2020高中数学 第一章 解三角形 1.1.2.2 余弦定理（2）练习（含解析）5

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE12-学必求其心得，业必贵于专精第4课时余弦定理(2）知识点一利用余弦定理判定三角形的形状1．若1＋cosA＝eq\f(b＋c，c），则三角形的形状为（）A．直角三角形B．等腰三角形或直角三角形C．正三角形D．等腰直角三角形答案A解析由1＋cosA＝eq\f（b＋c,c），得cosA＝eq\f（b,c），根据余弦定理，得eq\f(b2＋c2－a2，2bc）＝eq\f(b，c),则c2＝a2＋b2．所以三角形为直角三角形．故选A．2．在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b，c，且b2＋c2＝a2＋bc．若sinBsinC＝sin2A，则△ABC的形状是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形答案C解析由b2＋c2＝a2＋bc及余弦定理，知A＝eq\f（π，3），又由sinBsinC＝sin2A及正弦定理，得bc＝a2＝b2＋c2－bc，所以（b－c)2＝0，即b＝c，所以△ABC为有一个内角为eq\f(π，3)的等腰三角形，即为等边三角形．故选C．3．在△ABC中，B＝60°,b2＝ac，则此三角形一定是(）A．直角三角形 B．等边三角形C．等腰直角三角形 D．钝角三角形答案B解析由余弦定理，得b2＝a2＋c2－ac，又∵b2＝ac，∴a2＋c2－2ac＝0,即(a－c）2＝0，∴a＝c．∵B＝60°，∴A＝C＝60°．故△ABC是等边三角形．4．在△ABC中,acos（B＋C）＋bcos（A＋C）＝ccos（A＋B)，试判断△ABC的形状．解∵A＋B＋C＝π，∴原式可化为acosA＋bcosB＝ccosC．由余弦定理可知：cosA＝eq\f（b2＋c2－a2，2bc），cosB＝eq\f(a2＋c2－b2，2ac），cosC＝eq\f（b2＋a2－c2,2ab）,∴a·eq\f（b2＋c2－a2，2bc）＋b·eq\f(a2＋c2－b2，2ac)＝c·eq\f（a2＋b2－c2，2ab),整理,得(a2－b2）2＝c4，即a2－b2＝±c2，∴a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2，故△ABC一定为直角三角形．知识点二正弦定理与余弦定理的综合应用5．在△ABC中，∠ABC＝eq\f（π,4），AB＝eq\r(2)，BC＝3，则sin∠BAC＝（）A．eq\f(\r(10),10)B．eq\f（\r(10），5)C．eq\f(3\r（10），10）D．eq\f（\r（5）,5)答案C解析由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×coseq\f(π，4）＝2＋9－2×eq\r(2)×3×eq\f（\r（2)，2）＝5．∴AC＝eq\r(5)．由正弦定理，得eq\f(AC,sinB）＝eq\f(BC，sinA)，∴sinA＝eq\f（BCsinB，AC)＝eq\f(3×\f(\r(2)，2），\r(5））＝eq\f(3\r（10），10)．6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c，且2b·cosA＝ccosA＋acosC．(1）求角A的大小;（2)若a＝eq\r(7），b＋c＝4，求bc的值．解(1）根据正弦定理，得2bcosA＝ccosA＋acosC⇒2cosAsinB＝cosAsinC＋sinAcosC＝sin(A＋C）＝sinB，∵sinB≠0,∴cosA＝eq\f(1，2）,∵0°＜A＜180°,∴A＝60°．(2）由余弦定理，得7＝a2＝b2＋c2－2bccos60°＝b2＋c2－bc＝(b＋c）2－3bc，把b＋c＝4代入，得bc＝3,故bc＝3．知识点三余弦定理与其他知识的综合应用7．在△ABC中，已知AB＝3，AC＝2，BC＝eq\r（10)，则eq\o(AB，\s\up6(→）)·eq\o（AC,\s\up6（→))等于（)A．－eq\f(3，2)B．－eq\f(2，3)C．eq\f（2，3）D．eq\f（3,2)答案D解析∵eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o（AC,\s\up6（→）)＝｜eq\o（AB,\s\up6（→）)|｜eq\o（AC，\s\up6(→）)｜cos〈eq\o（AB,\s\up6(→)），eq\o(AC,\s\up6（→）)〉，由向量模的定义和余弦定理可得出|eq\o（AB,\s\up6(→))|＝3，｜eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2，cos〈eq\o(AB，\s\up6（→)），eq\o(AC,\s\up6（→)）〉＝eq\f（AB2＋AC2－BC2,2AB×AC)＝eq\f（1,4）．故eq\o（AB,\s\up6（→)）·eq\o(AC,\s\up6(→)）＝3×2×eq\f(1,4）＝eq\f（3,2)．8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b,c，A为锐角，lgb＋lgeq\f（1，c)＝lgsinA＝－1geq\r(2)，则△ABC为（)A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形答案D解析因为lgb＋lgeq\f(1，c)＝lgsinA＝－lgeq\r(2)，所以lgeq\f(b,c）＝lgsinA＝lgeq\f（\r（2）,2），所以c＝eq\r(2）b，且sinA＝eq\f(\r(2),2)．因为A为锐角,所以A＝eq\f(π,4），所以a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋2b2－2b×eq\r(2)b×eq\f(\r(2），2)＝b2，所以a＝b，所以B＝eq\f(π，4），所以C＝eq\f（π,2），故△ABC为等腰直角三角形．故选D．9．已知向量m＝(cosωx,sinωx),n＝(cosωx，2eq\r（3)cosωx－sinωx），ω〉0，函数f（x)＝m·n＋|m|，且函数f（x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为eq\f（π，2)．(1)求ω的值;（2）在△ABC中,a，b，c分别是角A，B,C的对边，f(A）＝2，c＝2，S△ABC＝eq\f（\r（3)，2),求a的值．解(1)f(x)＝m·n＋｜m|＝cos2ωx＋2eq\r（3）·sinωxcosωx－sin2ωx＋1＝cos2ωx＋eq\r(3)sin2ωx＋1＝2sin2ωx＋eq\f(π，6)＋1．由题意，知T＝π,又∵T＝eq\f（2π，2ω）＝π，∴ω＝1．（2）∵f（x）＝2sin2x＋eq\f(π,6）＋1，∴f（A）＝2sin2A＋eq\f(π,6）＋1＝2，sin2A＋eq\f（π,6）＝eq\f(1，2）．∵0〈A<π,∴eq\f（π，6）<2A＋eq\f(π，6）<2π＋eq\f(π,6)．∴2A＋eq\f（π,6)＝eq\f(5π,6），∴A＝eq\f(π，3)．∴S△ABC＝eq\f（1,2）bcsinA＝eq\f(\r（3），2），∴b＝1．∴由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝1＋4－2×1×2×eq\f（1，2）＝3．∴a＝eq\r（3）．易错点忽视构成三角形的条件10．已知钝角三角形的三边a＝k,b＝k＋2，c＝k＋4，求k的取值范围．易错分析易忽略隐含条件：k，k＋2，k＋4构成一个三角形，则k＋（k＋2)＞k＋4．即k＞2而不是k＞0．解∵c＞b＞a，且△ABC为钝角三角形,∴C为钝角．由余弦定理，得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f（k2－4k－12,2kk＋2)＜0．∴k2－4k－12＜0，解得－2＜k＜6．由两边之和大于第三边，得k＋（k＋2)＞k＋4，∴k＞2，综上所述，k的取值范围为2＜k＜6．一、选择题1．在△ABC中，sin2A－sin2C－sin2B＝sinBsinC，则A等于()A．30°B．60°C．90°D．120°答案D解析根据正弦定理的推广eq\f（a,sinA）＝eq\f（b,sinB)＝eq\f（c,sinC）＝2R(R为△ABC的外接圆的半径）,得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，从而原等式等价于a2－c2－b2＝bc，结合cosA＝eq\f(b2＋c2－a2，2bc），得cosA＝－eq\f(1，2)，由0°〈A〈180°，得A＝120°．2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若eq\f(a2,b2)＝eq\f(a2＋c2－b2,b2＋c2－a2),则△ABC是(）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形答案D解析由eq\f（a2,b2）＝eq\f(a2＋c2－b2，b2＋c2－a2）及余弦定理，得eq\f(a2,b2）＝eq\f（2accosB,2bccosA），即eq\f(a，b）＝eq\f(cosB,cosA)，所以由正弦定理，得eq\f（sinA,sinB)＝eq\f（cosB，cosA），所以有sin2A＝sin2B,从而2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝eq\f（π,2）．故选D．3．如果等腰三角形的周长是底边边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（）A．eq\f(5,18)B．eq\f(3,4）C．eq\f(\r（3），2）D．eq\f(7,8)答案D解析设等腰三角形的底边边长为x，则腰长为2x(如图)，由余弦定理，得cosA＝eq\f(4x2＋4x2－x2,2·2x·2x）＝eq\f（7，8)．故选D．4．某人要做一个三角形，要求它的三条高线的长度分别是eq\f(1，13),eq\f（1，11),eq\f（1,5），则此人将（)A．不能做出满足条件的三角形B．做出一个锐角三角形C．做出一个直角三角形D．做出一个钝角三角形答案D解析设三条高线对应的底边分别为a,b，c，则由三角形的面积公式，得a·eq\f（1，13)＝b·eq\f（1，11）＝c·eq\f(1，5）＝t(t>0)．∴a＝13t，b＝11t，c＝5t．∴a为最大边．由余弦定理，得cosA＝eq\f(11t2＋5t2－13t2，2×11t×5t）〈0．∴能做出一个钝角三角形．故选D．5．已知△ABC中，内角A,B，C所对的边分别为a,b,c，且c2－b2＝ab，C＝eq\f（π，3），则eq\f（sinA，sinB)的值为(）A．eq\f(1，2)B．1C．2D．3答案C解析由余弦定理，得c2－b2＝a2－2abcosC＝a2－ab＝ab，所以a＝2b，所以由正弦定理，得eq\f(sinA，sinB)＝eq\f（a,b）＝2．二、填空题6．在△ABC中，设三个内角A,B，C所对的边分别为a,b，c，且a＝1,b＝eq\r(3)，A＝30°,则c＝________．答案1或2解析已知a＝1,b＝eq\r(3)，A＝30°，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得1＝3＋c2－3c,即c2－3c＋2＝0，因式分解，得（c－1）(c－2）＝0，解得c＝1或c＝2，经检验都符合题意，所以c的值为1或2．7．在△ABC中，边a，b的长是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则边c＝________．答案eq\r(19）解析由题意，得a＋b＝5,ab＝2．由余弦定理,得c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2－ab＝（a＋b）2－3ab＝52－3×2＝19，∴c＝eq\r(19)．8．在△ABC中,AB＝2,AC＝eq\r(6),BC＝1＋eq\r(3)，AD为边BC上的高，则AD的长是________．答案eq\r（3)解析∵cosC＝eq\f（BC2＋AC2－AB2,2×BC×AC）＝eq\f（\r(2）,2)，∴sinC＝eq\f（\r(2),2）．∴AD＝ACsinC＝eq\r(3)．三、解答题9．在△ABC中，a2＋b2－mc2＝0（m为常数),且eq\f(cosA,sinA）＋eq\f（cosB,sinB）＝eq\f（cosC，sinC），求m的值．解由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，得a2＋b2＝c2＋2abcosC,由a2＋b2－mc2＝0，得c2＋2abcosC＝mc2，即2abcosC＝（m－1)c2．结合正弦定理，得2sinAsinBcosC＝(m－1）sin2C，又由eq\f（cosA，sinA）＋eq\f(cosB,sinB)＝eq\f（cosC,sinC),得eq\f（cosAsinB＋cosBsinA，sinAsinB）＝eq\f（sinA＋B,sinAsinB）＝eq\f（cosC,sinC），即sinAs