数值分析第3次作业

核研院核硕12费哲君习题：P233-23412、13、16、17、1811.（注：本题计算过程中的结果均取五位有效数字）0.0020.420.781255.56252b(1)]01.3816[A(1)147.4178行，做(E)E)，得到第一步：A(1)第一列元素绝对值最大者在第3130.0025.005010-4。1b(1)]然后进行消去得l I1,321313.9963.996令l0l核研院核硕12费哲君习题：P233-23412、13、16、17、1811.（注：本题计算过程中的结果均取五位有效数字）0.0020.420.781255.56252b(1)]01.3816[A(1)147.4178行，做(E)E)，得到第一步：A(1)第一列元素绝对值最大者在第3130.0025.005010-4。1b(1)]然后进行消去得l I1,321313.9963.996令l0ll)TLIleT12131111b(2)]LI则A(2)b(1)]11,303.9965.5625 47.417810.2502501000.78125 01.3816110.0025.0050104220.43.9967.41785.5625-0.610762.00284-1.001-0.47470002.0020第二步：A(2)第二列对角线以下元素绝对值最大者在第3(E)(E)，23b(2)]。然后进行消去，得l 0.30495。[A(2)I2,3322.0028令l00l)TLIleT232222b(3)]LI则A(3)[A(2)b(2)]22,303.9967.41781015.56252.002842.0020000.403710000345 110104403.9967.41785.56252.0028042.00200.40371000.390490.35159xb(3)x0.90038，x0.69845，32x1.9273x1.9273,-0.69845,0.90038)T。112.（1）①对称性：10aTA1LA1111In1A11a11aT10a T111LAxb(3)x0.90038，x0.69845，32x1.9273x1.9273,-0.69845,0.90038)T。112.（1）①对称性：10aTA1LA1111In1A11a11aT10a T111LA11 1A(2)T011 1In1AA111aa1111TTT11A1)(11A1)A2TTa11A2为对称矩阵。②正定性：Di>0，i=1,2,..,n。AGauss消去法解得，且得a(i)0，i=1,2,..,n。iiAii，1i=1,2…n2i阶顺序主子式为Di，2，i=1,2,…n-1。(n)D(n)i1,1 a(2)a(3)a (i1)0，i=1,2,…n-1。则有D Di1i1i,2 i,222 33a11说明A2的所有顺序主子式均为正，即A2为正定矩阵。综上所述：AA2也对称正定。aT，其中aa[a,a,...a]111,...a]T，（2）A1 21 31 n11 12 13 1nA1110L1In1aTaA211A1ai=2,3,4,…n。第i行的主对角元为a a(2)，而除对角主元外的其他元素绝对值之iiiia11n和为aijaj211jinjia(2)aaiiijiia11n[(aa)]iiijaaj2ji1111njinjiaTaA211A1ai=2,3,4,…n。第i行的主对角元为a a(2)，而除对角主元外的其他元素绝对值之iiiia11n和为aijaj211jinjia(2)aaiiijiia11n[(aa)]iiijaaj2ji1111njinjiaaiiijaa111111nji(a1inaaaiiiji1aaji1111nj2jin(j2aaa)iiiji1anj2A是严格对角占优矩阵，则有a11naijj2ji则上式ai1aiinaijjiaiinjiaiinnjinji0a(2)(2)a(2)aaaiiijiiijijaaj21111jinj2ji(2)(2)上式对于i=2,3,4,…n均成立，说明对于A2的每一行均有aaiiij表明若A是严格对角占优矩阵，A2也是严格对角占优矩阵。13.Annjinji0a(2)(2)a(2)aaaiiijiiijijaaj21111jinj2ji(2)(2)上式对于i=2,3,4,…n均成立，说明对于A2的每一行均有aaiiij表明若A是严格对角占优矩阵，A2也是严格对角占优矩阵。13.A正定对称。40230L10Ly[4,3,10]T23y[126]T。416.A和AA0Gauss消去法求解。x86)Txx4,3)T，则有x43)T。x8，实际的4x可得240 因A00.5，A319.50.96096 1.2793，则A 10.5 0179.5 2400.7187 0.96096A0.5，559.5，A12.24026且有AA1条件数condA)A2.24026559.51253.4A1A0.52.240261.120131然而计。但从条件数cond(A)1253.4十分严重。17.证明：①由定理若1IB为非异阵可知：BAAA1AA非奇异A1因为所以det(AAdet(Adet(IA1A0AA可逆，即AA)1存在。②但从条件数cond(A)1253.4十分严重。17.证明：①由定理若1IB为非异阵可知：BAAA1AA非奇异A1因为所以det(AAdet(Adet(IA1A0AA可逆，即AA)1存在。②A1(AA)1[A1(AA)I](AA)1A1A(AA)1则根据矩阵范数的相容性有：A(AA)1A(IA1A)1A11(IA1A)11，有：因A1AA1A则上式A1A11即有：，证毕。18.证明：①定理3.2（1）cond(A1,cond(A)=cond(A1),cond(A)=cond(A),R,0A1(AA)1A1A1cond(A)A(A)A1cond(A)A1A1AA1A(AA)1A1A1(AA)1A1A1AA11i.cond(A)=AIii.cond(A1)=A1(A1)1A1Aiii.根据范数的齐次性有：1AA1A1cond(A),R,0AA（2）A为正交阵，则cond2A1cond2(A)A1 (ATA)[(A1)TA1]2A2则上式 (I)(I)1，即cond2(A)1（3）U为正交阵，则cond2(Acond2(AU)A1AA11i.cond(A)=AIii.cond(A1)=A1(A1)1A1Aiii.根据范数的齐次性有：1AA1A1cond(A),R,0AA（2）A为正交阵，则cond2A1cond2(A)A1 (ATA)[(A1)TA1]2A2则上式 (I)(I)1，即cond2(A)1（3）U为正交阵，则cond2(Acond2(AU)cond2(UA)22212UT由（2）易得：U222A12AUA2UA2因为A 2AUUTUT2AUAU同时有22A 2A 2则有AU，同理有2UA2A12(AU)1U1A1U1A12222又2A122UUTA11A12(AU)1同时U22A1(AU)1A12(UA)1则有，同理22A1(AU)1所以cond2A)22cond2(AU)2A2A2AU2A1(UA)1同理cond2A)cond2(UA)2UA2U为正交阵，则cond2(Acond2(AU)cond2(UA)。（4）题目：设与为A按模最大和最小的特征值，则condA)，1 nA对称，则condA。2i.cond(A)A1AAxmaxx0xx(0)Ax(0)(0)而A1x(0)A1maxx0则A(0)10A1对应的特征值为A的特征值为A1的所有特征值i ii1中模最大的是 ，设对应的特征向量为x(1)，则有：x(1)x(1)1A1maxx0n n )x(1)x(1)n1则有condAA1A，即得证。1nnii.（4）题目：设与为A按模最大和最小的特征值，则condA)，1 nA对称，则condA。2i.cond(A)A1AAxmaxx0xx(0)Ax(0)(0)而A1x(0)A1maxx0则A(0)10A1对应的特征值为A的特征值为A1的所有特征值i ii1中模最大的是 ，设对应的特征向量为x(1)，则有：x(1)x(1)1A1maxx0n n )x(1)x(1)n1则有condAA1A，即得证。1nnii.A对称，则有： (ATA) (A2)[(A)]2(A)A121A1 [(A1)TA1] [(A1)2][(A1)]2(A1)21A1则condAA2122nn②3.3ARnnbRnAb0，xAx=b的精确解，x是近似解，rbAx（称对应x的剩余向量，则有nA1x(1)A1x11Ax1n1n 1 rcond(A)(A)bAx=bAxbr可得：A(xx)r，(xx)A1r(xx)A1rA1rA1所以有：r，1bAx再用，得。A1(A)上面两式相乘得r，右端得证。11A1bA1