2019届二轮复习 抛物线 学案 (全国通用)

考点40抛物线考纲解读1)了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2)掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.知识整合丿知识整合丿一、抛物线的定义和标准方程1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.抛物线关于过焦点F与准线垂直的直线对称，这条直线叫抛物线的对称轴，简称抛物线的轴．注意：直线l不经过点F,若l经过F点，则轨迹为过定点F且垂直于定直线l的一条直线.抛物线的标准方程顶点在坐标原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线的标准方程为y2二2px(p>0)；顶点在坐标原点，焦点在x轴负半轴上的抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0)；顶点在坐标原点，焦点在y轴正半轴上的抛物线的标准方程为x2二2py(p>0)；顶点在坐标原点，焦点在y轴负半轴上的抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0).注意：抛物线标准方程中参数p的几何意义是抛物线的焦点到准线的距离，所以p的值永远大于0,当抛物线标准方程中一次项的系数为负值时，不要出现p<0的错误.二、抛物线的几何性质抛物线的几何性质

标准方程y2二2px(p>0)y2二-2px(p>0)x2二2py(p>0)x2二-2py(p>0)ytzk图形范围x>0,yeRx<0,yeRy>0,xeRy<0,xeR对称性关于x轴对称关于x轴对称关于y轴对称关于y轴对称几何焦占八\、八、、F与，0)F(-P,0)F(°,f)F(0,-p)性质准线方程x=-p2x=上2y=-p2y=彳顶点坐标原点(0,0)离心率e==12．抛物线的焦半径抛物线上任意一点P(x0,y0)与抛物线焦点f的连线段，叫做抛物线的焦半径.根据抛物线的定义可得焦半径公式如下表：抛物线方程y2二2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)焦半径公式1PF1=匕+x201PF1=匕-x20|PF|=彳+人IPFI=彳-y03．抛物线的焦点弦抛物线的焦点弦即过焦点F的直线与抛物线所成的相交弦.焦点弦公式既可以运用两次焦半径公式得到，也可以由数形结合的方法求出直线与抛物线的两交点坐标再利用两点间的距离公式得到，设AB为焦点弦，A(叫，y1)，B(x2,y2)，则1122抛物线方程y2二2px(p>0)y2=—2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=—2py(p>0)焦点弦公式IABI=p+(x+x)12IABI=p—(x+x)12IABI=p+(y+y)12IABI=p—(y+y)12其中，通过抛物线的焦点作垂直于对称轴而交抛物线于A,B两点的线段AB,称为抛物线的通径.对于抛物线y2二2px（p>0），由A（-|,p）,BGp，—P），可得1AB|=2P，故抛物线的通径长为2p.4.必记结论直线AB过抛物线y2二2px（p>0）的焦点，交抛物线于A%,y1），B（x2，y2）两点，如图:1）y』2=—p2,毕斗1）y』2=—p2,毕斗2）IABI=X]+x2+p,X]+x2^2\；X]X2=p,即当工]=工2时，弦长最短为2p.3）4）112丽+丽为定值p.弦长AB=sin^（«为ab的倾斜角）.5）以AB为直径的圆与准线相切.（6）焦点F对A,B在准线上射影的张角为90°.cj2D0•考向一抛物线的定义和标准方程1.抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点M,—个定点F（抛物线的焦点），一条定直线1（抛物线的准线），一个定值1（抛物线的离心率）.抛物线的离心率e=l,体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦的问题，可以优先考虑利用抛物线的定义将点到焦点的距离转化为点到准线的距离，即PF=x+2或PF=|y|+2，使问题简化.典例引领典例1平面内动点P到点F（0,2）的距离和到直线l:y=-2的距离相等，则动点P的轨迹方程为是.【答案】x2二8y【解析】由题意知,该点轨迹是以F（0,2）为焦点，卩=-2为准线的抛物线，其中p=4，所以方程为x2=8y.【名师点睛】本题主要考查了抛物线的定义，抛物线的标准方程，属于中档题.典例2抛物线y2二2px（p>0）上的动点Q到其焦点的距离的最小值为1,则p二1TOC\o"1-5"\h\zA.B.12C.2D.4【答案】C【解析】抛物线F=耳心>0〕上的动点0到其焦点的距离的最小值即到准线的最小值，很明显满足最小值的点为抛物线的顶点，据此可知：|==2.本题选择C选项.【名师点睛】本题主要考查抛物线的定义及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.由题意结合抛物线的定义确定点的位置，然后求解p的值即可.变式拓展1.已知F是抛物线y2=4x的焦点，M,N是该抛物线上两点，|MF|+|NF|=6，则MN的中点到准线的距离为3A.B.22C.3D.4C.333考向二求抛物线的标准方程1．求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点的位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.2．用待定系数法求抛物线标准方程的步骤：定位置设方程寻关系根据条件列出关于卫的方程解方程,将P代入所设方程为麻得方程定位置设方程寻关系根据条件列出关于卫的方程解方程,将P代入所设方程为麻得方程根据条件确定抛物线的焦点在哪条坐标轴上及开口方向若无法确定抛物线的位置，则需分类讨论.特别地，已知抛物线上一点的坐标，一般有两种标准方程.典例引领典例3若点A,B在抛物线y2=2px(p>0)上,0是坐标原点，若正三角形OAB的面积为4少,则该抛物线的方程是C．y2=2D．C．y2=2D．B．y2=【答案】A【解析肿艮据对称性，可知的丄a■轴■由于正三角形0AB的面积是4千故迺卫乎=4丢故貝於吐正三角形0AB的高为打③故可设点卫的坐标加护;代入抛物线方程得解得尸£■故所求抛物线的方程为“居典例4求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求出对应抛物线的准线方程．(1)过点(一3,2)；(2)焦点在直线x-2y-4=0上.【解析】(1)设所求抛物线的方程为r=—莎或疋=如3>0).=g•••过点™…+-如日或―曲「叱或g故所求抛物线的方程为v2=—扌工或/对应的准线方程分别是x=j,y=~⑵令x=0得1-=-2令匸=0得工=4…■•抛物线的焦点为〔4,0〕或(0,-2).当焦点为〔40)时，^=4,:.p=S?此时抛物线的方程为十=1&口当焦点为①-2)时，2=1,：■»八,此时抛物线的方程为-v:=-8y.故所求抛物线的方程为r=16.v或A-=-Si-,对应的准线方程分别是工=7,1=2变式拓展2•顶点在原点，且过点(-4,4)的抛物线的标准方程是B.x2二4yB.x2二4yC.C.y2=—4x或x2二4yD.y2二4x或x2=—4y考向三抛物线的简单几何性质及其应用确定及应用抛物线性质的关键与技巧：关键：利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时,关键是将抛物线方程化成标准方程技巧：要结合图形分析,灵活运用平面几何的性质以图助解.典例引领典例5已知等腰三角形OPM中，OP丄MP,O为抛物线y2=2px(p>0)的顶点，点M在抛物线的对称轴上,点P在抛物线上，则点P与抛物线的焦点F之间的距离是A.2J2pB.=p2C.2pD.迈p

【答案】B【解析】由题意得yp=Xp二Xp2=2PXp二Xp=2P，因此点P与抛物线的焦点F之间的距离为x+彳=5p，选B.p22【名师点睛】（1）凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．（2）解答本题的关键是画出图形，利用抛物线的简单几何性质转化求解即可．变式拓展3-已知抛物线C:X2二2Py（P>°）的焦点为F，抛物线C的准线与y轴交于点A，点M（1,人）在抛物线C上,|MF|=5y°C上,|MF|=5y°则tanZFAM=A．C．2545B．D．5254考向四焦点弦问题与抛物线的焦点弦长有关的问题，可直接应用公式求解.解题时，需依据抛物线的标准方程，确定弦长公式是由交点横坐标定还是由交点纵坐标定，是p与交点横（纵）坐标的和还是与交点横（纵）坐标的差，这是正确解题的关键.典例引领典例6过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于点A（x1,y1）,B（x2,y2）,若IABI=7，求AB的中点M到抛物线准线的距离.【解析】抛物线的焦点为凤隹线方程为仁-1-由抛物线的定义知嗣1=1^1+1盯=*十心-|=.7-艺即心+%+2=匚得况+孔=5,于是弦曲的中点虫的横坐标为F因此点M到抛物线准线的距勖|+1=--典例7已知过抛物线y2=2px（p>°）的焦点，斜率为2於的直线交抛物线于A（x1，y1）,B（x2，y2）（x1<x2）两点，且|AB|=9.（1）求该抛物线的方程;（2）O为坐标原点,c为抛物线上一点，若必=（帀，求久的值.【解析】⑴直线AB的方程是尸乙尹牛与少=羽联立’从而有4护-羽l护=0,所以工1+范=子.由抛物线的定义，得\AB\=xi-xi-p=9:所以.去=屯从而抛物线的方程是K=8-V.（2）因为尸屯所以牧：-知:-护=山可简化为x2-5.y-4=0:从而工]=1卫=4加二2说肿=4¥'2从而点1显芒）夙斗舟②一设Qjq肿乂则示妙=〔1,J芒）-A（4:4v2>（4z-lr4v'2；.-2v2）.又疋=沁所以.[2芒辺.-l）F=g（就+1）即（及-1卩=4戈-1=解得2=0或z=2.变式拓展4.过抛物线y2二2px（p>0）的焦点的直线l与抛物线交于A，B两点，以AB为直径的圆的方程为（x-3）2+（y-2）2=16，则p二A.1B.2C.3D.4考向五抛物线中的最值问题抛物线中经常根据定义把点到焦点的距离和点到准线的距离进行互相转化，从而求解.有关抛物线上一点M到抛物线焦点F和到已知点E（E在抛物线内）的距离之和的最小值问题，可依据抛物线的图形，过点E作准线l的垂线，其与抛物线的交点到抛物线焦点F和到已知点E的距离之和是最小值.学！典例引领

典例8如图,已知点Q(2Q，o)及抛物线y—上的动点Pgy),则y+IPQI的最小值是A．2B．3C.4D.2溟【答案】A【解析】如團，作丄戈轴于貝点，并与准线相交于月点一抛物线厂二盯的焦点为珥准线为$=由抛物线的几何意义可得IP引=IPD，所以.y^\PQ\=\PA\^\PQ\=\PB\^\PQ\-i=\PF—^|-1=vT+8-1=2.故选扎典例9已知抛物线的方程为x2=8y,F是焦点，点A(-2,4),在此抛物线上求一点P,使IPFI+IPAI的值最小.【解析】・・・(-2)2v8x4,・・・点A(-2,4)在抛物线x2=8y的内部.如图所示，设抛物线的准线为1,过点P作PQ丄l于点Q,过点A作AB丄l于点B,连接AQ.由抛物线的定义可知屮刃十丹|=尸切-別車Q斗闵当且仅当P.QA三点共线时」叩+腳取得最小值卸嗣•■•越24),二不妨设FF+|P同的值最小时:点耳的坐标为(-2.ro)：代入抛物线方程工红即得yo=|..•.使尸列+血的值最小的抛物线上的点P的坐标为(-2r|)-变式拓展5.已知抛物线y2二4x,过焦点F作直线与抛物线交于点A,B，设|AF|=m,IBF|=n，则m+n的最小值为A.2B.3C.'3D.4誉点冲关■丸i•抛物线y=1x2的准线方程是4a.y=-1b.y=1C.x=-1D.x=1已知m,nwR，贝fmn<0”是“抛物线mx2+ny二0的焦点在y轴正半轴上”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件以x轴为对称轴,通径长为8,顶点为坐标原点的抛物线方程是A.y2=8xB.y2=-8xC.y2=8x或y2=-8xD.x2=8y或x2=-8y已知抛物线y2=4x上一点M与该抛物线的焦点F的距离IMFI=4,则点M的横坐标x=A.0B.3C.2D.4已知点M(-3,2)是坐标平面内一定点，若抛物线y2=2x的焦点为F,点Q是该抛物线上的一动点，则IMQI-IQFI的最小值是7A.B.325C.D.226•设F为抛物线C:y2二4x的焦点，M为抛物线C上的一点，O为原点，若^OFM为等腰三角形，则^OFM的周长为A.4B.2.5+1C.f5+2或4D.^5+1或47.F是抛物线y2=2x的焦点，以F为端点的射线与抛物线相交于点A，与抛物线的准线相交于点B,若FB=4FA，则FA・FB=3TOC\o"1-5"\h\zA・1B・M29C・2D.丁48•曲线y=2x2上两点A（x「人）、Bg,y2）关于直线y=x+m对称，且片・x?=—1，则m的值为3A.B.22C.D.329•已知抛物线y2=2px（p>0）的焦点为F,抛物线上的两个动点A,B始终满足ZAFB=60°,过弦AB的中点H作抛HN物线的准线的垂线HN,垂足为N,则的取值范围为A.(0叵3c.[DD.（0,1]c.[D10•若抛物线y2=2px（卩>0）的焦点与双曲线才-y2=1的右顶点重合，则p=II.已知点A（1,yi）,B（9,y2）是抛物线y2=2px（p>0）上的两点，y2〉人〉0，点F是它的焦点，若BF=5AF，则y2+y的值为1212.已知等腰梯形ABCD的顶点都在抛物线y2=2px（p〉0）上，且AB^CD,AB=2,CD=4,ZADC=60°，则点A到抛物线的焦点的距离是已知抛物线C:y2=ax(a>0)的焦点为F,点A(O,1),射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,若IFMI:IMNI=1:3,则实数a的值为已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线方程是用=-1.求此抛物线的方程;设点M在此抛物线上，且|MF|=3,若。为坐标原点，求△OFM的面积.15.已知M,N是焦点为F的抛物线y2=2Px(P>0)上两个不同的点，线段MN的中点A的横坐标为4-彳.求IMFI+INF的值；若p=2,直线MN与x轴交于点B,求点B的横坐标的取值范围.16.设A,B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点，且满足OA丄OB(O为坐标原点).求证:(1)A,B两点的横坐标之积、纵坐标之积都为定值；(2)直线AB经过一个定点.CC．12D．10AA.16B.1417.已知抛物线C的顶点在原点，焦点在y轴上，且抛物线上有一点P（m，5）到焦点的距离为6.（1）求该抛物线C的方程；（2）已知抛物线上一点M（4,t），过点M作抛物线的两条弦MD和ME，且MD丄ME，判断直线DE是否过定点，并说明理由.1（2018新课标I理）设抛物线C：y2=4x的焦点为F,过点（-，0）且斜率为2的直线与C交于M，N两点，则FM・FN=TOC\o"1-5"\h\zA.5B.6C.7D.82.（2016新课标全国I理）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点，交C的准线于D,E两点.已知|ABI=4\/2，IDEI=2J5，则C的焦点到准线的距离为A.2B.4C.6D.8（2017新课标全国I理）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线11，12,直线11与C交于A、B两点，直线12与C交于D、E两点，则IABI+IDEI的最小值为TOC\o"1-5"\h\z（2016浙江理）若抛物线y^=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是.（2017新课标全国II理）已知F是抛物线C:y2=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN=.（2018新课标III理）已知点M（-匕1）和抛物线C：y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若ZAMB=90°，则k=.113913（2017浙江）如图，已知抛物线x2二y，点A（--,才），B（^，才），抛物线上的点P（x,y）（—-<x<㊁）.过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.1）求直线AP斜率的取值范围（2）求IPAI-1PQI的最大值.8.（2016新课标全国III理）已知抛物线C:y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，12分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点.（1）若F在线段AB上,R是PQ的中点，证明ARFQ；（2）若厶PQF的面积是AABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.9.（2018新课标II理）没抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k（k〉0）的直线l与C交于A,B两点，IABI=8.（1）求/的方程；（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程.10.（2018北京理）已知抛物线C：y2=2px经过点P（1，2）.过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于M,直线PB交y轴于N.（1）求直线l的斜率的取值范围；（2）设O为原点，QM二九QO，QN二卩QO，求证：|+丄为定值.九p变式拓展1.【答案】C【解析】由题意，F是抛物线y:=丄¥的焦点,所以.FiLOb准线方程为.V=-1,设M|耳J】):_V|.v;:y;),所以阿+W\+l+.v;+l=6,解得耳+芒=4,所以线段止TV的中点的横坐标为2,所以线段的中点到该抛物线的准线的距离为2+1=3.故选C.【名师点睛】本题主要考查了抛物线的定义、标准方程的应用，其中熟记抛物线的定义、标准方程，把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离是解答的关键，着重考查了转化思想的应用，属于基础题.根据抛物线的方程求出准线方程，再利用抛物线的定义，列出方程求出M,N的中点的横坐标，再求出线段MN的中点到抛物线的准线的距离.2．【答案】C【解析】•・•抛物线的顶点在原点，且过点(-4,4)・••设抛物线的标准方程为x2二2py(p>0)或y2=-2px(p>0)，将点(+)的坐标代入抛物线的标准方程V-=切(P>0)得：16=也■W•••此时抛物线的标准方程为宀」厂将点1-441的坐标代入抛物线的标准方程V-二-莎(.p>0),同理可得卫=2,•••此时抛物线的标准方程为r=-4.v.综上可知，顶点在原点，且过点I-4,4I的抛物线的标准方程是j-=-4.v或<=4匸・故选C.【名师点睛】本题考查抛物线的标准方程，得到所求抛物线标准方程的类型是关键，考查待定系数法，属于中档题.依题意，设抛物线的标准方程为x2二2py(p>0)或y2二—px(p>0)，将点(-4,4)的坐标代入抛物线的标准方程，求得p即可.注意，本题也可用排除法，因为抛物线经过点(-4,4),且该点在第三象限，所以抛物线的开口朝上或朝左，观察各选项知选项C符合题意.3.【答案】Cp5【解析】由抛物线的定义知|mf|=y0+1=y0,解得y0=2p,又点M(1,y)在抛物线C上，代入X2二2py解得y=1,p=1.TOC\o"1-5"\h\zoo2AE14过点M作抛物线的准线的垂线，设垂足为E,则tanZFAM=tanZAME=——=—=-\o"CurrentDocument"ME—54故选C.【名师点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，属于基础题.先利用抛物线的定义和已知条件求出y=1,p=1，再过点M作抛物线的准线的垂线，设垂足为E,最后解直角三角形AME得tanZFAM的o2值.【答案】B【解析】设过抛物线y2二2px(p>0)的焦点的直线l与抛物线交于A(X,y),B(x,y)两点，则1122AB=x+x+p，乂因为以AB为直径的圆的方程为(x一3)2+(y-2)2=16，所以12AB=x+x+P=6+P=8，解得p=2.故选B.12【名师点睛】涉及过抛物线的焦点的弦的长度问题，往往要借助抛物线的定义转化为抛物线上的点到准线的距离，比联立方程利用弦长公式进行求解减少了计算量.学.【答案】D【解析】由题意知，抛物线F■的焦点坐标为1101,准线方程为.v=-l,当斜率上存在时,设直线AB的方程为》—I,联立抛物线方程，可得M+4山+P=0,设心亦+”+存山T依据抛物线定义得出珂=耳+1卫=x-：-!=>???-?■■=.V--.v:-2>4当斜率上不存在时，易得w+^=4.则w+?^的最小值是4,故选D_【名师点睛】本题主要考查抛物线的定义以及直线与抛物线的位置关系，属于中档题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：(1)将抛线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.考点冲关1.【答案】A【解析】…抛物线的标准方程为x2=4y，焦点在y轴上，•••2P=4，即p=2,・•・|=1，则准线方程为y=_1.故选A.【名师点睛】本题主要考查了抛物线的基本性质，先将其转换为标准方程，然后求出准线方程，属于基础题.2．【答案】Cnn【解析】若'mn<0”，则x2=-y中的->0，所以“抛物线mx2+ny二0的焦点在y轴正半轴上”TOC\o"1-5"\h\zmmnn成立，是充分条件；反之，若“抛物线mx2+ny=0的焦点在y轴正半轴上”，则x2=-y中的->0mm即mn<0，则“mn<0”成立，故是充分必要条件.故答案为C.【名师点睛】(1)本题主要考查充要条件的判断和抛物线的几何性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)判断充要条件，首先必须分清谁是条件，谁是结论，然后利用定义法、转换法和集合法来判断.3．【答案】C【解析】依题意设抛物线方程为y2=±2px(p>0),则2p=8,所以抛物线方程为y2=8x或y2=-8x.故选C.4．【答案】B【解析】•抛物线y2=4x,・P=2，由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，・|MF|二4，即有x+彳=4,・x=3.M2M故选B.【名师点睛】活用抛物线的定义是解决抛物线问题最基本的方法，抛物线上的点到焦点的距离，叫焦半径.到焦点的距离常转化为到准线的距离求解.5．【答案】C

1【解析】抛物线的准线方程为x=-2，当MQ〃x轴时，IMQI-IQFI取得最小值，此时5IMQI-IQFI=I2+3I-I2+-I=-・6．【答案】D【解析】①若MO=MF,即点姙在直线21上，解得玩,±忑)，所以的周长为2x|+l=4j②若。M=OF,设彳手也L所以需+讨=1,解得+2775-2),所以\MF\=^-1,所V.AOFM的周长为75-1+1+1=75+1-故选D_【名师点睛】本题考查抛物线的性质.由题意可知，满足要求的点有两个，所以进行分类讨论.本题的关键就是求出M的坐标，求出周长，所以只需设出M的坐标，结合各自的等量关系，求坐标，得到周长.7．7．答案】D11士=11士=3,则m=二FA”Fb|cosO=4.故本题选D.【解析】由题意得F(2,0)，设点A的横坐标为m，则由抛物线的定义，可得13所以FA=4,FB=3，所以FA•FB=8.【答案】A【解析】设直线曲的方程为尸-科&代入y=2x2得X+m,.■■工网一斗，xixa=一£=-斗■即的的方程为尸-艾+1.设的的中点为Mg加，则工尸西［比—代入it=-.vc-l,得"I沪］.又旗(一扌，［［在尸=工+朋上，■■■［1扌一用・二用二三■故答案为A【名师点睛】这是属于圆锥曲线中的中点弦问题，可以联立，由根与系数的关系得到中点坐标，代入已知直线.还有解决中点弦问题和对称问题，可以利用点差法，由两式作差直接得中点坐标和直线斜率的关系.学！9.【答案】D

TOC\o"1-5"\h\z【解析】过A,B分别作抛物线准线的垂线AQ,BP，垂足分别为Q,P，设IAFI=a,IBFI=b，贝V由抛物线的定义,a+bA得IAQI=a,IBPI=b，所以\HN\=.在AABF中，由余弦定理得IAB|2=a2+b2-2abcos60°=a2+b2-ab，所以a+b\o"CurrentDocument"HN~2~a+ba+b1AB^a2+b2-ab2Ja2+b2—ab2『（a+b1一3ab2~3ab~，因为a+b>^^,所以\o"CurrentDocument"72『-（^HN，当且仅当a=b时等号成立，故匸亍的取值范围为（0,1].故选D.10．【答案】4【解析】由双曲线｝-y2=1可得a=2,则双曲线的右顶点为（2,0）,则与=2,所以p=4.11．【答案】10【解析】由抛物线的定义可得|AF|=1+2,|BF\=9+2，依据题设可得9+1=5+¥=P=2,12．则y.=4x112．则y.=4x1=4,y2=4x9=36ay2=6（舍去负值），故y2+儿=10,12应填10.【答案】哙【解析】由题意可设A（m,1）,D（m+朽,2）4=2p（m+1=2pm-P=拿m=¥，因此点A3到抛物线的焦点的距离是m+匕二—+—=2341213．13．【答案】溟a【解析】依题意得焦点F的坐标为（a，0），设M在抛物线的准线上的射影为K,连接MK,由抛物线的定义知k=0-1=-4疝IMFI=IMKI，因为IFMI：IMNI=1:3,所以\KN\：\KM\=2型:1，又，kFN=S=-^，所以a=2渥解得14.【解析】（1）因为抛物线的准线方程为兀=-1,

所以得p=所以抛物线的方程为厂=4a-_（2）设则（坯』“因为点网（坯』0〕在抛物线上「且2吓=3:由抛物线定义知悶刁=S，得坯=2-由菇（2去）在抛物线上，满足抛物线的方程严二4工诙口坯=±2血所以.A0FS1的面积为|pF||r:|=ixlx272=VI.15．【解析】⑴设M（X],yi）,Ng,y2）,则£+x?二8-p,15．・•・|MF|・•・|MF|+|NF二X1+x2+P=8.=x+PNF12而|mf=x+匕22⑵当p=2时,抛物线方程为y2=4x.①若直线MN的斜率不存在，则B（3,0）.②若直线MN的斜率存在，设A（3,t）（洋0）,则由⑴知F1力1,整理得y’2-y22=4（X-x2）Iy2=4x121222三5『2）=4,即kMN=f12.・・直线MN:y-t=|（x-3），y一t=—（x一3）由/t消去X得y2-2ty+2t2-12二0,y2=4x由A>0得0vt2<12,・•・3-—e（-3,3）.2

综上，点B的横坐标的取值范围为（-3,3】.名师点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的相关问题，意在考查学生理解能力、分析判断能力以及综合利用所学知识解决问题的能力和较强的运算求解能力，其常规思路是先把直线方程与圆锥曲线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.在得到三角形的面积的表达式后，能否利用换元的方法，观察出其中的函数背景成了完全解决问题的关键.16．【解析】⑴设A16．【解析】⑴设A（x1，y1）,B（x2，y2）,^卩i=2pX],则直线ab的方程为y―y广・（x―x]）,丿1丿22p2p处2p儿乃・・・y=^K芒1+乃环+儿=儿+乃.x+班+乃又y1y2=-4p2,2p4p2p4p22p・y=RIx_^^一k\x-2p).・•・直线AB过定点（2p,0）.p17.【解析】（1）由题意设抛物线方程为x2=2py（p>0），其准线方程为y=-专

•••点鬥理5.1到焦点的距离等于尸到其准线的距高,5+吕=6=卫=2_所以抛物线方程^.v:=4y.设直线"D的方程为:y=^i.v-4i-4,v=7l(\—4)+4_联立“、，得.V-4tc-16^-16=0；f=4i'16^-16,设D(.v1：”):E[X.:y；j,则.v._f-.v-=16^-16,同理，车=—’一41-=41-1'，k八•、上-丫「(x—僦+4]4(^-ir-4；-+1「(x—僦+4]所以直线DE的方程为y-4(7:-if=-—:44Z：-4+-+4kG-4k+4)彳k-1-2)G-4k+4)‘(1)4(1)41)x+4k一一二k-—-21k丿kk丿化简得y二(x+4)+8.•••直线DE过定点（—4,8）.【名师点睛】（1）本题主要考查了抛物线的性质，考查了直线和抛物线的位置关系和直线的定点问题.（2）定点问题：对满足一定条件曲线上两点连接所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，证明直线过定点，一般有两种方法：①特殊探求，一般证明：即可以先考虑动直线或曲线的特殊情况，找出定点的位置，然后证明该定点在该直线或该曲线上（定点的坐标直线或曲线的方程后等式恒成立）.②分离参数法：一般可以根据需要选定参数九wR,结合已知条件求出直线或曲线的方程，分离参数得到等式f(x,y以2+f(x,y)九+f(x,y)=0，(一般地，f(x,y)(i二1,2,3)为关于x，y的二元一123ifi(x,y)=0次关系式)由上述原理可得方程组｛打(x,y)=0，从而求得该定点.、f3(x,y)=0直通高考【答案】D【解析】根据题意，过点(-2,0)且粥率为;的直线方程y=^i.v+2h与抛物线方程联立得"「亍曲+'\消元整理得:r-6y+S=0,解得旧(1丄)=¥(4冲)，又叭1®,=4.v所以厉7=iq乩丙=厲几从而可以求得Ml-?T=0x3+2x4=8,故选D.【名师点睛】该题考查的是有关直线与抛物线相交求交点坐标所满足的条件的问题，在求解的过程中，首先需要根据题意确定直线的方程，之后需要联立方程，消元化简求解，从而确定出M(1,2),N(4,4)，之后借助于抛物线的方程求得F(1，°)，最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数量积坐标公式求得结果，也可以不求点M、N的坐标，应用根与系数的关系得到结果.【答案】B【解析】如图，设抛物线方程为y2=2px(p>0)，圆的半径为r,AB,DE分别交x轴于C,F点，贝yTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"44IACI二2巨，即A点纵坐标为2血，则A点横坐标为，即1OC|=，由勾股定理知\o"CurrentDocument"PPIDFI2+1OFI2=|DOI2=r2，IACI2+1OCI2=|AOI2=r2，即g5)2+(£)2二(2.2)2+(-)2，解得\o"CurrentDocument"2PP=4，即C的焦点到准线的距离为4,故选B.

名师点睛】本题主要考查抛物线的性质及运算,注意解析几何问题中最容易出现运算错误,所以解题时一定要注意运算的准确性与技巧性,基础题失分过多是相当一部分学生数学考不好的主要原因.3.【答案】A【解析】设用乞壬（冬3〕疋〔心兀），名师点睛】本题主要考查抛物线的性质及运算,注意解析几何问题中最容易出现运算错误,所以解题时一定要注意运算的准确性与技巧性,基础题失分过多是相当一部分学生数学考不好的主要原因.3.【答案】A【解析】设用乞壬（冬3〕疋〔心兀），直线A的方程为F=gT）,联立方程'-i■*=4y_■:+4“-；2得疋丘-2心-抵=•—手同理直线b与抛物y=7q(.v-l)<&线的交点满足卫+-%=~p~,由抛物线定义可知|.述|+1DE|=兀+孔+卫+x斗+2戸=电二++S>2j^+S=16,当且仅当俎=-池=1（或-1）时，取等号.故选乩名师点睛】对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，将到定点的距离转化到准线上；另外，直线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握.考查最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决.此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为口，则2p2pIAB1=丄，贝JDEl=+n=CO$a，所以IABI+1DE1=旦一+~^=4(—1—+sin2asin2(a+—)cos2asm2acos2a11)=4(sin2a+丄)32a+sin2a)=4(2+叱+注)>4x(2+2)=16cos2asin2acos2asin2a4.【答案】解析】x+1=10亠x=9MM思路点睛】当题目中出现抛物线上的点到焦点的距离时，一般都会想到转化为抛物线上的点到准线的距离.解答本题时转化为抛物线上的点到准线的距离，进而可得点到y轴的距离.5.【答案】6【解析】如图所示，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线与x轴交于点F'，作MB丄l于点BNA丄l于点a，由抛物线的解析式可得准线方程为x=-2，则1AN1=2,1FF1=4在直角梯形ANFF'中，中位线I在直角梯形ANFF'中，中位线IBM1=IANI+1FF'I2由抛物线的定义有：1MF|=|MB|=3，结合题意，有IMNI=IMF1=3，故FN=FM+NM=3+3=6.【名师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离（抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离）进行等量转化.如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题.因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化.6.【答案】2【解析】设AI耳0壬1,则住「丄.所以.尸-4.v-g,所以.上=旦二总=y：-=4.v:耳一芒””取AB中点,y：I芳别过点A3作抛物线准线V二-1的垂线,垂足分别为虽阶设尸为f的焦点因为=90：所以.卩门『|=|\AB\=Z||JF|-|^F||=占|丄』［-1胭.因为M为的中点，所以平行于工轴一因为所以”=1,则＞i+＞：=-,即上=2.故答案为2.【名师点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的性质，设AQ,yi）,B（x2,y丿1122y-y4利用点差法得到k=T2=，取AB中点M'（x0，y丿,分别过点A,B作抛物线准线x=-1的垂x—xy十y001212线，垂足分别为A'，B，由抛物线的性质得到|MM‘|=2qAA'|+|BB'|）,进而得到斜率.

7.【解析】(1)设直线貝卩的斜率为島血=—=-<-^TOC\o"1-5"\h\z.v+--\o"CurrentDocument"13因-v<-,所以■直线，尸斜率的取值范围是(-1=1)■\o"Cur