2022-2023学年苏教版选择性必修第一册 5.2.1基本初等函数的导数 学案

课题:§5.2.1基本初等函数的导数目标要求1、通过实例分析，了解利用定义求函数的导数．2、掌握基本初等函数的导数公式，并会利用公式求简单函数的导数．3、能利用基本初等函数的导数公式求函数的导数、解决与曲线的切线有关的问题．学科素养目标通过具体背景与实例的抽象，经历导数模型的建构和利用导数解决实际问题的过程，使学生对变量数学的思想方法（无穷小算法数学）有新的感悟．进一步发展学生的数学思维能力，感受和体会数学产生和发展的规律以及人类智慧和文明的传承，促进学生全面认识数学的价值．也为后继进一步学习微积分等课程打好基础．导数与函数、方程、不等式及解析几何等相关内容密切相联．具有“集成”的特点，进而，学习本章节有助于学生从整体上理解和把握数学的结构，灵活运用数学的思想和方法，提高分析问题、解决问题的能力．重点难点重点：利用公式求简单函数的导数；难点：利用基本初等函数的导数公式求函数的导数、解决与曲线的切线有关的问题．教学过程基础知识积累1.几个常见函数的导数f(x)kx＋bC(C为常数)xx2eq\f(1,x)x3eq\r(x)f′(x)_________________________3x2eq\f(1,2\r(x))【友情提醒注意】常数的导数为0.2．基本初等函数的导数公式(xα)′＝_________(α为常数)(lnx)′＝________(ax)′＝_________(a＞0，且a≠1)(sinx)′＝________(logax)′＝_________(a＞0，且a≠1)(cosx)′＝________(ex)′＝_________【课前预习思考】(1)函数f(x)＝ax的导数与函数f(x)＝ex的导数之间有什么关系？(2)函数f(x)＝logax与f(x)＝lnx的导数之间有何关系？(3)若f′(x)＝ex，则f(x)＝ex这种说法正确吗？【课前小题演练】题1．若f(x)＝cosx，则f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))的值为()A．0B．1C．－1D．eq\f(1,2)题2．函数f(x)＝eq\r(x)的导函数f′(x)＝()A．B．eq\f(1,\r(x))C．eq\f(1,2\r(x))D．eq\f(1,2)x题3．已知y＝sin75°，则y′＝()A．eq\f(\r(6)＋\r(2),4) B．eq\f(\r(6)－\r(2),4)C．2＋eq\r(3) D．0题4．已知函数f(x)＝eq\f(1,x3)，则f′(eq\r(3))＝()A．eq\f(1,3)B．－eq\f(1,3)C．eq\f(1,9)D．－eq\f(1,9)题5．已知f(x)＝xa，若f′(－1)＝－4，则a的值是()A．－4B．4C．2D．－2题6．直线y＝eq\f(1,2)x＋b是曲线y＝lnx(x＞0)的一条切线，则实数b＝________．题7．若质点P的运动方程是s＝(s的单位为m，t的单位为s)，求质点P在t＝8s时的瞬时速度．【当堂巩固训练】题8．若函数f(x)＝x2，则f(x)在x＝1处的导数为()A．2xB．2C．3D．4题9．下列结论正确的是()A．若y＝cosx，则y′＝sinxB．若y＝sinx，则y′＝－cosxC．若y＝eq\f(1,x)，则y′＝－eq\f(1,x2)D．若y＝eq\r(x)，则y′＝eq\f(\r(x),2)题10．若f(x)＝sinx，f′(α)＝eq\f(1,2)，则下列α的值中满足条件的是()A．eq\f(π,3)B．eq\f(π,6)C．eq\f(2,3)πD．eq\f(5,6)π题11．已知曲线y＝x3在点P处的切线斜率为k，则当k＝3时的P点坐标为()A．(－2，－8) B．(－1，－1)或(1，1)C．(2，8) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(1,8)))题12．对任意的x，有f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，则此函数解析式为()A．f(x)＝x3 B．f(x)＝x4－2C．f(x)＝x3＋1 D．f(x)＝x4－1题13．若曲线y＝eq\r(x)在点P(a，eq\r(a))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是()A．4B．－4C．2D．－2题14（多选题）．下列结论正确的为()A．若y＝ln2，则y′＝eq\f(1,2)B．若f(x)＝eq\f(1,x2)，则f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3))＝－eq\f(2,27)C．若y＝2x，则y′＝2xln2D．若y＝log5x，则y′＝eq\f(1,xln5)题15．已知曲线f(x)＝eq\f(1,x)，则过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，3))，且与曲线y＝f(x)相切的直线方程可能为()A．y＝－x＋2 B．y＝－9x－6C．y＝－8x－5 D．y＝－7x－4题16．已知函数f(x)＝log2x，则f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1))＝________.题17．已知f(x)＝x2，g(x)＝lnx，若f′(x)－g′(x)＝1，则x＝________.题18．求曲线y＝eq\f(1,x)与y＝x2在它们交点处的两曲线的切线与x轴所围成的三角形的面积．【课堂跟踪拔高】题19．下列命题正确的是()A．(logax)′＝eq\f(1,x) B．(logax)′＝eq\f(ln10,x)C．(3x)′＝3xln3 D．(lnx)′＝ex题20．已知曲线y＝x3在点(2，8)处的切线方程为y＝kx＋b，则k－b＝()A．4B．－4C．28D．－28题21．曲线y＝f(x)＝ex的倾斜角为eq\f(π,6)的切线的切点坐标为()A．(－eq\f(1,2)ln3，eq\f(\r(3),3)) B．(eq\f(1,2)ln3，eq\r(3))C．(eq\f(1,2)ln3，eq\f(\r(3),3)) D．(－eq\f(1,2)ln3，eq\r(3))题22．(多选题)以下运算正确的是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝eq\f(1,x2) B．(cosx)′＝－sinxC．(2x)′＝2xln2 D．(lgx)′＝－eq\f(1,xln10)题23．函数f(x)＝，则f′(x)＝________，f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,32)))＝________．题24．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x3，x<0,lnx，0<x<1))，若f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a))＝12，则实数a的值为________.题25．求满足下列条件的直线l的方程：(1)过原点且与曲线y＝lnx相切；(2)斜率为e且与曲线y＝ex相切．题26．已知两条曲线y1＝sinx，y2＝cosx，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处的两曲线的切线互相垂直？并说明理由．编号：034课题:§5.2.1基本初等函数的导数目标要求1、通过实例分析，了解利用定义求函数的导数．2、掌握基本初等函数的导数公式，并会利用公式求简单函数的导数．3、能利用基本初等函数的导数公式求函数的导数、解决与曲线的切线有关的问题．学科素养目标通过具体背景与实例的抽象，经历导数模型的建构和利用导数解决实际问题的过程，使学生对变量数学的思想方法（无穷小算法数学）有新的感悟．进一步发展学生的数学思维能力，感受和体会数学产生和发展的规律以及人类智慧和文明的传承，促进学生全面认识数学的价值．也为后继进一步学习微积分等课程打好基础．导数与函数、方程、不等式及解析几何等相关内容密切相联．具有“集成”的特点，进而，学习本章节有助于学生从整体上理解和把握数学的结构，灵活运用数学的思想和方法，提高分析问题、解决问题的能力．重点难点重点：利用公式求简单函数的导数；难点：利用基本初等函数的导数公式求函数的导数、解决与曲线的切线有关的问题．教学过程基础知识积累1.几个常见函数的导数f(x)kx＋bC(C为常数)xx2eq\f(1,x)x3eq\r(x)f′(x)k012x－eq\f(1,x2)3x2eq\f(1,2\r(x))【友情提醒注意】常数的导数为0.2．基本初等函数的导数公式(xα)′＝αxα－1(α为常数)(lnx)′＝eq\f(1,x)(ax)′＝ax__ln__a(a＞0，且a≠1)(sinx)′＝cosx(logax)′＝eq\f(1,xlna)(a＞0，且a≠1)(cosx)′＝－sinx(ex)′＝ex【课前预习思考】(1)函数f(x)＝ax的导数与函数f(x)＝ex的导数之间有什么关系？提示：f(x)＝ex是底数为e的指数函数，是特殊的指数函数，所以其导数f′(x)＝ex也是f′(x)＝axlna当a＝e时的特殊情况．(2)函数f(x)＝logax与f(x)＝lnx的导数之间有何关系？提示：f(x)＝lnx是f(x)＝logax的一个特例，f(x)＝lnx的导数也是f(x)＝logax的导数的特例．(3)若f′(x)＝ex，则f(x)＝ex这种说法正确吗？提示：不正确．由导数定义可知f(x)＝ex＋C(其中C为任意实数)，都有f′(x)＝ex.【课前小题演练】题1．若f(x)＝cosx，则f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))的值为()A．0B．1C．－1D．eq\f(1,2)【解析】选C.因为f(x)＝cosx，所以f′(x)＝－sinx，所以f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝－1.题2．函数f(x)＝eq\r(x)的导函数f′(x)＝()A．B．eq\f(1,\r(x))C．eq\f(1,2\r(x))D．eq\f(1,2)x【解析】选C.由f(x)＝eq\r(x)，得f(x)＝x，所以f′(x)＝eq\f(1,2)x＝eq\f(1,2\r(x)).题3．已知y＝sin75°，则y′＝()A．eq\f(\r(6)＋\r(2),4) B．eq\f(\r(6)－\r(2),4)C．2＋eq\r(3) D．0【解析】选D.因函数y＝sin75°是关于x的常数函数，所以y′＝(sin75°)′＝0.题4．已知函数f(x)＝eq\f(1,x3)，则f′(eq\r(3))＝()A．eq\f(1,3)B．－eq\f(1,3)C．eq\f(1,9)D．－eq\f(1,9)【解析】选B.f(x)＝eq\f(1,x3)＝x－3，故f′(x)＝－3x－4，故f′(eq\r(3))＝－eq\f(1,3).题5．已知f(x)＝xa，若f′(－1)＝－4，则a的值是()A．－4B．4C．2D．－2【解析】选B.f′(x)＝axa－1，f′(－1)＝a(－1)a－1＝－4，所以a＝4.题6．直线y＝eq\f(1,2)x＋b是曲线y＝lnx(x＞0)的一条切线，则实数b＝________．【解析】设切点坐标为(x0，y0)，则y0＝lnx0.因为y′＝(lnx)′＝eq\f(1,x)，由题意知eq\f(1,x0)＝eq\f(1,2)，所以x0＝2，y0＝ln2.由ln2＝eq\f(1,2)×2＋b，得b＝ln2－1.答案：ln2－1题7．若质点P的运动方程是s＝(s的单位为m，t的单位为s)，求质点P在t＝8s时的瞬时速度．【解析】因为s′＝()′＝′＝eq\f(2,3)t，所以s′|t＝8＝eq\f(2,3)×8＝eq\f(2,3)×2－1＝eq\f(1,3)，所以质点P在t＝8s时的瞬时速度为eq\f(1,3)m/s.【当堂巩固训练】题8．若函数f(x)＝x2，则f(x)在x＝1处的导数为()A．2xB．2C．3D．4【解析】选B.因为f′(x)＝2x，所以f′(1)＝2.题9．下列结论正确的是()A．若y＝cosx，则y′＝sinxB．若y＝sinx，则y′＝－cosxC．若y＝eq\f(1,x)，则y′＝－eq\f(1,x2)D．若y＝eq\r(x)，则y′＝eq\f(\r(x),2)【解析】选C.因为(cosx)′＝－sinx，所以A不正确；因为(sinx)′＝cosx，所以B不正确；因为(eq\r(x))′＝eq\f(1,2\r(x))，所以D不正确．题10．若f(x)＝sinx，f′(α)＝eq\f(1,2)，则下列α的值中满足条件的是()A．eq\f(π,3)B．eq\f(π,6)C．eq\f(2,3)πD．eq\f(5,6)π【解析】选A.因为f(x)＝sinx，所以f′(x)＝cosx.又因为f′(α)＝cosα＝eq\f(1,2)，所以α＝2kπ±eq\f(π,3)(k∈Z).当k＝0时，α＝eq\f(π,3).题11．已知曲线y＝x3在点P处的切线斜率为k，则当k＝3时的P点坐标为()A．(－2，－8) B．(－1，－1)或(1，1)C．(2，8) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(1,8)))【解析】选B.因为y′＝3x2，k＝3，所以3x2＝3，所以x＝±1.故P点坐标为(－1，－1)或(1，1).题12．对任意的x，有f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，则此函数解析式为()A．f(x)＝x3 B．f(x)＝x4－2C．f(x)＝x3＋1 D．f(x)＝x4－1【解析】选B.由f′(x)＝4x3知f(x)中含有x4项，然后将x＝1代入选项中验证可得．题13．若曲线y＝eq\r(x)在点P(a，eq\r(a))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是()A．4B．－4C．2D．－2【解析】选A.y′＝eq\f(1,2\r(x))，y′|x＝a＝eq\f(1,2\r(x))|x＝a＝eq\f(1,2\r(a))，所以切线方程为y－eq\r(a)＝eq\f(1,2\r(a))(x－a).令x＝0，得y＝eq\f(\r(a),2)，令y＝0，得x＝－a.由题意知S＝eq\f(1,2)×a×eq\f(\r(a),2)＝2，解得a＝4.题14（多选题）．下列结论正确的为()A．若y＝ln2，则y′＝eq\f(1,2)B．若f(x)＝eq\f(1,x2)，则f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3))＝－eq\f(2,27)C．若y＝2x，则y′＝2xln2D．若y＝log5x，则y′＝eq\f(1,xln5)【解析】选BCD.常函数的导函数为0，选项A错误；根据幂函数的求导规则，f′(x)＝－eq\f(2,x3)，所以f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3))＝－eq\f(2,27)，选项B正确；由指数函数的求导规则可知，选项C正确；由对数函数的求导规则可知，选项D正确．题15．已知曲线f(x)＝eq\f(1,x)，则过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，3))，且与曲线y＝f(x)相切的直线方程可能为()A．y＝－x＋2 B．y＝－9x－6C．y＝－8x－5 D．y＝－7x－4【解析】选AB.设过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，3))的直线与曲线y＝f(x)相切的切点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f(1,x0)))，由f(x)＝eq\f(1,x)求导得f′(x)＝－eq\f(1,x2)，于是得切线方程为y－eq\f(1,x0)＝－eq\f(1,xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)))(x－x0)，即y＝－eq\f(1,xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)))x＋eq\f(2,x0)，则3＝eq\f(1,xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)))＋eq\f(2,x0)，解得x0＝1或x0＝－eq\f(1,3)，因此得切线方程为y＝－x＋2或y＝－9x－6，所以所求切线的方程是y＝－x＋2或y＝－9x－6.题16．已知函数f(x)＝log2x，则f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1))＝________.【解析】f′(x)＝eq\f(1,xln2)，所以f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1))＝eq\f(1,ln2).答案：eq\f(1,ln2)题17．已知f(x)＝x2，g(x)＝lnx，若f′(x)－g′(x)＝1，则x＝________.【解析】因为f(x)＝x2，g(x)＝lnx，求导f′(x)＝2x，g′(x)＝eq\f(1,x)且x>0，f′(x)－g′(x)＝2x－eq\f(1,x)＝1，即2x2－x－1＝0，解得：x＝1或x＝－eq\f(1,2)(舍去).故x＝1.答案：1题18．求曲线y＝eq\f(1,x)与y＝x2在它们交点处的两曲线的切线与x轴所围成的三角形的面积．【解析】联立两条曲线方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,x)，,y＝x2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，))故交点坐标为(1，1).因为k1＝－eq\f(1,x2)eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝1＝－1，k2＝2x))|x＝1＝2，所以两条切线的方程分别为x＋y－2＝0，2x－y－1＝0，与x轴所围成的图形如图(阴影部分)所示．因为两条切线与x轴的交点分别为(2，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0)).所以三角形的面积S＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2)))×1＝eq\f(3,4).【课堂跟踪拔高】题19．下列命题正确的是()A．(logax)′＝eq\f(1,x) B．(logax)′＝eq\f(ln10,x)C．(3x)′＝3xln3 D．(lnx)′＝ex【解析】选C.根据基本初等函数的导数公式知，(logax)′＝eq\f(1,xlna)，(3x)′＝3xln3，(lnx)′＝eq\f(1,x).所以A，B，D均不正确，C正确．题20．已知曲线y＝x3在点(2，8)处的切线方程为y＝kx＋b，则k－b＝()A．4B．－4C．28D．－28【解析】选C.因为y′＝3x2，所以点(2，8)处的切线斜率k＝f′(2)＝12.所以切线方程为y－8＝12(x－2)，即y＝12x－16，所以k＝12，b＝－16，所以k－b＝28.题21．曲线y＝f(x)＝ex的倾斜角为eq\f(π,6)的切线的切点坐标为()A．(－eq\f(1,2)ln3，eq\f(\r(3),3)) B．(eq\f(1,2)ln3，eq\r(3))C．(eq\f(1,2)ln3，eq\f(\r(3),3)) D．(－eq\f(1,2)ln3，eq\r(3))【解析】选A.由已知，f′(x)＝ex，切线的斜率k＝taneq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),3).设切点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，y0))，则＝eq\f(\r(3),3)，可得x0＝－eq\f(1,2)ln3，又y0＝f(x0)＝＝eq\f(\r(3),3)，所以切点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)ln3，\f(\r(3),3))).题22．(多选题)以下运算正确的是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝eq\f(1,x2) B．(cosx)′＝－sinxC．(2x)′＝2xln2 D．(lgx)′＝－eq\f(1,xln10)【解析】选BC.A，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝－eq\f(1,x2)，不正确；B，(cosx)′＝－sinx，正确；C，(2x)′＝2xln2，正确；D，(lgx)′＝eq\f(1,xln10)，不正确．题23．函数f(x)＝，则f′(x)＝________，f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,32)))＝________．【解析】因为f(x)＝＝x，所以f′(x)＝eq\f(3,5)x．f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,32)))＝eq\f(3,5)×eq\b\