2交于点A(3,m).(1)求k,m的值;(2)已知点P(n,n)(n>0),过点P作平行于x轴的直线,交直线y=x-2于点M,过点P作平行于y轴的直

线,交函数y=

(x>0)的图象于点N.①当n=1时,判断线段PM与PN的数量关系,并说明理由;②若PN≥PM,结合函数的图象,直接写出n的取值范围.

5.(2017北京,23,5分)如图,在平面直角坐标系xOy34解析(1)∵直线y=x-2经过点A(3,m),∴m=1.又∵函数y=

(x>0)的图象经过点A(3,1),∴k=3.(2)①PM=PN.理由:当n=1时,点P的坐标为(1,1),∴点M的坐标为(3,1),点N的坐标为(1,3),∴PM=PN=2.②n的取值范围是0<n≤1或n≥3.解析(1)∵直线y=x-2经过点A(3,m),∴m=1.356.(2017湖北武汉,22,10分)如图,直线y=2x+4与反比例函数y=

的图象相交于A(-3,a)和B两点.(1)求k的值;(2)直线y=m(m>0)与直线AB相交于点M,与反比例函数y=

的图象相交于点N,若MN=4,求m的值;(3)直接写出不等式

>x的解集.

6.(2017湖北武汉,22,10分)如图,直线y=2x+436解析(1)∵点A(-3,a)在直线y=2x+4上,∴a=2×(-3)+4=-2.∵点A(-3,-2)在y=

的图象上,∴k=6.(2)∵点M是直线y=m与直线AB的交点,∴M

.∵点N是直线y=m与反比例函数y=

的图象的交点,∴N

.∴MN=xN-xM=

-

=4或MN=xM-xN=

-

=4.解得m=2或m=-6或m=6±4

,∵m>0,∴m=2或m=6+4

.(3)x<-1或5<x<6.解析(1)∵点A(-3,a)在直线y=2x+4上,37思路分析

(1)把A(-3,a)代入y=2x+4求出a=-2,把A(-3,-2)代入y=

求得k的值;(2)求出M、N的坐标,根据MN=4和m>0求出m的值;(3)求出函数y=x的图象和函数y=

的图象的交点横坐标,借助图象求出

>x的解集.思路分析

(1)把A(-3,a)代入y=2x+4求出a387.(2016重庆,22,10分)在平面直角坐标系中,一次函数y=ax+b(a≠0)的图象与反比例函数y=

(k≠0)的图象交于第二、第四象限内的A、B两点,与y轴交于C点.过点A作AH⊥y轴,垂足为H,OH

=3,tan∠AOH=

,点B的坐标为(m,-2).(1)求△AHO的周长;(2)求该反比例函数和一次函数的解析式.

7.(2016重庆,22,10分)在平面直角坐标系中,一次函39解析(1)∵AH⊥y轴于H,∴∠AHO=90°.∵tan∠AOH=

=

,OH=3,∴AH=4.

(2分)在Rt△AHO中,OA=

=

=5.

(4分)∴△AHO的周长为3+4+5=12.

(5分)(2)由(1)知,点A的坐标为(-4,3),∵点A在反比例函数y=

(k≠0)的图象上,∴3=

.∴k=-12.∴反比例函数的解析式为y=-

.

(7分)∵点B(m,-2)在反比例函数y=-

的图象上,∴-

=-2.解析(1)∵AH⊥y轴于H,40∴m=6.∴点B的坐标为(6,-2).

(8分)∵点A(-4,3),B(6,-2)在一次函数y=ax+b(a≠0)的图象上,∴

解这个方程组,得

∴一次函数的解析式为y=-

x+1.

(10分)∴m=6.411.(2018河北,26,11分)下图是轮滑场地的截面示意图,平台AB距x轴(水平)18米,与y轴交于点B,

与滑道y=

(x≥1)交于点A,且AB=1米.运动员(看成点)在BA方向获得速度v米/秒后,从A处向右下飞向滑道,点M是下落路线的某位置.忽略空气阻力,实验表明:M,A的竖直距离h(米)与飞出时

间t(秒)的平方成正比,且t=1时h=5;M,A的水平距离是vt米.(1)求k,并用t表示h;(2)设v=5.用t表示点M的横坐标x和纵坐标y,并求y与x的关系式(不写x的取值范围),及y=13时运

动员与正下方滑道的竖直距离;(3)若运动员甲、乙同时从A处飞出,速度分别是5米/秒、v乙米/秒.当甲距x轴1.8米,且乙位于甲

右侧超过4.5米的位置时,直接写出t的值及v乙的范围.

考点三反比例函数的实际应用1.(2018河北,26,11分)下图是轮滑场地的截面示意图42解析(1)由题意,得点A的坐标为(1,18),代入y=

,得18=

,∴k=18;设h=at2(a≠0),把t=1,h=5代入,得a=5,∴h=5t2.(2)∵v=5,AB=1,∴x=5t+1;∵h=5t2,OB=18,∴y=-5t2+18;由x=5t+1,得t=

(x-1).∴y=-

(x-1)2+18

或y=-

x2+

x+

;当y=13时,13=-

(x-1)2+18,解得x=6或-4.∵x≥1,∴只取x=6.把x=6代入y=

,得y=3.∴运动员与正下方滑道的竖直距离是13-3=10(米).(3)t=1.8;v乙>7.5.解析(1)由题意,得点A的坐标为(1,18),代入y= ,43【注:下面是(3)的一种解法:把y=1.8代入y=-5t2+18,得t2=3.24

,∴t=1.8(舍去负值).从而x=10.∴甲为(10,1.8),恰好落在滑道y=

上,此时乙为(1+1.8v乙,1.8).由题意,得1+1.8v乙-(1+5×1.8)>4.5,∴v乙>7.5】【注:下面是(3)的一种解法:44思路分析

(1)把点A的坐标代入y=

得出k值,设h=at2(a≠0),利用待定系数法即可求解;(2)根据题意分别用t表示x、y,再把t=

(x-1)代入消去t得y与x之间的关系式,令13=-

(x-1)2+18,解得x=6(舍去负值),进一步把x=6代入y=

求出y=3,最后求得运动员与正下方滑道的竖直距离;(3)求出甲距x轴1.8米时的横坐标及用v乙表示的乙距x轴1.8米时的横坐标,根据题意列出不等式求出乙

位于甲右侧超过4.5米的v乙的范围.解题关键

本题是函数的综合题,准确理解题意,梳理所涉及的变量,并熟练掌握待定系数法求

函数解析式是解题的关键.方法指导

利用二次函数解决实际问题:1.根据题目中直接给出或间接给出的变量关系得到

符合题意的二次函数解析式;2.二次函数的应用题往往最终转化为计算函数值或自变量的值

来解答.思路分析

(1)把点A的坐标代入y= 得出k值,设h=452.(2014江苏镇江,25,6分)六一儿童节,小文到公园游玩,看到公园的一段人行弯道MN(不计宽

度),如图,它与两面互相垂直的围墙OP、OQ之间有一块空地MPOQN(MP⊥OP,NQ⊥OQ),他

发现弯道MN上任一点到两边围墙的垂线段与围墙所围成的矩形的面积都相等,比如:A、B、

C是弯道MN上三点,矩形ADOG、矩形BEOH、矩形CFOI的面积相等.爱好数学的他建立了平

面直角坐标系(如图),图中三块阴影部分的面积分别记为S1、S2、S3,并测得S2=6(单位:平方米),

OG=GH=HI.(1)求S1和S3的值;(2)设T(x,y)是弯道MN上的任一点,写出y关于x的函数关系式;(3)公园准备对区域MPOQN内部进行绿化改造,在横坐标、纵坐标都是偶数的点处种植花木

(区域边界上的点除外),已知MP=2米,NQ=3米.问一共能种植多少棵花木?

2.(2014江苏镇江,25,6分)六一儿童节,小文到公园游46解析(1)根据题意:S1+S2+S3=2S2+2S3=3S3,

(1分)又∵S2=6,∴S1=18,S3=12.

(3分)(2)点T(x,y)是弯道MN上任一点,根据弯道MN上任一点到围墙两边的垂线段与围墙所围成的矩形的面积都相等,得xy=3S3=36,

∴y=

.

(4分)(3)一共能种植17棵花木.

(6分)解析(1)根据题意:S1+S2+S3=2S2+2S3=3S47考点一反比例函数的图象与性质C组教师专用题组1.(2016河南,5,3分)如图,过反比例函数y=

(x>0)的图象上一点A作AB⊥x轴于点B,连接AO,若S△AOB=2,则k的值为()

A.2

B.3

C.4

D.5答案

C由题意得k>0,S△AOB=

k=2,所以k=4.故选C.考点一反比例函数的图象与性质C组教师专用题组1.(201482.(2016黑龙江哈尔滨,4,3分)点(2,-4)在反比例函数y=

的图象上,则下列各点在此函数图象上的是

()A.(2,4)

B.(-1,-8)

C.(-2,-4)

D.(4,-2)答案

D把(2,-4)代入反比例函数解析式得k=-8,逐个验证各选项知选D.2.(2016黑龙江哈尔滨,4,3分)点(2,-4)在反比例493.(2016辽宁沈阳,4,2分)如图,在平面直角坐标系中,点P是反比例函数y=

(x>0)图象上的一点,分别过点P作PA⊥x轴于点A,PB⊥y轴于点B.若四边形OAPB的面积为3,则k的值为

()

A.3

B.-3

C.

D.-

答案

A设点P的横坐标为xP,纵坐标为yP,由题意得OA=xP,OB=yP.由题意可知,四边形OAPB

为矩形,∵四边形OAPB的面积为3,∴OA·OB=xP·yP=3,又∵点P在反比例函数y=

(x>0)的图象上,∴xP·yP=k=3,故选A.3.(2016辽宁沈阳,4,2分)如图,在平面直角坐标系中,504.(2015贵州遵义,9,3分)已知点A(-2,y1),B(3,y2)是反比例函数y=

(k<0)图象上的两点,则有

(

)A.y1<0<y2

B.y2<0<y1

C.y1<y2<0

D.y2<y1<0答案

B反比例函数y=

(k<0)的图象在第二、四象限,则点A(-2,y1)在第二象限,点B(3,y2)在第四象限,所以y1>0,y2<0,所以y2<0<y1.故选B.4.(2015贵州遵义,9,3分)已知点A(-2,y1),B515.(2015福建龙岩,9,4分)已知点P(a,b)是反比例函数y=

图象上异于点(-1,-1)的一个动点,则

+

=()A.2

B.1

C.

D.

答案

B把点P的坐标代入函数解析式得ab=1,因为a≠-1,b≠-1,所以

+

=

=

=

=1,故选B.5.(2015福建龙岩,9,4分)已知点P(a,b)是反比例526.(2015江苏苏州,6,3分)若点A(a,b)在反比例函数y=

的图象上,则代数式ab-4的值为

()A.0

B.-2

C.2

D.-6答案

B因为点A(a,b)在反比例函数y=

的图象上,所以b=

,即ab=2,因此ab-4=-2,故选B.7.(2015黑龙江哈尔滨,4,3分)点A(-1,y1),B(-2,y2)在反比例函数y=

的图象上,则y1,y2的大小关系是

()A.y1>y2

B.y1=y2

C.y1<y2

D.不能确定答案

C∵k=2>0,∴函数y=

的图象位于第一、三象限,且在每一象限内y随x的增大而减小,所以由-2<-1<0,得y1<y2.故选C.6.(2015江苏苏州,6,3分)若点A(a,b)在反比例函538.(2015甘肃兰州,12,4分)若点P1(x1,y1),P2(x2,y2)在反比例函数y=

(k>0)的图象上,且x1=-x2,则

()A.y1<y2

B.y1=y2

C.y1>y2

D.y1=-y2

答案

D由题意,得xy=k,因为k是定值,所以当x1=-x2时,y1=-y2,故选D.8.(2015甘肃兰州,12,4分)若点P1(x1,y1),549.(2015江苏连云港,7,3分)如图,O为坐标原点,菱形OABC的顶点A的坐标为(-3,4),顶点C在x轴

的负半轴上,函数y=

(x<0)的图象经过顶点B,则k的值为

()

A.-12

B.-27

C.-32

D.-36答案

C过点A作菱形ABCO的高AE,在Rt△AEO中,AE=4,EO=3,由勾股定理得AO=5,所以AB

=5,所以B点坐标为(-8,4),又点B在y=

(x<0)的图象上,所以4=

,得k=-32,故选C.

9.(2015江苏连云港,7,3分)如图,O为坐标原点,菱形5510.(2014黑龙江哈尔滨,5,3分)在反比例函数y=

的图象的每一条曲线上,y都随x的增大而减小,则k的取值范围是

()A.k>1

B.k>0

C.k≥1

D.k<1答案

A∵在反比例函数y=

的图象的每一条曲线上,y都随x的增大而减小,∴k-1>0,∴k>1.故选A.11.(2014甘肃兰州,9,4分)若反比例函数y=

的图象位于第二、四象限,则k的取值可能是

()A.0

B.2

C.3

D.4答案

A∵反比例函数y=

的图象位于第二、四象限,∴k-1<0,即k<1.故选A.评析本题考查了反比例函数图象的性质,对于反比例函数y=

(k≠0),当k>0时,反比例函数图象在第一、三象限内;当k<0时,反比例函数图象在第二、四象限内,属容易题.10.(2014黑龙江哈尔滨,5,3分)在反比例函数y= 的5612.(2014江苏扬州,3,3分)若反比例函数y=

(k≠0)的图象经过点P(-2,3),则该函数的图象不经过的点是

()A.(3,-2)

B.(1,-6)C.(-1,6)

D.(-1,-6)答案

D由题意知k=-2×3=-6,又3×(-2)=-6,1×(-6)=-6,(-1)×6=-6,(-1)×(-6)≠-6,故选D.12.(2014江苏扬州,3,3分)若反比例函数y= (k≠5713.(2015甘肃兰州,19,4分)如图,点P、Q是反比例函数y=

图象上的两点,PA⊥y轴于点A,QN⊥x轴于点N,作PM⊥x轴于点M,QB⊥y轴于点B,连接PB、QM,△ABP的面积记为S1,△QMN的面

积记为S2,则S1

S2.(填“>”或“<”或“=”)

答案=解析由反比例函数的性质得,S矩形APMO=S矩形BONQ.同时减去公共部分后,所得两个矩形的面积仍

相等,即2S△ABP=2S△MNQ,故S1=S2.13.(2015甘肃兰州,19,4分)如图,点P、Q是反比例58答案2+2

或2-2

14.(2015浙江杭州,15,4分)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,设点P(1,t)在反比例函数y=

的图象上,过点P作直线l与x轴平行,点Q在直线l上,满足QP=OP,若反比例函数y=

的图象经过点Q,则k=

.解析∵点P(1,t)在反比例函数y=

的图象上,∴t=

=2.∴P(1,2).∴OP=

.∵过点P作直线l与x轴平行,点Q在直线l上,满足QP=OP,∴Q点坐标为(1+

,2)或(1-

,2).∵反比例函数y=

的图象经过点Q,∴当Q点坐标为(1+

,2)时,k=(1+

)×2=2+2

;当Q点坐标为(1-

,2)时,k=(1-

)×2=2-2

.答案2+2 或2-2 14.(2015浙江杭州,15,45915.(2015吉林长春,12,3分)如图,在平面直角坐标系中,点P在函数y=

(x>0)的图象上,过点P分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为点A、B.取线段OB的中点C,连接PC并延长交x轴于点D,则△

APD的面积为

.

答案6解析∵点P在函数y=

(x>0)的图象上,∴S矩形OAPB=6.∵点C是OB的中点,∴BC=OC.∵∠PBC=∠DOC,∠BCP=∠OCD,∴△COD≌△CBP,∴S△APD=S矩形OAPB=6.15.(2015吉林长春,12,3分)如图,在平面直角坐标系60答案1(答案不唯一,满足k>0即可)16.(2014天津,14,3分)已知反比例函数y=

(k为常数,k≠0)的图象位于第一、第三象限,写出一个符合条件的k的值为

.解析若反比例函数y=

(k≠0)的图象位于第一、三象限,则k>0,所以只要填一个大于0的数即可.17.(2014上海,14,4分)已知反比例函数y=

(k是常数,k≠0),在其图象所在的每个象限内,y的值随着x的值增大而增大,那么这个反比例函数的解析式可以是

(只需写一个).答案

y=-

(答案不唯一)解析因为反比例函数y=

(k≠0)的图象在每个象限内y的值随着x的值增大而增大,所以k<0,只需满足k<0即可,此题答案不唯一.答案1(答案不唯一,满足k>0即可)16.(2014天津,6118.(2014山东济南,21,3分)如图,△OAC和△BAD都是等腰直角三角形,∠ACO=∠ADB=90°,反

比例函数y=

在第一象限的图象经过点B,若OA2-AB2=12,则k的值为

.

答案6解析设OC=AC=a,AD=BD=b,则点B(a+b,a-b),因为点B在反比例函数y=

的图象上,所以(a+b)(a-b)=k,即a2-b2=k,又因为OA2-AB2=2a2-2b2=12,所以a2-b2=k=6.评析解决此题的关键是通过等腰直角三角形的直角边长表示出点B的坐标,从而利用点B在

反比例函数图象上列出等式,进而求得k值.18.(2014山东济南,21,3分)如图,△OAC和△BA6219.(2018湖北黄冈,19,6分)如图,反比例函数y=

(x>0)的图象过点A(3,4),直线AC与x轴交于点C(6,0),过点C作x轴的垂线BC交反比例函数图象于点B.(1)求k的值与B点的坐标;(2)在平面内有点D,使得以A,B,C,D四点为顶点的四边形为平行四边形,试写出符合条件的所有

D点的坐标.

19.(2018湖北黄冈,19,6分)如图,反比例函数y= 63解析(1)∵反比例函数y=

(x>0)的图象过点A(3,4),∴

=4,∴k=12,∴反比例函数的解析式为y=

.由题意易知点B的横坐标为6,∵点B在反比例函数y=

(x>0)的图象上,∴y=

=2,即点B的纵坐标为2.∴点B的坐标为(6,2).(2)如图,以A,B,C,D四点为顶点的平行四边形有3种情况,分别是▱ABCD1,▱ACBD2和▱ABD3C,

根据平行四边形的性质易得D1(3,2),D2(3,6),由(1)知线段BC的中点坐标为(6,1),该点是线段AD3

的中点,所以点D3的坐标为(9,-2).故D点的坐标为(3,2)或(3,6)或(9,-2).

解析(1)∵反比例函数y= (x>0)的图象过点A(3,46420.(2016宁夏,24,8分)如图,Rt△OAB的顶点O在坐标原点,点B在x轴上,∠ABO=90°,∠AOB=30°,

OB=2

.反比例函数y=

(x>0)的图象经过OA的中点C,交AB于点D.(1)求反比例函数的关系式;(2)连接CD,求四边形CDBO的面积.

20.(2016宁夏,24,8分)如图,Rt△OAB的顶点O65解析(1)过点C作CM⊥OB于M,

∵点C为OA的中点,∠ABO=90°,∴点M为OB的中点,∵OB=2

,∴OM=

,在Rt△OMC中,∠COM=30°,∴CM=OM·tan30°=

×

=1,∴C点的坐标为(

,1),解析(1)过点C作CM⊥OB于M,66把C(

,1)代入y=

中,得k=

,∴反比例函数的关系式为y=

(x>0).

(4分)(2)由(1)知,CM是△ABO的中位线,CM=1,∴AB=2,∵点D在AB上,∴点D的横坐标为2

,把x=2

代入y=

,得y=

,∴AD=

,

(6分)S四边形CDBO=S△ABO-S△CAD=

OB·AB-

AD·(OB-OM)=

×2

×2-

×

×

=

.

(8分)评析本题是反比例函数与直角三角形的综合题,考查直角三角形的性质,待定系数法求反比

例函数的解析式等.属中档题.把C( ,1)代入y= 中,得k= ,评析本题是反比例函数6721.(2015内蒙古呼和浩特,23,7分)如图,在平面直角坐标系中,A点的坐标为(8,y),AB⊥x轴于点B,

sin∠OAB=

,反比例函数y=

的图象的一支经过AO的中点C,且与AB交于点D.(1)求反比例函数解析式;(2)若函数y=3x与y=

的图象的另一支交于点M,求三角形OMB与四边形OCDB的面积的比.

21.(2015内蒙古呼和浩特,23,7分)如图,在平面直角68解析(1)∵A点的坐标为(8,y),∴OB=8.∵sin∠OAB=

,∴OA=8×

=10,则AB=6.∵C是OA的中点,且在第一象限,∴C(4,3).∵y=

的图象过点C,∴3=

,k=12.∴反比例函数的解析式为y=

.

(2分)(2)解方程组

得

∴M(-2,-6).

(3分)∴S△OMB=

·OB·|-6|=

×8×6=24,解析(1)∵A点的坐标为(8,y),∴OB=8.69S四边形OCDB=S△OBC+S△BCD=12+

·BD·4.

(5分)∵D在双曲线上,且D点横坐标为8,∴D

,即BD=

,∴S四边形OCDB=12+3=15,∴

=

.

(7分)S四边形OCDB=S△OBC+S△BCD=12+ ·BD·47022.(2014河南,20,9分)如图,在直角梯形OABC中,BC∥AO,∠AOC=90°,点A、B的坐标分别为(5,

0)、(2,6),点D为AB上一点,且BD=2AD.双曲线y=

(x>0)经过点D,交BC于点E.(1)求双曲线的解析式;(2)求四边形ODBE的面积.

22.(2014河南,20,9分)如图,在直角梯形OABC中71解析(1)过点B、D作x轴的垂线,垂足分别为点M、N.∵A(5,0)、B(2,6),∴OM=BC=2,BM=OC=6,AM=3.∵DN∥BM,∴△ADN∽△ABM.∴

=

=

=

.∴DN=2,AN=1,∴ON=4.∴点D的坐标为(4,2).

(3分)又∵双曲线y=

(x>0)经过点D,∴2=

,即k=8.∴双曲线的解析式为y=

.

(5分)(2)∵点E在BC上,∴点E的纵坐标为6.又∵点E在双曲线y=

上,∴点E的坐标为

.解析(1)过点B、D作x轴的垂线,垂足分别为点M、N.72∴CE=

.

(7分)∴S四边形ODBE=S梯形OABC-S△OCE-S△AOD=

×(BC+OA)×OC-

×OC×CE-

×OA×DN=

×(2+5)×6-

×6×

-

×5×2=12.∴四边形ODBE的面积为12.

(9分)∴CE= . (7分)7323.(2014浙江宁波,22,10分)如图,点A,B分别在x,y轴上,点D在第一象限内,DC⊥x轴于点C,AO=

CD=2,AB=DA=

,反比例函数y=

(k>0)的图象过CD的中点E.(1)求证:△AOB≌△DCA;(2)求k的值;(3)△BFG和△DCA关于某点成中心对称,其中点F在y轴上,试判断点G是否在反比例函数的图

象上,并说明理由.

23.(2014浙江宁波,22,10分)如图,点A,B分别在74解析(1)证明:∵点A,B分别在x轴,y轴上,DC⊥x轴于点C,∴∠AOB=∠DCA=90°.

(2分)∵AO=CD=2,AB=DA=

,∴Rt△AOB≌Rt△DCA.

(4分)(2)∵∠DCA=90°,DA=

,CD=2,∴AC=

=

=1.

(5分)∴OC=OA+AC=2+1=3.∵E是CD的中点,∴CE=DE=1,∴E(3,1).

(6分)∵反比例函数y=

(k>0)的图象过点E,∴k=3.

(7分)(3)点G在反比例函数的图象上.理由如下:∵△BFG和△DCA关于某点成中心对称,∴BF=DC=2,FG=AC=1.

(8分)∵点F在y轴上,∴OF=OB+BF=1+2=3,解析(1)证明:∵点A,B分别在x轴,y轴上,DC⊥x轴于75∴G(1,3).

(9分)把x=1代入y=

中,得y=3,∴点G在反比例函数y=

的图象上.

(10分)评析本题是反比例函数的综合题.掌握反比例函数图象上点的坐标特征、中心对称的性质

和三角形全等的判定与性质是解题的关键.∴G(1,3). (9分)评析本题是反比例函数的综合题.掌761.(2014广西南宁,12,3分)已知点A在双曲线y=-

上,点B在直线y=x-4上,且A,B两点关于y轴对称,设点A的坐标为(m,n),则

+

的值是

()A.-10

B.-8

C.6

D.4考点二反比例函数与一次函数的综合应用答案

A因为点A(m,n)在双曲线y=-

上,所以mn=-2;由于A,B关于y轴对称,所以点B的坐标为(-m,n),因为点B在直线y=x-4上,所以-m-4=n,即m+n=-4.所以

+

=

=

=-10,故选A.评析本题主要考查点的坐标、解析式与函数图象之间的关系、关于y轴对称的点的坐标特

征和利用整体代入的思想求值的综合运用,解题关键是熟练掌握关于y轴对称的点的坐标特

征,得到m、n之间的关系,属较难题.1.(2014广西南宁,12,3分)已知点A在双曲线y=- 772.(2018四川成都,25,4分)设双曲线y=

(k>0)与直线y=x交于A,B两点(点A在第三象限),将双曲线在第一象限的一支沿射线BA的方向平移,使其经过点A,将双曲线在第三象限的一支沿射线

AB的方向平移,使其经过点B,平移后的两条曲线相交于P,Q两点,此时我们称平移后的两条曲

线所围部分(如图中阴影部分)为双曲线的“眸”,PQ为双曲线的“眸径”,当双曲线y=

(k>0)的眸径为6时,k的值为

.

答案

2.(2018四川成都,25,4分)设双曲线y= (k>0)78解析如图所示,以PQ为边,作矩形PQQ'P'交双曲线在第一象限的一支于点P',点Q',联立得

得x2=k,∴x=±

,∴B点坐标为(

,

),A点坐标为(-

,-

).∵PQ=6,∴OP=3,由双曲线的对称性,得P的坐标为

.∵A点平移到B点与P点平移到P'的距离相同,A点向右平移2

个单位,向上平移2

个单位得到B,∴P'的坐标为

,解析如图所示,以PQ为边,作矩形PQQ'P'交双曲线在第一79∵点P'在反比例函数y=

的图象上,∴xy=k,代入得

=k,解得k=

.思路分析

以PQ为边,作矩形PQQ'P'交双曲线在第一象限的一支于点P',点Q',联立直线AB及

双曲线解析式得方程组,即可求出点A,点B的坐标,由PQ的长度以及对称性可得点P的坐标,根

据平移的性质得AB=PP',求出点P'的坐标,代入y=

,得出关于k的方程,解之得k值.疑难突破

本题考查了反比例函数与一次函数的图象交点问题、反比例函数图象上点的坐

标特征、矩形的性质,难点是P'点的坐标的确定,关键是根据平移的性质判断AB=PP',由A,B两

点的坐标确定平移方向和距离是突破点,再把点P进行相同的平移可以求出点P'的坐标.∵点P'在反比例函数y= 的图象上,∴xy=k,代入得  =803.(2018山西,17,8分)如图,一次函数y1=k1x+b(k1≠0)的图象分别与x轴,y轴相交于点A,B,与反比

例函数y2=

(k2≠0)的图象相交于点C(-4,-2),D(2,4).(1)求一次函数和反比例函数的表达式;(2)当x为何值时,y1>0?(3)当x为何值时,y1<y2?请直接写出x的取值范围.

3.(2018山西,17,8分)如图,一次函数y1=k1x+81解析(1)∵一次函数y1=k1x+b的图象经过点C(-4,-2),D(2,4),∴

(1分)解得

(2分)∴一次函数的表达式为y1=x+2.

(3分)∵反比例函数y2=

的图象经过点D(2,4),∴4=

,∴k2=8.∴反比例函数的表达式为y2=

.

(4分)(2)由y1>0,得x+2>0.

(5分)∴x>-2.∴当x>-2时,y1>0.

(6分)(3)x<-4或0<x<2.

(8分)解析(1)∵一次函数y1=k1x+b的图象经过点C(-4,824.(2018江西,17,6分)如图,反比例函数y=

(k≠0)的图象与正比例函数y=2x的图象相交于A(1,a),B两点,点C在第四象限,CA∥y轴,∠ABC=90°.(1)求k的值及点B的坐标;(2)求tanC的值.

4.(2018江西,17,6分)如图,反比例函数y= (k≠83解析(1)∵y=2x的图象经过A(1,a),∴a=2×1=2.∵点A(1,2)在反比例函数y=

的图象上,∴k=1×2=2.由

得

或

∴B(-1,-2).(2)设AC交x轴于点D,

解析(1)∵y=2x的图象经过A(1,a),84∵A(1,2),AC∥y轴,∴OD=1,AD=2,∠ADO=90°.∵∠ABC=90°,∴∠C=∠AOD.∴tanC=tan∠AOD=

=

=2.思路分析

(1)先把A(1,a)代入y=2x得a的值,再利用待定系数法求得反比例函数解析式,然后解

方程组

得点B的坐标;(2)利用同角的余角相等推出∠C=∠AOD,在Rt△AOD中利用正切的定义求解即可.方法指导

在一次函数的图象与反比例函数的图象相交求函数解析式的过程中,通常是把交

点坐标代入其中一个函数解析式,求得字母的值,再利用待定系数法求另一个函数的解析式.∵A(1,2),AC∥y轴,思路分析

(1)先把A(1855.(2016内蒙古呼和浩特,23,8分)已知反比例函数y=

的图象在二四象限,一次函数为y=kx+b(b>0).直线x=1与x轴交于点B,与直线y=kx+b交于点A;直线x=3与x轴交于点C,与直线y=kx+b交

于点D.(1)若点A、D都在第一象限,求证:b>-3k;(2)在(1)的条件下,设直线y=kx+b与x轴交于点E,与y轴交于点F,当

=

且△OFE的面积等于

时,求这个一次函数的解析式,并直接写出不等式

>kx+b的解集.5.(2016内蒙古呼和浩特,23,8分)已知反比例函数y=86解析(1)证明:由反比例函数的图象在二四象限可知k<0.(1分)∴一次函数y=kx+b的函数值y随x的增大而减小,∵A、D两点都在第一象限,∴3k+b>0,且k+b>0,

(2分)∴b>-3k.

(3分)(2)由题意得

=

,∴

=

,①

(4分)∵E

,F(0,b),

(5分)∴S△OEF=

·

·b=

,②

(6分)解由①②联立的方程组,得k=-

,b=3,∴这个一次函数的解析式为y=-

x+3.

(7分)解集为

<x<0或x>

.

(8分)解析(1)证明:由反比例函数的图象在二四象限可知k<0.(876.(2016四川南充,21,8分)如图,直线y=

x+2与双曲线相交于点A(m,3),与x轴交于点C.(1)求双曲线解析式;(2)点P在x轴上,如果△ACP的面积为3,求点P的坐标.

6.(2016四川南充,21,8分)如图,直线y= x+2与88解析(1)∵A(m,3)在直线y=

x+2上,∴

m+2=3,

(1分)解得m=2.∴A的坐标为(2,3).

(2分)设双曲线解析式为y=

(k≠0).

(3分)∵点A(2,3)在双曲线上,∴3=

,解得k=6.故双曲线解析式为y=

.

(4分)(2)∵点C是直线y=

x+2与x轴的交点,∴C(-4,0).

(5分)∵点P在x轴上,设点P到点C的距离为n,且A(2,3),∴S△ACP=

n·3=3,解得n=2.

(6分)∴P(-2,0)或P(-6,0).

(8分)解析(1)