数学奥数教案

第第页数学奥数教案

数学奥数教案1

《奥赛每天练》第46讲《平均数问题》。把几个不相等的同类数量,通过移多补少,使它们最终都变得完全相等,这个相等的数就叫做这几个同类数量的平均数。其基本特征是：在移多补少求平均数的过程中,几个初始数量的总和及数量的个数都保持不变。

依据问题的繁复程度这种问题被分为两类：算术平均数问题、加权平均数问题，两类问题的基本原理是一样的。本讲就要学习把简约的加权平均数转化为算术平均数来求解。解决平均数问题，需要娴熟掌控以下三个主要数量关系式：

总数量÷总份数=平均数

总数量÷平均数=总份数

平均数×总份数=总数量

《奥赛每天练》第46，巩固训练，习题1

【题目】：

甲、乙两地之间的马路长30千米，一个人骑自行车从甲地到乙地去时用了2个小时，回来时由于顶风用了3小时，求他来回一次平均每小时行了多少千米？

【解析】：

问题“来回一次平均每小时行了多少千米？”中，来回的总路程相当于总数量，来回总时间相当于总份数。

来回总路程为：30×2=60〔千米〕

来回总时间为：3+2=5〔小时〕

即他用5个小时行了60千米的路程，那么平均每小时行：60÷5=12〔千米〕。

《奥赛每天练》第46讲，巩固训练，习题2

【题目】：

小明前几次数学测验的平均成果是84分，这次要考100分，才能把平均成果提高到86分，问这一次是第几次测验？

【解析】：

我们可以这样假设：小明前几次数学测验都考了84分，而这次就考了100分，总体平均分是86分。题目的意思就是求在这种状况下的测验次数。

想移多补少，从100分里要移走：100-86=14〔分〕；此前每次测验的分数都要补上：86-84=2〔分〕。14分里有7个2分：14÷2=7。

所以，此前测验了7次，这一次是第8次测验。

《奥赛每天练》第46讲，拓展提高，习题1

【题目】：

某一幢居民楼里原有3户安装了空调，后来又增加了一户。这4台空调全部打开时就会烧断保险丝。因此最多同时运用3台空调。这样在24小时内平均每户最多可运用空调多少小时？

【解析】：

我们假定在24小时内，有3台空调开了24小时，即始终开着，有一台空调开了0小时，即始终没开。求平均每户开多少小时，就是求这四台空调打开时间的平均数：24×3÷4=18〔小时〕。

《奥赛每天练》第46讲，拓展提高，习题2

【题目】：

有甲、乙、丙3个数，甲、乙两数的和是90，甲、丙两数的和是82，乙、丙两数的和是86。甲、乙、丙3个数的平均数是多少？

【解析】：

分别用□、△、○代表甲、乙、丙三个数，由题意可得：□+△=90；□+○=82；△+○=86。

所以：〔□+△〕+〔□+○〕+〔△+○〕=90+82+86=258，

即：〔□+△+○〕×2=258，

那么甲、乙、丙三个数的和为：258÷2=129，

所以甲、乙、丙3个数的平均数是：129÷3=43。

数学奥数教案2

《奥赛每天练》第25讲《植树问题》、第26讲《上楼梯与植树》，知识原理是一样的，都是应用一一间隔的规律解决问题。

一一间隔的规律是指：两个不同的物体一一间隔地排成一行，假如两端的物体相同，那么排在两端的物体比中间另一种物体多一个；假如两端的物体不同，那么两种物体的个数相同；假如两个不同的物体一一间隔地排成一个封闭图形，两种物体的个数也是相同的〔把封闭图形从任意一个点剪开开展，就可以得到与第二种状况相同的排列〕。

在植树问题中我们可以把树苗和间距看作两种物体，先求出间距的个数，再利用一一间隔规律，算出树苗的棵数。

在爬楼问题中我们可以把楼层看着两端物体，把楼梯看做中间物体，再利用一一间隔规律，依据楼层求楼梯的层数。

《奥赛每天练》第25讲，巩固训练，习题1

【题目】：

有16个同学排成一排，要求每2名同学中间放2盆花，需要放几盆花？

【解析】：

16个同学排成一排，每两个同学之间有一个间隔，共有间隔：16-1=15〔个〕

每个间隔放2盆花，需要摆花：15×2=30〔盆〕。

《奥赛每天练》第25讲，巩固训练，习题2

【题目】：

某城市进行长跑竞赛，从市体育馆出发，最末再回到市体育馆。全长42千米，沿途等距离设茶水站7个，求每相邻两个茶水站之间的距离。

【解析】：

从题目给出条件：“从市体育馆出发，最末再回到市体育馆。”可知这次长跑路径是个封闭图形，所以茶水站个数与茶水站之间的间距的个数是相同的。所以每相邻两个茶水站之间的距离是：

42÷7=6〔千米〕

《奥赛每天练》第25讲，拓展提高，习题2

【题目】：

小敏用同样的速度在学校的林荫道上散步，他从第1棵树走到第6棵树用了5分钟，当他走了15分钟时应到达地几棵树？

【解析】：

首先要让孩子弄清：在散步过程中，与时间有径直数量关系的是路程，也就是树的间距，而不是树的棵数。

走到第6棵树，走来5个间距，用了5分钟，每分钟的路程为1个间距：5÷〔6-1〕=1〔个〕。

走15分钟，共走了15个间距，到达第16棵树：15×1+1=16〔棵〕。

《奥赛每天练》第26讲，巩固训练，习题1

【题目】：

一根木料锯成4段用了6分钟，另外有同样的一根木料以同样的速度锯，18分钟可以锯几段？

【解析】：

首先要让孩子弄清：一、在锯木头的过程中，与时间有径直数量关系的是锯的次数和每次锯的时间，而不是锯的段数；二、木头锯成的段数总比锯的次数多1。

锯4段需要锯3次，锯一次的时间是：6÷〔4-1〕=2〔分〕。

18分钟可以锯的次数是：18÷2=9〔次〕。

18分钟可以锯的段数是：9+1=10〔段〕。

《奥赛每天练》第26讲，巩固训练，习题2

【题目】：

时钟6时敲了6下，5秒敲完。那么，这只钟12时敲12下，几秒敲完？

【解析】：

与时间有径直数量关系的是钟每敲两下之间的时间间隔。

时钟敲6下，有5个时间间隔共5秒，即每敲两下之间间隔1秒：5÷〔6-1〕=1〔秒〕。

时钟敲12下有11个时间间隔，需时间：〔12-1〕×1=11〔秒〕。

《奥赛每天练》第26讲，拓展提高，习题1

【题目】：

一个运动员参与马拉松赛跑，他从第1个茶水站跑到第4个茶水站共用了75分钟，已知从起点到终点每两个茶水站相距5千米〔起点和终点都没有茶水站〕，他跑完全程共花了200分钟，问马拉松的赛程是多少千米？

【解析】：

从第1个茶水站到第4个茶水站中间有3个间隔，共用了75分钟，每跑一个间隔需要时间：75÷〔4-1〕=25〔分钟〕。

每两个茶水站相距5千米，即这个运动员25分钟跑了5千米。200分钟跑的路程也就是马拉松的赛程：200÷25×5=40〔千米〕。

数学奥数教案3

教学目标：

1、掌控等差数列的定义，了解等差数列首项，末项和公差。

2、学会等差数列的简约求和。

教学重难点：

重点：公式的简约应用

难点：公式的理解

教学过程：

一、引入：

世界上有一名闻名的数学家叫高斯，他在很小的时候，老师给同学们出了一道数学题，让大家计算：1+2+3+4+5?+99+100=?

高斯认真观测后，很快就计算出了结果。你们能猜出他是怎么计算的吗？

高斯解题过程：1+100=2+99=3+98=?=49+52=50+51=101，共有100÷2=50〔个〕。于是

1+2+3+4+5?+99+100=〔1+100〕×100÷2=5050

在这里，涌现了一列数据。我们定义：按肯定次序排列的一串数叫做数列。一个数列，假如从第二项开始，每一项减去它紧前边的一项，所得的差都相等，就叫做等差数列。

等差数列中的每一个数都叫做项，其中从左起第一项叫做首项，最末一项叫做末项，项的个数叫做项数。等差数列中相邻两项的差叫做公差。

例如：上面高斯求解的问题：首项是1，末项是100，项数是100，公差是1.我们得出高斯求解方法更多的是告知我们一个求解等差数列的公式：

等差数列的和=〔首项+末项〕×项数÷2例一：找出以下算式当中的.首项，末项，项数和公差。

〔1〕2，5，8，11，14，17，20，23

〔2〕0，4，8，12，16，20，24，28

〔3〕3，15，27，39，51，63

让同学上黑板演示结果。

〔1〕首项2，末项23，项数8，公差3

〔2〕首项0，末项28，项数8，公差4

〔3〕首项3，末项63，项数6，公差12

知道在等差数列中如何预备找出首项，末项，项数及公差以后，更重要的是娴熟运用等差数列求和公式解决一般等差数列问题。

例二：1+2+3+4+?+1998+1999.问：算式当中的首项，末项，项数分别是什么？

答：首项是1，末项是1999，项数是1999。

解析：原式=〔1+1999〕×1999÷2

=20**×1999÷2

=小结：这是一道一般等差数列类型题，可以径直找到求解公式中需要的几个量。在计算过程中，当一个数乘另外一个数末尾有零时，先不看末尾的零，计算结束后，将零的相同个数添在积的末尾就行。

练习：

〔1〕1+2+3+4+?+250

〔2〕1+2+3+4+?+200

〔3〕1+3+5+7+?+97+99

数学奥数教案4

年龄问题

年龄问题是学校奥数中常见的一类问题。例如：已知两个人或假设干个人的年龄，求他们年龄之间的某种数量关系等等。年龄问题又往往是和倍、差倍、和差等问题的综合。它有肯定的难度，因此解题时需抓住其特点。

年龄问题的主要特点是：大小年龄差是个不变的量，而年龄的倍数却年年不同。我们可以抓住差不变这个特点，再依据大小年龄之间的倍数关系与年龄之和等条件，解答这类应用题。

解答年龄问题的一般方法是：

几年后年龄=大小年龄差÷倍数差-小年龄，

几年前年龄=小年龄-大小年龄差÷倍数差。

例1爸爸妈妈现在的年龄和是72岁;五年后，爸爸比妈妈大6岁。今年爸爸妈妈二人各多少岁?

分析五年后，爸比妈大6岁，即爸妈的年龄差是6岁。它是一个不变量。所以爸爸、妈妈现在的年龄差仍旧是6岁。这样原问题就归结成“已知爸爸、妈妈的年龄和是72岁，他们的年龄差是6岁，求二人各是几岁”的和差问题。

解：①爸爸年龄：(72+6)÷2=39(岁)

②妈妈的年龄：39-6=33(岁)

答：爸爸的年龄是39岁，妈妈的年龄是33岁。

例2在一个家庭里，现在全部成员的年龄加在一起是73岁。家庭成员中有父亲、母亲、一个女儿和一个儿子。父亲比母亲大3岁，女儿比儿子大2岁。四年前家庭里全部的人的年龄总和是58岁。现在家里的每个成员各是多少岁?

分析依据四年前家庭里全部的人的年龄总和是58岁，可以求出到现在每个人长4岁以后的实际年龄和是58+4×4=74(岁)。

但现在实际的年龄总和只有73岁，可见家庭成员中最小的一个儿子今年只有3岁。女儿比儿子大2岁，女儿是3+2=5(岁)。现在父母的年龄和是73-3-5=65(岁)。又知父母年龄

差是3岁，可以求出父母现在的年龄。

解：①从四年前到现在全家人的年龄和应为：

58+4×4=74(岁)

②儿子现在几岁?4-(74-73)=3(岁)

③女儿现在几岁?3+2=5(岁)

④父亲现在年龄：(73-3-5+3)÷2=34(岁)

⑤母亲现在年龄：34-3=31(岁)

答：父亲现在34岁，母亲31岁，女儿5岁，儿子3岁。

例3父亲现年50岁，女儿现年14岁。问：几年前父亲年龄是女儿的5倍?

分析父女年龄差是50-14=36(岁)。不论是几年前还是几年后，这个差是不变的。当父亲的年龄恰好是女儿年龄的5倍时，父亲仍比女儿大36岁。这36岁是父亲比女儿多的5-1=4(倍)所对应的年龄。

解：(50-14)÷(5-1)=9(岁)

当时女儿9岁，14-9=5(年)，也就是5年前。

答：5年前，父亲年龄是女儿的5倍。

例46年前，母亲的年龄是儿子的5倍。6年后母子年龄和是78岁。问：母亲今年多少岁?

分析6年后母子年龄和是78岁，可以求出母子今年年龄和是78-6×2=66(岁)。6年前母子年龄和是66-6×2=54(岁)。又依据6年前母子年龄和与母亲年龄是儿子的5倍，可以求出6年前母亲年龄，再求出母亲今年的年龄。

解：①母子今年年龄和：78-6×2=66(岁)

②母子6年前年龄和：66-6×2=54(岁)

③母亲6年前的年龄：54÷(5+1)×5=45(岁)

④母亲今年的年龄：45+6=51(岁)

答：母亲今年是51岁。

例510年前吴昊的年龄是他儿子年龄的7倍。15年后，吴昊的年龄是他儿子的2倍。现在

父子俩人的年龄各是多少岁?

分析依据15年后吴昊的年龄是他儿子年龄的2倍，得出父子年龄差等于儿子当时的年龄。因此年龄差等于10年前儿子的年龄加上25岁。

10年前吴昊的年龄是他儿子年龄的7倍，父子年龄差相当于儿子当时年龄的7-1=6倍。

由于年龄差不变，所以儿子10年前的年龄的6-1=5倍正好是25岁，可以求出儿子当时的年龄，从而使问题得解。

解：①儿子10年前的年龄：(10+15)÷(7-2)=5(岁)

②儿子现在年龄：5+10=15(岁)

③吴昊现在年龄：5×7+10=45(岁)

答：吴昊现在45岁，儿子15岁。

例6甲对乙说：“我在你这么大岁数的时候，你的岁数是我今年岁数的一半。”乙对甲说：“我到你这么大岁数的时候，你的岁数是我今年岁数的2倍减7。”问：甲、乙二人现在各多少岁?

分析从已知条件中可以看出甲比乙年龄大，甲乙年龄差这是一个不变的量。

甲对乙说“我在你这么大岁数的时候”，意思是说几年以前。这几年就是甲乙的年龄差。因此，甲整句话可理解为：乙今年的岁数，减去年龄差，正好是甲今年岁数的一半。

乙对甲说“我到你这么大岁数的时候”，意思是说几年后。因此，乙整句话可理解为：甲今年的岁数，加上年龄差，正好是乙今年岁数的2倍减去7。

把甲乙的对话用下列图表示为：

由(3)(4)年龄差=7(岁)

从上图不难看出，甲现在的年龄是乙几年前年龄的2倍，1倍相当于2个年龄差，2倍相当于4个年龄差。乙现在的年龄相当3个年龄差。

乙几年后的年龄和甲现在的年龄相等，所以乙几年后相当4个年龄差。甲几年后的年龄比乙几年后的年龄多一个年龄差，正好是7岁，从而得出年龄差是7岁。

解：①乙现在年龄：7×3=21(岁)

②甲现在年龄：7×4=28(岁)

答：乙现在21岁，甲现在28岁。

数学奥数教案5

一、本讲学习目标

联系生活实际，弄清晰工作量、时间、效率之间的关系，提高解决行程问题的技能。

二、重点难点考点分析

工程问题的实质就是工作量、工作时间和工作效率之间的关系问题。工程问题的解题思路和行程问题相像，需要找出三个基本量之间的关系，通过三个基本量之间的换算找出解题方法。工程问题当中，分数的涌现与运算较为常见，因此，解决工程问题首先要学好分数的四那么运算。

三、知识框架

解决工程问题首先弄清行程问题中这三个量的关系：

工作量=时间×效率(a=t×e)

时间=工作量÷效率(t=a÷e)

效率=工作量÷时间(e=a÷t)

四、概念解析

工作量：工程问题中的工作量是工程问题的总体量，在未知状况下，可假设工作量为1;

时间：工程问题中的时间是工程问题的因子量;

效率：和时间一样，效率也是工程问题的因子量，其地位和形式与时间类似。

五、例题讲解

甲、乙两个工程队共同完成一项工程需18天，假如甲队干3天、乙队干4天那么完成工程的1/5。问：甲、乙两队独立完成该工程各需多少天?

打印一份稿件，甲单独打需要50分完成，乙单独打需30分完成。现在甲单独打假设干份后，乙接着打完，共42分。问：甲打了稿件的几分之几

有甲、乙两根水管，分别同时给两个大小相同的水池A和B注水，在相同的时间内甲、乙两管注水量之比是7：5。经过2时，A、B两池中已注入水之和恰好是一池水。此后，甲管的注水速度提高25%，乙管的注水速度降低30%。当甲管注满A池时，乙管还需多长时间注满B池?

一项工程，甲，乙两队合作30天完成。假如甲队单独做24天后，乙队再加入合作，两队合作12天后，