新高二数学暑假班讲义：第3讲 空间向量及其运算的坐标表示（原卷版）

5/5第3讲空间向量及其运算的坐标表示新课标要求①了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。②掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。③掌握空间向量的数量积及其坐标表示。知识梳理1.空间向量运算的坐标表示若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则：(1)a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)；(2)a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)；(3)λa＝(λa1，λa2，λa3)(λ∈R)；(4)a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3；(5)a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；(6)a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；(7)|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))；(8)cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))·\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3))).2．空间中向量的坐标及两点间的距离公式在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则：(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＝(a2－a1，b2－b1，c2－c1)；(2)dAB＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(a2－a12＋b2－b12＋c2－c12).名师导学知识点1空间直角坐标系【例1-1】（武汉期末）点，2，关于平面对称的点的坐标是A．，2， B．，， C．，2， D．，，【变式训练1-1】（河南月考）在空间直角坐标系中，点，，关于轴对称的点为A．，， B．，， C．，2， D．，2，知识点2空间向量的坐标运算【例2-1】（钦州期末）已知，2，，，，，则等于A．，， B．，0， C．，0， D．，0，【例2-2】（济南模拟）已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝eq\o(AB,\s\up6(→))，b＝eq\o(AC,\s\up6(→)).(1)求a与b夹角的余弦值；(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值；(3)设|c|＝3，c∥eq\o(BC,\s\up6(→))，求c.【变式训练2-1】（菏泽期末模拟）已知a＝(2，－1,3)，b＝(0，－1,2)．求：(1)a＋b；(2)2a－3b；(3)a·b；(4)(a＋b)·(a－b)．【变式训练2-2】（烟台期末）已知A(1,0,0)，B(0，－1,1)，若eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\o(OB,\s\up6(→))与eq\o(OB,\s\up6(→))(O为坐标原点)的夹角为120°，则λ的值为()A.eq\f(\r(6),6) B．－eq\f(\r(6),6)C．±eq\f(\r(6),6) D．±eq\r(6)知识点3空间两点间的距离【例3-1】（淄博调研）已知△ABC的三个顶为A(3,3,2)，B(4，－3,7)，C(0,5,1)，则BC边上的中线长为()A．2 B．3C．4 D．5【变式训练3-1】（温州期中）点，2，是空间直角坐标系中的一点，点关于轴对称的点的坐标为，．名师导练A组-[应知应会]1．（安徽期末）空间直角坐标系中，点，，关于点，2，的对称点的坐标为A．，1， B．，5， C．，， D．，3，2．（金牛区校级期中）点，2，关于平面的对称点为A．，， B．，2， C．，， D．，2，3．（东阳市校级月考）已知点，，，则点关于原点的对称点坐标为A．，2， B．，2， C．，， D．，2，4．（茂名期末）已知向量及则等于A．，1， B．，5， C．，， D．，，5．（高安市校级期末）已知空间向量A． B． C．2 D．06．（丰台区期末）已知，3，，，5，，那么向量A．，， B．，2， C．，8， D．，15，7．（多选）（三明期末）如图，在长方体中，，，，以直线，，分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则A．点的坐标为，5， B．点关于点对称的点为，8， C．点关于直线对称的点为，5， D．点关于平面对称的点为，5，8．（公安县期末）在空间直角坐标系中，已知两点，1，与，，关于坐标平面对称，则．9．（温州期末）在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点为，那么，在空间直角坐标系中，，2，关于轴的对称轴点坐标为，若点，，关于平面的对称点为点，则．10．（浙江期中）空间直角坐标系中，点，，关于轴的对称点坐标是；．11．（兴庆区校级期末）已知，，，，0，，，0，，则．12．（辽阳期末）已知向量，，则．13．（越秀区期末）已知点，2，和向量，4，，若，则点的坐标是．14．（黄浦区校级月考）已知向量，则15．（青铜峡市校级月考）已知点，关于点，2，的对称点分别为，，若，3，，，1，，求点的坐标．16．（福建期中）已知空间三点，2，，，1，，，0，（1）求向量的夹角的余弦值，（2）若向量垂直，求实数的值．17．（扶余县校级月考）（Ⅰ）设向量，5，，，0，，，0，，求：、．（Ⅱ）已知点，，和向量，2，求点坐标，使向量与同向，且．B组-[素养提升]1.（襄阳期中）已知向量，，是空间的一个单位正交基底，向量，，是空间的另一个基底，若向量在基底，，下的坐标为，2，，则它在，，下的坐标为A． B． C． D．2.（安庆质检）已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．(1)若eq\o(AP,\