名师教案用二次函数解决利润等代数问题

用二次函数解决利润等代数问题教学目标【知识与技能】能够理解生活中文字表达与数学语言之间的关系，建立数学模型.利用二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质解决简单的实际问题，能理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，并能应用这些关系解决实际问题.【过程与方法】1.能将实际问题转化为二次函数问题，进而建立数学模型解决，从中体会数学建模的思想和数学来源于生活又服务于生活.2.体验由文字语言到数学语言的过程，培养学生的变通能力并提高分析解决问题的能力.3.利用二次函数的图象和性质解决实际问题，体会数形结合的思想.【情感态度与价值观】通过实际问题与二次函数的联系，体验二次函数知识的实际应用价值，感受数学与人类生活的密切联系，培养用数学知识解决实际问题的意识和学有所用的成就感，了解数学对促进社会进步和发展所起的作用.教学重难点【重点】把实际生活中的最值问题转化为二次函数的最值问题.【难点】1.读懂题意，找出相关量的数量关系，正确构建数学模型.2.理解与应用函数图象顶点、端点与最值的关系.教学设计情景引入1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)有哪些性质？（着重回忆：“顶点”“增减性”）2.我们能否用二次函数的图象与性质解决实际生活问题呢？请看如下问题：问题1：从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h=30t-5二、新知讲解利用多媒体画出问题1中的二次函数h=30t-5t2(0≤t≤6)的图象，强调“问题1中的图象只是函数图象的一部分”.利用图象性质我们可以得出问题1中，顶点横坐标在自变量小结：参见教材第49页.一般地，当a>0(a<0)时抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点是最低（高）点，也就是函数的最值.提问：如何理解“一般地”？(主要看顶点的横坐标是否在实际问题中自变量的取值范围内）.过渡：利用二次函数可以解决利润等代数问题.请看下面的问题.问题2：某商品现在的售价为每件60元，经过市场调查，商家决定提高售价，同时销售数y(件)与销售单价x(元)之间的函数关系为y=-10x+900分析：提问1：问题中的“定价”是指售价还是进价？是指售价60元吗？提问2：如何表示利润？（利润=售价×数量一进价×数量，利润=(售价一进价)×数量).提问3：可否写出利润的函数表达式？经过上述3个问题的分析，设利润为w元，可得w=提问4：根据题目要求可否得到自变量x的取值范围？答案：60≤x≤90.提问5：当x=________时，w最大.问题3：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映，如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？分析：提问1：如何理解“每涨价1元，每星期要少卖出10件”？能否用具体售价解答此问题？提问2：当售价为每件70元时，涨价多少？销售数量怎么变化？销售数量是升高还是降低？是在谁的基础上变化的？提问3：当售价为每件x元时，如何表示销售数量？答案：销售数量=300-x提问4：如何表示利润w元？答案：w=提问5：可否根据题意得到自变量x的取值范围？答案：60≤x≤90提问6：当x=________元，w最大，最大为________元.变式问题：1.若只将问题3中的”每涨价1元，每星期要少卖出10件”改为“每降价1元，每星期可多卖出20件”，如何定价才能使利润最大？提问：此时的销售数量该如何表示？答案：销售数量=300+602.若只将问题3中“每涨价1元，每星期要少卖出10件”改为“每涨价2元，每星期要少卖出10件”，又该如何解答？设计意图：1.首先通过一个已知数量与售价的一次函数关系求解利润问题来降低难度，给学生一个缓冲，将难点分散.2.问题2、问题3、变式问题均是对教材第50页探究2的设计，利用层层递进的方式降低难度，化解难点.3.利用精细的提问，环环相扣的追问，解析难点.4.注重一题多变，一题多解，层层递进，梯度缓和，关注全体.三、回归教材在教材第50页探究2中给出了涨价情况的分析过程，请同学们讨论两种情况的异同点.四、课堂练习1.用教材第50页探究2的思路，书面解答探究2.2.补充练习：解下列方程：某商店经营一种小商品，进价为每件元，据市场调查，销售单价是元时平均每天销售量是500件，而销售价每降低1元，平均每天就可以多售出100件.（1)假定每件商品降价x元，商店每天销售这种小商品的利润是y元，请写出y与x间的函数关系式，并注明x的取值范围；（2)每件小商品销售价是多少元时，商店每天销售这种小商品的利润最大？最大利润是多少？（注：销售利润=销售收人－购进成本）答案：（l)y=-100(2)当x=3时，ymax=6400.五、课堂小结小结：1.可以用二次函数解决生活中的利润问题.2.在实际问题中求解的二次函数的最值，是否都一定在函数图象的顶点处取得？六、布置作业作业：教材第51~52页习题第1~3题，第8题.板书设计实际问题问题与二次函数第1课时用二次函数解决利润等代数问题情景引入二、新知讲解问题2：解：设利润为w元……方法1：……方法2：……答：……问题3：分析：售价销售数量解：设定价为x元，利润为w元……答：……变式1：……变式2：……五、课堂小结六、布置作业教学反思_______________________________________________________________________________________