线性代数第五章(答案)

第五章相似矩阵及二次型一、是非题（正确打√，错误打×）1．若线性无关向量组用施密特法正交化为则对任何向量组与向量组等价.(√)2.若向量组两两正交,则线性无关.(√)3.n阶正交阵的n个行(列)向量构成向量空间的一个规范正交基.(√)4.若和都是正交阵,则也是正交阵.(√)5.若是正交阵,,则.(√)6．若，则是的一个特征值.(×)7.方阵的特征向量只能对应唯一的特征值,反之亦成立.(×)8.n阶矩阵在复数范围内有n个不同的特征值.(×)9.矩阵有零特征值的充要条件是.(√)10.若是的特征值,则是的特征值(其中是的多项式).(√)11.设和是的特征值,和为对应特征向量,则也是的特征向量.(×)12.与的特征值相同.(√)13.n阶矩阵有n个不同特征值是与对角矩阵相似的充分必要条件.(×)14.若有可逆矩阵,使n阶矩阵,满足:,则与有相同的特征值.(√)15.两个对角矩阵的对角元素相同,仅排列位置不同,则这两个对角矩阵相似.(√)16.设n阶矩阵,均与对角阵相似且有相同的特征值,则与相似.(√)17．实对称矩阵的非零特征值的个数等于它的秩.(√)18.若线性无关且都是的特征向量，则将它们先正交化，再单位化后仍为的特征向量.(√)19.实对称阵与对角阵相似：，这里必须是正交阵。(×)20．已知为阶矩阵，为维列向量，如果不对称，则不是二次型.(×)21.任一实对称矩阵合同于一对角矩阵。(√)22．二次型在正交变换下一定化为标准型.(×)23.任给二次型，总有正交变换，使化为规范型。(×)二、填空题1．向量,求两向量=____,=____,使两两正交.Ans:,2.若是正交阵,即,则_____.Ans:1或-13.设,则的特征值为________.(-1,2,3)4.阶方阵=的特征值为,则___________,_____________.5.设二阶行列式的特征值为2,3,,若行列式,则.(-1)6.设三阶矩阵的特征值为-1,1,2,则_____,______.Ans:-15,97.已知的伴随矩阵有一特征值为，则-1或2.8.若二阶矩阵的特征值为和，则=E.9.当=___时,矩阵能对角化.(-1,见教材)10.设为2阶矩阵,,是线性无关的二维列向量,,,则的非零特征值为_______.提示:由知与相似,非零特征值为1.11、设为正交矩阵，为阵的特征值，则_____0___.12、设3阶方阵的特征值为互不相同,若则的秩为_____.(2)13.(3分)二次型经过正交变换可化为标准型,则=_____.(=2)14.二次型的秩是______；二次型的秩为，则.15.已知二次型,的取值为_____时为正定,的取值为_____时为负定.()16.二次型经过正交变换______化为标准形_______,从而表示的曲面类型是_________.Ans:,,椭球面选择题1.若阶非奇异矩阵的各行元素之和均为常数，则矩阵有一特征值为(C).(A)；(B)；(C)；(D).2.若为四阶矩阵的特征多项式的三重根，则对应于的特征向量最多有(A)个线性无关.(A)3个；(B)1个；(C)2个；(D)4个.3.特征值一定是实数的矩阵是(B)(A)正交矩阵(B)对称矩阵(C)退化矩阵(D)满秩矩阵4.设是矩阵对应于其特征值的特征向量，则其对角化矩阵对应于的特征向量为(D).(A)；(B)；(C)；(D).5.若为阶实对称矩阵，且二次型正定，则下列结论不正确的是(C).的特征值全为正；(B)的一切顺序主子式全为正；(C)的元素全为正；(D)对一切维列向量，全为正.6.下列各式中有(A)等于。(A)；(B)；(C)；(D)；7.矩阵（C）是二次型的矩阵。(A)；(B)；(C)；(D)；8.设A、B为同阶方阵，，且，当（D）时，。(A)；(B)；(C)；(D)且；9.A是n阶正定矩阵的充分必要条件是（D）。(A)；(B)存在n阶矩阵C，使；(C)负惯性指标为零；(D)各阶顺序主子式均为正数；10.是(B)。(A)非正定二次型；(B)正定；(C)负定；(D)不定；11．正定二次型的矩阵应是（B）。(A)非对称且左右对角线上元素都是正数；(B)对称且各阶顺序子式都是正数；(C)对称且所有元素都是正数；(D)对称且矩阵的行列式是正数；12．使实二次型正定的参数k应该是(C)。(A)；(B)；(C)不存在；(D)；13．阶矩阵A为正定的充分必要条件是(C)。(A)；(B)存在n阶矩阵,使A=C；(C)A的特征值全大于0；(D)存在n维列向量≠0,有；14.次型，当(B)时是正定的。(A)k>0；(B)k>2；(C)k>1；(D)k=1；15.设，为正定矩阵，则(C)。(A)、都正定；(B)正定，不一定正定；(C)不一定正定，正定；(D)和都不一定正定；16.设，都是n阶实对称矩阵,且都正定,那么是(C)(A)实对称矩阵(B)正定矩阵(C)可逆矩阵(D)正交矩阵17.设矩阵,,则A与B(A)合同,且相似.(B)合同,但不相似.(C)不合同,但相似.(D)既不合同,又不相似.【B】18.设矩阵,则在实数域上与A合同矩阵为（D）(A)(B)(C)(D)19.设是矩阵A的两个不同的特征值