三垂线定理和逆定理

关于三垂线定理和逆定理第一页，共二十页，2022年，8月28日什么叫平面的斜线、垂线、射影？

如果aα,a⊥AO，思考a与PO的位置关系如何？∪aAPoαPO是平面α的斜线,O为斜足;PA是平面α的垂线,A为垂足;AO是PO在平面α内的射影.三垂线定理第二页，共二十页，2022年，8月28日性质判定定理性质线面垂直①线线垂直②线面垂直③线线垂直PO平面PAO∪a⊥PO③

三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。PA⊥αaα∪①PA⊥aAO⊥a②a⊥平面PAO三垂线定理PaAoα第三页，共二十页，2022年，8月28日

直线a在一定要在平面内，如果a不在平面内，定理就不一定成立。PAOaα例如：当b⊥时，

b⊥OA

如果将定理“在平面内”的条件去掉，结论仍然成立吗？b但

b不垂直于OP思考?第四页，共二十页，2022年，8月28日1、三垂线定理描述的是PO(斜线)、AO(射影)、a(直线)之间的垂直关系。2、a与PO可以相交，也可以异面。3、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理。说明：三垂线定理第五页，共二十页，2022年，8月28日例1直接利用三垂线定理证明下列各题：(1)

已知：PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点求证：PO⊥BD，PC⊥BD(3)已知：在正方体AC1中，求证：A1C⊥B1D1，A1C⊥BC1(2)已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，M是BC的中点，求证：BC⊥AMADCBA1D1B1C1(1)(2)BPMCA(3)POABCD第六页，共二十页，2022年，8月28日(1)

PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点，求证：PO⊥BD，PC⊥BDPOABCD证明:∵ABCD为正方形

O为BD的中点∴AO⊥BD

同理，AC⊥BD

AC是PC在ABCD上的射影∴

PC⊥BDPO⊥BD∴AO是PO在平面ABCD上的射影∴PA⊥平面ABCD∵BD平面ABCD又第七页，共二十页，2022年，8月28日PMCAB(2)已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，

M是BC的中点，求证：BC⊥AM证明:PM

⊥BC∴BC⊥AM∴PM是AM在平面PBC上的射影∴PA⊥平面PBC∵PB=PCM是BC的中点∵BC平面PBC又第八页，共二十页，2022年，8月28日(3)在正方体AC1中，求证：A1C⊥BC1

，A1C⊥B1D1∵在正方体AC1中

A1B1⊥面BCC1B1且BC1⊥B1C∴B1C是A1C在面BCC1B1上的射影CBA1B1C1ADD1证明：CBA1B1C1ADD1同理可证，

A1C⊥B1D1由三垂线定理知

A1C⊥BC1

第九页，共二十页，2022年，8月28日PMCABPAOaαA1C1CBB1OAαaP

我们要学会从纷繁的已知条件中找出或者创造出符合三垂线定理的条件解题回顾第十页，共二十页，2022年，8月28日三垂线定理解题的关键：找三垂！怎么找？一找直线和平面垂直二找平面的斜线在平面内的射影和平面内的一条直线垂直注意：由一垂、二垂直接得出第三垂并不是三垂都作为已知条件解题回顾PAOaα第十一页，共二十页，2022年，8月28日

关于三垂线定理的应用，关键是找出平面(基准面)的垂线。至于射影则是由垂足、斜足来确定的，因而是第二位的。

从三垂线定理的证明得到证明a⊥b的一个程序：一垂、二射、三证。即第一、找平面(基准面)及平面垂线

第二、找射影线，这时a、b便成平面上的一条直线与一条斜线。三垂线定理第三、证明射影线与直线a垂直，从而得出a与b垂直。第十二页，共二十页，2022年，8月28日PAOaα三垂线定理包含几种垂直关系？②线射垂直PAOaα①线面垂直③线斜垂直PAOaα直线和平面垂直平面内的直线和平面一条斜线的射影垂直平面内的直线和平面的一条斜线垂直第十三页，共二十页，2022年，8月28日线射垂直线斜垂直PAOaαPAOaα平面内的一条直线和平面的一条斜线在平面内的射影垂直平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直三垂线定理的逆定理？第十四页，共二十页，2022年，8月28日

在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。PAOaα

已知：PA，PO分别是平面的垂线和斜线，AO是PO在平面的射影,a,a⊥PO求证：a

⊥AO三垂线定理的逆定理第十五页，共二十页，2022年，8月28日例2如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上。已知：∠BAC在平面内，点P，PE⊥AB，PF⊥AC，PO⊥，垂足分别是E、F、O，PE=PF求证：∠BAO=∠CAO分析：要证∠BAO=∠CAO只须证OE=OF,OE⊥AB,OF⊥ACPCBAOFE???证明：∵PO⊥∴OE、OF是PE、PF在内的射影∵PE=PF∴OE=OF由OE是PE的射影且PE⊥AB得OE⊥AB同理可得OF⊥AC结论成立第十六页，共二十页，2022年，8月28日

三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。小结三垂线定理

三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。第十七页，共二十页，2022年，8月28日3°操作程序分三个步骤——“一垂二射三证”1°定理中四条线均针对同一平面而言2°应用定理关键是找“基准面”这个参照系第十八页，共二十页，2022年，8月28日；/nqx59kop犹豫豫地往院子四周围仔仔细细地观察一番；之后，就摸索着慢慢地揭开了篷布。把篷布和寿棺上面放着的全部物件轻轻地放在地上之后，这三个黑影就开始鼓捣着想打开棺盖了。他们先在棺盖周围摸了一遍，然后又在自己的身上摸索着什么，最后就围在棺盖周围开始翘棺盖了。没有用多长时间，棺盖就被他们合抬着轻轻地放在了地上。其中最矮小的那个黑影心急，一伸手就把里边的模特儿给抓起来了，臭豆腐和杂七杂八调味粉参杂在一起的难闻气味儿差一点儿熏得这家伙失手扔掉手里的东西。另一个稍微高大一些的黑影赶快和他一起将模特儿放在地上。然后，他俩就将模特儿上上下下仔细摸索了一番，大概认定这只是一个假人，于是不再管它。另一个块头最大的黑影则一直在寿棺里边摸索着。最后，三个黑影索性将寿棺里边的东西全部拿了出来，并且还在所有的衣物和每一条褥子上仔细摸索着……忽然，听到一个家伙低低地说：“真他妈的骗他娘的！”另一个低低的声音传来：“会不会是挪窝了？”第三个低低的声音传来：“不可能的，他们没有这个时间！人定之前我们不是一直轮流观察来着嘛，这院子里不像是有过大动静的，而且看这情况，也不像是动过的样子啊！”第一个说话的家伙又低低地说：“要不咱们再找找？看样子不像是穷困潦倒回来的啊！”三个黑影开始左顾右盼观察起来……耿正正要回身推醒爹爹，忽然感觉自己的肩膀被推了一下。原来，耿正只顾全神贯注地观察三个窃贼的一举一动，并没有发现爹爹早就爬在窗帘中间的那一条小缝隙那儿也在专注地观察多时了。耿老爹低声说：“俺说梦话了！”于是离开窗户略远一点儿，断断续续不高不低地说开了：“唉，俺没，没脸，回家啊！啊哈—”耿正也离开窗户略远一点儿，赶快不高不低地说：“爹，你醒醒，怎么又说梦话了？”耿老爹换一种语气：“哦，爹又做梦了，正伤心呢。爹只想着发财呢，结果连命也差点儿给丢了，白白害俺娃娃们受苦哇！”耿正说：“爹，你就不要再伤心了，没有发财不打紧，咱父子们能活着回来比什么都强啊！再说啦，咱们不是好歹还赚得了一挂骡车回来了吗！而且你也看到了，这左邻右舍亲戚朋友的，没有人笑话咱们啊，对咱们还是那样好。以后啊，咱们只管安心种地就是了。别人能活，咱也能活啊