2020高中数学 第章 空间向量与立体几何 .2.2 平面的法向量与平面的向量表示学案 2-1

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE14-学必求其心得，业必贵于专精3.2。2平面的法向量与平面的向量表示学习目标核心素养1.理解平面的法向量的概念，会求平面的法向量．（重点)2.会用平面的法向量证明平行与垂直．(重点）3.理解并会应用三垂线定理及其逆定理证明有关垂直问题．(难点)1.通过本节知识的学习，培养学生的数学抽象素养.2.借助向量法证明有关平行与垂直问题，提升学生逻辑推理、数学运算素养.1．平面的法向量及其应用(1）平面的法向量：如果向量n的基线与平面α垂直，则向量n叫做平面α的法向量或说向量n与平面α正交．（2)平面的向量表示式：设A是空间任一点，n为空间内任一非零向量，用eq\o（AM，\s\up15(→）)·n＝0表述通过空间内一点并且与一个向量垂直的平面，这个式子通常称为一个平面的向量表示式．(3)两个平面平行或垂直的判断：设n1，n2分别是平面α,β的法向量，则α∥β或α与β重合⇔n1∥n2；α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0.思考：平面的法向量有何作用？是否唯一？[提示]平面的法向量与空间一点可以确定一个平面,利用平面的法向量可以判断直线与平面、平面与平面的位置关系．平面的法向量不唯一，它们都是共线的．2．三垂线定理及其逆定理：（1）射影：①已知平面α和一点A，过点A作α的垂线l与平面α相交于点A′，则A′就是点A在平面α内的正射影，简称射影．②图形F上所有的点在平面α内的射影所成的集合F′，叫做图形F在平面α内的射影．（2）三垂线定理：如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直．（3）三垂线定理的逆定理:如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在平面内的射影垂直．1．直线l的方向向量s＝(－1，1,1)，平面α的法向量为n＝（2,x2＋x，－x)，若直线l∥平面α，则x的值为()A．－2B．－eq\r（2)C.eq\r(2）D．±eq\r（2)D[线面平行时,直线的方向向量垂直于平面的法向量，故－1×2＋1×（x2＋x）＋1×（－x）＝0，解得x＝±eq\r(2）.］2．设平面α的法向量的坐标为（1,2，－2)，平面β的法向量的坐标为（－2，－4，k)．若α∥β，则k等于（）A．2 B．－4C．4 D．－2C［因为α∥β，所以eq\f(1，－2)＝eq\f(2,－4）＝eq\f(－2,k），所以k＝4.］3．已知平面内的两个向量a＝(2,3,1)，b＝（5，6,4)，则该平面的一个法向量为(）A．(1，－1,1） B．（2，－1，1)C．(－2，1，1) D．(－1,1，－1）C[显然a与b不平行，设平面的法向量为n＝（x，y,z)，则有eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(a·n＝0，,b·n＝0，）)∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（2x＋3y＋z＝0，，5x＋6y＋4z＝0.））令z＝1，得x＝－2，y＝1，∴n＝(－2,1，1)．]求平面的法向量【例1】如图所示,在四棱锥P。ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．AB＝AP＝1，AD＝eq\r(3），试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量．［解］因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直．如图，以A为坐标原点，eq\o(AB，\s\up15(→)）的方向为x轴的正方向,建立空间直角坐标系，则D(0，eq\r（3），0），Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r（3），2），\f(1，2)））,B（1,0,0),C(1，eq\r(3)，0），于是eq\o(AE,\s\up15(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3)，2），\f（1，2)))，eq\o（AC，\s\up15(→)）＝(1，eq\r（3)，0)．设n＝（x，y，z）为平面ACE的法向量，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（n·\o(AC，\s\up15(→))＝0，,n·\o（AE,\s\up15(→))＝0，）)即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＋\r(3)y＝0，,\f(\r（3），2）y＋\f（1,2)z＝0,））所以eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝－\r（3)y,，z＝－\r(3)y，））令y＝－1，则x＝z＝eq\r（3）。所以平面ACE的一个法向量为n＝（eq\r(3)，－1，eq\r(3）)．利用待定系数法求法向量的解题步骤1．如图所示,在四棱锥P。ABCD中，底面ABCD是菱形,平面PAB⊥平面ABCD,△PAB是边长为1的正三角形，∠ABC＝60°,E是PC的中点，F是AB的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面DEF的法向量．［解］因为PA＝PB,F为AB的中点，所以PF⊥AB，又因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB,PF⊂平面PAB。所以PF⊥平面ABCD，因为AB＝BC，∠ABC＝60°，所以△ABC是等边三角形，所以CF⊥AB。以F为坐标原点，建立空间直角坐标系(如图所示)．由题意得F(0,0,0），Peq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（0，0，\f(\r（3），2））),Deq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－1，\f(\r(3),2)，0)），Ceq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（0,\f(\r(3)，2)，0）），Eeq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r（3）,4），\f(\r(3),4)）).所以eq\o(FE，\s\up15（→))＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3)，4），\f(\r(3）,4）))，eq\o（FD，\s\up15(→））＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（－1,\f(\r(3),2),0）).设平面DEF的法向量为m＝（x，y，z）．则eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(m·\o(FE，\s\up15（→))＝0，,m·\o(FD，\s\up15(→）)＝0,））即eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（\f(\r（3）,4)y＋\f（\r（3),4）z＝0，,－x＋\f(\r（3)，2)y＝0。))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（z＝－y,，x＝\f(\r（3）,2）y,))令y＝2，则x＝eq\r(3)，z＝－2。所以平面DEF的一个法向量为m＝（eq\r(3），2，－2).利用法向量证明空间中的位置关系［探究问题］1．平面的法向量有何特点？［提示]设向量n是平面α的一个法向量．则：(1)n是一个非零向量．（2）向量n与平面α垂直．（3)平面α的法向量有无数多个，它们都与向量n平行，方向相同或相反．(4）给定空间中任意一点A和非零向量n，可确定唯一一个过点A且垂直于向量n的平面．2．用向量法证明空间线面垂直关系的关键是什么？[提示］设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，a2，a3）,b＝(b1，b2，b3）,平面α，β的法向量分别为u＝(u1，u2，u3），v＝(v1，v2,v3）,则位置关系向量关系向量运算关系坐标关系l⊥ma⊥ba·b＝0a1b1＋a2b2＋a3b3＝0l⊥αa∥ua＝λu,λ∈Ra1＝λu1，a2＝λu2，a3＝λu3α⊥βu⊥vu·v＝0u1v1＋u2v2＋u3v3＝0【例2】如图所示，在正方体ABCD。A1B1C1D1中，E，F，M分别为棱BB1,CD，AA1(1）证明：C1M∥平面ADE(2）平面ADE⊥平面A1D1F［思路探究]建立空间坐标系,求出平面ADE与平面A1D1F［解](1)以D为原点，向量eq\o（DA,\s\up15(→）），eq\o（DC,\s\up15(→)），eq\o（DD1，\s\up15(→））的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立坐标系如图，设正方体的棱长为1。则D(0,0,0），A（1,0，0),Eeq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(1，1,\f(1，2)))，C1(0，1，1），Meq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(1,0，\f（1，2）)）,eq\o（DA,\s\up15（→))＝(1,0,0）,eq\o（DE，\s\up15（→)）＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（1，1，\f（1,2))），eq\o（C1M,\s\up15（→））＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1,－1，－\f(1,2）))。设平面ADE的法向量为m＝（a,b，c)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（m·\o(DA，\s\up15(→））＝0，m·\o(DE,\s\up15（→)）＝0）)⇒eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝0，,a＋b＋\f（1，2）c＝0。)）令c＝2，得m＝(0，－1，2），∵m·eq\o(C1M，\s\up15(→))＝（0,－1，2）·eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(1，－1，－\f（1，2)）)＝0＋1－1＝0，∴eq\o(C1M,\s\up15(→))⊥m。又C1M⊄平面ADE，∴C1M∥平面(2）由D1（0，0，1）,A1（1,0，1），Feq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(0，\f（1,2)，0))，得eq\o（D1A1，\s\up15(→））＝(1，0,0)，eq\o（D1F,\s\up15（→))＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（0,\f（1,2），－1)）,设平面A1D1F的法向量为n＝(x，y，z则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(D1A1，\s\up15（→））＝0，，n·\o（D1F，\s\up15(→））＝0))⇒eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝0，,\f(1，2)y－z＝0。))令y＝2，则n＝（0，2,1)．∵m·n＝（0,－1，2）·（0，2,1）＝0－2＋2＝0，∴m⊥n。∴平面ADE⊥平面A1D1F1．(变结论)本例条件不变,试求直线D1E的一个方向向量和平面EFM的一个法向量．［解]如本例解析题,D1（0，0，1)，Eeq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(1，1,\f(1，2））)，Meq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（1,0，\f(1,2))），所以eq\o(D1E,\s\up15(→)）＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（1，1,－\f（1,2）))，即直线D1E的一个方向向量．设平面EFM的法向量为n＝（x，y,z），因为Feq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1，2),0））,所以eq\o（EF,\s\up15(→））＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（－1,－\f(1，2），－\f(1，2)）)，eq\o（EM，\s\up15（→)）＝(0,－1,0)，由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(n·\o（EF，\s\up15(→））＝0,，n·\o(EM,\s\up15（→）)＝0，）)即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（－x－\f(1,2）y－\f（1,2)z＝0，,－y＝0。)）所以eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（z＝－2x，,y＝0，))令x＝1，则z＝－2。所以平面EFM的一个法向量为(1,0，－2)．2．(变条件，变结论)在本例中设D1B1的中点为N，其他条件不变．试证：EN⊥平面B1AC[证明]如本例解析图，Eeq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(1，1,\f(1，2））)，Neq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1,2),\f(1,2)，1)),A(1,0，0），B1（1，1，1），C(0，1,0)．∴eq\o(EN，\s\up15（→））＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f（1，2）,－\f（1,2)，\f(1，2)))，eq\o（AB1，\s\up15(→)）＝(0，1，1),eq\o(AC，\s\up15（→）)＝（－1,1，0)，∴eq\o（EN，\s\up15（→))·eq\o(AB1，\s\up15（→）)＝0，eq\o(EN，\s\up15(→））·eq\o（AC,\s\up15（→)）＝0，∴eq\o（EN,\s\up15(→))⊥eq\o(AB1，\s\up15（→）），eq\o(EN,\s\up15(→）)⊥eq\o(AC，\s\up15（→）),即EN⊥AB1，EN⊥AC.又AB1∩AC＝A，∴EN⊥平面B1AC利用向量法证明空间中的位置关系，关键是建立坐标系，用坐标向量,证法的核心是利用向量的数量积或数乘运算。提醒：解这类问题时要利用好向量垂直和平行的坐标表示.三垂线定理及逆定理的应用【例3】如图所示，三棱锥P.ABC中，PA⊥平面ABC，若O，Q分别是△ABC和△PBC的垂心，求证:OQ⊥平面PBC。[证明］如图，连接AO并延长交BC于点E，连接PE.∵PA⊥平面ABC，AE⊥BC（由于O是△ABC的垂心),∴PE⊥BC（三垂线定理的逆定理),∴点Q在PE上．∵eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(AE⊥BC,,PE⊥BC，,AE∩PE＝E）)⇒BC⊥平面PAE⇒BC⊥OQ。①连接BO并延长交AC于点F，则BF⊥AC。连接BQ并延长交PC于点M，则BM⊥PC。连接MF。∵PA⊥平面ABC，BF⊥AC,∴BF⊥PC(三垂线定理）．∵eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（BM⊥PC，,BF⊥PC,，BM∩BF＝B））⇒PC⊥平面BMF⇒PC⊥OQ。②由①②，知OQ⊥平面PBC.利用传统的几何法进行证明，在证明线面垂直时，首先应证明线线垂直，本题在证明线线垂直时，应用到了三垂线定理及其逆定理。2．如图所示，在直三棱柱ABC­A1B1C1中,∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，AA1＝eq\r(6),M是CC1中点,求证：AB1⊥A1M。[证明]连接AC1，∵eq\f(AC,MC1)＝eq\f(\r（3）,\f(\r（6),2））＝eq\r(2)，eq\f（CC1,C1A1）＝eq\f（\r（6)，\r(3)）＝eq\r(2)，∴Rt△ACC1∽Rt△MC1A1，∠AC1C＝∠MA1C∴∠A1MC1＋∠AC1C＝∠A1MC1＋∠MA1C1＝90°，∴A1M⊥∵ABC。A1B1C1为直三棱柱,∴B1C1⊥CC又∵B1C1⊥A1C1，A1C1∩CC1＝∴B1C1⊥平面AC1,由三垂线定理知，AB1⊥A11．思考辨析(1）已知直线l垂直于平面α，向量a与直线l平行,则a是平面α的一个法向量． (）（2）若直线l是平面α外的一条直线；直线m垂直于l在平面α内的