人教版八年级数学上期中重难点综合复习

第1讲期中专题(一)一、作线段相等构造全等三角形♦例1已知，在△ABC中，AD为高，且AB+CD=AC+BD•求证：AB=AC.分析：由AB+CD=AC+BD，把和相等的两条线段移到一起，构造全等三角形。证明：点评：作线段相等构造三角形全等，是构造全等三角形的常用方法，应结合具体的条件、结论和图形来实施。本例是紧扣两组线段的和相等构造全等三角形.♦例2如图A(a,0)、B(0,b)，且Pa-b+|b+4|=0.(1)求A、B点的坐标；若P为x轴的正半轴上一动点，C为B点关于x轴的对称点，PD丄PC交直线AB于点D,求证：PD=PC；若点Q为B点下方的一动点，M为AB的延长线上一点，且AQ=MQ,过M点作MN丄y轴于N,问：当Q点运动时，QN的长度是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由。分析：(1)由非负数性质得a二b=-4,⑵B、C关于x轴对称，所以x轴垂直平分BC,连AC、PB,证PD=PC,转化为证PD=PB,证ZPDB=ZPBD.(3)可证△MNQ^^QOA，所以QN=OA=4.点评：(1)算术平方根是一个非负数，由非负数的性质求出参数的值；

2)注意分析数据，结合观察，捕捉图形的特殊性3)全等意识，动中取静.1、求证：有两个角及周长对应相等的两个三角形是全等三角形.(2)如图②，在五边形ABCDE中，AB=BC,N为BC延长线上一点，过N作ZANM=ZABC=ZBCD，交ZBCD的外角平分线于M,试问AN=NM成立吗？证明你的结论.AAB二．抓相等的两直角边构造全等三角形♦例3如图，等腰Rt^ABC中，ZABC=90°,♦例3如图，等腰Rt^ABC中，ZABC=90°,AB=BC,点A、B分别在坐标轴上.HEBPAGC■1图①尹2-V.r如图①，若C点横坐标为5,求B点坐标;(2)如图②，将△ABC摆放至x轴恰好平分ABAC,BC交x轴于点M,过C点作CD丄x轴于D点,CDAMCDAM的值;(3)如图③，若点A坐标为(一4,0),分别以OB、AB为直角边在第一、第二象限作等腰Rt^OBF与等腰Rt^ABE,连接EF交y轴于点P,当B点在y轴正半轴上移动时，下列两个结论：①PB的长不变；②EF—EB的值不变，其中只有一个是正确的，请选择，并求其值.分析：(1)C点的横坐标为5,所以过C点作CGIy轴于G,得△BCG^^ABO,BO=CG=5由条件AD平分ABAC,分别延长AB、CD交于H,得△ABM^^CBH,AM=CH=2CD由条件容易想到由等腰RtMBE构造全等，即过E作EQ丄y轴于Q,得ABEQ11^△ABO,EQ//BF,EQ=BF，于是△PEQ^^PFB,PB=PQ=-BQ=-AO=2点评：本例中的(1)、(2)、(3)问题都是抓住等腰直角三角形的两条直角边

依托直角坐标系中的直角，构造全等三角形，为解决问题奠定了基础。

3•如图，RtAABC中，ZACB=90°,AC=BC，直线MN过点C,AD丄MN于点D,BE丄MN于点E.(1)如图①所示时，请直接写出DE与AD、BE的数量关系；(2)当MN绕点C旋转，使MN与AB交于P，其他条件不变，在图②中完成图形，请问DE与AD、BE之间有何数量关系？证明你的结论。4•如图，等腰△ABC中，ZACB=90°，D为AC上一点，E为BC外一点，DE=BE，且DE丄BE，连CE，求证：CE//AB.

三、倍长中线构造全等三角形♦例4如图①，已知等腰Rt^ABC和等腰Rt^CDE,ZACB=ZDCE=90°CNIBE交AD于M,垂足为N.求证：AM=DM将ACDE绕C点旋转至图②，问(1)中的结论是否仍成立？证明你的结论分析：(1)转化为证Z1=Z2,而Z2=Z3，应证Z1=Z3,由CN为Rt^BCE斜边上的高得证(2)猜想结论成立，类比中线的处理方式一一“倍长中线”，为证全等方便，变通为做AF^CD交CM的延长线于F，证△ACF^MBE.证明：点评：(1)遇有三角形中线的条件时，常用的处理方式是延长中线一倍(简称为“倍长中线)构造全等三角形；(2)遇有相关证线段中点(证中线)问题时，往往类比“倍长中线“的方法构造全等，由于是要证中点，所以形式上变通为作平行线。本例便是如此。5.以△ABC的边AB、AC为直角边向外作等腰Rt^ABD和等腰Rt^ACE,M是BC的中点，连结AM和DE.如图①，△ABC中，当AB=AC时，直接写出AM与ED的关系；如图②，△ABC中，当ZBAC=90。时，直接写出AM与ED的关系；如图③‘AABC为一般三角形时，猜想AM与ED的关系，并证明你的猜想；如图④，若以△ABC的边AB.AC为直角边，向内作等腰RtAABE和AACD,其他条件不变，试探究AM与DE之间的关系？并证明你的结论.DDEECADBB8fiEC耳②1半轴上，0C平分ZACB.DDEECADBB8fiEC耳②1(1)求A点坐标;(2)如图①，AQ在ZCAB内部，P是AQ上一点，满足ZACB=ZAQB,AP=BQ.试判断ACPQ的形状，并予以证明；⑶如图②，BD丄BC交y轴负半轴于D，ZBDO=60°，F为线段AC上一动点，E在CB延长线上，满足ZCFD+ZE=180°当F在AC上移动时，结论：①CE+CF值不变；②CE—CF值不变.其中只有一个结论正确，请选择出正确结论并求其值.分析：(1)由厶AOC^ABOC得AO=BO=2,A(—2，0)⑵由△ACP今ABCQ得CP=CQ(3)由BD丄BC，ZBDO=60°，可证得等边△ABC.由角平分线和DB丄BC的条件，运用对称性知DA丄AC，国②连结DA，加上条件ZCFD+ZE=180°，可证得△ADF9ABDE,于是CE+CF=2AC=2AB=8.

国②点评：(1)当遇有角平分线条件时，可考虑如下两种几何变换：一种对称变换(向角的两边作垂线或是截取线段等于边长)；二是旋转变换，即将一个三角形绕角平分线上一点旋转一个角度，构造出一个等腰三角形。(2)本例中运用“旋转法”的思路是：延长CE至G,使EG=CF,，连结DG.可证△DEG竺4DFC，得等腰ACDG及其底边上的高BD,于是CE+CF=2CB=2AB=8.7•如图，在平面直角坐标系中，B(0,1),C(0,—1),D为x轴正半轴上一点，A为第一象限内一动点，且ZBAC=2ZBDO,DM丄AC于M.求证：ZABD=ZACD;若点E在BA延长线上，求证：AD平分ZCAE;ACAB当A点运动时，的值是否发生变化？AM若不变，求其值；若变化，请说明理由。以AP为腰在△以AP为腰在△ABC外C第2讲期中专题（二）一、树立全等的意识育观念♦例1已知A(x,0),B(0,y)，且已知Jx+y-8+Jx-y=0，点C为AB的中点,点F在OA上，点E在y轴的负半轴上，OE+AF=EF，求ZECF的大小.解：点评：（1）此题是一个常规题的变式题。（2）将线段的和差问题转换为线断相等问题。♦例2如图，等腰RtAABC中，ZB=90。，点P在直线BC上,侧作等腰Rt^APQ（ZP4Q=90°），连PQ交AB于N,连CQ交AB于M.（1）如图①，当P点在边BC上，且CP=2BP时，求BCM的值;BM（2）若P点在CB的延长线上，且CP=nBP,M、N分别在AB边和AB边的延长线上，AM在图②中画出图形，并求的值.BM分析：（1）由条件和图形特征构造全等，过Q做QD丄AB于D,可证△ADQ^^PBA,△DQM^ABCM,CP可求出的值；BM（2）类比（1）作QE丄AB交BA的延长线于E,AM可证△AEQ^APBA,△QEM^^CBM，设参变换后，可求出-BM的值.解：点评：（1）要树立通过证明三角形全等去解决几何问题的意识与观念，一是要从图形和条件中去找三角形全等；二是注意由条件去构造全等三角形。）本例是抓等腰直角三角形的直角边相等去构造全等三角形。练习1.如图，AAOB等腰直角三角形，OA=AB,C为OB上一动点，以AC为直角边作等腰RtAACD,ZACD=90°,连接OD,求ZAOD的度数.二、逐步提高探究问题的能力♦例3如图，已知等腰△ABC中，AB=AC,ZBAC=0,D为△ABC外角平分线上一点.（1）当ZADE=0=60。时（如图①），请直接写出ZAED的度数；（2）当0=100°，ZADE=40。时，（如图②），求ZAED的度数；（3）当ZADE=900—20时，直接写出ZAED的度数.分析：（1）0=60。时，等腰AABC为等边三角形，可以猜想/AED二60°。可简单思考如下：由DC平分/ACE的条件，过D作DM丄CE于M,DN丄AC于N,得DM二DN.由题可得四边形ACED的对角互补，于是得到ADEM◎△DAN,因而△ADE是等边三角形，猜想成立。⑵与（1）的条件比较，6和/ADE的度数变化了，本质一一四边形ACED的对角互补的条件未变，仿（1）证等腰△ADE,得/AED二70°解AEB'图①圏②(3)当ZADE(2解AEB'图①圏②(3)当ZADE(2)得“145o+04二9O0—0时，zACE2ZAED=二9Oo+10，所以2ADE+ZACE二180°，仿练习练习练习练习点评：（1）由特殊到一般，是探究性问题的特征，有时需要借助猜想与合情推理；（2）学会从变化的条件中，把握住条件的本质（如本例中，总有四边形ACED的对角互补），这样才不会被变化的条件所诱惑，而迷失方向；（3）本例还可以运用“翻折法”和“旋转法”证DA二DE.练习3、AABC中，ZBAC=练习3、AABC中，ZBAC=60°，以BC为边在△ABC的同侧作等边ADBC,BD、AC相交于E,连接AD.AC（1）如图①，若訂AB=2,求证：△ABC^^ADC;AC⑵如图②’若乔=3,AB求ID的值.4、如图，等腰Rt^ABC和等腰Rt^DCEBE(1)如图①，当D点在AB上时，直接写出的值和ZCBE的度数；AD当把ADEC绕C点旋转到如图②所示的位置(D点在BC上),连AD并延长BE交于BEF,连接FC,直接写出的值和ZCFE的度数；AD把ADEC绕C点旋转到如图③所示位置时，请求出ZCFE的度数.EF£DAF.图①圉②图⑧EF£DAF.图①圉②图⑧三、综合性问题的解答♦例4如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0,a),b(b,0),且a,b满足(a+6)2+x；a-b=04)求A、B两点的坐标；(5)如图①，ZGBM=90°,ZMBO=30°,BM、BG分别交y轴的正负半轴于M、1G两点，作NA〃x轴交BG于N点，求证：OA—NA=-BN;(6)如图②，若点C是线段OB上一动点(不与0、B重合)，连接AC,作CD丄AC于C,且CD=AC.直线BD和CD分别交y轴于P、Q,当C点运动时，试问ZDQA—ZPDQ的值是否发生变化？若不变，求其值，若变化，说明理由。分析：(1)由非负数的性质得a=-6,b=-6；11⑵先构造-BN,过N做NT丄OB于T,则BT=-BN,NT=OA=OB,可证△NBT合4MBO,得BT=OM,另一方面，在AO上截取AH二AN，可证△ABN^^ABH,得BN=BH,进而可证厶BOH^^BOM，得证；3)由AC=CD和CD丄AC构造全等，过D作DEIx轴于E,可证△CDE^^ACO,进行线段代换后得等腰Rt"DE,等腰Rt"BO,于是，/DQA—/PDA=/BPO=45°点评：(1)注意识别非负数并运用非负数性质解题；(2)树立全等意识和构造全等是解决相关问题的关键所在；(3)在直角坐标系中，抓住互相垂直且相等