一元二次方程的应用

关于一元二次方程的应用第一页，共四十四页，2022年，8月28日（1）审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及题目要求什么；（3）设：是指设元，也就是设未知数；（4）列：就是列方程，根据等量关系式列代数式表示相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程；列方程解应用题的步骤？（2）找：找等量关系式，即题目中给出的能够表达应用题全部含义的一个相等关系；（5）解：就是解方程，求出未知数的值；第二页，共四十四页，2022年，8月28日（6）检验：列方程解应用题时，要对所求出的未知数进行检验，检验的目的有两个：其一，检验求出来的未知数的值是否满足方程；其二，检验求出的未知数的值是不是满足实际问题的要求，对于适合方程而不适合实际问题的未知数的值应舍去；（7）答：就是写出答案，其中在书写时还要注意不要漏写单位名称．第三页，共四十四页，2022年，8月28日当x=10时，=12.5；当x=25时，=5．均合题意例1、如图，有一矩形空地，一边靠墙，这堵墙的长为30m，另三边由一段长为35m的铁丝网围成．已知矩形空地的面积是125m2，求矩形空地的长和宽．分析：根据长方形面积公式，运用长×宽=125列出方程，即可求得答案．在方程中墙壁的长度30m没有直接用到，但在检验结果的时候，要注意矩形的平行于墙壁的一边长不能超过30m，否则，这堵墙就没有作为养鸡场的利用价值。根据题意，得

解：设矩形与墙平行的一边长为xm，则矩形的另一条边长为m．整理，得x2-35x+250=O．答：矩形空地的长和宽分别是12.5m和10m或25m和5m解这个方程，得x1=10，x2=25．（一）几何中面积、长度问题第四页，共四十四页，2022年，8月28日例2如图所示，一架长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端A处到地面的距离为8m，如果梯子的顶端沿墙面下滑2m，那么梯子的底端在地面上滑动的距离是多少？

AA’CBB’第五页，共四十四页，2022年，8月28日AA’CBB’第六页，共四十四页，2022年，8月28日分析：如图所示，此题的相等关系是矩形面积减去道路面积等于540m2.第七页，共四十四页，2022年，8月28日第八页，共四十四页，2022年，8月28日第九页，共四十四页，2022年，8月28日第十页，共四十四页，2022年，8月28日小结1．解法二和解法一相比更简单，它利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的道理，把纵、横两条路移动一下，可以使列方程容易些（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）．2．有些同学在列方程解应用题时，往往看到正解就保留，看到负解就舍去．其实，即使是正解也要根据题设条件进行检验，该舍就舍．此题一定要注意原矩形“宽为20m、长为32m”这个条件，从而进行正确取舍．第十一页，共四十四页，2022年，8月28日总结解决此类问题必须具备良好的几何概念知识，熟悉长度，面积，体积等公式。有时需要通过平移的方法来解决问题。常见问题：挖沟的宽度，制作盒子。第十二页，共四十四页，2022年，8月28日（二）数字与方程1.一个两位数,它的十位数字比个位数字小3,而它的个位数字的平方恰好等于这个两位数.求这个两位数.第十三页，共四十四页，2022年，8月28日2.有一个两位数,它的十位数字与个位数字的和是5.把这个两位数的十位数字与个位数字互换后得到另一个两位数,两个两位数的积为736.求原来的两位数.第十四页，共四十四页，2022年，8月28日例1：平阳按“九五”国民经济发展规划要求，2003年的社会总产值要比2001年增长21%，求平均每年增长的百分率．（提示：基数为2001年的社会总产值，可视为a）设每年增长率为x，2001年的总产值为a，则2001年a2002年a（1+x)2003年a(1+x)2增长21%aa+21%aa(1+x)2=a+21%a分析：（三）增长率问题第十五页，共四十四页，2022年，8月28日a(1+x)2=1.21a(1+x)2=1.211+x=1.1x=0.1解:设每年增长率为x，2001年的总产值为a，则a(1+x)2=a+21%a答:平均每年增长的百分率为10%

．第十六页，共四十四页，2022年，8月28日例2.某市为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格．某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，求这种药品平均每次降价的百分率是多少？第十七页，共四十四页，2022年，8月28日总结1.平均增长率问题中的基本数量关系为A（1+X）n=B(A为始量，B为终止量，n为增长的次数，x为平均增长率)类似的还有平均降低率问题中的基本数量关系为A（1-X）n=B(A为始量，B为终止量，n为降低的次数，x为平均降低率)2．对于“增长率”问题，如人口的减少、利率的降低、汽车的折旧等等，都是在原来基数上减少，不能与一般性的增加和减少相混淆．第十八页，共四十四页，2022年，8月28日（四）储蓄问题例1.王老师把500元钱按一年定期存入银行，到期后，取出了300元捐给了灾区，剩下的200元和应得的利息又全部按一年定期存入，由于利息下调，第二次存款的年利率是第一次存款年利率的，这样到期后可得利息15元，求第一次存款的年利率

解：第一次存款的年利率为x，根据题意，可得方程：

整理，得20x2+8x-1＝0．

解得x1＝0.1=10％，x2＝-0.5(舍去)．因此第一次存款的年利率是10%第十九页，共四十四页，2022年，8月28日例1.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售出20件，每件盈利40元，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（五）销售问题第二十页，共四十四页，2022年，8月28日分析：这类销售问题，涉及的数量关系比较多，我们可以通过列表的方式来分析其中的数量关系．每天的销售量（件）每件衬衫的盈利（元）总利润（元）降价前降价后204080020＋2x

40－x

1200第二十一页，共四十四页，2022年，8月28日第二十二页，共四十四页，2022年，8月28日例2（2010南京）某批发商以每件50元的价格购进800件T恤．第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一性清仓，清仓时单价为40元．设第二个月单价降低x元．第二十三页，共四十四页，2022年，8月28日（1）填表（不需化简）：时间第一个月第二个月清仓单价（元）8040销售量（件）200（2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？第二十四页，共四十四页，2022年，8月28日分析：时间第一个月第二个月清仓单价（元）8040销售量（件）200800－200－（200＋10x）

80－x

200＋10x第二十五页，共四十四页，2022年，8月28日第二十六页，共四十四页，2022年，8月28日1.某汽车在公路上行驶,它的路程s(m)和时间t(s)之间的关系为:s=10t+3t2,那么行驶200m需要多长时间?（六）运动与方程开启智慧第二十七页，共四十四页，2022年，8月28日A北东●B2.某军舰以20节的速度由西向东航行,一艘电子侦察船以30节的速度由南向北航行,它能侦察出周围50海里(包括50海里)范围内的目标.如图,当该军舰行至A处时,电子侦察船正位于A处的正南方向的B处,AB=90海里.如果军舰和侦察船仍按原来速度沿原方向继续航行,那么航行途中侦察船能否侦察到这艘军舰?如果能,最早何时能侦察到?如果不能,请说明理由.●B第二十八页，共四十四页，2022年，8月28日A北东●B●B第二十九页，共四十四页，2022年，8月28日（七）动态几何问题第三十页，共四十四页，2022年，8月28日例1在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点B移动,点Q从点B开始以2cm/s的速度沿BC边向点C移动,如果P、Q分别从A、B同时出发，几秒后⊿PBQ的面积等于8cm2？解：设x秒后⊿PBQ的面积等于8cm2根据题意，得整理，得解这个方程，得所以2秒或4秒后⊿PBQ的面积等于8cm2第三十一页，共四十四页，2022年，8月28日例2：等腰直角⊿

ABC中,AB=BC=8cm,动点P从A点出发,沿AB向B移动,通过点P引平行于BC,AC的直线与AC,BC分别交于R、Q.当AP等于多少厘米时,平行四边形PQCR的面积等于16cm2?第三十二页，共四十四页，2022年，8月28日例1有一根长为120cm的绳子．（1）能否围成一个面积是500cm2的矩形？（2）能否围成一个面积是1000cm2的矩形？（八）假设存在问题分析：在解决这一类存在问题时，一般先假设面积是500cm2和1000cm2的矩形存在，再根据题意列出方程求解．如果方程有解，就说明符合条件的矩形存在；如果方程无解，则说明符合条件的矩形不存在．第三十三页，共四十四页，2022年，8月28日第三十四页，共四十四页，2022年，8月28日第三十五页，共四十四页，2022年，8月28日小结第三十六页，共四十四页，2022年，8月28日例:在一次聚会中，每两个参加聚会的人都相互握了一次手，一共握了45次手，问参加这次聚会的人数是多少？（九）统计问题分析：对这个问题，我们可以作这样的假设：如果有x个人参加聚会，那么第1个人需要与除他自己以外的其他（x－1）个人握手，要握（x－1）次手；第2个人也分别与其他（x－1）个人握手，可握（x－1）次手；……；依此类推，第x个人同样要与其他（x－1）个人握手，可握（x－1）次手,如此共有x（x－1）次握手，显然此时每两人之间都按握了两次手进行计算的．所以，按照题意，可得2(1)x（x－1）=45次手．第三十七页，共四十四页，2022年，8月28日第三十八页，共四十四页，2022年，8月28日第三十九页，共四十四页，2022年，8月28日

练习某旅行团结束旅行，其中建议大家互相告别，细心的小明发现，每两个参加旅行的人相互握手一次，共握手66次，问这次旅行的人有多少？第四十页，共四十四页，2022年，8月28日1．列方程解实际问题，一般分为审题、找等量关系式、设未知数、列方程、解方程、检验、写出答案这六步进行，其中审题过程虽在草稿纸上进行，但这一步非常重要，只有经过认真审题，分清已知条件和所求量，明确量与量之间的数量关系，才能准确找出相等关系，列出方程．

【方法总结】2．在列一元二次方程解实际问题时还要注意一些关键的词语，如“多”、“倍”