2020高中数学 课时素养评价三十一 平面向量线性运算的应用 2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE8-学必求其心得，业必贵于专精课时素养评价三十一平面向量线性运算的应用(25分钟·50分)一、选择题(每小题4分,共16分，多选题全部选对的得4分，选对但不全的得2分,有选错的得0分)1.已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（3，4)，B（5，2）,C(—1,—4),则该三角形为（）A。锐角三角形 B.直角三角形C。钝角三角形 D。等腰直角三角形【解析】选B。=（2，—2），=(—4，—8)，=(-6,—6）,所以｜|=22+(-2||=16+64=45,｜｜=36+36=62,所以|｜2+|｜2=|｜2，所以△ABC为直角三角形。2.(2019·临沂高一检测）在△ABC中，D为BC边的中点,已知=a，=b，则下列向量中与同方向的是 ()【解析】选A。因为D为BC边的中点，则有+=2，所以a+b与共线，又因为QUOTEa+b|a+b|与a+b共线,所以选项A正确.3。(多选题)△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a，b满足=2a，=2a+b，则下列结论正确的是 （)A。|b|=1 B。|a|=1C.a∥b D.(4a+b）⊥【解析】选B、D。如图,由题意,=-=(2a+b)-2a=b，则｜b|=2，故A错误；|2a|=2|a|=2,所以｜a｜=1,故B正确;因为=2a，=b,故a，b不平行,故C错误;设B，C中点为D,则+=2，且⊥，而2=2a+（2a+b）=4a+b,所以（4a+b)⊥，故D正确。4。两个大小相等的共点力F1，F2,当它们的夹角为90°时，合力的大小为20N，则当它们的夹角为120°时，合力的大小为 （)A.40N B.102NC.202N D。10N【解析】选B。对于两个大小相等的共点力F1，F2，当它们的夹角为90°,合力的大小为20N时,由三角形法则可知,这两个力的大小都是102N；当它们的夹角为120°时,由三角形法则可知力的合成构成一个等边三角形,因此合力的大小为102N。二、填空题(每小题4分,共8分）5.已知△ABC的三个顶点A（0，—4），B(4,0），C（—6，2)，点D，E,F分别为边BC，CA,AB的中点.则直线DE的方程为________，直线EF的方程为________.

【解析】由已知得点D（—1,1），E(—3,-1)，设M(x,y）是直线DE上任意一点,则∥。又=（x+1,y—1)，=（—2，-2),所以(-2）×（x+1)-(—2）×（y—1)=0,即x—y+2=0为直线DE的方程.同理可求,直线EF的方程为x+5y+8=0.答案：x—y+2=0x+5y+8=06.设O是△ABC内部一点，且+=-2，则△AOB与△AOC的面积之比为________.

【解析】设D为AC的中点,如图所示，连接OD，则+=2.又+=-2,所以=-,即O为BD的中点，从而容易得△AOB与△AOC的面积之比为1∶2.答案:1∶2三、解答题(共26分)7。(12分）已知A,B,C三点的坐标为(—1，0）,（3，—1），(1,2),并且=13,=13,求证:∥。【证明】设E，F的坐标分别为（x1,y1）,（x2,y2)，依题意有=（2，2）,=（-2,3)，=（4，—1）。因为=13，所以（x1+1，y1）=13(2,2）.所以点E的坐标为-1同理得点F的坐标为73,0，=又83×(—1）—4×-23=0,所以∥8。（14分）如图，点O是平行四边形ABCD的中心,E，F分别在边CD,AB上,且CEED=AFFB=求证:点E,O，F在同一直线上.【证明】设=m，=n，由CEED=AFFB=所以=+=13+12=—13m+12(m+n）=16=+=12+13=12(m+n)—13m=16m+12n.所以又O为和的公共点,故点E,O，F在同一直线上。（15分钟·30分)1.（4分）已知O是平面上的一定点,A,B,C是平面上不共线的三个动点,若动点P满足=+λ（+）,λ∈（0，+∞）,则点P的轨迹一定通过△ABC的()A。内心 B.外心 C。重心 D。垂心【解析】选C.由题意得-=λ(+）,即=λ(+),根据平行四边形法则，知+是△ABC的中线AD（D为BC的中点)所对应向量的2倍,所以点P的轨迹必过△ABC的重心.2.（4分)已知点A(2,0），B(—4，4),C（1,-1），D是线段AB的中点,延长CD到点E使|｜=2｜|,则点E的坐标为 ()A。-2,7C.2,-72【解析】选A。由已知得D(—1，2)，因为|｜=2｜|,所以=2，设E（x，y),则有(—2,3）=2(x+1,y—2),所以-2=2x3.(4分）在△ABC所在平面上有一点P，满足++=,则△PAB与△ABC的面积的比值是________。

【解析】由题意可得=2，所以P是线段AC的三等分点（靠近点A）,易知S△PAB=13S△ABC,即S△PAB∶S△ABC=1∶答案：1∶34.（4分)已知O是平面上的一定点，A，B,C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足=+λ,λ∈（0，+∞）,则点P的轨迹一定通过△ABC的________。

【解析】由条件,得-=λ，即=λ,而和分别表示平行于,的单位向量，故+平分∠BAC,即平分∠BAC,所以点P的轨迹必过△ABC的内心.答案:内心5.（14分)若平面向量α，β满足｜α|≤1,|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12,求α与β的夹角θ的取值范围【解析】因为以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，所以｜α｜｜β｜sin=12。因为α，β满足|α｜≤1,｜β｜≤1,所以12≤sinθ,因为θ∈（0，π)，所以θ∈π6,56π，所以α1。已知O为坐标原点,点A（4,0）,B（4，4),C(2，6),则AC与OB的交点P的坐标为________.

【解析】方法一:由O，P,B三点共线,可设=λ=(4λ，4λ)，则=—=(4λ-4，4λ).又=-=(-2，6），由与共线,得（4λ-4）×6—4λ×(-2）=0，解得λ=34，所以=34=(3，3），所以点P的坐标为（3,3）。方法二：设点P(x,y)，则=（x，y）,因为=(4,4)，且与共线,所以x4=y4,即x=y。又=（x—4，y）,=(—2，6)，且与共线,所以（x-4）×6-y×(-2)=0，解得x=y=3,所以点P的坐标为（3,3).答案:(3,3）2。在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6,M是AC边上靠近A点的一个三等分点,试问：在线段BM(端点除外）上是否存在点P使得PC⊥BM?【解析】以B为原点，BC边所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系。由于AB=AC=5,BC=6,所以B（0,0）,A（3,4)，C（6，0）