2020高中数学 课下梯度提能（二）弧度制 4

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE8-学必求其心得，业必贵于专精课下梯度提能（二）一、题组对点训练对点练一弧度的概念1．下列叙述中正确的是（）A．1弧度是1度的圆心角所对的弧B．1弧度是长度为半径的弧C．1弧度是1度的弧与1度的角之和D．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位解析：选D由弧度的定义知,选项D正确．2．与角－eq\f(π，6)终边相同的角是（)A.eq\f（5π，6）B。eq\f（π，3）C.eq\f（11π，6）D。eq\f(2π，3）解析:选C与角－eq\f(π，6）终边相同的角的集合为{α｜α＝－eq\f（π,6)＋2kπ，k∈Z}，当k＝1时，α＝－eq\f（π,6)＋2π＝eq\f（11π,6），故选C。3．角－eq\f(29，12)π的终边所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选D－eq\f(29,12)π＝－4π＋eq\f(19,12）π，eq\f(19，12）π的终边位于第四象限,故选D。对点练二角度与弧度的换算4．下列转化结果错误的是（）A．60°化成弧度是eq\f(π,3)B．－eq\f（10，3)π化成度是－600°C．－150°化成弧度是－eq\f(7，6）πD.eq\f（π,12）化成度是15°解析:选C对于A，60°＝60×eq\f（π，180）＝eq\f(π，3)；对于B，－eq\f（10π，3）＝－eq\f（10,3）×180°＝－600°;对于C，－150°＝－150×eq\f(π,180）＝－eq\f（5，6)π；对于D,eq\f（π，12）＝eq\f(1,12)×180°＝15°。5．把角－690°化为2kπ＋α(0≤α＜2π，k∈Z)的形式为________．解析：法一：－690°＝－eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(690×\f（π，180）））＝－eq\f（23，6）π.∵－eq\f(23,6）π＝－4π＋eq\f(π,6),∴－690°＝－4π＋eq\f(π，6）。法二:－690°＝－2×360°＋30°，则－690°＝－4π＋eq\f（π，6）.答案：－4π＋eq\f(π,6）6．已知角α＝－2020°。(1)将α改写成φ＋2kπ（k∈Z,0≤φ＜2π）的形式，并指出α是第几象限角;（2)在区间[－2π，4π）上找出与α终边相同的角．解：（1）因为α＝－2020°＝－6×360°＋140°,且140°＝140×eq\f(π，180)＝eq\f(7π，9)，所以α＝－12π＋eq\f（7π,9)，故α是第二象限角．(2)与α终边相同的角可表示为θ＝2kπ＋eq\f(7π，9)，k∈Z，又－2π≤θ＜4π,所以k＝－1,0，1，将k的值分别代入θ＝2kπ＋eq\f(7π，9），k∈Z,得θ＝－eq\f(11π,9)，eq\f(7π,9)，eq\f(25π,9）。对点练三扇形的弧长公式和面积公式的应用7．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对的弧长为()A.eq\f(40,3)πB。eq\f(20,3）πC.eq\f（200,3)D。eq\f（400,3)π解析:选A240°＝eq\f(240,180）π＝eq\f（4，3)π，∴弧长l＝eq\f（4,3)π×10＝eq\f(40，3)π,选A.8．若扇形的面积为eq\f（3π,8），半径为1，则扇形的圆心角为（）A。eq\f(3π,2）B.eq\f（3π,4）C。eq\f（3π,8）D.eq\f(3π，16）解析:选BS扇形＝eq\f（1,2）lR＝eq\f(1,2)（αR）·R＝eq\f（1，2）αR2，由题中条件可知S扇形＝eq\f（3π,8）,R＝1，从而α＝eq\f（2S扇形,R2)＝eq\f(\f（3π，4），1）＝eq\f（3π,4），故选B.9．一个扇形的面积为1，周长为4,则圆心角的弧度数为________．解析:设扇形的半径为R，弧长为l,则2R＋l＝4。根据扇形面积公式S＝eq\f(1，2)lR，得1＝eq\f(1，2）l·R.联立eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（2R＋l＝4，,\f(1，2）l·R＝1.））解得R＝1，l＝2，∴α＝eq\f(l，R）＝eq\f(2,1)＝2.答案：210。如图,已知扇形AOB的圆心角为120°，半径长为6，求弓形ACB的面积．解：∵120°＝eq\f(120，180）π＝eq\f（2，3)π，∴l＝6×eq\f（2，3）π＝4π，∴eq\o（AB，\s\up8（︵))的长为4π.∵S扇形OAB＝eq\f（1,2）lr＝eq\f（1，2)×4π×6＝12π,如图所示,有S△OAB＝eq\f（1,2)×AB×OD（D为AB中点)＝eq\f(1，2）×2×6cos30°×3＝9eq\r（3)。∴S弓形ACB＝S扇形OAB－S△OAB＝12π－9eq\r(3).∴弓形ACB的面积为12π－9eq\r(3）。二、综合过关训练1．角α的终边落在区间eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－3π，－\f(5π，2）)）内，则角α所在的象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选C－3π的终边在x轴的非正半轴上,－eq\f（5π,2)的终边在y轴的非正半轴上，故角α为第三象限角．2．如果1弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为（）A。eq\f(1,sin0.5）B．sin0。5C．2sin0。5D．tan0。5解析：选A连接圆心与弦的中点,则弦心距、弦长的一半、半径构成一个直角三角形．弦长的一半为1，弦所对的圆心角也为1，所以圆的半径为eq\f(1,sin0.5），所以该圆心角所对的弧长为1×eq\f（1,sin0。5)＝eq\f(1，sin0。5)，故选A。3．圆弧长度等于其所在圆内接正三角形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为（）A。eq\f(π,3）B。eq\f(2π，3)C.eq\r(3)D．2解析：选C如图,设圆的半径为R，则圆的内接正三角形的边长为eq\r(3)R,所以圆弧长度为eq\r(3）R的圆心角的弧度数α＝eq\f（\r(3)R，R）＝eq\r（3）。4．集合P＝｛α|2kπ≤α≤（2k＋1）π，k∈Z},Q＝｛α|－4≤α≤4},则P∩Q＝（）A．∅B．｛α｜－4≤α≤－π，或0≤α≤π｝C．｛α｜－4≤α≤4}D．｛α｜0≤α≤π}解析：选B如图,在k≥1或k≤－2时，［2kπ，(2k＋1）π］∩［－4,4］为空集,分别取k＝－1，0，于是A∩B＝｛α｜－4≤α≤－π，或0≤α≤π}．5．在△ABC中，若A∶B∶C＝3∶5∶7，则角A,B，C的弧度数分别为________．解析：A＋B＋C＝π，又A∶B∶C＝3∶5∶7，所以A＝eq\f(π,5），B＝eq\f（π，3),C＝eq\f（7π,15).答案：eq\f（π,5)，eq\f（π,3)，eq\f（7π,15)6．若角α的终边与eq\f（8π，5）角的终边相同，则在[0，2π]上，终边与eq\f(α,4）角的终边相同的角是________．解析：由题意，得α＝eq\f(8π,5)＋2kπ，∴eq\f（α，4)＝eq\f（2π,5）＋eq\f(kπ,2)（k∈Z）．令k＝0，1，2,3，得eq\f(α,4）＝eq\f(2π，5)，eq\f(9π，10），eq\f（7π,5)，eq\f（19π,10）。答案:eq\f（2π，5)，eq\f(9π,10)，eq\f(7π,5），eq\f(19π，10）7．已知α＝－800°.(1)把α改写成β＋2kπ（k∈Z，0≤β＜2π）的形式，并指出α是第几象限角;（2）求γ,使γ与α的终边相同，且γ∈eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f(π，2），\f（π，2)）).解：(1）∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝eq\f(14π，9),∴α＝－800°＝eq\f（14π，9）＋（－3）×2π。∵α与eq\f（14π，9)角终边相同，∴α是第四象限角．（2）∵与α终边相同的角可写为2kπ＋eq\f（14π,9),k∈Z的形式,而γ与α的终边相同,∴γ＝2kπ＋eq\f(14π，9)，k∈Z.又γ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f(π,2)，\f（π，2)）),∴－eq\f（π,2）〈2kπ＋eq\f(14π，9）<eq\f(π,2),k∈Z，解得k＝－1，∴γ＝－2π＋eq\f(14π,9）＝－eq\f(4π,9).8．如图所示,已知一长为eq\r（3）dm，宽为1dm的长方体木块在桌面上做无滑动的翻滚，翻滚到第四次时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成30°的角．求点A走过的路径长及走过的弧所在扇形的总面积．解：eq\o(AA1，\s\up8（︵