31空间向量及其运算测试题

-1--—a+—b+c21『1，——a——b+-1--—a+—b+c21『1，——a——b+c22()在题后的括号内(每小题5分，共50分).在平行六面体ABCD—ABCD中，M为AC与BD的交点，若~AB=U,TOC\o"1-5"\h\z11111Ad=b,a1a=C.则下列向量中与Bm相等的向量是()A1『1T一八A.——a+—b+cB・21「1-C・一a一一b+cD.22在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是■—-———-—1——1——1—A.OM=2OA-OB-OCB.OM=—OA+—OB+—OC532C.MA+MB+MC=0D.OM+OA+OB+OC=0已知平行六面体ABCD—ABCD中，AB=4,AD=3,AA=5,ZBAD=900,ABAA=ADAA=600，则AC'等于()A.85B.品5C.5克D.504A.85B.品5C.5克D.50A.(L1,1)B.(—1,—3,2)3TOC\o"1-5"\h\z3-_C.(一一,一,一1)D.—'Z,—3,一2\：2)2已知人(一1,—2,6),B(1,2,—6)O为坐标原点，则向量OA,与OB的夹角是()A.0B.土C.兀D.3122已知空间四边形ABCD中，OA=a,OB=b,OC=c，点M在OA上，且OM=2MA,N为BC中点，则MN=()A.1.2「1.—a-—b+—c232B.i11-一一a+-b+—c22C.■1■1-—a+—b——c22D.2，2「1-—a+—b——c332设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足AB•AC=0,AC•aD=0,AB•AD=0，则?BCD是()A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.不确定空间四边形OABC中，OB=OC,?AOB=?AOC=6Oo,则cos；OABC‘：=()

.1n<2八c1A.—B.—C.?-D.02229.已知A（1，1，1)、B(2，2,2)、C(3，2,4），则AABC的面积为（）A.拓B.2杪C.优D.E2已知a=(1-1,1-1,t),b=(2,t,t)顶Ia-bI的最小值为()av5Rv55「3*5口11A.B.C.D.二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）.11.若a=（2,3,-1）,b=（-2,1,3），则a,b为邻边的平行四边形的面积为.已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC,M、N分别是对边OA、BC的中点，点G在线段MN上，且MG=2GN，现用基组OA,OB,OC&示向量OG，有OG=xOA+yOB+zOC，则x、y、z的值分别为.已知点A（1，?2，11）、B（4，2，3），C（6，?1，4），则?ABC的形状是.14.已知向量a=（2,-3,0），b=（k,0,3），若a,b成120。的角，则k=.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤供76分）.15.（12分）如图，已知正方体15.（12分）如图，已知正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为a，M为BD'的中点，点N在AC"上，x中点，y四面体的对x中点，y四面体的对AB=（2，一且IA'NI=3INC'I，试求MN的长.（12分）如图在空间直角坐标系中BC=2,原点O是BC的点A的坐标是（U,1,。），，点2在平面yOz上，且ZBDC=90°，ZDCB=30°.（1）求向量OD的坐标；（2）设向量AD和BC的夹角为。，求cos。的值（12分）若四面体对应棱的中点间的距离都相等，证明这个棱两两垂直.（12分）四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是一个平行四边形，1，一4｝，aD=（4，2，0），AP=（—1，2，—1）.（1）求证：PA±底面ABCD；（2）求四棱锥P-ABCD的体积；（14分）如图所示，直三棱柱ABC—ABC中，CA=CB=1，ZBCA=90。，棱AA=2,M、N分别是TOC\o"1-5"\h\zAB、AA的中点.1111111（1）求BN的长；（2）求cos<BA,CB>的值；七（3）求证：AB±CM.'一（14分）'如图'，已知平行六面体ABCD—ABCD的底面ABCD是菱形且ZCCB=ZCCD=ZBCD=60°.1111■了…F(1)证明：CC±BD；(2)假定CD=2,CC=3，记面CBD为a，面CBD为B，求二面角a—BD一11216的平面角的余弦值；(3)当CD的值为多少时，能使AC±平面CBD?请给出证明.CC111参考答案.一____1一__1_一1-1--一、1.A；解析：BM=BB+BM=AA+^(BA+BC)=c+^(—a+b)=一^a+^b+c.评述：用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力.A；解析：空间的四点P、A、B、C共面只需满足OP=xOA+yOB+zOC,且x+y+z=1既可.只有选项A.B；解析：只需将AC；=AB+AD+AAr，运用向量的内即运算即可，IAC；1=VAC；2.C；解析：向量的共线和平行使一样的，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式.即r—■—pirb。0,a//b=a=Xb.C；解析：cos9=_ab_，计算结果为一1.IaI-1bI1p-2——pB；解析：显然MN=ON-OM=^(OB+OC)-3OA.B；解析：过点A的棱两两垂直，通过设棱长应用余弦定理可得三角形为锐角三角形.D；解析：建立一组基向量OA,OB,OC，再来处理OA-BC的值.AB-ACD；解析：应用向量的运算，显然cos<AB,AC>=__nsin<AB,AC>，|AB||AC|从而得S=11AB||AC|sin<aB,aC>.2TOC\o"1-5"\h\zC；一、6^5；解析：cos<a,b>=?S=—2，得sin<a,b>=、''，可得结果.|a||b|771OA+1OB+1OC；633解析：直角三角形；解析：利用两点间距离公式得：|AB|2=|BC|2+|AC|2.14.-\.39；解析：cos<a,b>=—=*=—J_，得k=±问.|a|-1b|.\；13f'9+k22

解：以D为原点，建立如图空间直角坐标系.因为正方体棱长为s所以B(a,a,0),A'(a,0,a),C'(0,a,a),D'(0,0,a).TOC\o"1-5"\h\z由于M为BD'的中点，取A'C，中点O',所以M(a,a,a),O'(a,a,a).因为IA'N1=31NC'I,22222所以N为A'C'的四等分，从而N为O'C'的中点，故N(a,3a,a).44根据空间两点距离公式，可得IMNI=」(a-a)2+(a-竺)2+(a-a)2=史a.242424解：(1)过D作DELBC,垂足为E,在RtABDC中，由ZBDC=90°，/DCB=30°,BC=2,11=1——2得BD=1,CD=、5，：.DE=CD•sin30°^3.OE=OB~BE=OB~BD•cos602一、，1q、一一，—・.・D点坐标为（0,一万，—厂），即向量OD[TX—]的坐标为｛0,,、31———(2)依题意：OA=^-'-'0}'OB={0'-1'0}'OC={0'1'0},所以SOD一OA={«'-"}，BC=OC-OB={0'2'0}.11=1——2设向量AD和BC的夹角为。，则qAD•BC*0+(-1)*2+g*0cos°=:==IADI•IBCI：、3t3■■(—工)2+(-1)2+(工)2•t02+22+02*221-—r23,212'23证：如图设SA=r1'SB=r2'SC=r3，则SE,SF\SG,SH,SM‘SN分别为二r，-(r+r)1——-1-—r23,212'23展开得r•r=r•r1223(r3-r2)=0,*・.・r±(r-r)艮口SA±BC.132同理可证SB±AC,SCXAB.18.(1)证明：,「AP•AB=一2—2+4=0,AAPXAB.

又AP-AD=-4+4+0=0,^AP±AD.^AB.AD是底面ABCD上的两条相交直线，.・.APL底面ABCD.(2)解：设aB与aD的夹角为。，则TOC\o"1-5"\h\zQAB-AD8-23cos°==——.=IABI-1ADI<4+1+16f.16+4v1051.一2■9-:—-一V=-1ab|•IADI•sin°•IAP|=—十105-1—•*1+4+1=163105(3)解：I(ABXAD)•API=I-4-32-4-8I=48它是四棱锥P—ABCD体积的3倍.猜测：I(abXAD)•API在几何上可表示以AB、AD、AP为棱的平行六面体的体积(或以AB、AD、AP为棱的直四棱柱的体积).评述：本题考查了空间向量的坐标表示、空间向量的数量积、空间向量垂直的充要条件、空间向考力.(0,量的夹角公式和直线与平面垂直的判定定理、棱锥的体积公式等.主要查考生的运算能力，综合运用所学知识解决问题的能力及空间想象能19.如图，建立空间直角坐标系O考力.(0,依题意得B(0,1,0)、N(1,0,1)・•・IBNI=\,(1-0)2+(0—1)2+(1—0)2=*.依题意得A1(1,0,2)、B(0,1,0)、C(0,0,0)、B11,2)BA={—1,—1,2},CB={0,1,2,},BA•CB=3,IBAI=\/6,ICBI=七5111111・・・cos<BA,CB>=BA「CB1,=—v30.11IBAI•ICBI10，、…，、…一，，11、(3)证明：依题意，得C1(0,0,2)、，、…，、…一，，11、(3)证明：依题意，得C1(0,0,2)、M(^,5,2),ABAB•CM=—2+—+0=0,・.・A]B±C]M,:,A1B±C1M.评述：本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识.考查空间两向量垂直的充要条件.20.(1)证明：设CB=a,CD=b,CC=c，则IaI=IbI,VBD=CD-CB=b—a,bD•CC=(b—a)•c=b•c—a•c=IbI•IcIcos60°-1aI•IcIcos60°=0・.・C1C±BD.(2)解：连AC、BD,设ACEBD=O,连OC『则ZC1OC为二面角a—BD—^的平面角.CO=1(bC+CD)=1(a+b),CO=CO-CC=1(a+b)—c22112

・・・co-co=-(a+b)TOC\o"1-5"\h\z12—b-—to-—r—r(a2+2a•b+b2)313—cos60°——•2•—cos60°2221c、1313—cos60°——•2•—cos60°2222CO-CO

1—…=——3贝皿COIf,|CO|=—,12AcosCOC=—__1ICOI-1COCO-CO

1—CD(3)解：设--=x,1cs2CD=2顶CC1=-.VBD±平面A