2020高中数学 第一章 三角函数 11 诱导公式（一）学案（含解析）4

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE16-学必求其心得，业必贵于专精1。3三角函数的诱导公式考试标准课标要点学考要求高考要求π±α与α的正弦、余弦、正切值的关系bbeq\f（π，2）±α与α的正弦、余弦值的关系bb知识导图学法指导1。熟练掌握相应角的终边上点的坐标的特点,如α与－α的终边关于x轴对称，则两角对应的终边上的点的坐标可分别写为（x，y)和（x，－y)．2．诱导公式的目的在于将任意角的三角函数化为锐角的三角函数．3．观察公式一至公式四的结构特征,可以将它们统一成一句话“函数名不变，符号看象限”．4．观察公式五和公式六的结构特征，可以将它们统一成一句话“函数名改变,符号看象限”．第1课时诱导公式(一）eq\x（状元随笔）诱导公式一~四的理解（1)公式一～四中角α是任意角．（2)公式一概括为:终边相同的角的同名三角函数值相等．（3）公式一、二、三、四都叫诱导公式，它们可概括如下：①记忆方法：2kπ＋α,－α,π±α的三角函数值等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，概括为“函数名不变,符号看象限”．②解释：“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名;“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角,要看原函数名在本公式中角的终边所在象限是取正值还是负值，如sin(π＋α)，若α看成锐角，则π＋α的终边在第三象限，正弦在第三象限取负值，故sin(π＋α）＝－sinα。[小试身手］1．判断下列命题是否正确。(正确的打“√”，错误的打“×”）(1)点P（x,y)关于x轴的对称点是P′（－x，y)．()（2）诱导公式中的符号是由角α的象限决定的．()(3）诱导公式一、二、三、四函数的名称都不变．(）答案:（1）×（2）×（3）√2．对于诱导公式中的角α，下列说法正确的是()A．α一定是锐角B．0≤α〈2πC．α一定是正角D．α是使公式有意义的任意角解析:诱导公式中的角α是使公式有意义的任意角．答案:D3．sin600°的值是(）A.eq\f（1，2）B．－eq\f(1,2）C。eq\f（\r(3)，2）D．－eq\f(\r（3），2)解析：sin600°＝sin(600°－720°)＝sin（－120°）＝－sin120°＝－sin60°＝－eq\f（\r(3)，2）。答案:D4．若sin（π＋α）＝－eq\f（1,2)，则sin(4π－α）的值是()A．－eq\f(1，2)B。eq\f(1，2)C．－eq\f(\r(3）,2）D.eq\f（\r(3），2）解析：∵sin（π＋α）＝－eq\f(1，2)，∴sinα＝eq\f（1,2)，sin（4π－α）＝－sinα＝－eq\f（1,2)。答案：A类型一给角求值问题例1(1)sineq\f（4,3）π·coseq\f（5,6)π·taneq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f(4,3）π）)的值是()A.－eq\f（3,4)eq\r（3)B。eq\f（3，4)eq\r(3）C．－eq\f（\r(3）,4）D.eq\f(\r（3)，4）（2）求下列三角函数式的值:①sin(－330°)·cos210°;②eq\r(3)sin（－1200°）·tan(－30°)－cos585°·tan（－1665°）．【解析】（1）sineq\f(4,3)π·coseq\f(5，6）π·taneq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f（4,3)π））＝sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f（π，3）))coseq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（π－\f(π，6)）)taneq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(－2π＋\f(2π，3))）＝－sineq\f（π，3）·eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（－cos\f（π，6)））taneq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(π－\f（π,3）))＝－eq\f（\r(3），2)·eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2）））·(－eq\r(3))＝－eq\f(3\r(3），4)。（2)①sin（－330°）·cos210°＝sin(30°－360°)cos（180°＋30°）＝sin30°·(－cos30°）＝eq\f（1，2)×eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f(\r（3)，2)）)＝－eq\f(\r(3),4)。②eq\r（3)sin（－1200°）·tan（－30°）－cos585°·tan(－1665°)＝－eq\r（3）sin1200°·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3），3))）－cos(720°－135°)·tan(－9×180°－45°)＝sin（1080°＋120°）－cos135°·tan(－45°）＝eq\f(\r（3),2)－eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f(\r（2）,2）))×(－1）＝eq\f（\r（3)－\r(2)，2)。答案:(1）A（2）①－eq\f(\r（3）,4)②eq\f（\r（3)－\r（2）,2)负角化正角，大角化小角，直到化为锐角求值．方法归纳利用诱导公式解决给角求值问题的方法(1）“负化正”；（2）“大化小”，用公式一将角化为0°到360°间的角；（3)“小化锐"，用公式二或四将大于90°的角转化为锐角；（4)“锐求值”，得到锐角的三角函数后求值．跟踪训练1（1)sineq\f（4π，3)＋taneq\f（7π,6）的值为()A.eq\f(\r（3),6）B．－eq\f（\r（3）,3）C．－eq\f(\r（3）,6)D。eq\f(\r(3),3）（2)sin2120°＋cos180°＋tan45°－cos2(－330°)＋sin(－210°）＝________.解析：(1)原式＝－sineq\f（π,3)＋taneq\f(π,6)＝－eq\f（\r（3），2）＋eq\f(\r(3）,3）＝－eq\f(\r（3),6)。故选C。（2)原式＝sin260°＋（－1）＋1－cos230°＋sin30°＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（\r（3),2）))2－eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(\r(3），2）))2＋eq\f（1，2）＝eq\f（1,2)。答案：(1）C（2）eq\f（1,2）首先利用诱导公式把角化为锐角再求值．类型二已知三角函数值求相关角的三角函数值例2若sin（π＋α）＝eq\f（1,2）,α∈eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f（π,2)，0)），则tan（π－α）等于（)A.－eq\f（1，2)B．－eq\f(\r（3),2）C．－eq\r(3)D.eq\f(\r(3)，3)【解析】因为sin(π＋α）＝－sinα,根据条件得sinα＝－eq\f（1,2），又α∈eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f（π，2),0）），所以cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\f(\r(3）,2).所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f（1，\r(3)）＝－eq\f（\r（3),3)。所以tan（π－α)＝－tanα＝eq\f(\r（3），3）。故选D.【答案】D将已知条件利用诱导公式化简，建立要求的因式与已知条件的联系从而求值．方法归纳解决条件求值问题的方法（1）解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．(2)可以将已知式进行变形向所求式转化,或将所求式进行变形向已知式转化．跟踪训练2已知α为第二象限角，且sinα＝eq\f(3，5），则tan(π＋α)的值是（)A。eq\f（4，3）B.eq\f（3，4）C．－eq\f(4，3)D．－eq\f(3，4）解析：因为sinα＝eq\f（3,5)且α为第二象限角，所以cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f（4,5),所以tanα＝eq\f(sinα,cosα）＝－eq\f(3，4）。所以tan(π＋α)＝tanα＝－eq\f（3,4).故选D.答案:D先由正弦求余弦时，注意α的范围，最后利用诱导公式求值．类型三三角函数式的化简与证明例3化简与证明：（1）证明：eq\f（sinπ＋αsin2π－αcos－π－α,sin3π＋αcosπ－αsinπ－α)＝－1；(2)化简：cos20°＋cos160°＋sin1866°－sin(－606°）．【解析】(1)证明左边＝eq\f（－sinα－sinα－cosα,sinπ＋α－cosαsinα）＝eq\f（－sinα－sinα－cosα，－sinα－cosαsinα）＝－1。(2）原式＝cos20°－cos20°＋sin(5×360°＋66°）－sin（－2×360°＋114°）＝sin66°－sin114°＝sin66°－sin（180°－66°）＝sin66°－sin66°＝0.用诱导公式消,除角的差异→用同角三角函，数关系消除名，称差异→证明两边相等方法归纳利用诱导公式一～四化简应注意的问题(1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的；(2)化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改变；（3)同时有切(正切)与弦（正弦、余弦）的式子化简,一般采用切化弦,有时也将弦化切．跟踪训练3证明:eq\f（sinα－2016πcosα＋2015πsin－α，cosα－2πcosα＋2016πsinα＋2016π)＝tanα.证明：eq\f（sinα－2016πcosα＋2015πsin－α,cosα－2πcosα＋2016πsinα＋2016π）＝eq\f（sinα－cosα－sinα,cosαcosαsinα)＝tanα.eq\x（状元随笔)证明三角恒等式时，要针对恒等式左、右两边的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异.能用诱导公式的先用诱导公式将不同角化为相同角,再统一函数名称,从而实现左右统一．1.3。1［基础巩固]（25分钟,60分）一、选择题（每小题5分，共25分）1．sin480°的值为（）A。eq\f（1，2）B。eq\f(\r(3）,2)C．－eq\f（1，2）D．－eq\f(\r（3），2）解析：sin480°＝sin(360°＋120°）＝sin120°＝sin（180°－60°)＝sin60°＝eq\f（\r（3)，2)。答案：B2．已知sin(π＋θ）＝eq\f(4,5)，则角θ的终边在（)A．第一或第二象限B．第二或第三象限C．第一或第四象限D．第三或第四象限解析:∵sin(π＋θ）＝eq\f（4，5）＝－sinθ,∴sinθ<0，结合三角函数的定义，可知角θ的终边在第三或四象限，故选D.答案：D3．下列各式不正确的是(）A．sin（α＋180°)＝－sinαB．cos(－α＋β）＝－cos(α－β)C．sin（－α－360°)＝－sinαD．cos(－α－β)＝cos(α＋β）解析：由诱导公式知cos(－α＋β)＝cos［－(α－β)］＝cos(α－β），故B不正确．答案:B4．若cos(π＋α）＝－eq\f(1,2)，eq\f（3,2）π<α<2π,则sin（2π＋α）等于(）A。eq\f（1，2）B．±eq\f（\r(3),2）C。eq\f（\r（3）,2)D．－eq\f（\r(3），2）解析:由cos（π＋α)＝－eq\f（1,2)，得cosα＝eq\f（1，2）,故sin(2π＋α)＝sinα＝－eq\r（1－cos2α)＝－eq\f（\r(3),2)（α为第四象限角)．答案：D5．给出下列各函数值:①sin(－1000°）；②cos（－2200°）；③tan（－10)；④eq\f(sin\f（7π,10)cosπ,tan\f（17π,9））。其中符号为负的是()A．①B．②C．③D．④解析：sin(－1000°）＝sin80°>0;cos(－2200°)＝cos（－40°)＝cos40°>0；tan(－10）＝tan(3π－10）〈0；eq\f(sin\f（7π，10)cosπ，tan\f（17π，9））＝eq\f(－sin\f（7π,10），tan\f（17π,9）），∵sineq\f（7π，10）〉0，taneq\f（17π，9）<0，∴原式>0。答案:C二、填空题（每小题5分，共15分)6．求值：(1)coseq\f（29π，6)＝________;（2）tan（－225°)＝________.解析：(1）coseq\f（29π,6)＝coseq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(4π＋\f（5π,6）））＝coseq\f(5π,6)＝coseq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(π－\f(π，6））)＝－coseq\f（π,6)＝－eq\f（\r（3)，2)。(2)tan（－225°）＝tan(360°－225°）＝tan135°＝tan(180°－45°)＝－tan45°＝－1.答案：（1)－eq\f(\r（3），2)(2)－17．若sin（－α)＝eq\f（1,3）,α∈eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f（π，2），\f（π，2））），则cos（π＋α)＝________.解析：∵sin(－α)＝eq\f（1,3）,∴sinα＝－eq\f（1,3）.∵α∈eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2），\f（π，2))），∴cosα＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f（1，3）))2）＝eq\f(2\r(2)，3)，∴cos(π＋α)＝－cosα＝－eq\f（2\r（2),3).答案：－eq\f(2\r(2)，3）8．化简：eq\f（cos－αtan7π＋α，sinπ＋α）＝________.解析：原式＝eq\f（cosαtanα,－sinα）＝－eq\f(sinα,sinα）＝－1.答案：－1三、解答题(每小题10分,共20分）9．求下列各三角函数值：（1)sin1200°；(2）coseq\f（47，6)π；(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f（7π,3))）；（4)tan（－855°)．解析:(1）sin1200°＝sin［120°＋3×360°］＝sin120°＝sin（180°－60°）＝sin60°＝eq\f(\r（3),2).(2）coseq\f（47，6）π＝coseq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（11，6)π＋6π）)＝coseq\f(11，6）π＝coseq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(2π－\f(π,6）))＝coseq\f(π，6）＝eq\f（\r（3），2）.(3）sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f(7π,3）)）＝－sineq\f(7π,3)＝－sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(2π＋\f（π，3）)）＝－sineq\f（π，3)＝－eq\f(\r(3)，2）。（4）tan（－855°)＝－tan855°＝－tan(2×360°＋135°)＝－tan135°＝－tan（180°－45°）＝－tan（－45°）＝tan45°＝1.10．若cosα＝eq\f(2,3)，α是第四象限角，求eq\f(sinα－2π＋sin－α－3πcosα－3π,cosπ－α－cos－π－αcosα－4π)的值．解析:由已知cosα＝eq\f(2，3），α是第四象限角得sinα＝－eq\f(\r（5),3），故eq\f(sinα－2π＋sin－α－3πcosα－3π，cosπ－α－cos－π－αcosα－4π）＝eq\f(sinα－sinαcosα，－cosα＋cos2α)＝eq\f（sinα1－cosα,cosα－1＋cosα）＝－eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(\r(5），2）.[能力提升]（20分钟，40分)11．已知函数f(x）＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β）＋4，x∈R，且f（2019)＝3，则f（2020）的值为(）A．3B．4C．5D．6解析:∵f(2019)＝asin(2019π＋α)＋bcos(2019π＋β)＋4＝3，∴asin(2019π＋α)＋bcos（2019π＋β）＝－1，∴f（2020）＝asin(2019π＋α＋π)＋bcos（2019π＋β＋π)＋4＝－asin(2019π＋α)－bcos(2019π＋β)＋4＝1＋4＝5。答案：C12．求值eq\f(sinα－2018πcosα＋2019πsin－α，cosα－2πcosα＋2018πsinα＋2018π)＝________.解析：eq\f（sinα－2018πcosα＋2019πsin－α，cosα－2πcosα＋2018πsinα＋2018π)＝eq\f（sinα－cosα－sinα,cosαcosαsinα)＝tanα。答案：tanα13．求下列三角函数值．(1)taneq\f(3,4)π＋cos(－1650°）＋sineq\f(11,6)π；（2)7cos270°＋3sin270°＋tan765°。解析：(1)原式＝taneq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(π－\f(π,4））)＋cos1650°＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（2π－\f（π，6）)）＝－taneq\f（π，4)＋cos（4×360°＋210°)－sineq\f（π，6)＝－1＋cos210°－eq\f(1，2）＝－1＋cos(180°＋30°)－eq\f(1,2)＝－eq\f(3，2)－cos30°＝－eq\f(3,2)－eq\f（\r（3)，2）。(2)原式＝7cos(180°＋90°)＋3sin（180°＋90°）＋tan(2×360°＋45°）＝－7cos90°－3sin90°＋tan45°＝－2.14．求sineq\b