3-4保守力与非保守力

、万有引力、重力、弹性力作功的特点1万有引力作功如上图所示，有两个质量为m和m'的质点，其中质点m固定不动。取m的位置为坐标原点，A、B两点对m的距离分别为。和r，m经任一路径由点A运动到点B，万有引力作的功(3-10)上式表明，当质点的质量m和祖'均给定时，万有引力作的功只取决于质点m的起始和终了的位置，而与所经过的路径无关。这是万有引力作功的一个重要特点。扩充内容：计算万有引力作的功设在某一时刻质点m距质点m'的距离为r，其位矢为r，这时质点m受到质点m'的万有引力为F=—G--er2er为沿位矢尸的单位矢量，当m沿路径移动位移元打时，万有引力作的功为_m，mdW=F-dr=—G-Lme-dr从图可以看出e.dr=|e||dr|cosO=|dr|cos0=dr于是，上式为mmdW=-Gdrr2所以，质点m从点A沿任一路径到达点B的过程中，万有引力作的功为W=jBdW=-GmmfrB—drA『Ar22重力作功如右图所示，一个质量为m的质点，在重力作用下从点A沿ACB路径至点B，点A和点B距地面的高度分别为约和y2，计算重力作功为W=-(mgy2-mgy^)(3—11)上式表明，重力作功只与质点的起始和终了位置有关，而与所经过的路径无关，这是重力作功的一重要特点。扩充内容：计算重力作的功因为质点运动的路径为一曲线，所以重力和质点运动方向之间的夹角是不断变化的。我们把路径ACB分成许多位移元，在位移元W中，重力P所作的功为dW=P-dr若质点在平面内运动，按图所选坐标，并取地面上某一点为坐标原点°，有dr=dxi+dyj且p=-mg。于是，前式为dW=-mgj-(dxi+dyj)=-mgdy质点由点A移至点B的过程中，重力作的总功为W=-mgjy2dy=-mg(y-y)

yi21W=-(mgy-mgy)3弹性力作功下图所示是一放置在光滑平面上的弹簧，弹簧的一端固定，另一端与一质量为m的物体相连接。当弹簧在水平方向不受外力作用时，它将不发生形变，此时物体位于点°（即位于x=0

处），这个位置叫做平衡位置。现以平衡位置0为坐标原点，向右为^x轴正向。弹簧伸长量由X1变到^2时，计算弹性力对物体的作的功为（3-12）式中k为弹簧的劲度系数。W=一（2kx2一2kx2（3-12）式中k为弹簧的劲度系数。从式（3-12）可以看出，对在弹性限度内具有给定劲度系数的弹簧来说，弹性力作的功只由弹簧起始和终了的位置（X和x2）决定，而与弹性形变的过程无关。扩充内容：计算弹性力对物体所作的功若物体受到沿Ox轴正向的外力F'作用，弹簧将沿0x轴正向被拉长，弹簧的伸长量即其位移为x。根据胡克定律，在弹性限度内，弹簧的弹性力F与弹簧的伸长量x之间的关系为F=—kX式中k称为弹簧的劲度系数。在弹簧被拉长的过程中，弹性力是变力。但弹簧位移为时的弹性力F可近似看成是不变的。于是，弹簧位移为业时，弹性力作的元功为dW=F-dx=-kxi-dxi=-kxdxi-idW=-kxdx

这样，弹簧的伸长量由七变到七时，弹性力所作的功就等于各个元功之和。由积分计算可JdW=-k这样，弹簧的伸长量由七变到七时，弹性力所作的功就等于各个元功之和。由积分计算可JdW=-kJ”2xdx从上述对重力、万有引力和弹性力作功的讨论中可以看出，它们所作的功只与物体（或弹簧）的始、末位置有关，而与路径无关。这是它们作功的一个共同特点。我们把具有这种特点的力叫做保守力。除了上面所讲的重力、万有引力和弹性力是保守力外，电荷间相互作用的库仑力和原子间相互作用的分子力也是保守力（参阅第6-1节和第7-5节）。保守力作功与路径无关的特性还可以用另一种方式来表示：物体沿任意闭合路径运动一周时，保守力对它作功为零，即（3-13）式（3-13）是反映保守力作功特点的数学表达式。然而，在物理学中并非所有的力都具有作功与路径无关这一特点，例如常见的摩擦力，它所作的功就与路径有关，路径越长，摩擦力作的功也越大。显然，摩擦力就不具有保守力作功的特点。我们把这种作功与路径有关的力叫做非保守力。三、势能1从上面关于万有引力、重力和弹性力作功的讨论中，我们知道这些保守力作功均只与物体的始末位置有关，为此，可以引入势能概念。我们把与物体位置有关的能量称作物体的势能，用符号Ep表示。于是，三种势能分别为重力势能引力势能E=重力势能引力势能E=mgyEp=-G（3-14）EE=—kx22弹性势能式(3T0)、式(3T1)、和式(3T2)可统一写成可="p广气)f(3-15)上式表明，保守力对物体作的功等于物体势能增量的负值。2对势能概念的进一步讨论讨论：1重力势能(通常把质点在地球表面附近的引力势能叫做重力势能)设地球半径为Re，质量为mE。质点m处在地球表面h处，与处在地球表面处的引力势能之差为E(R+h)—E(R)=—Gmm(—-————)EEeRe(Re+h)由于质点m放在地球表面附近，故Re(Re+h)RR3上式可近似写成E(R+h)—E(R)rGmm^h

PEPER2E由于地球表面附近重力加速度的值g=GmE/R2，且取地球表面作为重力势能零点，即Ep(Re)=0，那么从上式可得质点在地球表面h处的引力势能即重力势能为E(R+h)=mgh可见，改变引力势能零点，引力势能的表述式也改变了。2势能的进一步讨论势能是状态的函数。在保守力作用下，只要物体的起始和终了位置确定了，保守力所作的功也就确定了，而与所经过的路径是无关的。所以说，势能是坐标函数，亦即是状态的函数，即Ep=Ep(x，y,z)。前面还说过，动能亦是状态的函数，Ek=气也,气,七)势能的相对性。势能的值与势能零点的选取有关。一般选地面的重力势能为零，引力势能的零点取在无限远处，而水平放置的弹簧处于平衡位置时，其弹性势能为零。当然，势能零点也可以任意选取，选取不同的势能零点，物体的势能就将具有不同的值。所以，通常说势能具有相对意义。但也应当注意，任意两点间的势能之差却是具有绝对性的。势能是属于系统的。势能是由于系统内各物体间具有保守力作用而产生的。因而它是属于系统的。单独谈单个物体的势能是没有意义的。例如重力势能就是属于地球和物体所组成的系统的。如果没有地球对物体的作用，也就谈不上重力作功和重力势能问题，离开了地球作用范围的宇宙飞船，也就无所谓重力势能。同样，弹性势能和引力势能也是属于有弹性力和引力作用的系统的