线性方程组的迭代求解java

线性方程组的迭代求解摘要迭代法是一种逐次逼近方法，在使用迭代法解方程组时，其系数矩阵在计算过程中始终不变。它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）进行重复执行。迭代法具有循环的计算方法，方法简单，适宜解大型稀疏矩阵方程组本文总结了解线性方程组的三个迭代法，Jacobi迭代法，Gauss-Seidel迭代法，SOR迭代法，并且介绍了软件JAVA在这方面的应用。关键词：Jacobi迭代法；Gauss-Seidel迭代法；SOR迭代法；计算SOLUTIONOFLINEAREQUATIONSOFITERATIONWITHTHEEXPERIMENTALABSTRACTIterationisakindofmethodtosolvequestionsbystep-by-stepapproximation.Whenwearegettingthesolutionoflinearequationsbyusingiteration,thecoefficientmatrixisalwaysstayingthesameincomputationprocess.Computercouldoperatefastlysothatitissuitableforoperatingagainandagain.Iterationiseasytooperatetosolvethelargematrixequationsbyusingacalculatemethodcalledcirculation.Thissummaryunderstandingoflinearequationsthreekindofiteration,Jacobiiteration,Gauss-Seideliteration,successiveoverrelaxationmethod,andintroducemodernsoftwareJAVAinthisrespect.Keywords:Jacobiiteration;Gauss-Seideliteration;SuccessiveOverRelaxationmethod;calculating目录1迭代法概述………………..……………….………….11.1迭代法定义……………11.2迭代法基本原理………………………12迭代法解线性方程组……………………...12.1雅克比（Jacobi）迭代法……….………..12.2高斯—赛德尔（Gauss-Seidel）迭代法………..….....42.3超松弛（SOR）迭代法…………….…....73总结………………...9参考文献………….……..10附录…………….……………..111迭代法概述迭代法也称辗转法，是一种逐次逼近方法，在使用迭代法解方程组时，其系数矩阵在计算过程中始终不变。它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）进行重复执行，在每次执行这组指令（或步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值。迭代法具有循环的计算方法，方法简单，适宜解大型稀疏矩阵方程组，在用计算机计算时只需存储A的非零元素（或可按一定公式形成系数，这样A就不需要存储）[1]。1.1迭代法定义（1）对于给定的方程组，用式子（1-1）逐步代入求近似解的方法称为迭代法（或称为一阶定常迭代法，这里与B和k无关）（2）如果存在（记作），称此迭代法收敛，显然就是方程组的解，否则称此迭代法发散。1.2迭代法基本定理设有方程组，对于任意初始向量及任意f,解此方程组的迭代法（即）收敛的充要条件是.2迭代法解线性方程组2.1雅克比（Jacobi）迭代法Jacobi迭代法的定义设有方程组（）,记作（2-1）A为非奇异阵且。将A分裂为,其中，，。将式（2-1）第i()个方程用去除再移项，得到等价方程组（）,（2-2）简单记作，其中,对方程组（2-2）应用迭代法，得到（2-1）的迭代公式（2-3）其中为第k次迭代向量，设已经算出，由式（2-3）可计算下一次迭代向量。显然迭代公式（2-3）的矩阵形式为（2-4）其中称为Jacobi方法迭代矩阵。2.1.2JAVA程序实现Jacobi迭代法编写java程序用Jacobi迭代法解如下方程组：例1：实验结果如下图所示（JAVA程序设计详见附录源程序1）：2.2Gauss-Seidel迭代法高斯—赛德尔（Gauss-Seidel）迭代法的定义雅克比迭代法的优点是公式简单，迭代矩阵容易计算。在每一步迭代时，用的全部分量求出的全部分量，因此称为同步迭代法，计算时需保留两个近似解和。但在雅克比迭代过程中，对已经计算出的信息未能充分利用，即在计算第i个分量时，已经计算出的最新分量没有被利用。从直观上看，在收敛的前提下，这些新的分量应比旧的分量更好，更精确一些。因此，如果每计算出一个新的分量便立即用它取代对应的旧分量进行迭代，可能收敛的速度更快，并且只需要储存一个近似解向量即可。据此思想可构造高斯—赛德尔（Gauss-Seidel）迭代法，其迭代公式为（i=1,2,…,n）(2-5)也可以写成矩阵形式仍将系数矩阵A分解为则方程组变为得(2-6)将最新分量代替为旧分量，得即于是有(2-7)所以因为高斯—赛德尔迭代法比雅克比迭代法收敛快，这个结论在多数情况下是成立的，但也有相反的情况，即高斯—赛德尔迭代法比雅克比迭代法收敛慢，甚至还有雅克比迭代法收敛，高斯—赛德尔迭代法发散的情形。JAVA程序实现高斯—赛德尔（Gauss-Seidel）迭代法编写java程序用Gauss-Seidel迭代法解上述例1方程组：实验结果如下图所示（JAVA程序设计详见附录源程序2）：2.3超松弛（SOR）迭代法2.3.1超松弛（SOR）迭代法的定义超松弛迭代法（SuccessiveOverRelaxationMethod,SOR方法）是高斯—赛德尔迭代法的一种改进，是解大型稀疏方程组的有效方法之一。设已知第k次迭代向量，及第k+1次迭代向量的前i-1个分量，（j=1,2,…i-1）,现在研究如何求向量的第i个分量。首先，有高斯—赛德尔迭代法求出一个值，记为（i=1,2,…n）（2-8）再将第k次迭代向量的第i个分量与进行加权平均，得，即：（2-9）于是的SOR迭代公式(i=1,2,…n)…①或（i=1,2,…n）…②当=1时，式①即为高斯—赛德尔迭代法；当0<<1时，式①称为低松弛方法，当某些方程组用高斯—赛德尔迭代法不收敛时，可以用低松弛方法获得收敛；当>1时，式①称为超松弛方法，可以用来提高收敛速度。将式②写成矩阵的形式，得：即（2-10）于是得SOR迭代的矩阵表示（2-11）其中2.3.2JAVA程序实现超松弛（SOR）迭代法编写java程序用SOR迭代法解上述例1方程组：实验结果如下图所示（JAVA程序设计详见附录源程序3）：3总结在数学课程的学习中，应注重学生数学计算能力和应用能力的培养。利用数学软件来解决课程中的计算和作图问题，提高学习效率，加深学习兴趣。本次课程设计课题是关于我们本学期的课程——数值分析中的迭代求解方程组内容，在数值分析学习中主要使用MATLAB或是C++进行迭代计算，从未使用过JAVA编程进行迭代计算，这次课程设计对我来说也是一项挑战。编程过程其实也是一个学习的过程，加深了我对JAVA的认识，同时也更督促我在JAVA方面下工夫。在编写JAVA程序的过程中，遇到很多问题，比如编写错误，或是难以实现目的等。通过网上查找资料，求助同学帮助一起解决问题。意识到自己很大的不足，进步空间很大，需要多练习编程才能在JAVA学习中更进一步。我们在理解掌握数学理论知识的同时，能借助现代软件利用迭代法简单迅速地计算出繁杂的数学运算结果，大大提高了解题效率和学习效果。参考文献[1]印旻王行言．Java语言与面向对象程序设计（第二版）．北京：清华大学出版社，2023.5[2]李庆扬王能超．数值分析（第四版）．武汉：华中科技大学出版社，2006.7[3]奥特加JM．数值分析[M]．张丽君张乃玲，译．北京：高等教育出版社，1983附录源程序1：packagecn.Test;importjava.util.Scanner;publicclassJacobi{ /** *@雅可比迭代法求线性方程组 */ staticdoublea[][];//矩阵A的值 staticdoubleb[];//矩阵B的值 staticdoublex[];//现在矩阵X的值 staticdoublex2[];//以前矩阵X的值,以便计算精度 staticintn;//元数 staticdoublee;//精度 publicstaticvoidIT(){ intk=0; System.out.println("kx1x2x3"); System.out.print(k+""); for(inti=1;i<=n;i++) { System.out.print(x[i]+""); } System.out.println("\n"); do{ k++; for(inti=1;i<=n;i++) x2[i]=x[i];for(inti=1;i<=n;i++){ x[i]=f_x(i);}System.out.print(k+""); for(inti=1;i<=n;i++) { System.out.print(x[i]+""); } System.out.println("\n"); }while(jisuan()>=e); } publicstaticdoublejisuan(){//计算精度 doublemax=0.0; for(inti=1;i<=n;i++) { doublex3=Math.abs(x[i]-x2[i]); if(x3>max)max=x3; } returnmax; } publicstaticdoublef_x(inti){//算迭代式的值 doublex1=0.0; for(intj=1;j<=n;j++) if(j!=i)x1=x1+a[i][j]*x2[j]; doublex2=(b[i]-x1)/a[i][i]; returnx2; } publicstaticvoidPrint_Jie()//输出方程组的解 { System.out.print("方程组的解为："); for(inti=1;i<=n;i++) System.out.print("x"+i+"="+x[i]); } publicstaticvoidmain(String[]args){ Scanneras=newScanner(System.in);System.out.println("输入方程组的元数：");n=as.nextInt();a=newdouble[n+1][n+1];b=newdouble[n+1];x=newdouble[n+1];x2=newdouble[n+1];System.out.println("输入方程组的系数矩阵a：");for(inti=1;i<=n;i++) for(intj=1;j<=n;j++) a[i][j]=as.nextDouble();System.out.println("输入方程组矩阵b：");for(inti=1;i<=n;i++) b[i]=as.nextDouble();System.out.println("输入精度e：");e=as.nextDouble();IT();Print_Jie(); }}源程序2：importjava.util.Scanner;publicclassGauss_Seidel{ /** *@高斯-赛德尔迭代法求线性方程组 */ staticdoublea[][]; staticdoubleb[]; staticdoublex[]; staticdoublex2[]; staticintn; staticdoublee; publicstaticvoidIT(){ intk=0; System.out.println("kx1x2x3"); System.out.print(k+""); for(inti=1;i<=n;i++) { System.out.print(x[i]+""); } System.out.println("\n"); do{ k++; for(inti=1;i<=n;i++) x2[i]=x[i];for(inti=1;i<=n;i++){ x[i]=f_x(i);}System.out.print(k+""); for(inti=1;i<=n;i++) { System.out.print(x[i]+""); } System.out.println("\n"); }while(jisuan()>=e); } publicstaticdoublejisuan(){ doublemax=0.0; for(inti=1;i<=n;i++) { doublex3=Math.abs(x[i]-x2[i]); if(x3>max)max=x3; } returnmax; } publicstaticdoublef_x(inti){//算迭代式的值 doublex1=0.0; for(intj=1;j<=n;j++) if(j!=i)x1=x1+a[i][j]*x[j]; doublex2=(b[i]-x1)/a[i][i]; returnx2; } publicstaticvoidPrint_Jie()//输出方程组的解 { System.out.print("方程组的解为："); for(inti=1;i<=n;i++) System.out.print("x"+i+"="+x[i]); } publicstaticvoidmain(String[]args){ Scanneras=newScanner(System.in);System.out.println("输入方程组的元数：");n=as.nextInt();a=newdouble[n+1][n+1];b=newdouble[n+1];x=newdouble[n+1];x2=newdouble[n+1];System.out.println("输入方程组的系数矩阵a：");for(inti=1;i<=n;i++) for(intj=1;j<=n;j++) a[i][j]=as.nextDouble();System.out.println("输入方程组矩阵b：");for(inti=1;i<=n;i++) b[i]=as.nextDouble();System.out.println("输入精度e：");e=as.nextDouble();IT();Print_Jie(); }}源程序3：importjava.util.Scanner;publicclassSOR{ /** *@高松弛迭代法求线性方程组 */ staticdoublea[][]; staticdoubleb[]; staticdoublex[]; staticdoublex2[]; staticintn; staticdoublee; publicstaticvoidIT(){ intk=0; System.out.println("kx1x2x3"); System.out.print(k+""); for(inti=1;i<=n;i++) { System.out.print(x[i]+""); } System.out.println("\n"); do{ k++; for(inti=1;i<=n;i++) x2[i]=x[i];for(inti=1;i<=n;i++){ x[i]=f_x(i);}System.out.print(k+""); for(inti=1;i<=n;i++) { System.out.print(x[i]+""); } System.out.println("\n"); }while(jisuan()>=e); } publicstaticdoublejisuan(){ doublemax=0.0; for(inti=1;i<=n;i++) { doublex3=Math.abs(x[