热力统计学第一章答案

精品文档精品文档精品文档精品文档pVpV=CT.5）pVpV=CT.5）第一章热力学的基本规律1.1试求理想气体的体胀系数a,压强系数0和等温压缩系数K。T解：已知理想气体的物态方程为pV=nRT,(1)由此易得2)3)4)2)3)4)~pV_T

nR1

~pV—TI11'nRT1V丿1p2丿1(av、—IVlap丿1p1.2证明任何一种具有两个独立参量T,p的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数a及等温压缩系数k，根据下述积分求得：TlnV=J(adT-kdp)T如果1,K试求物态方程。如果1,K试求物态方程。解：以T,p为自变量，物质的物态方程为V=V(T,p),其全微分为dVdp.1)dVdp.1)全式除以V，有dp.根据体胀系数«和等温压缩系数k的定义，可将上式改写为TTOC\o"1-5"\h\zdV=adT-kdp.（2）VT"上式是以T,p为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有lnV=j（adT-kdp）.（3）T若a=丄,k=丄，式（3）可表为TTplnV=J—dT——dp.⑷ITp丿选择图示的积分路线，从（T,p）积分到（T,p），再积分到（T,p），000相应地体（切）（為坯）亿如°耳积由V最终变到v，有0.V.Tpln=ln-ln,VTp

000即=EV=c（常量），TT0精品文档精品文档精品文档精品文档式（5）就是由所给d=丄，K=1求得的物态方程。确定常量C需要TTp进一步的实验数据。1.3在OoC和1p下，测得一铜块的体胀系数和等温压缩系数分n别为4.85X10-5K-1和k=7.8x10-7p-1.d和k可近似看作常量，今使铜TnT块加热至10oC。问：（a）压强要增加多少p才能使铜块的体积维持不变？（b）若压n强增加100p，铜块的体积改变多少？n鈔解:（a）根据1.2题式（2），有TOC\o"1-5"\h\zdV=ddT-kdp.（1）VT"上式给出，在邻近的两个平衡态，系统的体积差dV，温度差dT和压强差dp之间的关系。如果系统的体积不变，dp与dT的关系为dp=—dT.（2）kT在d和K可以看作常量的情形下，将式（2）积分可得Tp-p=—（T-T）.（3）21K21T将式（2）积分得到式（3）首先意味着，经准静态等容过程后，系统在初态和终态的压强差和温度差满足式（3）。但是应当强调，只要初态（V,T）和终态（V,T）是平衡态，两态间的压强差和温度差就满足12式（3）。这是因为，平衡状态的状态参量给定后，状态函数就具有确定值，与系统到达该状态的历史无关。本题讨论的铜块加热的实际过程一般不会是准静态过程。在加热过程中，铜块各处的温度可以不等，铜块与热源可以存在温差等等，但是只要铜块的初态和终态是平衡态，两态的压强和温度差就满足式（3）。将所给数据代入，可得=4.85=4.85X10-517.8x10-7X10=622p.n因此，将铜块由0oC加热到10oC，要使铜块体积保持不变，压强要增强622pn（b）1.2题式（4）可改写为竺=a（T-T）-k（p-p）.（4）V21T211将所给数据代入，有AV—=4.85x10-5xlO-7.8x10-7xlOOV1=4.07x10-4.因此，将铜块由0oC加热至10oC,压强由ip增加100p,铜块体积将增nn加原体积的4.07x10-4倍。1.4简单固体和液体的体胀系数a和等温压缩系数数值都很小,在一定温度范围内可以把a和看作常量.试证明简单固体和液体的物态方程可近似为—（T,p）=—（T,0）「1+a（T-T）-kp].000T解：以T,p为状态参量，物质的物态方程为—=—（T,p）.根据习题1.2式（2），有1）dV1）vRdT-k少2）将上式沿习题1.2图所示的路线求线积分，在a和可以看作常量的情形下，有2）In—=a（T-T）-k（p一p）,V0T00—（T,p）=—（T,p）ea（T%）-勺（p-p°）.（3）00考虑到a和k的数值很小，将指数函数展开，准确到a和k的线性项,TT有—（T,p）=—（T,p）「1+a（T-T）-k（p—p几（4）000T0如果取p二0，即有0

V（T,p）=V（T,0）「100T5）1.5描述金属丝的几何参量是长度L，力学参量是张力J物态方程是5）fJ，厶T）=0实验通常在1p下进行，其体积变化可以忽略。n线胀系数定义为a—IIL&T丿J等温杨氏模量定义为Y_L]A应丿T其中A是金属丝的截面积，一般来说，a和Y是T的函数，对J仅有微弱的依赖关系，如果温度变化范围不大，可以看作常量，假设金属丝两端固定。试证明，当温度由T降至T时，其张力的增加为12AJ_-YAa（T-T）21解：由物态方程fJ,厶T）_0（1）所以，有（dT][j丿爲丿L2）J所以，有（dT][j丿爲丿L2）JLJTA_-La--YL_-aAY.3）积分得AJ_-YAa（T-T）.21（4）与1.3题类似，上述结果不限于保持金属丝长度不变的准静态冷却过精品文档精品文档精品文档精品文档2）2）2）2）程，只要金属丝的初态是平衡态，两态的张力差AJ=J（L,T）-J（L,T）21就满足式（4），与经历的过程无关。1.6一理想弹性线的物态方程为J二bT（J二bTI厂充丿50其中L是长度，L是张力J为零时的L值，它只是温度T的函数，b0是常量.试证明：（a）等温扬氏模量为Y二bTL

A\L、（在张力为零时，Y二0A线胀系数为b）3在张力为零时，Y二0A线胀系数为b）土-11La=a—0—0+2L01dL0.LdT0（C）上述物态方程适用于橡皮带，设T二300K,b二1.33x10-3N-K—1,A二lx10-6m2,a二5x10-4K-1，试计算当—分别为0.5,1.0,1.5和2.0时的0L0J,Y,a值，并画出J,Y,a对—的曲线.L0解：（a）根据题设，理想弹性物质的物态方程为J二bT[—J二bT[—IL0由此可得等温杨氏模量为1）右丿，L(12L21bTrl2L21二一bT——+—0&丿ATILa丿AIL匕丿Y二彳精品文档精品文档精品文档精品文档4)4)4)4)张力为零时，(b)线胀系数的定义为由链式关系知3)b(LL)一——0+bTL2oL2dLdT所以(LL)一——0ILLz丿bT(12Lz)_bT丿lLL丿LILL丿'oyohTL丄2L—bTI+-aILL7__—(12Lz)—11dL1L——■LdTTL3小+2L0精品文档精品文档精品文档精品文档IQI.C(C)根据题给的数据，J,YIQI.C(C)根据题给的数据，J,Y,a对土的曲线分别如图1-2(a),(b),(c)L0所示。1.7抽成真空的小匣带有活门，打开活门让气体冲入，当压强达到外界压强p时将活门关上，试证明：小匣内的空气在没有与外界交0换热量之前，它的内能U与原来在大气中的内能U之差为0U-U二pV，其中V是它原来在大气中的体积，若气体是理想气体，0000求它的温度与体积。解：将冲入小匣的气体看作系统。系统冲入小匣后的内能U与其原来在大气中的内能U由式(1.5.3)0U-U二W+Q(1)0确定。由于过程进行得很迅速，过程中系统与外界没有热量交换，Q二0.过程中外界对系统所做的功可以分为W和W两部分来考虑。一12方面，大气将系统压入小匣，使其在大气中的体积由V变为零。由于0精品文档精品文档精品文档精品文档1)Vn1)Vn1)Vn1)Vn小匣很小，在将气体压入小匣的过程中大气压强p可以认为没有变0化，即过程是等压的（但不是准静态的）。过程中大气对系统所做的功为W二一pAV二pV.1000另一方面，小匣既抽为真空，系统在冲入小匣的过程中不受外界阻力与外界也就没有功交换，则W二0.2因此式（1）可表为TOC\o"1-5"\h\zU-U二pV.（2）000如果气体是理想气体，根据式（1.3.11）和（1.7.10），有pV二nRT,（3）00U-U=C（T-T）=竺（T-T）⑷0v0丫—10式中n是系统所含物质的量。代入式（2）即有T=yT.（5）0活门是在系统的压强达到p时关上的，所以气体在小匣内的压强也可0看作p，其物态方程为6)06)pV=nRT.与式（3）与式（3）比较，知7)1.8满足pVn=C的过程称为多方过程，其中常数n名为多方指数。试证明：理想气体在多方过程中的热容量C为口Cn—1V解：根据式（1.6.1），多方过程中的热容量=!皿羽j罟］+p偉］•nnn对于理想气体，内能U只是温度T的函数,精品文档精品文档精品文档精品文档式中式中m是气体的质量,m+是气体的摩尔质量。对于单位质量的气体，所以C=C+p所以C=C+pnV3)4)5)2)将多方过程的过程方程式pVn二C与理想气体的物态方程联立，消去压强p可得TVn-1二C(常量)。1将上式微分，有Vn-idT+(n—1)Vn-2TdV=0,所以lOT丿(n-1)Tn代入式(2)，即得,—pV=n—cvT(n-1)n-1v其中用了式(1.7.8)和(1.7.9)。1.9试证明：理想气体在某一过程中的热容量Cn如果是常数，该过程一定是多方过程，多方指数n二Cn-Cp。假设气体的定压热容量C-CnV和定容热容量是常量。解：根据热力学第一定律，有dU二dQ+dW.(1)对于准静态过程有dW二—pdV,对理想气体有dU=CdT,V气体在过程中吸收的热量为dQ=CdT,n因此式(1)可表为(C-C)dT=pdV.(2)nV用理想气体的物态方程pV二vRT除上式，并注意C-C=VR用理想气体的物态方程pV二vRT除上式，并注意C-C=VR,可得pV（C-C）dT二（C-C）dV.⑶nVTpVV将理想气体的物态方程全式求微分，有dpdVdT+=.pVT式(3)与式(4)联立，消去dT，有T(C-C)dP+(C-C)dV=0.nVpnpV4)5)令n=Cn-Cp，可将式（5）表为C-CnVdpdV+n=0.pV6)如果C,C和C都是常量，将上式积分即得pVnpVn=C（常量）。（7）式（7）表明，过程是多方过程。1.10声波在气体中的传播速度为假设气体是理想气体，其定压和定容热容量是常量，试证明气体单位质量的内能u和焓h可由声速及Y给出：h=+h=+hy-10u=+u,yW—i丿0其中u,h为常量。00解：根据式（1.8.9），声速a的平方为a2=ypv,其中v是单位质量的气体体积。理想气体的物态方程可表为mpV=RT,m+

pv=—!—RT,m+代入式(1)得YDTa2=RT.m+以u,h表示理想气体的比内能和比焓(单位质量的内能和焓)。(1.7.10)—(1.7.12)知2)3)由式2)3)由式m+u=+m+u,m+h=YRTY-m+h=YRTY-1+m+h.04)将式(3)代入，即有a2u=+u,Y(Y-1)05)式(5)表明，如果气体可以看作理想气体，测定气体中的声速和丫即可确定气体的比内能和比焓。1.11大气温度随高度降低的主要原因是在对流层中的低处与高处之间空气不断发生对流，由于气压随高度而降低，空气上升时膨胀，下降时收缩，空气的导热率很小，膨胀和收缩的过程可以认为是绝热过程，试计算大气温度随高度的变化率dT，并给出数值结果。dz解：取z轴沿竖直方向(向上)。以p(z)和p(z+dz)分别表示在竖直高度为z和z+dz处的大气压强。二者之关等于两个高度之间由大气重量产生的压强，即p(z)=p(z+dz)+p(z)gdz,(1)式中p(z)是高度为z处的大气密度，g是重力加速度。将p(z+dz)展开，有精品文档精品文档精品文档精品文档精品文档精品文档1)1)1)1)p(z+dz)二p(z)+fp(z)dz,

dz代入式(1)，得fp(z)二-P(z)g.dz式(2)给出由于重力的存在导致的大气压强随高度的变化率。2)以m代入式(1)，得fp(z)二-P(z)g.dz式(2)给出由于重力的存在导致的大气压强随高度的变化率。2)以m+表大气的平均摩尔质量。在高度为z处，大气的摩尔体积为务，则物态方程为p(z)斗=RT(z)，P(z)T(z)是竖直高度为z处的温度。代入式(2)，消去p(z)得3)邑〃(z)一上空p(z).dzRT(z)4)由式(1.8.6)易得气体在绝热过程中温度随压强的变化率为Vt、s综合式(4)和式(5)，有ST、

°p丿sdT(z)=dzY-1TYp5)dzp宀丫R6)平均7)大气的Y=1.41(大气的主要成分是氮和氧，都是双原子分子)，摩尔质量为m+=29x10-3kg-mol-1,g=9.8m-s-2，代入式(6)得平均7)—T(z)=-10K-km-1.dz式(7)表明，每升高1km,温度降低10K。这结果是粗略的。由于各种没有考虑的因素，实际每升高1km,大气温度降低6K左右。1.12假设理想气体的C和C之比丫是温度的函数，试求在准静态pV绝热过程中T和V的关系，该关系式中要用到一个函数F(T)，其表达式为lnF(T)=flnF(T)=fdT(Y-1)TCdT+pdV=0.(1)V解：根据式（1.8.1），理想气体在准静态绝热过程中满足用物态方程pV二nRT除上式，第一项用nRT除，第二项用pV除，可得CdTdVV+-nRTV02）利用式（1.7.8）和（1.7.9），C-C=nR,

pVCCp=Y'V可将式(2)改定为将上式积分，如果y是温度的函数，定义lnF(T)=将上式积分，如果y是温度的函数，定义lnF(T)=J1dTT^-1T可得或lnF(T)+lnV二C(常量),1F(T)V二C(常量)。3)456)式（6）给出当y是温度的函数时，理想气体在准静态绝热过程中T和V的关系。利用上题的结果证明：当y为温度的函数时，理想气体卡诺循环的效率仍为耳二1-昱.T

1解：在y是温度的函数的情形下，§1.9就理想气体卡诺循环得到的式（1.9.4）—（1.9.6）仍然成立，即仍有VQ1=RTilnV2,1精品文档精品文档精品文档精品文档2）V2）Q二RTIn-3,22—4W二QW二Q1-Q2--二RTln-2-RTInf1-2-143）4)56)根据1.13题式（6），对于§4)56)F(T)-二F(T)-,TOC\o"1-5"\h\z223F(T)-二F(T)-,411从这两个方程消去F(T)和F(T)，得12--14W二R（T-T）lnZ,（7）12—18)所以在丫是温度的函数的情形下，理想气体卡诺循环的效率仍为8)WT

r=——=1—t.QT11试根据热力学第二定律证明两条绝热线不能相交。解：假设在p—-图中两条绝热线交于C点，如图所示。设想一等温线与两条绝热线分别交于A点和B点（因为等温线的斜率小于绝热线的斜率，这样的等温线总是存在的），则在循环过程ABCA中，系统在等温

过程AB中从外界吸取热量Q，而在循环过程中对外做功W，其数值等于三条线所围面积（正值）。循环过程完成后，系统回到原来的状态。根据热力学第一定律，有W二Q。这样一来，系统在上述循环过程中就从单一热源吸热并将之完全转变为功了，这违背了热力学第二定律的开尔文说法，是不可能的。因此两条绝热线不可能相交。热机在循环中与多个热源交换热量，在热机从其中吸收热量的热源中，热源的最高温度为T，在热机向其放出热量的热源中，1热源的最低温度为T，试根据克氏不等式证明，热机的效率不超过1一T2T1解：根据克劳修斯不等式（式（1.13.4）），有1）式中Q是热机从温度为T的热源吸取的热量（吸热Q为正，放热Q为iiii负）。将热量重新定义，可将式（1）改写为2）式中Q式中Q是热机从热源T吸取的热量,Q，Q恒正。将式（2）改写为Q是热机在热源T放出的热量,kk（3）假设热机从其中吸取热量的热源中，热源的最高温度为T，在热机向1其放出热量的热源中，热源的最低温度为T，必有21jjj工Q＜丄工Q,TTkkk2k

故由式(故由式(3)得4)定义Q=ZQ为热机在过程中吸取的总热量，Q=工Q为热机放出的TOC\o"1-5"\h\z1j2k5）总热量，则式(4)可表为k5）Qt<Q2,TT12T<Q2.(6)TQ11根据热力学第一定律，热机在循环过程中所做的功为W=Q-Q.12热机的效率为—W二1-£<1-2.（7）QQT111.16理想气体分别经等压过程和等容过程，温度由T升至T。12假设Y是常数，试证明前者的熵增加值为后者的Y倍。1）2）解：根据式(1.15.81）2）S=ClnT—nRlnp+S.p0在等压过程中温度由T升到T时，熵增加值AS为12pAS二Cln二.ppT1根据式(1.15.8)，理想气体的熵函数也可表达为TOC\o"1-5"\h\zS=ClnT+nRlnV+S.（3）V0在等容过程中温度由T升到T时，熵增加值AS为12VAS=Clnt.（4）VVT1所以

5）ASC5）p二一p二丫.ASCVV1.17温度为0oC的1kg水与温度为lOOoC的恒温热源接触后，水温达到lOOoC。试分别求水和热源的熵变以及整个系统的总熵变。欲使参与过程的整个系统的熵保持不变，应如何使水温从OoC升至lOOoC?已知水的比热容为4.18J-g-1-K-1.解：OoC的水与温度为1OOoC的恒温热源接触后水温升为1OOoC，这一过程是不可逆过程。为求水、热源和整个系统的熵变，可以设想一个可逆过程，它使水和热源分别产生原来不可逆过程中的同样变化，通过设想的可逆过程来求不可逆过程前后的熵变。为求水的熵变，设想有一系列彼此温差为无穷小的热源，其温度分布在OoC与100oC之间。令水依次从这些热源吸热，使水温由OoC升至1OOoC。在这可逆过程中，水的熵变为mcdT373373AS=J373p=meIn=1O3x4.18xln=13O4.6J-k-1.（1）水273Tp273273水从OoC升温至1OOoC所吸收的总热量Q为Q=meAT=IO3x4.18x1OO=4.18x1O5J.p为求热源的熵变，可令热源向温度为1OOoC的另一热源放出热量Q。在这可逆过程中，热源的熵变为AS热源4.18AS热源4.18x1O5373=—112O.6J・K-1.2）由于热源的变化相同，式（2）给出的熵变也就是原来的不可逆过程中热源的熵变。则整个系统的总熵变为AS=AS+AS=184J-K-1.（3）总水热源为使水温从OoC升至1OOoC而参与过程的整个系统的熵保持不变,应令水与温度分布在OoC与1OOoC之间的一系列热源吸热。水的熵变A®仍由式（1）给出。这一系列热源的熵变之和为水TOC\o"1-5"\h\zA®=-J373mCpdT=—13O4.6J-K-1.（4）热源273T参与过程的整个系统的总熵变为aS%二aS%+aS%二o.（5）总水热源

10A的电流通过一个250的电阻器，历时Is。（a）若电阻器保持为室温27oC，试求电阻器的熵增加值。（b）若电阻器被一绝热壳包装起来，其初温为27oC，电阻器的质量为10g，比热容c为0.84J・g-i-K-1,问电阻器的熵增加值为多少？解：（a）以t,p为电阻器的状态参量。设想过程是在大气压下进行的，如果电阻器的温度也保持为室温27oC不变，则电阻器的熵作为状态函数也就保持不变。（b）如果电阻器被绝热壳包装起来，电流产生的焦耳热Q将全部被电阻器吸收而使其温度由T升为T，所以有ifmc（T一T）=i2Rt,pfi故=T+竺=T+竺imc=300+102X25xl10-2x0.48x103沁600K.电阻器的熵变可参照§1.17例二的方法求出，为mcdTT600AS=JTfp=mcIn十=10-2x0.84x103ln=5.8J-K-1.tTpT300ii均匀杆的温度一端为T，另一端为T，试计算达到均匀温12度1（t+T）后的熵增。212解：以L表示杆的长度。杆的初始状态是l=0端温度为T，l=L端2温度为T，温度梯度为=（设T>T）。这是一个非平衡状态。通1L12过均匀杆中的热传导过程，最终达到具有均匀温度1（T+T）的平衡状212态。为求这一过程的熵变，我们将杆分为长度为dl的许多小段，如图所示。位于l到l+dl的小段，初温为T=TT=T+=2Ll.1)精品文档精品文档精品文档精品文档精品文档精品文档4)4)1111这小段由初温T变到终温1（t+T）后的熵增加值为212T+TdS这小段由初温T变到终温1（t+T）后的熵增加值为212T+TdS=cdlJ\2dT=cdlln2一1ptTpt+口l2L其中c是均匀杆单位长度的定压热容量。根据熵的可加性，整个均匀杆的熵增加值为AS=JdSl=cJLp0,T+TIni2

2dlT2Lc1丿L2）T+TcL=cLint__2-p(TinT-TinT-T+T丿p2T-T11221212厂匚T+TTinT-TinT」=Cin2—122+1.pI2T-T丿123）式中C=cL是杆的定压热容量。pp一物质固态的摩尔热量为C，液态的摩尔热容量为C.假s1设C和C都可看作常量.在某一压强下，该物质的熔点为T，相变潜s10热为Q.求在温度为T（T<T）时，过冷液体与同温度下固体的摩尔熵0110差.假设过冷液体的摩尔热容量亦为C.1解：我们用熵函数的表达式进行计算.以T,p为状态参量.在讨论固定压强下过冷液体与固体的熵差时不必考虑压强参量的变化.以a态表示温度为t的固态，b态表示在熔点t的固态.b,a两态的摩10尔熵差为（略去摩尔熵S的下标m不写）mAS=JToCsdT=CinTo.（1）baTTsT

以C态表示在熔点T的液相，c，b两态的摩尔熵差为02)3)4)S二Q0.2)3)4)cbT0以d态表示温度为T的过冷液态，d,c两态的摩尔熵差为1f丁CdTlTAS=fii=CIni.dcTTlTT00熵是态函数，d,c两态的摩尔熵差s为daAS=AS+AS+ASdadccdbaClnT1+Q+ClnTolTTsT00i二Q+（C-C）ln佇.

TslT

0i1.21物体的初温T，高于热源的温度T，有一热机在此物体与i2热源之间工作，直到将物体的温度降低到T为止，若热机从物体吸取2的热量为Q试根据熵增加原理证明，此热机所能输出的最大功为W二Q—T(S—S)

max2i2其中S—S是物体的熵减少量。i2解：以AS,AS和AS分别表示物体、热机和热源在过程前后的熵abc变。由熵的相加性知，整个系统的熵变为AS二AS+AS+AS.abc由于整个系统与外界是绝热的，熵增加原理要求AS二AS+AS+AS>0.(1)abc以S,S分别表示物体在开始和终结状态的熵，则物体的熵变为i2AS二S—S.(2)a2i热机经历的是循环过程，经循环过程后热机回到初始状态，熵变为零3）即3）AS二0.b以Q表示热机从物体吸取的热量，Qr表示热机在热源放出的热量,表示热机对外所做的功。根据热力学第一定律，有所以热源的熵变为AScQ二Q-WFAScQ二Q-WF-T22将式（2）—（4）代入式（1），即有S-S+21Q-W>0.上式取等号时，热机输出的功最大，故W=Q-T（s-S）.max212式（6）相应于所经历的过程是可逆过程。4)56)1.22有两个相同的物体，热容量为常数，初始温度同为t。今i令一制冷机在这两个物体间工作，使其中一个物体的温度降低到T为2止。假设物体维持在定压下，并且不发生相变。试根据熵增加原理证明，此过程所需的最小功为Wmin解：制冷机在具有相同的初始温度T的两个物体之间工作，将i热量从物体2送到物体1,使物体2的温度降至T为止。以T表示物体211的终态温度，C表示物体的定压热容量，则物体1吸取的热量为pQ=C（T-T）（1）1p1i2）物体2放出的热量为2）Q=C（T-T）2pi2经多次循环后，制冷机接受外界的功为W=Q-Q=C（T+T-2T）（3）12p12i由此可知，对于给定的T和T，T愈低所需外界的功愈小。i21用AS,AS和AS分别表示过程终了后物体1，物体2和制冷机的123熵变。由熵的相加性和熵增加原理知，整个系统的熵变为显然AS显然AS二AS+AS+AS>0123因此熵增加原理要求AS二CInT因此熵增加原理要求AS二CInT1,pTiAS二CInT2,pTiAS二0.3AS二CIn一>0,pT25）-1-2>1,T26）对于给定的T和T，最低的T为i21T2T二亠iT2代入（3）式即有Wmin7）Wmin7）式（7）相应于所经历的整个过程是可逆过程。1.23简单系统有两个独立参量。如果以T,S为独立参量，可以以纵坐标表示温度T，横坐标表示熵S，构成T-S图。图中的一点与系统的一个平衡态相对应，一条曲线与一个可逆过程相对应。试在图中画出可逆卡诺循环过程的曲线,并利用T-S图求可逆卡诺循环的效率。解：可逆卡诺循环包含两个可逆等温过程和两个可逆绝热过程。精品文档精品文档精品文档精品文档图上，等温线是平行于T轴的直线。可逆绝热过程是等熵过程，因此在t-S图上绝热线是平行于S轴的直线。图1-5在T-S图上画出了可逆卡诺循环的四条直线。（一）等温膨胀过程工作物质经等温膨胀过程（温度为T）由状态I到达状态II。由1于工作物质在过程中吸收热量，熵由S升为S。吸收的热量为12Q=T（S-S）,（1）1121Q等于直线III下方的面积。1（二）绝热膨胀过程工作物质由状态II经绝热膨胀过程到达状态III。过程中工作物质内能减少并对外做功，其温度由T下降为T，熵保持为S不变。122（三）等温压缩过程工作物质由状态III经等温压缩过程（温度为T）到达状态W。工2作物质在过程中放出热量，熵由S变为S，放出的热量为21Q=T（S-S）,（2）2221Q等于直线IIIW下方的面积。2（四）绝热压缩过程工作物质由状态W经绝热压缩过程回到状态I。温度由T升为2T，熵保持为S不变。11在循环过程中工作物质所做的功为TOC\o"1-5"\h\zW二Q-Q,（3）12W等于矩形IIIIIIW所包围的面积。可逆卡诺热机的效率为W1QT（S-S）T（4）QQT（S-S丿T111211

上面的讨论显示，应用T-S图计算（可逆）卡诺循环的效率是非常方便的。实际上T-S图的应用不限于卡诺循环。根据式（1.14.4）dQ二TdS,（5）系统在可逆过程中吸收的热量由积分Q=fTdS（6）给出。如果工作物质经历了如图中ABCDA的（可逆）循环过程，贝恠过程ABCA7ES中工作物质吸收的热量等于面积ABCEF，在过程CDA中工作物质放出的热量等于面积ADCEF，工作物质所做的功等于闭合曲线ABCDA所包的面积。由此可见（可逆）循环过程的热功转换效率可以直接从T-S图中的面积读出。在热工计算中T-S图被广泛使用。补充题1lmol理想气体，在27oC的恒温下体积发生膨胀，其压强由20p准静态地降到1p，求气体所作的功和所吸取的热量。nn解：将气体的膨胀过程近似看作准静态过程。根据式（1.4.2），在准静态等温过程中气体体积由V膨胀到V，外界对气体所做的功为ABW二-JvW二-JvbpdVVAdVV二-RTlnVb二-RTln-PA.VpAB气体所做的功是上式的负值，将题给数据代入，得-W二RTln你二8.31x300xln20二7.47x103J.pB在等温过程中理想气体的内能不变，即

AU=0.根据热力学第一定律(式(1.5.3)),气体在过程中吸收的热量q为Q二—W二7.47x103J.补充题2在25oC下，压强在0至1000p之间，测得水的体积为nV=(18.066一0.715x10-3p+0.046x10-6p2)cm3-mol-1如果保持温度不变，将1mol的水从1p加压至1000p，求外界所作nn的功。1)解：将题中给出的体积与压强关系记为1)V=a+bp+cp2,由此易得dV=(b+2cp)dp.(2)保持温度不变，将lmol的水由1p加压至1000p，外界所做的功为nn1000W=—fvbpdV=—fpbp(b+2cp)dp=一(]bp2+cp3)

VApa231000=33.1J-mol-1.在上述计算中我们已将过程近拟看作准静态过程。补充题3承前1.6题，使弹性体在准静态等温过程中长度由l压缩为仕，试计算外界所作的功。解2：在准静态过程中弹性体长度有dL的改变时，外界所做的功是TOC\o"1-5"\h\zdW=JdL.(1)将物态方程代入上式，有厂TL?\、dW=bT—-^0dL.(2)ILT2在等温过程中L是常量，所以在准静态等温过程中将弹性体长度由L00压缩为仕时，外界所做的功为2

W=f?JdL=bTJL0W=f?JdL=bTJL0L02L0=bTL0，