2020高中数学 模块质量检测（含解析）2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE15-学必求其心得，业必贵于专精模块质量检测一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是（）A．圆柱B．圆锥C．球体D．圆柱、圆锥、球体的组合体解析：当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形和三角形，只有球满足任意截面都是圆面．答案：C2．已知直线x－eq\r(3）y－2＝0，则该直线的倾斜角为()A．30°B．60°C．120°D．150°解析:直线x－eq\r(3）y－2＝0的斜率k＝eq\f（\r（3)，3），故倾斜角为30°,故选A。答案：A3．点P（2，m)到直线l：5x－12y＋6＝0的距离为4，则m的值为（）A．1B．－3C．1或eq\f（5,3）D．－3或eq\f(17，3)解析：利用点到直线的距离公式．答案：D4．圆（x＋2）2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为（）A．内切B．相交C．外切D．相离解析:两圆的圆心分别为（－2，0)，(2,1),半径分别为r＝2,R＝3两圆的圆心距离为eq\r(－2－22＋0－12)＝eq\r（17)，则R－r<eq\r（17)〈R＋r,所以两圆相交，选B。答案:B5．在空间给出下面四个命题(其中m，n为不同的两条直线,α，β为不同的两个平面)：①m⊥α,n∥α⇒m⊥n②m∥n，n∥α⇒m∥α③m∥n，n⊥β,m∥α⇒α⊥β④m∩n＝A，m∥α,m∥β，n∥α，n∥β⇒α∥β。其中正确的命题个数有（)A．1个B．2个C．3个D．4个解析:②中m也可能在平面α内，②错,①③④正确，故选C.答案:C6．点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD＝AD,则PA与BD所成角的度数为()A．30°B．45°C．60°D．90°解析:利用正方体求解，如图所示：PA与BD所成的角,即为PA与PQ所成的角，因为△APQ为等边三角形，所以∠APQ＝60°，故PA与BD所成角为60°，故选C。答案:C7．若直线（1＋a）x＋y＋1＝0与圆x2＋y2－2x＝0相切,则a的值为（）A．1或－1B．2或－2C．1D．－1解析：圆x2＋y2－2x＝0的圆心（1,0），半径为1，依题意得eq\f（｜1＋a＋0＋1|,\r(1＋a2＋1))＝1，即|a＋2|＝eq\r(a＋12＋1)，平方整理得a＝－1，故选D。答案：D8．已知三点A（－1,0,1），B（2,4,3)，C(5，8，5)，则()A．三点构成等腰三角形B．三点构成直角三角形C．三点构成等腰直角三角形D．三点构不成三角形解析:∵|AB|＝eq\r（29）,｜AC｜＝2eq\r（29)，|BC｜＝eq\r（29)，而｜AB|＋｜BC|＝｜AC|，∴三点A，B，C共线,构不成三角形．答案：D9．已知圆(x－2)2＋（y＋1)2＝16的一条直径通过直线x－2y＋3＝0被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为（)A．3x＋y－5＝0B．x－2y＝0C．x－2y＋4＝0D．2x＋y－3＝0解析:直线x－2y＋3＝0的斜率为eq\f(1,2)，已知圆的圆心坐标为（2，－1），该直径所在直线的斜率为－2，所以该直径所在的直线方程为y＋1＝－2（x－2),即2x＋y－3＝0，故选D.答案：D10．在四面体A－BCD中，棱AB，AC，AD两两互相垂直，则顶点A在底面BCD上的投影H为△BCD的()A．垂心B．重心C．外心D．内心解析:因为AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A，因为AB⊥平面ACD,所以AB⊥CD.因为AH⊥平面BCD，所以AH⊥CD，AB∩AH＝A，所以CD⊥平面ABH,所以CD⊥BH.同理可证CH⊥BD，DH⊥BC,则H是△BCD的垂心．故选A。答案:A11．若过点A（4,0)的直线l与曲线(x－2）2＋y2＝1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为(）A．［－eq\r(3)，eq\r(3)］B．（－eq\r(3），eq\r（3)）C.eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3))）D.eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f(\r（3）,3),\f（\r(3)，3）)）解析：设直线方程为y＝k(x－4），即kx－y－4k＝0,因为直线l与曲线(x－2）2＋y2＝1有公共点，所以圆心到直线的距离d小于或等于半径，∴d＝eq\f(｜2k－4k｜，\r(k2＋1））≤1，解得－eq\f(\r(3),3）≤k≤eq\f(\r(3）,3）.答案：C12．设A，B,C，D是一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9eq\r(3)，则三棱锥D－ABC体积的最大值为（)A．12eq\r（3)B．18eq\r(3)C．24eq\r（3)D．54eq\r（3）解析：由于△ABC为等边三角形且面积为9eq\r(3),故当三棱锥D－ABC体积最大时，点D到平面ABC的距离最大．设等边△ABC的边长为a，则eq\f（\r（3），4)a2＝9eq\r（3），得a2＝36，解得a＝6.设△ABC的中心为点E,连接AE，BE，CE，由正三角形的性质得AE＝BE＝CE＝2eq\r(3)，设球心为点O，连接OA，OB，OC，OE,OD，则OA＝OB＝OC＝4,则OE＝eq\r（42－2\r(3）2）＝2，故D到平面ABC的距离的最大值为OE＋OD＝2＋4＝6,则(VD－ABC）max＝9eq\r（3）×6×eq\f(1，3)＝18eq\r(3）。答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．如图所示，Rt△A′B′C′为水平放置的△ABC的直观图,其中A′C′⊥B′C′，B′O′＝O′C′＝1，则△ABC的面积为________．解析:由直观图画法规则将△A′B′C′还原为△ABC，如图所示，则有BO＝OC＝1，AO＝2eq\r(2)。故S△ABC＝eq\f（1,2）BC·AO＝eq\f（1，2)×2×2eq\r（2)＝2eq\r(2）。答案：2eq\r（2）14．已知点P（0，－1），点Q在直线x－y＋1＝0上，若直线PQ垂直于直线x＋2y－5＝0，则点Q的坐标是________．解析:设Q（x0，y0)，因为点Q在直线x－y＋1＝0上,所以x0－y0＋1＝0①又直线x＋2y－5＝0的斜率k＝－eq\f（1，2）,直线PQ的斜率kPQ＝eq\f（y0＋1,x0),所以由直线PQ垂直于直线x＋2y－5＝0，得eq\f(y0＋1,x0)·eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f(1,2)))＝－1②由①②解得x0＝2,y0＝3，即点Q的坐标是（2，3）．答案：(2,3)15．若直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆（x＋a)2＋（y＋b）2＝1的圆心位于第________象限．解析：（－a，－b）为圆的圆心,由直线经过一、二、四象限，得到a〈0，b>0,即－a>0,－b〈0，故圆心位于第四象限．答案：四16．如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，∠BAC＝30°,则此几何体的体积为________．解析:半圆旋转一周形成一个球体，其体积V球＝eq\f(4，3）πR3,内部两个圆锥的体积之和为V锥＝eq\f（1，3）πCD2·AB＝eq\f(1,3）π·eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（\r(3)，2)R)）2·2R＝eq\f(π，2)R3，所以所求几何体的体积为eq\f(4，3)πR3－eq\f(π，2)R3＝eq\f（5,6)πR3。答案:eq\f(6,5）πR3三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分）［2019·广州高一检测]三棱锥S－ABC中，SA⊥AB，SA⊥AC，AC⊥BC且AC＝2，BC＝eq\r(13)，SB＝eq\r（29).(1)证明：SC⊥BC.(2)求三棱锥的体积VS－ABC。解析：(1）证明：因为SA⊥AB，SA⊥AC,AB∩AC＝A，所以SA⊥平面ABC,所以AC为SC在平面ABC内的射影，又因为BC⊥AC，所以SC⊥BC.（2）在△ABC中，AC⊥BC，AC＝2，BC＝eq\r(13），所以AB＝eq\r（4＋13）＝eq\r(17),因为SA⊥AB，所以△SAB为直角三角形,SB＝eq\r(29)，所以SA＝eq\r(29－17）＝2eq\r（3)，因为SA⊥平面ABC，所以SA为棱锥的高,所以VS。ABC＝eq\f（1,3)×eq\f（1,2)×AC×BC×SA＝eq\f（1，6)×2×eq\r(13）×2eq\r（3）＝eq\f（2\r（39）,3).18．(12分)求经过直线x＋y＝0与圆x2＋y2＋2x－4y－8＝0的交点，且经过点P（－1,－2)的圆的方程．解析：解方程组eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＋y＝0，，x2＋y2＋2x－4y－8＝0，)）得x＝1，y＝－1或x＝－4,y＝4，即直线与圆交于点A(1，－1)和点B（－4,4)．设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0,分别将A，B，P的坐标代入，得方程组eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(1＋1＋D－E＋F＝0，,16＋16－4D＋4E＋F＝0，，1＋4－D－2E＋F＝0，）)解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（D＝3，,E＝－3,,F＝－8，))所求圆的方程为x2＋y2＋3x－3y－8＝0.19．（12分）已知圆的方程为x2＋y2＝8，圆内有一点P(－1，2），AB为过点P且倾斜角为α的弦．（1)当α＝135°时,求AB的长；(2）当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程．解析：有两种方法．（1)方法一(几何法)如图所示，过点O作OC⊥AB。由已知条件得直线AB的斜率为k＝tan135°＝－1，所以直线AB的方程为y－2＝－(x＋1），即x＋y－1＝0.因为圆心为(0，0）,所以｜OC｜＝eq\f(|－1｜，\r（2))＝eq\f(\r(2），2)。因为r＝2eq\r（2），所以|BC｜＝eq\r（8－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（\r(2）,2）))2）＝eq\f（\r(30),2)，所以|AB|＝2｜BC｜＝eq\r(30)。方法二(代数法）当α＝135°时，直线AB的方程为y－2＝－（x＋1)，即y＝－x＋1,代入x2＋y2＝8，得2x2－2x－7＝0。所以x1＋x2＝1，x1x2＝－eq\f（7,2），所以|AB|＝eq\r（1＋k2）|x1－x2｜＝eq\r（1＋1[x1＋x22－4x1x2］)＝eq\r（30)。（2)如图，当弦AB被点P平分时,OP⊥AB，因为kOP＝－2，所以kAB＝eq\f(1，2）,所以直线AB的方程为y－2＝eq\f（1，2)（x＋1），即x－2y＋5＝0。20．(12分)如图,四棱锥P。ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于低面ABCD，AB＝BC＝eq\f（1,2）AD,∠BAD＝∠ABC＝90°.（1)证明：直线BC∥平面PAD;(2）若△PCD的面积为2eq\r（7），求四棱锥P。ABCD的体积．解析：（1）证明：在平面ABCD内，因为∠BAD＝∠ABC＝90°,所以BC∥AD，又BC⊄平面PAD,AD⊂平面PAD，故BC∥平面PAD。（2)取AD的中点M,连接PM，CM，由AB＝BC＝eq\f（1，2）AD及BC∥AD，∠ABC＝90°，得四边形ABCM为正方形，则CM⊥AD，因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PM⊥AD，PM⊥平面ABCD，因为CM⊂平面ABCD，所以PM⊥CM，设BC＝x，则CM＝x，CD＝eq\r（2）x，PM＝eq\r（3)x，PC＝PD＝2x，取CD中点N,连接PN，则PN⊥CD，所以PN＝eq\f（\r（14),2）x，因为△PCD的面积为2eq\r（7)，所以eq\f（1，2）×eq\r（2）x×eq\f（\r（14），2）x＝2eq\r（7)，解得x＝－2（舍去)，x＝2，于是AB＝BC＝2，AD＝4，PM＝2eq\r（3）,所以四棱锥P。ABCD的体积V＝eq\f(1,3）×eq\f（2×2＋4，2）×2eq\r（3）＝4eq\r（3）。21．（12分）［2019·上饶县校级月考］已知圆C1:x2＋y2－6x－6＝0，圆C2：x2＋y2－4y－6＝0(1)试判断两圆的位置关系；（2）求公共弦所在的直线的方程；(3）求公共弦的长度．解析：(1）圆C1：x2＋y2－6x－6＝0,化为（x－3）2＋y2＝15，圆心坐标为(3，0），半径为eq\r(15);圆C2：x2＋y2－4y－6＝0化为x2＋(y－2）2＝10，圆心坐标(0，2），半径为eq\r（10）.圆心距为：eq\r（32＋22)＝eq\r(13)，因为eq\r(15）－eq\r(10）＜eq\r(13）＜eq\r(15)＋eq\r(10)，所以两圆相交．(2)将两圆的方程相减，得－6x＋4y＝0，化简得：3x－2y＝0,∴公共弦所在直线的方程是3x－2y＝0;(3)由(2)知圆C1的圆心(3，0）到直线3x－2y＝0的距离d＝eq\f（9，\r（9＋4））＝eq\f(9，\r(13)),由此可得，公共弦的长l＝2eq\r(15－\f（81，13）)＝eq