K清风数学分析提纲

数学分析提纲数学分析提纲一、实数集与函数二、数列极限数列极限的概念收敛数列的性质〔1〕(唯一性) 假设数列}收敛，那么它只有n一个极限．(2)(有界性) 假设数列}收敛，那么}为有界n n数列，即存在正数M，使得对一切正整数有|a M.n(3)(保号性) 假设liman n

a0 或<0)，那么对任何a0a) (或a

(a,0))，存在正数N，使得当nN时有a a(或a a)．n n(4)(保不等式性) 设与均为收敛数列假设n n存在正数N ，使得当nN 时，有a b0 0 n

，那么lima limb.n n n n(5)(迫敛性) 设收敛数列都以a为极限，数n n列满足：n存在正数N当nN时有a c0 0 敛，且limc a．n n数列极限存在的条件

b，那么数列c收n n〔1〕单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极限．〔2(Cauchy)

{a}n

收敛的

0

，存在正整数N，使得当n,mN时有a an m

．三、函数极限函数极限的概念函数极限的性质在§1中我们引入了下述六种类型的函数极限：limf2)limf3)limfx x x4)limf5)limf6)limfxx0

xx0

xx0下面以第4)种类型的极限为代表表达并证明这些性质.(1)limfx存在,那么此极限是唯一的.

xx0(2)limfxfxx在的某空心领域0 x U00

内有界 0(3)limfxA0(或0),xx

rA(或

0),存在

U0使0

xU0x有0

f

r0

f

r0).定理3.5(保不等式性)设limfx 与xx0limg(x)xx

都存在,且在某邻域

U0(x0

;

f

gx,0

limxx

x

limxx

x

3.60迫敛性)

limxx

x

lim0xx0

x

且在某U0;

f

gx

,

lim

A.0 xx定理3.7(四那么运算法那

)假设极limfxlimgxfg,fg当xx0

xx

存在,且xx0limflimflim02)xx02)

xx xx00 00limfxx

xg

limf xlimgx;0xx xx00有

设limgxx0

x0

,那0

当xxfgfg

时极限存在,且3)f

limf(x)limxx0

gx

xx.0.limg(x)xx

在的条件〔1f

在U0;

内有定义．limf

x0 xx0存在的充要条件是：对任何含于

U0;'且以x 为0 极限的数列，极限limf0 2n n n2〔〕单调有界定理：相应于数列极限的单调

xx0

这种类型为例表达如下：设为定f义在U (x 0

上的单调有界函数，那么右极限)

limf(x)xx0存在．〔3〕柯西准那么：设函数

f 在U(x;0

内有定.义.limf(x)xx0

存在的充要条件是:任给

0

,存在正数(

,使得对任何

x,xU(x0

;)

有|f(xf(x.两个重要极限(1).

sinx 1 1(2).) x0 x x x无穷小量和无穷大量〔1〕无穷小量〔2〕无穷小量阶的比拟〔3〕等价无穷小代换定理〔4〕无穷大量四、函数的连续性〔1〕函数在一点的连续性〔2〕间断点及其分类〔3〕区间上的连续函数连续函数的局部性质〔a〕〔局部连续性〕假设函数

在f(x) x0

点连续，那么 在f(x) x0

点的某邻域内有界。b

在f(x) x0

点连续，且f(x0

)0，那么对任意0存在x 某邻域0U(x0

),xU(x0

) f(x)0

f(x),g(x)在区间I上有定义，且都在

x I0

连续，那么f(x)g(x), f(x)g(x), f(x/g(x

g(x)0〕在x0

点连续。〔复合函数的连续性〕假设函

在点f(x) x0

在g(u)

点连续，u

f(x

，那么复合函数)在)g(f(x)) x0

0 0 0点连续。〔2〕闭区间上连续函数的根本性质(a)(最大最小值定理)假设函数 在闭区间f(x)上连续那么 在闭区间 上有最大值与[a,b] f(x) [a,b]最小值。推论〔有界性〕假设函数 在闭区间 上f(x) [a,b]连续，那么 在闭区间 上有界。f(x) [a,b](b)(介值性定理)假设函数 在闭区间f(x) [a,b]( ()( ()与f a f b f a f bf(a)f(bf(b)f(a)区间(a,

内至少存在一点x

，使得

f(x).0 0推论〔根的存在定理〕假设函数f(x)

在闭区间 上连续，且 异号，那么至少存在[a,b] f(a),f(b)一点x (a,b)使0

f(x)0.即0

f(x)

在(a,

内至少有一个实根.〔3〕反函数的连续性〔反函数的连续性假设函数 在闭区间 严f(x) [a,b]格递增〔递减〕且连续，那么其反函数f

在相1(y)f(af(b〔f(bf(a〕上递增〔递减〕且连续。〔4〕一致连续性定义〔一致连续性〕设函数 在区间I上f(x)

0,()0只要x1

,xI，|xx2 1

|，都有|f(xf(x|1 2续。

f(x)

在区间I上一致连f(x在闭区间[ab]f(x在[ab五、导数和微分〔1〕导数的定义〔2〕导函数〔3〕导数的几何意义(1)导数的四那么运〔2〕反函数的导数〔3〕复合函数的导数4.高阶导数(1)微分的概念〔2〕微分的运算法那么〔3〕高阶微分〔4〕微分在近似运算中的作用六、微分中值定理及应用〔1〕罗尔定理与拉格朗日定理〔2〕单调函数〔1〕柯西中值定理〔2〕不定式极限〔1〕极值判别〔2〕最大值与最小值七、实数的完备性八、不定积分九、定积分—莱布尼茨公式〔1〕可积的必要条件定理9.2 假设函数f在[a,b]上可积那么f在[a,b]上必定有界〔2〕可积的充要条件定理9.3f(x在ab可积 lim[S)s(T)]0l(T)0〔3〕可积函数类定理9.4 假设f为[a,b]上的连续函数那么f在[a,b]上可积.定理9.5 假设f是区间[a,b]上只有有限个断点的有界函数，那么f在[a,b]上可积。定理9.6 假设f是[a,b]上的单调函数那么f在[a,b]上可积。〔1〕定积分的根本性质〔2〕积分中值定理

在闭f(x)区间[a,b]

[a,

，使得.bf(x)dxf)(ba).a

与f(x)g(x)

[a,

g(x)

在[a,

不改变符号，那么至少存在一点

[a,

，使得bf(x)g(x)dxf()bg(x)dx.a a定理911(积分第二中值定理)设函数f在a,b上可积.(ⅰ)假设函数g在bgx0,那么存在a,b,使bfxgxdxgafxdxa a(ⅱ)假设函数g在bgx0,那么存在a,b,使bfxgxdxgbbfxdxa f在g为单调函数,那么存在bfxgxdxgafxgbbfxdxa a 十、定积分的应用设平面图形由上下两条曲线yf上(x)与yf下(x)xaxb所围成

那么面积元素为[f上(x)f下(x)]dx 于是平面图形的积为b S [fa 上

(x)f下

(x)]dx类似地 由左右两条曲线x 左(y)与x 右(y)ydyc形的面积为d S (y) c 右 左〔1〕设立体在x轴的投影区间为[ax且垂直于x轴的平面与立体相截

b] 过点截面面积为A(x) 那么体积元素为A(x)dx 立的体积为VbA(x)dxa〔2〕由曲线直线，及轴所围成的曲边梯形，绕 轴旋转一周而生成的立体的体积。取为积分变量那么 x [a,b] [a,b] [x,x dx]它所对应的窄曲边梯形绕轴旋转而生成的薄片

f(x)

为底半径，为高dx的圆柱体体积。即：体积元素为bVba

f(x)

2dx

dVf(x)2dx所求的旋转体的体积为f(x)在区间[ab计算曲线yf(x)的长度。取x为积分变量，那么x[ab,在[ab]上任取一小区间 ，那么这一小区间所对应的曲线弧段的[x,x dx]长度s可以用它的弧微分ds来近似。于是，弧元素为ds 1fdx，弧长为bs 1b

f(x)

2dxC的方程为

a〔不妨设yf(x),x[a.b]f(x)≥0x面，得旋转曲面的面积公式S=2bfx1f2xdx.a中的应用十一、反常积分无穷积分和瑕积分的概念无穷积分的性质和收敛判别十二、数项级数〔1〕收敛性判别〔a〕定义〔b的柯西准那么〔2〕收敛级数的性质〔1〕局部和数列有界〔2〕比拟原那么〔3〕比式判别法〔4〕根式判别法〔5〕积分判别法〔1〕交错级数〔2〕一般项级数收敛判别〔a〕阿贝尔判别法〔b〕狄利克雷判别法十三、函数列与函数项级数〔1〕函数列及其一致收敛性〔2〕函数项级数及其一致收敛性〔3〕函数项级数一致收敛性判别法〔1〕连续性 (2) 可微性 (3)可积十四、幂级数〔1〕幂级数的收敛区间〔2〕幂级数的一致收敛〔3〕幂级数在收敛区间上的性质十五、傅里叶级数1.傅里叶级数〔1〕三角级数〔2〕以2为周期的函数的傅里叶级数〔3〕收敛定理2l为周期的函数的展开式〔1〕以为周期的函数的傅里叶级数〔2〕偶函数与奇函数的傅里叶级数3.收敛定理的证明十六、多元函数的极限和连续平面点集与多元函数〔1〕平面点集〔2〕R2上的完备性定理〔3〕二元函数二元函数的极限〔1〕二元函数的极限〔重极限〕〔2〕累次极限二元函数的连续性〔1〕二元函数连续性概念〔2十七、多元函数微分学〔1〕可微性与全微分〔2〕偏导数〔3〕可微性条件〔4〕可微性几何意义2.复合函数微分法〔1〕复合函数求导法那么〔2〕复合函数的全微分〔1〕高阶偏导数〔2〕中值定理和泰勒公式十八、隐函数隐函数隐函数组几何应用十九、含参量积分含参量正常积分二十、曲线积分第一型曲线积分二十一、重积分1二重积分1假设函数,y，Qx,y在闭区域D上连续，且具有连续的一阶偏导数，那么有

PdxQdy 〔1〕xydD L这里是区域L

的边界曲线，并取正方向．公式〔1〕称为格林公式．二十二、曲面积分高斯公式与斯托克斯公式1设空间区域V由分片光滑的双侧封闭曲面S围成.假设函数PQR在V上连续,且有连续的一阶偏导数,那么(PQR)dxdydzx y zV

PdydzQdzdxRdxdy,S其中取外侧.称上述公式为高斯公式.S2定理2

为分段光滑的空间有向闭曲线，是以为 边界的分片光滑的有向曲面，

的正向与

的侧符合右手规那么函数 在包含曲面P(x,y,z),Q(x,